Методические подходы к обучению доказательствам Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОБУЧЕНИЮ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ

© С.Н. Пструннпп

В начале обучения систематическому курсу геометрии учителю следует уделить особое внимание формированию у учащихся таких умений, как:

- понимание рассуждений, которые предлагаются учителем или учебником;

- умение осмысленно воспроизводит!, такие рассуждения.

Рассмотрим отдельные методические приемы обучения школьников воспринимать и воспроизводить доказательства.

1. Разные доказательства. Рассмотрение учащимися разных доказательств одной и той же теоремы является самым важным этапом в приобщении к математической культуре. Мы показываем ученику, что путей для установления истины может быть несколько и предлагаем выбрать то доказательство факта, которое ученику кажется более понятным.

Различные доказательства требуют иного набора теоретических сведений, изученных школьником ранее. Однако все они очень похожи, их сравнение показывает ученику, что заучивать доказательство вовсе не нужно.

2. Разные чертежи. Важным является вопрос о некоторых модификациях одного и того же доказательства. О™ особенно эффективны для индивидуальной работы со слабым учеником. Модификация доказательства часто сводится к использованию разных чертежей. Разнообразные чергежи, иллюстрирующие доказательства, не привязывают ученика к одному чертежу, не дают ему возможности зазубривать доказательство.

3. Использование слова «аналогично». При дока-зательстве теорем мы довольно часто встречаемся с ситуацией, когда необходимо провести рассуждения, аналогичные тем, которые были уже проведены ранее. Эту ситуацию можно (и нужно) использовать на уроке для активизации работы учащихся, для диагностики того, насколько был понятен предыдущий ход рассуждения, а также в качестве посильной работы для слабого ученика. Кроме того, для понимания учащимися основной идеи и схемы доказательств важно не допускай. пропусков промежуточных звеньев рассуждения.

4. Ссылки на утверждения, применяемые при доказательстве.

Научить школьников правильно строить доказа-тельетво - одна из самых сложных задач, стоящих перед учителем математики. При анализе школьных учебников и пособий по геометрии можно заметить одну общую закономерность. В процессе доказательства первых теорем планиметрии и стереометрии обоснование каждого утверждения доводится до ссылок на аксиомы, определения и ранее доказанных теорем. В дальнейшем уровень строгости изложения доказательств снижается. Методически такое построение школьных учебников является целесообразным, даже необходимым. Иначе бы изложение материала стало

громоздким - ссылки на аксиомы и определения, многократно повторяясь, закрыли бы смысл доказательства и сделали учебник невозможным для чтения. А главное, учащиеся по мере изучения предмета должны приобретать культуру доказательства и при необходимости уметь воспроизвести опущенные в учебнике обоснования. Однако далеко не все могут выполнить такую работу без специального обучения.

В школьном курсе математики доказательства теорем излагаются содержательно, не формально. В таких доказательствах правила вывода, в отличие от фор-мапьных теорий, не фиксируются, они используются в неявном виде. Поэтому при выработке умений строить корректное доказательство, следует учить понимать, что: а) необходимо обосновывать каждое утверждение, сделанное в ходе доказательства, б) каждое следующее утверждение в цепочке предложений, составляющих доказательство, вытекает из предшествующих утверждений этой цепочки, аксиом, определений, ранее доказанных теорем. При этом целесообразно организовать коллективный поиск обоснований. Результат такой деятельности учеников и учителя может выглядеть примерно так.

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

А В АВСД - прямоуголь-

ник,

АС, ВД - диагонали

АС = ВД.

Д С

Доказательство

Утверждение Обоснование

1. АВСД - прямоугольник По условию

2. АВСД - параллелограмм По определению прямоугольника

3.<ВАД, <СДА, <АВС, <ДСВ - прямые углы По определению прямоугольника

4 АВСД - параллелограмм П. 2

5 АВ=СД По свойству противолежащих сторон параллелограмма

6. <ВАД и <СДА - прямые углы П. 3

7. Д ВАД = Д СДА По первому признаку равенства треугольников (АД - общий катет)

8. АС = ВД Как соответствующие элементы равшлх треугольников

Теорема доказана.

