CC BY
52
УДК 372.851
Малова Ирина Евгеньевна
доктор педагогических наук, профессор Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского
Коршунова Наталья Геннадьевна
Дятьковская средняя общеобразовательная школа № 1, Брянская область
mira44@yandex.ru, natusik9410@mail.ru
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ СОВРЕМЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
В статье раскрываются проблемы использования доказательств теорем и решения задач на доказательство в теме «Четырехугольники» школьного курса геометрии для реализации современных требований к обучению учащихся: как конкретизировать предметные и метапредметные цели обучения, как реализовать системно-деятель-ностный подход при изучении математических доказательств. Предметные цели изучения теоремы отражают ответы на вопросы: 1) с каким новым фактом познакомились, какое понятие он характеризует; 2) какие этапы доказательства можно выделить, как их реализовать; 3) каков алгоритм применения нового факта. Метапредметные цели раскрывают направления обогащения субъектного опыта учащихся. Выявлена специфика доказательств в теме «Четырёхугольники» в виде методов, схем и приёмов доказательства, представлены признаки распознавания возможности их применения. Раскрыты ориентировочные основы применения теорем. Иллюстрируется организация смыслового чтения при изучении признака описанного четырёхугольника.
Ключевые слова: математическое образование, доказательство в геометрии, четырехугольник, предметные и метапредметные результаты, системно-деятельностный подход, смысловое чтение.
В Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования (ФГОС ООО) представлены следующие результаты, которые можно отнести к изучению геометрии:
1) формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;
2) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;
3) овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений;
4) формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах; развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решения геометрических и практических задач; развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин [9].
Представленные результаты относятся к любой теме школьного курса геометрии, к любому виду геометрической деятельности, в частности, к доказательству теорем.
В.В. Репьев в работе [5] отразил роль теорем: встречаются в других науках, только не всегда выделены (например, в курсе алгебры); отражают взаимосвязь с окружающим миром; позволяют выявить характеристические признаки или свойства объекта; дают возможность установить истинность или ложность утверждения.
Представленная роль доказательств в обучении позволяет сделать вывод, что изучение теорем в содержательном плане может способствовать достижению результатов, представленных в ФГОС ООО.
Возникает вопрос-проблема: «Как может быть организована работа учащихся с доказательствами теорем, чтобы наиболее эффективно использовать потенциал математического содержания для достижения значимых для учащихся результатов?»
В работе В.В. Репьева [5] представлен ряд правил доказательства теорем, которые позволяют учащимся быть успешными в этой деятельности: перейти от условия теоремы к ее заключению; использовать условие полностью; воспроизводить в памяти учащихся то, на что придется основываться; заменить определяемое понятие определением; использовать то определение, которое наиболее соответствует характеру рассуждений и др.
Г.И. Саранцев [6] предлагает в качестве основы для усвоения теоремы применять цепочки взаимосвязанных упражнений на выделение: а) условия и заключения теоремы; б) на нахождение на чертежах фигур, удовлетворяющих условию теоремы; в) на построение чертежа, отражающего условие и заключение теоремы и др.
В статье М.Г. Макарченко [2] рассмотрены проблемы, связанные с трудностями будущих учителей в восприятии теорем и их доказательств.
204
Вестник КГУ ^ 2018
© Малова И.Е., Коршунова Н.Г., 2018
Наибольшие проблемы вызывают: осмысление формулировки теоремы (27,78% опрошенных); осмысление логической структуры доказательства и установление внутриструктурных причинно-следственных связей (34,72%).
В работе А.В. Ястребова [10] представлены задачи по методике работы с теоремой на логический анализ формулировки теоремы, на выявление метода доказательства, на применение теоремы, на систематизацию теорем.
Поскольку системно-деятельностный подход обеспечивает успешность деятельности учащихся [4], будем его рассматривать как одну из методологических основ преодоления учебных затруднений учащихся.
В работе К. Вебер (K. Weber) [11] затруднения обучающихся, связанные с математическими доказательствами, стали основой для выделения так называемых типов «стратегического знания» по их преодолению. При этом автор отталкивается от специфики математической дисциплины - абстрактной алгебры.
Последуем той же логике: отталкиваясь от специфики доказательств в теме «Четырёхугольники» и опираясь на «стратегические знания», связанные с системно-деятельностным подходом, раскроем некоторые способы преодоления затруднений учащихся, связанных с доказательствами в геометрии.
