ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ОСВЕЩЕНИЯ АКСИОМ, ТЕОРЕМ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ "ГЕОМЕТРИЯ 5-11" Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 372.851

А.В. Герасимчук

ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ОСВЕЩЕНИЯ АКСИОМ, ТЕОРЕМ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ «ГЕОМЕТРИЯ 5-11»

В статья рассматриваются характеристики и особенности учебных комплексов, рекомендованных к преподаванию геометрии в 2017 -2018 учебном году, в части касающейся обучения понятиям аксиома, теорема, доказательство. Обоснуется положение о существующем поверхностном, обзорном введении аксиом и несоразмерно большим внимании к частым положения теорем и их доказательствам.

Ключевые слова: геометрия, преподавание геометрии, аксиома, теорема, доказательство.

В Российской Федерации утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 31 марта 2014 года № 253 Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования (далее - Перечень). В указанный документ регулярно вносятся изменения приказами Министерства образования и науки Российской Федерации от 08 июня 2015 года № 576, от 21 апреля 2016 года № 459, от 29 декабря 2016 года № 1677, от 08 июня 2017 года № 535, от 20 июня 2017 года № 581, от 05 июля 2017 года № 629.

В соответствии с положениями Перечня на сегодняшний день к преподаванию геометрии рекомендованы 8 комплектов учебников для 7-9 классов [1]:

Математика: Алгебра и геометрия, авторы: Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др., под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.;

Геометрия, авторы: Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др.;

Геометрия: 7-9 классы, авторы: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.;

Геометрия, авторы: Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А.,

Геометрия: учебник, автор: Глейзер Г.Д.;

Геометрия: 7-9 классы, авторы: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.;

Геометрия, автор: Погорелов А.В.;

Геометрия, автор: Шарыгин И.Ф.

Структура изложения материала в представленных учебниках весьма разнообразна, что позволяет выбрать оптимальный вектор образования для определённой группы обучаемых.

Серия учебников Математика: алгебра и геометрия под редакцией Козлова В.В. разрабатывается с 1993 года и охватывает весь курс школьной математики с 5 по 11 класс. За прошедшие годы авторами сформирована цельная концепция преподавания математики в средней школе, которая во многом принципиально отличается от большинства других подобных разработок. Прежде всего авторы отказались от традиционного деления математики на несколько дисциплин: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, основы анализа и так далее. Все перечисленные предметы предлагается изучать в общем курсе. Это подчёркивает единство математической науки, тесную взаимосвязь развиваемых в ней идей и методов, фундаментальную роль математики как важного элемента общей культуры. Одним из существенных недостатков учебника является его высокая стоимость в сравнении с другими авторами. [2]

Учебник А.Д. Александрова и др. - пример соединения в одном курсе планиметрии и стереометрии. В учебнике имеются обидные неточности, например определение: «Треугольники называются равными, если равны их стороны», к которому в скобках есть разъяснение формулировки. Но не раскрыт вопрос как ученик должен давать определение — с разъяснением или без него. Утверждается, что величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла, и не приводится доказательство для этого высказывания. Существует мнение, согласно которому, органичное включение стереометрии в курс планиметрии автору не удалось. В учебнике обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую, развивающуюся науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров Древней Греции. После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи, используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы. [19]

© Герасимчук А.В., 2018.

Учебник Л.С. Атанасяна и др. отличается более спокойным отношением к лозунгу «в геометрии все должно быть доказано!» Некоторые теоретические факты, используемые в дальнейшем изложении, даны не в виде теорем, а в виде задач, что затрудняет ссылки на них в последующей работе. Некоторые теоремы могли бы появиться раньше, но этот момент учитель при желании может компенсировать, предложив учащимся другой способ доказательства. Учебник Л.С. Атанасяна для 10- 11 классов является продолжением и развитием учебника для 7-9 классов того же авторского коллектива. Изложение теоретического материала более формально и строго, чем на предыдущей ступени обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры решения наиболее важных задач. Имеются дополнительные задания. Основные теоретические факты в начале курса стереометрии изучаются с опорой на геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит и результативность обучения. [19]

