Особенности применения метода опорных функций в решении экстремальных геометрических задач в практике профессиональной подготовки будущих учителей математики Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Педагогика

УДК: 371.24

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, теории и методики обучения математике Овчинникова Марина Викторовна

Гуманитарно-педагогическая академия (филиал) Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования

«Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского» (г. Ялта)

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОПОРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЕШЕНИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ПРАКТИКЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

Аннотация. В статье рассмотрены некоторые теоретические и методические особенности применения метода опорных функций для решения экстремальных геометрических задач, которые используются в подготовке будущих учителей математики. Приведены примеры задач и их решения, степень сложности которых имеет разные уровни.

Ключевые слова: экстремальные геометрические задачи, метод опорных функций, профессиональная подготовка учителя математики.

Annotation. Some of the theoretical and methodological peculiarities of support function method application to the extreme geometric tasks solution are described in this article. The samples of the tasks as well as their solutions with different levels of difficulty are also submitted.

Keywords: extreme geometrical tasks, support function method, professional training of Mathematics teacher.

Введение. Формирование и развитие субъектного опыта будущих учителей математики в процессе их личностно ориентированной профессиональной подготовки по направлениям 44.03.01 Педагогическое образование. Математика и 44.04.0l Педагогическое образование, магистерская программа «Математика в профессиональном образовании» в ГПА КФУ проводится с использованием интеграции основных принципов профессиональной направленности (А.Г. Мордкович), практико-ориентированности (М.В. Егупова), межпредметных связей в преподавании математических дисциплин (Минаева А.М.), личностной ориентации (А.В. Глузман, Л.В. Кондрашова). В статье продолжается рассмотрение различных способов решения экстремальных геометрических задач в школьном курсе и иллюстрируется применение опорных функций для решения этих задач [4-9].

Формулировка цели статьи. Цель статьи - описание методических особенностей обучения будущих учителей математики работе с экстремальными геометрическими задачами, решаемыми при помощи метода опорных функций.

Изложение основного материала статьи. Перед рассмотрением данного способа обучающиеся, как обычно, получают задание найти в различных источниках материал, которые касается применения рассматриваемого метода, его теоретических основ и практических аспектов. Данный метод используется в решении задач математического анализа, дискретной математики и математической кибернетики. Разумеется, что на таком уровне владение методом опорных функций от будущих учителей не требуется. Мы предлагаем обучающимся ознакомиться с современными исследованиями, например, работы Б.А. Горлача, Г.Ю. Ермоленко [3], в которых раскрываются особенности применения этого метода для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, задачи Дирихле для эллиптических дифференциальных уравнений и т.д.

В условиях современной средней школы метод опорных функций применяется и в решении геометрических экстремальных задач. В примерах решений, приведённых в пособии И.Б. Абельсона [1] этот метод присутствует, но не конкретизируется его название. При анализе данного пособия мы обращаем внимание будущих учителей математики на целевую аудиторию, которой оно предназначается, особенности изложения материала (частные примеры, частные приёмы решения конкретных задач, теоретическое обоснование методов, предваряющих дифференциальное счисление, применение их в подробнейшем решении задач различными способами). Несмотря на то, что пособие было написано около столетия назад, оно остаётся ярким, интересным и актуальным.

Суть метода опорных функций заключается в том, что задачу на нахождение максимума или минимума какой-то величины на основе известных свойств фигуры формализуют математическим языком, то есть записывают в виде функции (формулы), которая дает возможность найти экстремальные значения исследуемой величины. Такая функция и называется опорной. Следовательно, этот метод можно применить к таким геометрическим задачам на максимум или минимум, условие которых можно выразить математически какой-то функцией. Тогда исследование экстремальных свойств фигуры сводится к исследованию функции, формулы. При этом на переменные, которые входят в формулу, накладываются определенные ограничения, связанные с тем, что рассматриваемые задачи носят геометрический характер, и не все возможные значения переменных соответствуют смыслу задачи. Например, аддитивные скалярные величины как длина, площадь, объём не могут принимать отрицательных значений и т.д. Это оговаривается перед решением, в процессе решения или в анализе полученных результатов.

Во многих геометрических задачах на нахождение наибольшего или наименьшего значений за опорную функцию берут функцию вида f(x) = ах2 + bx + с, которая легко исследуется на экстремум. Но опорными функциями могут также быть функции у = kx + b, (у = (ах - b)(cx - d) и другие.

Чаще всего такие задачи сводятся к исследованию именно квадратичной функции, поэтому мы рассматриваем основную теорему, на которой и основывается применение квадратичной функции к решению экстремальных геометрических задач.