Системно-деятельностный подход подразумевает выделение объектов, целей, ориентировочных основ деятельности и др.
В качестве объектов деятельности учащихся будем рассматривать доказательства, представленные в учебнике [1] по теме «Четырёхугольники».
Выделяют предметные и метапредметные цели, как результат деятельности обучающихся. В связи с изучением конкретной теоремы предметные цели подразумевают ответы на следующие вопросы: 1) с каким новым фактом познакомились, какое понятие он характеризует; 2) какие этапы доказательства можно выделить, как их реализовать; 3) каков алгоритм применения нового факта. В учебном пособии под ред. проф. Т.А. Ивановой [7, с. 122] представлены диагностируемые учебные цели и критерии их достижения на уровне знания, понимания и применения при изучении теорем.
Метапредметные цели раскрывают направления обогащения субъектного опыта учащихся. Применительно к изучению теорем эти направления отражают: понятия: «теорема-свойство», «теорема-признак», необходимое условие, достаточное условие; виды теорем (прямая, обратная, противоположная, обратная противоположной) и связь между ними; способы обнаружения нового факта и/или его обоснования (общелогические, частные, эвристические); организацию смыслового чтения формулировки теоремы и её доказательства; конструирование математической речи по обоснованию
выводов; перекодирование информации «слово-образ», «слово-действие», «общее-частное» и др.
Выделим ориентировочные основы действий (ООД), опираясь на которые учащиеся могли бы понимать доказательство, самостоятельно доказывать и применять теоремы.
К таким ООД можно отнести: а) методы, схемы, приёмы доказательства теорем; б) признаки распознавания возможности их применения; в) ориентировочные основы применения известных фактов.
В учебниках представлены некоторые методы доказательства теорем, среди которых чаще всего используется метод от противного. Метод от противного предполагает следующие шаги: предположить противоположное тому, что требуется доказать; доказать, что высказанное предположение приводит к противоречию с известным фактом; сделать вывод, что предположение неверно и верно то, что требовалось доказать.
Методом от противного в теме «Четырехугольники» доказываются признаки вписанного и описанного четырехугольника.
Схемы доказательства - это такие ориентировочные основы, которые применяются для доказательства нескольких теорем. Например, схема доказательства равенства фигур (отрезков, углов) через равенство треугольников. Схема подразумевает следующие шаги: выделить треугольники, содержащие нужные элементы, и определить их вид (произвольные или прямоугольные); определить, сколько пар равных элементов нужно найти в этих треугольниках для доказательства их равенства; найти эти пары; сделать вывод о равенстве треугольников на основе соответствующего признака; сделать вывод о равенстве соответствующих элементов треугольников [8].
В теме «Четырёхугольники» эта схема используется при доказательстве свойств и признаков параллелограмма, свойства и признака прямоугольника.
Выделим ещё одну схему - схему доказательства симметричности фигуры, которая содержит следующие шаги: выбрать произвольную точку фигуры; построить точку, симметричную выбранной относительно заданного центра или заданной оси; доказать, что построенная точка принадлежит заданной фигуре.
В теме «Четырёхугольники» эта схема может быть использована при доказательстве того, что точка пересечения диагоналей параллелограмм является его центром симметрии, что прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии, что диагонали ромба являются его осями симметрии.
Ряд теорем школьного курса геометрии имеет общую идею всего доказательства или отдельного его шага. В этом случае удобно использовать термин «приём доказательства».
Таким приёмом доказательства является приём использования определения в ту или иную сторону. Суть приёма: если дан объект, подходящий под рассматриваемое понятие, то можно сделать вывод о том, что для этого объекта выполняются все существенные признаки, указанные в определении (использование определения от понятия к признакам); если для какого-то объекта выполняются все существенные признаки, указанные в определении, то можно сделать вывод, что данный объект подходит под понятие (использование определения от признаков к понятию).
Например, при доказательстве свойств параллелограмма из условия «дан параллелограмм» переходят к выводам: 1) в данном четырехугольнике две противоположные стороны являются параллельными; 2) две другие противоположные стороны являются параллельными. При доказательстве первого признака параллелограмма по равенству и параллельности двух противоположных сторон четырехугольника доказывается, что в данном четырехугольнике две другие стороны параллельны, после чего делается вывод, что данный четырехугольник является параллелограммом по определению.