Школьная математика не может сама по себе автоматически влиять на развитие логического мышления учащихся. Такое влияние может быть достигнуто с применением соответствующей методики обучения. Научившись правильно строить доказательство, учащиеся проверяют все гипотезы, выдвинутые в ходе доказательства. Строгая правильность построения доказательства становится его привычкой. А это приводит к воспитанию общего стиля мышления, повышению логической культуры и использованию полученных знаний в других сферах деятельности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.. Каданцев С. П. и ор. Геометрия

Учебник для 7-9 кл сред. шк. М : Просвещение. 1990

2 Бескин ИМ. Методика геометрии М.. 1947

3 Воловин М.Б. Наука обучать. М : LINRA-PRESS. 1995

4 Гальперин П.Я. Методы обучения п умственное развитие ребенка

М.: Изд-во Моек ун-та, 1985.

5. Гетманова А.Д. Логика М Новая шк. 1995

6 Далингер В.А. Обучение учащихся доказательству теорем. Омск ОГПИ-МГПИ, 1990

7 Погорелое A.B. Геометрия: Учеб для 7-11 кл. ср. шк М.: Просвещение. 1991.

8. Формирование приемов математического мышления / Под ред

Н.Ф Талызиной М., 1995

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

© З.М. Фролова

История развития геометрии со всей очевидностью свидетельствует о том, что ее общие методы - 'это не только последовательное абстрагирование, не только строгая аксиоматическая дедукция, но и конструктивные методы, индукция, воображение, подкрепляемое интуицией. Такая органическая взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом, логики с представлениями, воображением и интуицией составляют сущность геометрии. Поэтому столь важную роль в ней играют пространственные представления.

В структуре умственной деятельности в области геометрии можно выделить несколько компонентов: интуитивный, пространственный, метрический, логический, конструктивный, символический.

Как ранее, так и теперь обучение геометрии не ведет к росту всех показателей структуры умственной деятельности в области геометрии. Не может не вызывать тревогу существенное ухудшение результатов по многим характеристикам пространственного компонента умственной деятельности учащихся в области геометрии. Недостаточно развитыми оказались зрех-мерные евклидовы представления школьников, снизилась подвижность, обобщенность, устойчивость представлении, ухудшилась ориентация в пространстве, скорость схватывания образов, пространственное воображение. Учащиеся хуже стали анализировать и синтезировать пространственные образы.

Важная роль в повышении эффективности методики формирования и развития пространственных представлений отводится применению наглядности. Наглядность модели понимается в том смысле, который придал этому понятию В.Г. Болтянский, а именно как адекватное отображение моделью существенных черт явления и простоту восприятия.

Среди компьютерных программ по математике можно выделить программы-конструкторы но построению геометрических чертежей, которые исполь-

зуются для развития пространственного воображения и правильного формирования понятия.

Использование компьютерной графики для создания и компоновки графической наглядности в свою очередь должно отвечать ряду принципов:

I) графическая наглядность должна содержать лишь существенно необходимую информацию для точного понимания ее школьником; 2) графическую наглядность не следует слишком детализировать; в пределах всего комплекса изображения все символы, обозначающие одни и тс же обзекты. должны быть унифицированы; 3) в графической наглядности должны быть сделаны акценты па основных смысловых элементах путем выделения цветом, размерами, формой; 4) слишком сложная графическая наглядность должна расчленяться на простые изображения; 5) каждая автономная, существенно важная часть графической наглядности должна иметь четкую и запоминающуюся структуру; 6) последовательность изображения г рафической наглядности должна соответствовать последовательности изложения геометрической информации и гак далее.

Разработка студентами программ по использованию компьютерной графики в изучении геометрии значительно повышает и модернизирует уровень их методической подготовки. Хорошую оценку получили работы в этом направлении студентов Е. Чащиной «Изучение особенностей чертежей пространственных фигур» и А. Хитрова «Использование компьютерной графики при изучении темы «Тела вращения»

ЛИТЕРАТУРА

1. Болтянский В.Г. Оборудование кабинета математики. М.. 1985

2. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем М Просвещение. 1984

3 КолОашев А.\1. Как обучать математике Тамбов. 1989

4 Роберт //. Новые информационные технологии в обучении дидактические проблемы, перспективы использования // ИНФО I99I №4