Теорема. Квадратичная функция у = ах2 +bx + с приобретает наименьшее или наибольшее значение при

_ b х = 2a.

Если а > 0, то это значение наименьшее, если а < 0, то оно наибольшее.

Доказательство. Пусть в квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с, а, Ь, с - действительные числа. Выделим в правой части полный квадрат: у = ах2 + Ьx + с =

( 2 Ь C , al x + — x + — I = a

a

a

x2 + 2Ьx + I2 _12 + £

2a

2a

2a

a

х +

Ь2

с + —

a

= al х + -

2a

+

2

с-

4a

Ь__

2aJ 4a2

Ь2 с--

Выражение ^ не зависит от переменной х. Если а > 0, то первое слагаемое

Ь

al х + -

2a

не может

быть отрицательным, оно превращается в нуль при х = 2a . В этом случае у приобретает своё наименьшее

Ь2 ( Ь }2 с----al х + -

^ и функция не имеет наибольшего значения. Если a < 0, то слагаемое ^ у не

значение у

2a/ Ь_

^ . При

может быть положительным; как и в первом случае это слагаемое превращается в нуль при х ■■

Ь2

с--

этом у приобретает наибольшее значение у = ^ и функция не имеет наименьшего значения.

Покажем применение этого свойства квадратичной функции к решению геометрических задач на максимум и минимум [2].

Задача 1. Доказать, что из всех прямоугольников, которые имеют данный периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение. Пусть периметр прямоугольника равняется 2р. Обозначим одну сторону прямоугольника через х, тогда вторая сторона будет р - х и площадь прямоугольника, которую обозначим через у, будет у = х(р - х), или у = - х2 + рх.

Получили квадратичную функцию, в которой a = -1<0иЬ = р.

Ь р

Так как a < 0, то функция достигает максимума при х = ^ = 2 . При этом вторая сторона прямоугольника равняется р - х = р- 2 = 2 .

Следовательно, стороны прямоугольника равны между собой, поэтому наибольшую площадь при

данном периметре 2р имеет квадрат со стороной 2 .

Задача 2. Точки А и В размещены на смежных сторонах квадрата на равных расстояниях от их общей вершины. Вписать в квадрат трапецию с основанием АВ так, чтобы она имела наибольшую площадь. Найти наибольшую площадь трапеции при условии, что площадь данного квадрата равняется единице. Решение. Пусть в данный квадрат КЬИИ вписана трапеция АВСЬ так, что КА = КВ (рис. 1). Обозначим АК = a, 0 < а < 1,СЬ = х,0 < х < 1. ААВК ~ АСОМ => СМ = МБ и поэтому СЬ = N0.

Пусть 5 - площадь трапеции, а 51 - сумма площадей четырех образованных треугольников: 81=8 АAND + 8АБМС + 5АВСЬ + 5 ААВК. 1 1

8АAND --

2 х (1 - a); 8А0МС = 2 (1 - х)2;

8АВСЬ --

2 х (1 - a); 8ААВК = 2

a2.

81 = х (1 - a) + 2 (1 - 2х + х2) + 2

a2 =

= х - 2 ax + 2 - х + 2 х2 + 2 a2 =

1 1 1

= 2 х2 - ax + 2 a2 + 2 ;

1 1 1

8 = 1 - 81 = 1 - - 2 х2 +ax - - 2 a2 - 2

2

Ь

1

1

1

1

1

1

1

1 11

2 х2 + ах - 2 а2 + 2

П

А

С

и

Рисунок 1

Площадь 5 достигает своего наибольшего значения при

- а

2-I-

= а.

1

1

1 1

8шах = - 2 а2 + а2 - 2 а2 + 2 = 2. 1

Ответ. 2 .

Задача 3. В данный конус вписать цилиндр, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности. Решение. На рис. 2 имеем изображение конуса, высота которого Н и радиус основания Я.

Рисунок 2

В конус вписан цилиндр, высоту которого обозначим Н и радиус основания г (изображение дано в предположении, что конус прозрачен для вписанного цилиндра и не прозрачен для себя). Боковая поверхность цилиндра 5 = 2пгк.

А50Л ~ АБЛ1Л (имеют равные соответствующие углы).

к Я - г Н

— =-1 к = — (Я - г).

Тогда Н Я Я

С учетом этого 5 = 2п

г(Я-г).

2

Отсюда

2пНг2 „ „

5 =--+ 2пНг

Я

2пН

Имеем квадратичную функцию 5(г), в которой а =

Я

< 0,

поэтому она приобретает наибольшее

1

2

х =

2nH 1

r = —-г- = - R.

2nH ^ 2

R

значение при

h = H (R - r) = H f R -1R) = H.