При написании учебника Геометрия для 7-9 классов Бутузов В.Ф. стремился к доступности, чёткости и наглядности изложения материала в сочетании со строгой логикой. Доказательства теорем хорошо иллюстрированы, многие рисунки снабжены подписями, позволяющими ученику разобраться в доказательстве теоремы, даже не читая текста учебника, а переходя от одного рисунка к другому. Наряду с рисунками имеются слайды, показывающие реальные прообразы тех или иных геометрических понятий. Для многих геометрических терминов объяснено их происхождение. В учебнике содержится большой задачный материал, систематизация которого тщательно продумана. Непосредственно после параграфов предлагаются основные задачи. После каждой главы располагаются дополнительные задачи, а в конце учебника — задачи повышенной трудности, а также проектные и исследовательские задачи. Они дают возможность учителю организовать индивидуальную работу с учениками, проявляющими особый интерес к геометрии, развить и повысить этот интерес. Разработано большое количеств дополнений «профильного уровня» к учебнику. В конце учебника имеется подробная историческая справка, отражающая этапы развития геометрии и роль великих ученых-геометров в её становлении. [14]

В учебнике Геометрия Г.Д. Глейзера для общеобразовательных школ изложение курса отличается органическое сочетание теоретического материала с его практическими приложениями, наличие разнообразных примеров, решений типовых задач, заданий для самопроверки и справочного материала [4]. Необычным оказывается и тот факт, что в учебнике активно используются ссылки на ресурсы, расположенные в сети «Интернет». Однако, при работе с этими ссылками возникает ряд неудобств, обусловленных как обязательным наличием компьютерной техники с открытым доступом в сеть «Интернет» у ученика «под рукой», так и запутанностью интерфейса самого ресурса. Интересен и способ введения в курс базовых понятий «точка», «прямая» и т.д. Обучающийся просто ставится перед фактом существования таких слов, и теоритическая часть начинается, сразу же оперируя приведенными понятиями. Стоит отметить и высокую стоимость учебника Г.Д. Глейзера, что также ограничивает активность распространения данного пособия.

Учебник геометрии, авторами которого являются Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., предназначен для изучения геометрии в общеобразовательных организациях. Он содержит большой и интересный дидактический материал: упражнения для повторения, задания в тестовой форме и др. Предусмотрены уровневая дифференциация, дополнительные материалы, позволяющие формировать у школьников познавательный интерес к предмету. [8]

В учебнике А.В. Погорелова реализован аксиоматический подход к построению курса геометрии. Он привлекателен тем, что является развитием хорошо продуманных классических учебников и задачников прошлых лет. Автора старается все вывести из аксиом и не пользоваться, например, наложением при доказательстве признаков равенства треугольников. Обучающий и воспитательный эффект от такого способа обучения не сопоставим с возникающими у учащегося трудностями с усвоением материала. Но наличие жесткой и экономной системы изложения и последовательной системы упражнений делает учебник лаконичным. Усвоение первых тем по учебнику для старших классов затрудняется тем, что основные изучаемые геометрические объекты - точки, прямые и плоскости - «висят» в пространстве, не имея опоры в виде знакомых с детства геометрических тел. Но опытные учителя умеют компенсировать этот недостаток, иллюстрируя изучение теории с помощью геометрических тел и решая с опережением на год простейшие задачи на построение сечений. [19]

Одной из особенностей учебника И.Ф. Шарыгина является отказ от аксиоматического подхода. В нем уменьшена роль формально-логических рассуждений, больше внимания уделено методам решения задач. Наглядно-эмпирическое построение курса позволяет на раннем этапе обучения решать содержательные, интересные и красивые задачи. Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскостных, но и на пространственных объектах. Это дает возможность не тормозить формирование пространственного (трехмерного) видения геометрических объектов, пространственного мышления школьников, а развивать их. Этому способствует продуманное использование наглядности в учебнике. Интере-

сен исторический аспект развития учебного материала, доказательства фактов, полученных великими математиками древности. Все это работает на воспитание интереса учащихся к предмету и уважения к классикам геометрии. Теоремы в учебнике нацелены не столько на «прохождение программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для решения задач. Особое внимание уделяется методам решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в котором имеются теоремы, обычно не рассматриваемые в школе. Доказательство этих теорем поучительно само по себе, а владение ими позволяет решать довольно трудные задачи. [19]

Ознакомившись с характеристиками учебников, утвержденных Перечнем, становится очевидно, что существующие в Российской Федерации требования определяют конечную цель обучения, но при этом не ограничивают и не стандартизируют способы её достижения. Это несомненно является плюсом для «сильного» учителя, способного эффективно взаимодействовать с классом, максимально индивидуализировать обучение для каждого ученика в группе, верно подбирать тип учебного пособия и формат обучения. В то же время, для «слабого», неопытного, плохо подготовленного преподавателя, возникают дополнительные сложности, к примеру в трактовке базовых понятий (таких как аксиомы), формированию навыков логического мышления и причинно-следственных связей у учеников, введению в курс новых теорем и их доказательств.