При доказательстве свойств ромба используются: определение ромба (от понятия к признакам); определение равнобедренного треугольника (от признаков к понятию); определение медианы (от признаков к понятию).
Выделим приём выполнения операций с равенствами (применяется при доказательстве свойства вписанного четырёхугольника, свойства средней линии трапеции), приём обозначения равных элементов одинаковыми переменными (применяется при доказательстве свойства описанного четырёхугольника).
Общая идея доказательства теорем о площади параллелограмма, трапеции может быть выражена следующей последовательностью действий: выбрать фигуру, формула вычисления площади которой известна (назовём ее «известной фигурой»); определить способ достраивания (перестраивания) данного четырехугольника до «известной фигуры»; вычислить площадь «известной фигуры» по формуле и по составляющим частям; составить равенство, отражающее два способа вычисления площади «известной фигуры» и выразить из него площадь заданного четырехугольника. В случае разбиения данного четырехугольника на «известные фигуры» вычисляется площадь данной фигуры по частям, а затем для каждой части используется формула вычисления ее площади.
Можно в качестве ориентировочных основ применения в доказательствах известного факта использовать схему записи ссылок в виде трафарета с пропусками, в котором показаны: условия, которые должны быть выделены; вывод, который должен быть сделан из этих условий; обоснование выводу в виде ссылки на известный факт (схема 1).
Схема предполагает следующие действия учащихся: выделить все условия теоремы-обоснования и, при необходимости, доказать их выполнение; сделать вывод, что выполняется заключение теоремы; указать обоснование (название теоремы или ее полную формулировку).
Учащимся должны быть раскрыты мотивы выбора метода доказательства, опорного факта, того или иного шага доказательства, включая выбор дополнительного построения. Такие мотивы можно рассматривать как признаки распознавания соответствующего выбора.
Рассмотрим доказательство свойства параллелограмма: «Противоположные стороны параллелограмма равны», выделим шаги доказательства и их мотивы:
1) выполнить дополнительное построение (мотив - равенство элементов доказывается с использованием равенства треугольников, а треугольников на исходном чертеже нет);
2) определить пары равных элементов в этих треугольниках, чтобы доказать равенство треугольников (мотив - схема доказательства равенства фигур);
3) сделать вывод о равенстве соответствующих элементов, который следует из равенства треугольников.
На первом этапе освоения мотивов выбора методов или фактов, используемых при доказательстве, учитель использует слова, поясняющие, почему осуществлен такой выбор. На этапе подведения итогов работы с теоремой учащиеся должны ответить на вопрос о выборе (например, почему выполняли дополнительное построение); при встрече с другой теоремой учитель задает учащимся вопрос таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно осуществили соответствующий выбор. Вопрос учителя имеет конструкцию «Как мы поступаем,
когда.....?», где вместо многоточия называются
признаки распознавания. Например, «Как мы поступаем, когда требуется доказать равенство фигур?», «Как мы поступаем, если на рисунке нет треугольников, с помощью которых можно было бы доказать требуемые равенство фигур?».
Переформулировка требования теоремы может мотивировать выбор способа доказательства.
а)
б) в) ■ Н-
Схема 1. Трафарет оформления применения теоремы
206
Вестник КГУ 2018
ДоКЫСГТ*. ЧТО «.ТЕ ■ ЯЫПУ1СЛОХ 14ТМЕН-куталмв» [умни lUIUnwLlwlOnaHl Ошсн, Н) » РФ 4!TH|lf¡lJrt*beiM¡
ишюне »млить пкррцео*^. МШИ
I]}IETÍ ш «инувдди ЛИСП
ДЛ4 CU' &С + А/>-Tutu» Р (^«»ттрф! vr.líl Л d Л от
сгсрах ли. Л.Й Я ВС. DUnJMV hdkbu =ронстх OM¡i*Прт с штроч О, шкчтгаями у и »а** ни и ifwx -гг^тщ (до гая.