П R R { 2 J 2

При этом v y

Следовательно, боковая поверхность вписанного цилиндра в конус с высотой H и радиусом основания R

H R

будет наибольшей, если высота цилиндра h = 2 и радиус основания r = 2 . Величина наибольшей боковой

1

поверхности цилиндра S = 2nrh = 2 nRH.

Разумеется, рассмотренные задачи не охватывают всего спектра таких задач. Мы предлагаем подобрать ещё несколько таких задач, решить их именно методом опорных функций и сохранить в «методической копилке».

Выводы:

1. Построение процесса профессиональной подготовки учителя математики на принципах профессионально-педагогической направленности и личностного подхода в преподавании всех дисциплин ОПОП подтверждает свою эффективность.

2. Решение экстремальных задач с использованием метода опорных функций, иногда является труднонаходимым, зачастую искусственным, но красивым способом для их решения.

3. Рассмотренные в статье задачи возможно использовать в математических элективных курсах для старшеклассников, при подготовке к олимпиадам, в работе математических кружков.

4. В дальнейшем мы планируем рассмотреть некоторые геометрические экстремальные задачи, которое можно решить методом преобразования плоскости, а также методические особенности их использования в профессиональной подготовке будущих учителей математики.

Литература:

1. Абельсон И. Б. Максимум и минимум [Редкое издание] / И. Б. Абельсон; Под. ред. проф. Л. А. Люстерник. - Москва; Ленинград: ОНТИ-Глав.ред.научно-популярной и юношеской литературы, 1935. - 108 с.

2. Боровик В.Н. Задачi на максимум i мшмум в геометри [Текст]: навчально-методичний поабник / В.Н. Боровик, М.Я. 1гнатенко, М.В. Овчинникова. - К.: Пед. преса, 2005. - 376 с.

3. Горлач Б.А., Ермоленко Г.Ю. Использование метода опорных функций для решения задач математики и механики / Б.А. Горлач, Г.Ю. Ермоленко // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). - 2004. - №1. - С. 102-106.

4. Овчинникова М.В. Использование неравенства Буняковского для решения экстремальных геометрических задач как объект изучения в личностно-ориентированной подготовке будущих учителей математики / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып.54. - Ялта: РИО ГПА, 2017. - Ч. 1. - С. 156-163.

5. Овчинникова М.В. Использование неравенства Енсена для решения экстремальных геометрических задач как объект изучения в личностно-ориентированной подготовке будущих учителей математики / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология.

- Сб. статей: Вып. 55. - Ялта: РИО ГПА, 2017. - Ч.1. - С. 251-258

6. Овчинникова М.В. Методические особенности использования неравенства Коши для решения экстремальных геометрических задач в личностно-ориентированной подготовке будущих учителей математики / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып. 53. - Ялта: РИО ГПА, 2016. - Ч. 2. - С. 126-135.

7. Овчинникова М.В. Методические особенности личностно ориентированной подготовки будущих учителей математики к работе над экстремальными геометрическими задачами (метод оценки) / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология.

- Сб. статей: Вып. 49. - Ялта: РИО ГПА, 2015. - Ч. 1. - С. 208-216.

8. Овчинникова М.В. Применение приёма оценки максимума или минимума по свойствам геометрической фигуры в решении экстремальных геометрических задач (из опыта подготовки будущих учителей математики) / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып. 57. - Ялта: РИО ГПА, 2017. - Ч.1. - С. 141-148

9. Овчинникова М.В. Экстремальные геометрические задачи в личностно ориентированной подготовке будущих учителей математики (метод подбора) / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып. 48. - Ялта: РИО ГПА, 2015.

- Ч. 1. - С. 186-194.

Педагогика

УДК [ 37.036:373.3]-053.5

старший преподаватель Плотникова Елена Николаевна

Евпаторийский институт социальных наук (филиал)

Федерального государственного автономного образовательного учреждения

высшего образования «Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского» (г. Евпатория)

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ ВНИМАНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ НА

УРОКАХ РИСОВАНИЯ

Аннотация. В статье даются определения внимания как психического процесса, обозначается его сущность; доказывается значимость внимания для обучения младшего школьника. Автором особо выделяется ряд педагогических условий для развития произвольного внимания учащихся начальной школы на уроках рисования и раскрывается их смысл.

Ключевые слова: внимание, младший школьник, уроки рисования.

Annotation. The article defines attention as the mental process denoted by its essence; the importance of attention to teaching primary school children. The author highlights a number of pedagogical conditions for the development of intentional attention of primary school children in drawing lessons, and explained their meaning.

Keywords: attention, junior schoolchild, drawing lessons.