При изучении курса геометрии 5-11 классов, учащимся предлагаются к рассмотрению последовательные знания, основанные на заранее предопределенные явлениях и терминах. Приведем некоторых из них руководствуясь учебником геометрии Л.С. Атанасяна. Данный учебник считается лучшим по версии форума, согласно опросу, проведенному среди посетителей данного ресурса (рисунок 1) [3]:

Какой?

Погорелов 16% [30]

Атанасян 42% [77]

Адамар 4% [7]

Колмогоров 7% [13]

Другой (б комментах) 16% [30]

Никакой не нравится, все плохие 14% [26]

Всего голосов : 183

Рис. 1.

Согласно мнению Л.С. Атанасяна вводятся следующие понятия:

Аксиома - некоторое утверждение о свойствах геометрических фигур, принимаемое в качестве исходного положения, на основе которого доказываются далее теоремы и, вообще, строится вся геометрия. (л. 59)

Теорема - каждое утверждение в математике, справедливость которого устанавливается путем рассуждений (л. 29)

Доказательство теоремы - рассуждение, необходимое для установления справедливости теоремы

(л. 29)

Весьма забавно и показательно, что в рейтинг Лучших учебников математики по версии ресурса fp.edu.ru попали только учебники Л.С. Атанасяна и А.В. Погорелова [15] (рисунок 2):

вввфф [Ассоциация XXI век] "Математика (5-6) (Истомина Н.Б.)" (ФКГОС 00 ФФФФО [Мнемозина] "Алгебра для 7-9 классов" (ФКГОС ООО) © Ф##ФО[Мнемозина| "Виленкин Н.Я. Математика (5-6)" (ФКГОС ООО) ,

^^^^ [Мнемозина) "Алгебра" (7-9). Предпрофильная подготовка (углубленное изучение математики). Авторский коллектив под руководством Ю. Н. Макарычева (ФКГОС ООО) Г

[Просвещение! "Дорофеев Г.В. (5-6)" (ФКГОС ООО) ß #### [Просвещение] "Алимов Ш.А. (7-9)" (ФКГОС ООО) 0 ^^^^ [Просвещение] "Атанасян Л.С. (7-9)" (ФКГОС ООО) Э #### [Просвещение] "Макарычев Ю.Н. (7-9)" (ФКГОС ООО) ШФФШ [Мнемозина! "Мордкович А.Г, (5-6)" (ФКГОС ООО) .= [Просвещение] "Погорелов A.B. (7-9)"

Рис. 2.

Весьма широко роль аксиом, теорем и доказательств в обучении была рассмотрена в Методике обучения геометрии В.А. Гусева [13]. Приведем краткое изложение основных положений и выводов, полученных В.А. Гусевым:

Г. Фройденталь говорил [18], что механически и широко применяемая дедукция в обучении геометрии однообразна и мало развивает мышление. А. А. Столяр писал [16]: «В традиционном обучении изучение основ геометрии как науки часто оказывалось подмененным формальным обучением доказательствам отдельных теорем, доказательствам, которые были таковыми лишь по форме, а не по существу. Е. Тоцки отмечает, что наряду с глобальной дедукцией и глобальной аксиоматикой в геометрии появляются и разрабатываются идеи локальной дедукции, которая очень характерна и создана для преподавания геометрии в школе и выделяет три основных направления изучения геометрии [17].

Первое направление. Отбрасываем мнение о том, что к учению геометрии в школе можно и нужно подходить как к глобально и дедуктивно организованной системе знаний. Геометрия становится источником превосходных тем для начала активной деятельности учеников на различном уровне.

Второе направление. По-прежнему пытаемся изучат геометрию, изложенную в аксиоматической и псевдоаксиоматической системе, основанной, например, на «модифицированном» подходе Евклида или на преобразованиях. В этом случае только немногие ученики будут в состоянии оказаться на высоте требований такого интеллектуального подхода, а еще меньшее число из них сумеет оценить ценности этой «игры».