^JünuiTJV, 4« Ш M^nltaHn К4ГНПЛ !UL*Ü LPOyÚ^bi t'£> R, Л1Ш, Л.-ПСТГП innruitcK É iitiiBhimiiiiK ABCD. ГТр*.(ПОЛЛСКИЧГ. ЧТО >TL> r.v r PiH. ТЬГДт TipT-
ХРЧ CD ллвц ИГ KMCCT (ЯЧиМЦ T4WP( С
Р*с<х[ггрнм rc-pjup елускй 1рик. -5>. JT|H»MP4 ЬАГ+ CJ?", В11ЛЛЛГ.1КНУП
сгорок» СО (С k 1У — 4Í4H* HPIM iiort во ОС h Лj'.'K Ték
viik АЁС'Ь' - i~Kn:iiiu(l чгтир^хутоль-аьи, ta 11° tirfaii' mtpvi
ли*сг> - яг* jip-, ■ а i
Нв ЯГ'- ПС • CrC, A-ly• АН •• q«nil из ромнгтм 2 itd.i >-,i¿í ч:
Ctr*CrC-Írp-BC'AD- AB
■«rfTK pfmrTii ■ гялу f3)
^жанА i'.D. Тл h II -J üOpÍLKK. íipUJUJUIlM >: Jm-
нмпу
CP •C-ܱITD'CD. t, t, É тщйутташ« CCIfí? mln ■.TTT^witii ИМИ (ТИЮ Tft* flíy*" t»4 Pí dn«*T fnn, >. шин, ш«
upüjli^lüferiijlir ■LÍIZÍU&J-H ни. AILB.1uji14HO iwjjniiu AuNijdrk, 4 ru
грячлл í Jj he vrifTT GwTh cncyaipt (шртжшттх. (^lUVU-
ITCltlO. ОЗ^ужилп*. КПГЩГТГ" СТОрФИЬГ CÍK ТО П Трц4с**ЛСО
диику.
Рис. 1. Текст решения задачи о признаке описанного четырехугольника
Например, нужно доказать, что четырехугольник является параллелограммом. Вопрос учителя: «Из какого утверждения можно сделать окончательный вывод?» выводит учащихся либо на выбор определения, либо на выбор уже доказанных признаков, тогда формулировка требования получит расшифровку, «то есть доказать, что...».
Во ФГОС подчеркивается необходимость обучения учащихся смысловому чтению.
Представим организацию смыслового чтения решения задачи № 724 [1, с. 186-187] (рис. 1).
В представленном тексте можно выделить две части с позиций сложности смыслового анализа. По первой части возможны следующие вопросы учителя, раскрывающие ее суть:
1. С какого дополнительного построения начинается доказательство? (с построения окружности, касающейся трех сторон четырехугольника).
2. Какова основная идея доказательства? (доказать, что четвертая сторона данного четырёхугольника касается построенной окружности).
3. Каким методом доказательства пользуются? (методом от противного).
4. Сколько и какие случаи выделяют? (два случая: четвёртая сторона не имеет общих точек с построенной окружностью; четвёртая сторона - секущая). Как данные случаи были выделены? (прямая и окружность могут иметь только три случая взаимного расположения, если случай касания отвергается, то остаются два случая). Какой из случаев стали рассматривать? (четвертая сторона не имеет общих точек с построенной окружностью).
5. Какое дополнительное построение выполнили? (построили касательную, параллельную четвертой стороне).
Во второй части доказательство связано с использованием нескольких равенств, большого количества символики, с необходимостью соотносить записи с чертежами. Такая ситуация вызывает затруднения в осмыслении доказательства, значит, нужна специальная работа с текстом. Вариант анализа текста с позиций двух вопросов: что делают на том или ином шаге, на основании какого утверждения выполняется та или и иная запись не способствуют глубокому анализу доказательства, возможности его переноса на второй из обозначенных случаев. Поэтому рекомендуем дальнейший текст анализировать с помощью вопросов:
1. Какие «исходные» равенства были составлены? На основании чего эти равенства составлены? (ЛБ+СВ = БС+ЛВ по условию; ЛБ+С'В' = БС+ЛВ' по свойству описанного четырехугольника).
2. С какой фигурой связано полученное противоречие? (с четырехугольником С'СОВ'). В чем суть противоречия? (в выпуклом четырехугольнике одна сторона не может быть равна сумме трех других сторон).
3. Какие операции с «исходными» равенствами можно выполнить, чтобы получить «противоречивое» равенство? (вычитание: ЛБ + СО -ЛБ - С'В' = = БС + ЛВ - БС - ЛВ';СВ - С'В' = СС + ВО'; СО = С В' + СС'+ ВВ').