Введение. В комплексе психологических феноменов внимание занимает особое место. Внимание -важнейшее условие любой качественной деятельности человека. Внимание участвует во всех психических процессах и выступает важнейшим условием их протекания. Внимание направляет младшего школьника на быстрое включение в деятельность, ее понимание и определяет ее результативность. Высокий уровень внимания помогает учащимся воспринимать, понимать, запоминать объяснения педагога. Вниманием обуславливается ход и итог учебной деятельности. К.Д. Ушинский, отмечая роль внимания в психической деятельности, говорил: «...внимание есть именно та дверь, через которую проходит все, что только входит в душу человека из внешнего мира». Если школьник внимателен, то создаются наиболее благоприятные условия для его активной работы его мышления, то есть учебной деятельности.

Формулировка цели статьи. Определить педагогические условия развития внимания обучающихся начальной школы на уроках рисования.

Изложение основного материала статьи. Проблемой развития внимания младших школьников занимались многие ученые-психологи -Л.С. Выготский, Н.Ф. Добрынин, A.B. Запорожец, Л.Н. Леонтьев, А.Р. Лурия, С.Л. Рубинштейн и др. Данные их исследований доказывают, что без систематической и целенаправленной работы по развитию внимания учащихся невозможно полноценное обучение вообще и по отдельным предметам в частности.

Н.Ф. Добрынин считает, что внимание - это «направленность и сосредоточенность психической деятельности. Под направленностью понимается избирательный характер этой деятельности и ее сохранение, а под сосредоточением углубление в данную деятельность и отвлечение от остального» [4, с. 518]. По мнению Р.С. Немова, внимание невозможно изучать «в чистом виде», так как оно не существует как отдельное явление, оно неразрывно связано с другими психическими процессами и прямо влияет на их результат [8, с. 219]. П.Я. Гальперин утверждает, внимание «не имеет своего отдельного, специфического продукта в виде образа или понятия», а обнаруживается в сенсорных, мыслительных, мнемических психических процессах, обеспечивая их качество. Вместе с этим во внимании все данные процессы интегрируются. Этим объясняется влияние внимания на развитие личности [3].

По утверждению Л.С. Выготского, «...степень развития внимания может служить критерием интеллекта и одним из показателей готовности ребенка к обучению в школе». Многие проблемы, возникающие в учении, непосредственно связаны с недостатком развития внимания [2, с. 155].

Во всякой деятельности обычно имеет место произвольное и непроизвольное внимание.

Известно, что у обучающихся младшего школьного возраста доминирует непроизвольный вид внимания, который сосредотачивается прежде всего на объектах, обладающими какими-то яркими особенностями -красочность, подвижность, занимательность. Поэтому ученику, особенно первокласснику, распределить свое внимание достаточно сложно. Если он увлекся какой-нибудь деятельностью, то ему сложно при этом контролировать свое поведение, четко следовать плану. Поэтому работа по развитию произвольного внимания учеников - важнейшая задача педагога начальной школы, и она требует серьезного теоретического изучения и вдумчивого подхода к этому процессу на практике.

Произвольное внимание развивается в том случае, если происходит понимание целей деятельности, которые сначала обозначает сначала учитель, а потом и учащийся. Произвольное внимание формируется параллельно с развитием его основных качеств - сосредоточенностью и устойчивостью. Этот процесс будет более эффективен, если младший школьник включен в творческую деятельность, а учебный материал интересен для него, вызывает сильные эмоции, связан с практическими действиями, считает И.В. Дубровина [5, с. 153]. Важно перевести ученика с позиции пассивного объекта в заинтересованного участника обучения. Необходимо, чтобы младший школьник умел самостоятельно ставить цель и контролировать свои действия для ее достижения. Это и означает развитие произвольного внимания, обеспечивающего результативность обучения.

Высокий уровень произвольного внимания необходим для успешного овладения всеми учебными дисциплинами. Однако процесс изобразительной деятельности требует от учащихся младших классов особо развитого произвольного внимания. Педагогу начальной школы следует помнить, что эффективность работы в этом направлении зависит от многих факторов и условий.

Рисование как вид человеческой деятельности представляет собой сложный процесс познания, изучения, созидания. Для того, чтобы рисовать свободно, создавать собственные творческие композиции, необходимо качественно воспринимать, осмысленно наблюдать, внимательно изучать окружающую действительность, сравнивать, делать выводы. Следовательно, изобразительная деятельность является с одной стороны эффективным средством развития внимания, а с другой - внимание может считаться необходимым условием грамотного рисования. Прежде чем изображать, учащиеся должны внимательно рассмотреть, изучить,