Третье направление. В программах обучения математике будут введены «островки» и «архипелаги» геометрии в виде локально дедуктивных систем. Эти немногие будут награждены введением в такие аспекты математического мышления, которые невозможно передать на школьном уровне (а может быть, и вообще нет) по средством никакой другой области математики, что позволяет использовать великолепный тезаурус примеров и упражнений, созданный в течение десятилетий, привить смысл доказательства и дедуктивных связей и другое.

Опишем логическое строение геометрии:

•перечисляются без определений основные геометрически понятия;

•с их помощью даются определения всем остальным геометрическим понятиям;

•формулируются аксиомы;

•на основании аксиом и определений доказываются теоремы.

Изучая курс геометрии, учащиеся должны понять, что геометрические предложения логически связаны между собой. Это означает, что одни предложения можно выводить из других, не пользуясь свойствами фигур, взятыми из опыта, наблюдений, «наглядных соображений». Процесс получения логических следствий называют рассуждениями или доказательствами. Такой способ доказательства предложений (с помощью логических выводов) является не отдельным примером в курсе геометрии, а продуманной системой.

Всякая теорема в геометрии доказывается с помощью логических рассуждений, получается как логическое следствие ранее известных предложений.

Доказать логически все предложения геометрии невозможно. Поэтому некоторые предложения геометрии, принимаемые без логического доказательства, называются аксиомами геометрии.

Таким образом, некоторые предложения геометрии принимаются без логического доказательства — аксиомы, а все другие ее предложения - теоремы - могут выводиться из этих аксиом как логические следствия.

Касательно доказательств главное, чтобы никакие рассуждения, обсуждения, и собственно доказательства не сообщались бы в готовом виде и не навязывались бы авторами учебников. Это делать трудно, но можно и нужно. Главное, чтобы ученик, во-первых, всегда «чувствовал необходимость того или иного рассуждения или доказательства», а во-вторых, сам пытался бы что-то предложить и проверить. Итак, требования к проведению доказательств следующие:

•прежде всего должно быть совершенно ясно, что дано и что требуется доказать; •очень велика роль чертежа, причем чертежи сопровождают весь ход доказательства, в динамике, а не как обычно — на одном чертеже сразу все;

•необходимо постоянно формировать потребность у учащихся в проведении доказательств, общая стратегия доказательства и любого его этапа должны быть смотивированы, обсуждены, самостоятельно осмыслены, только после этого есть смысл в проведении этих доказательств;

•все основные этапы доказательства нумеруются, при этом, во-первых, их удобно видеть, а во-вторых, на них удобно ссылаться;

•в конце каждого пункта доказательства в скобках даны основания сделанных выводов — это либо определения, либо доказанные ранее теоремы, либо ссылки на предыдущие этапы доказательства.

Таким образом, изучив учебники геометрии, рекомендованные к использованию в общеобразовательных учреждениях в 2017-2018 году Перечнем, и учитывая изыскания В.А. Гусева, подытожим содержание и структуру этих изданий касательно аксиом, теорем и доказательств (таблица №1):

Таблица 1

Авторы учебников Аксиомы Теоремы Доказательства

1. 2. 3. 4.

Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. Не выделены как самостоятельные базовые единицы, являются частью текстового массива Не выделены как самостоятельные единицы, являются частью текстового массива Затянуты, не выделены как самостоятельные единицы, являются частью текстового массива

Александров А.Д., Вер-нер А.Л., Рыжик В.И. и др. Выделены в отдельный массив наравне с постулатами, пояснены Не всегда сформулированы точно, однозначно, логически перемешаны Обширны, подкреплены большим количеством текстовых примеров, примеров из жизни

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев СБ. и др. Ярко выделены в тексе, введены, подробно описаны и разъяснены в приложении Не всегда выделены и обозначены как отдельные единицы Никак не выделены оформительски на фоне общих рассуждений

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Не выделены как самостоятельные, базовые, необходимые структуры Четко обозначены и структурированы Выделены, понятны и наглядны, иллюстрируют применимость теорем в жизни

Глейзер Г.Д. Вводятся на фоне исторического материала Преподносятся предварительно подготовленному ученика Подкреплены практическими заданиями

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Выделены в отдельную главу, но даются в текстовом массиве Предложены в сдержанной форме В большей части подкреплены задачами для самостоятельного решения, чем описательными примерами

Погорелов А.В. Предопределены и являются единственными доказательными единицами Выделены, жестко и лаконично структурированы Практически полностью основаны на аксиомах