Библиографический список
1. Геометрия 7-9 классы / Л.С. Атанасян,
B.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2014. - 383 с.
2. Макарченко М.Г. Субъектный опыт будущего учителя математики: трудности в восприятии теорем и доказательств // Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. - 2007. - № 1. -
C. 84-90.
3. Макарченко М.Г., Ляхова Н.Е. Обучение студентов использованию идеи доказательства теоремы в качестве методического средства // Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. -2009. - № 1. - С. 156-164.
4. Малова И.Е. Современные подходы к организации смыслового чтения математических текстов // Ученые записки Орловского государственного университета. - 2018. - № 1 (78). - С. 270-273.
5. Репьев В.В. Общая методика преподавания математики [Электронный ресурс]. - М.: Учпедгиз, 1958. - 224 с. - Режим доступа: http://www. mathedu.ru/lib/books/repjev_obshhaya_metodika_ prepodavaniya_matematiki_1958/#224 (дата обращения: 18.07.2018).
6. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе. - М.: Владос, 2006. - 184 с.
7. Теоретические основы обучения математике в средней школе / под ред. проф. Т. А. Ивановой. -Н. Новгород: НГПУ, 2003.- 320 с.
См. 3»
8. Теория и методика обучения математике в средней школе / И.Е. Малова [и др.]. - М.: Вла-дос, 2009. - 445 с.
9. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования [Электронный ресурс]. - Режим доступа: /http:// fgos.ru (дата обращения: 18.07.2018).
10. Ястребов А.В. Методика преподавания математики: задачи. - М.: Изд-во Юрайт, 2018. - 150 с.
11. Weber K. Student difficulty in constructing proofs: the need for strategic knowledge // Educational Studies in Mathematics. - 2001. - Vol. 48, Issue 1. -P. 101-119.
References
1. Geometriya 7-9 klassy / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev i dr. - M.: Prosveshchenie, 2014. - 383 s.
2. Makarchenko M.G. Sub"ektnyj opytbudushchego uchitelya matematiki: trudnosti v vospriyatii teorem i dokazatel'stv // Vestnik Taganrogskogo instituta imeni A.P. CHekhova. - 2007. - № 1. - S. 84-90.
3. Makarchenko M.G., Lyahova N.E. Obuchenie studentov ispol'zovaniyu idei dokazatel'stva teoremy v kachestve metodicheskogo sredstva // Vestnik Taganrogskogo instituta imeni A.P. CHekhova. -2009. - № 1. - S. 156-164.
4. Malova I.E. Sovremennye podhody k organizacii smyslovogo chteniya matematicheskih tekstov //
Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2018. - № 1 (78). - S. 270-273.
5. Rep'ev V.V. Obshchaya metodika prepodavaniya matematiki [EHlektronnyj resurs]. - M.: Uchpedgiz, 1958. - 224 s. - Rezhim dostupa: http://www. mathedu.ru/lib/books/repjev_obshhaya_metodika_ prepodavaniya_matematiki_1958/#224 (data obrashcheniya: 18.07.2018).
6. Sarancev G.I. Obuchenie matematicheskim dokazatel'stvam i oproverzheniyam v shkole. - M.: Vlados, 2006. - 184 s.
7. Teoreticheskie osnovy obucheniya matematike v srednej shkole / pod red. prof. T.A. Ivanovoj. -N. Novgorod: NGPU, 2003.- 320 s.
8. Teoriya i metodika obucheniya matematike v srednej shkole / I.E. Malova [i dr.]. - M.: Vlados, 2009. - 445 s.
9. Federal'nyj gosudarstvennyj obrazovatel'nyj standart osnovnogo obshchego obrazovaniya [EHlektronnyj resurs]. - Rezhim dostupa: /http://fgos. ru (data obrashcheniya: 18.07.2018).
10. YAstrebov A.V. Metodika prepodavaniya matematiki: zadachi. - M.: Izd-vo YUrajt, 2018. -150 s.
11. Weber K. Student difficulty in constructing proofs: the need for strategic knowledge // Educational Studies in Mathematics. - 2001. - Vol. 48, Issue 1. -P. 101-119.
Вестник КГУ Л 2018
208