Шарыгин И.Ф. Даны на фоне исторической справки и примеров в сжатом объеме Лаконично сформулированы, имеют прикладной характер Дружественные объяснения и примеры, подкрепленные рядом практических задач

Анализируя положения таблицы 1, являющийся итогом изучения состояния учебников геометрии 2017-2018 года, можно прийти к выводу, что на современном этапе развития геометрического знания и методики его преподавания в школе многими авторами допускается введение аксиом скорее в ознакомительных целях, чем в целях их дальнейшего использования как полноценной части геометрического знания. В тоже время, большее внимание уделено частным положением теорем, их доказательствам и оттачиванию навыков их практического применения обучаемыми в повседневной деятельности.

Библиографический список

1.Об утверждении федерального перечня учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования: приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 31 марта 2014 года № 253 [Электронный ресурс] Режим доступа: https://toipkro.ru/content/files/documents/

podrazdeleniya/cuar/bic/Prikaz_N_253_ot_31.03.2014_g. .pdf (дата обращения: 10.11.2017);

2.АССЕТО - поиск файлов и книг [Электронный ресурс] Режим доступа: http://accetto.ru/detail/1509283 (дата обращения: 10.11.2017);

3.Alexlarin - форум [Электронный ресурс] Режим доступа: http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=3&t=9207&start=0 (дата обращения: 10.11.2017);

4.LiveLib - социальная сеть читателей книг[Электронный ресурс] Режим доступа: https://www.livelib.ru/author/371545/top-g-d-glejzer (дата обращения: 10.11.2017);

5.Геометрия: 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / А.В. Погорелов. - 2-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 240 с.: ил. ISBN 978-5-09-032301-7;

6.Геометрия: 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / И.Ф. Шарыгин. — М.: Дрофа, 2012. — 462, [2] с.: ил. ISBN 978-5-358-09918-0;

7.Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] - 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8;

8.Геометрия: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2015. — 192 с.: ил. ISBN 978-5-360-05508-2;

9.Геометрия. 7 класс: учеб. для общебразоват. учреждений / [А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот]; Рос. акад. наук, Рос акад. образования, изд-во «Просвещение» - М.: Просвещение, 2013. -176 с.: ил. -(Академический школьный учебник). - ISBN 978-5-09-020053-0;

10. Геометрия. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов; под ред. В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010 - 127 с.: - ил. - (МГУ - школе) - ISBN 978-5-09-018009-2;

11. Геометрия. 7 клас: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Г.Д. Глейзер] -М.: Бином, 2013. - 160 с.: ил. -ISBN 978-5-9963-1190-3;

12. «Математика: Алгебра и геометрия» под редакцией акад. РАН В.В. Козлова и акад. РАО А.А. Никитина для 9 класса общеобразовательных организаций /В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др. - М.: ООО «Русское слово - учебник», 2016. - 248 с. - (Инновационная школа). - ISBN 978-5-00092-514-0;

13. Методика обучения геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др; под ред. В.А. Гусева. - М.: Издательский центр «Акадения». -368 с.-ISBN 5-7695-0769-1;

14. Образовательные ресурсы Интернета - Математика [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.alleng.ru/d/math/math1119.htm (дата обращения: 10.11.2017);

15. Рейтинг предметных линий учебников (по пятибалльной шкале) [Электронный ресурс] Режим доступа: http://fp.edu.ru/foram/ratmg_view.asp?K=0&N=10&FpName=&FG0S=false (дата обращения: 10.11.2017);

16. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики: Автореферат диссертации д-ра пед. наук. — М., 1969;

17. Тоцки Е. Методические основы локально-дедуктивного обучения геометрии в средних школах (с учетом специфики Польши). — М.: Автореферат диссертации д-ра пед. наук, 1993;

18. Фройденталь Г. Математика как педагогии, задача: Кн. для учителя / Под ред. Н.Я.Виленкина. — М.: Просвещение, 1983 — Ч. 2;

19. Шевкин.Ru - сайт учителя математики [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.shevkm.ru/stat-i-podrobnee/ot-reformy-do-reformy-popy-tka-obzora-shkol-ny-h-uchebnikov-matematiki (дата обращения: 10.11.2017).

ГЕРАСИМЧУК АНАСТАСИЯ ВИКТОРОВНА - магистрант, Елецкий государственный университет имени И.А. Бунина, Россия.