Особенности применения метода преобразования плоскости в решении экстремальных геометрических задач в практике профессиональной подготовки будущих учителей математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Педагогика

УДК: 371.24

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики,

теории и методики обучения математике Овчинникова Марина Викторовна

Гуманитарно-педагогическая академия (филиал) Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования

«Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского» (г. Ялта)

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ В РЕШЕНИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ПРАКТИКЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

Аннотация. В статье рассмотрены некоторые теоретические и методические особенности применения метода преобразования плоскости для решения экстремальных геометрических задач, которые используются в подготовке будущих учителей математики. Приведены примеры задач и их решения, степень сложности которых имеет разные уровни.

Ключевые слова: экстремальные геометрические задачи, метод преобразования плоскости, профессиональная подготовка учителя математики.

Annotation. Some of the theoretical and methodological peculiarities of transformation of plane method application to the extreme geometric tasks solution are described in this article. The samples of the tasks as well as their solutions with different levels of difficulty are also submitted.

Keywords: extreme geometrical tasks, transformation of plane method, professional training of Mathematics teacher.

Введение. В процессе профессиональной подготовки будущего учителя математики при изучении дисциплины «Методика обучения математике» решению задач на нахождение максимума или минимума (экстремальных задач) посвящена тема «Использование производной» при изучении алгебры и начал анализа. К сожалению, в школьном курсе геометрии экстремальные задачи специально не выделяются. Поэтому с целью обеспечения методической направленности изучения дисциплин ОПОП мы включаем экстремальные геометрические задачи, которые достаточно разнообразны и интересны не только для решения, но и как объекты изучения.

В статье продолжается рассмотрение различных способов решения экстремальных геометрических задач в школьном курсе и иллюстрируется применение преобразования плоскости для решения этих задач [3-8].

Формулировка цели статьи. Цель статьи - описание методических особенностей обучения будущих учителей математики работе с экстремальными геометрическими задачами, решаемыми при помощи метода преобразования плоскости в рамках школьного курса геометрии.

Изложение основного материала статьи. Суть метода преобразования плоскости заключается в том, что с помощью определенного геометрического преобразования плоскости фигуру или её часть, экстремальные свойства которой изучаются, переводят в положение, более удобное для исследования и решения задачи. В зависимости от типа фигуры и характера элементов, что её определяют, используются такие элементарные преобразования плоскости: движения (параллельный перенос, поворот вокруг точки, центральная симметрия, осевая симметрия), подобие, а так же их композиции.

Метод преобразования плоскости в большей части применяют к решению геометрических задач на нахождение кратчайшего расстояния между данными и искомыми точками, фигурами, на нахождение наименьшего периметра фигуры, которая определяется заданными элементами (задача Дидоны), наименьшей длины ломаной и тому подобное.

Решение задач на нахождение максимума или минимума методом преобразования плоскости часто сопровождается построением элементов, которые имеют экстремальные свойства.

Рассмотрим применение этого метода к решению конкретных задач.

Первая задача, рассматриваемая в этой статье, связана с одной из замечательных точек треугольника, которые изучаются в геометрии профильного уровня - точкой Торричелли.

Задача 1. В треугольнике ABC найти точку, сумма расстояний от которой к вершинам имеет наименьшее значение.

Решение. Возьмем внутреннюю точку P (рис. 1) и найдем сумму отрезков PA + PB + PC.

Выполним поворот AAPB вокруг точки В на угол 60° так, чтобы точка P перешла в точку P1 снаружи.

Точка А при этом перейдет в точку A1.

в С

Рисунок 1

ABPP1 - равносторонний: BP = BP1, ZPBP1 = 60°.

Тогда сумма PA + PB + PC = A1P1 + PP1 + PC.

Сумма трех отрезков будет наименьшей, когда они размещены последовательно на одной прямой.

Поскольку точки PI, P, C должны лежать на одной прямой, то угол BPC, смежный с углом равностороннего треугольника BPP1, равняется 120°; и ZA1P1B = 120° (аналогично). Но ZA1P1B = ZAPB, поэтому ZAPB = 120°.

Следовательно, для отыскания точки P, сумма расстояний которой к вершинам треугольника наименьшая, надо на каждой стороне треугольника построить сегмент, который вмещает угол 120°.

Тогда искомой точкой P будет точка пересечения дуг сегментов (достаточно построить два сегмента). Точка P находится во внутренней части треугольника, если среди углов треугольника нет угла, большего или равного 120°. Такая точка P и называется точкой Торричелли.

В книге В. Вивиани в 1659 г. «De maximis et minimis geometrica divinatio in quantum conicorum Apollonii Pergoei nunc desideratum» задача формулируется таким образом: «На плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Для какой точки Р плоскости сумма расстояний AP+BP+CP наименьшая?» [9].

Можно найти и такое определение: точка внутри треугольника, из которой его стороны видны под углом

Практическое приложение такой задачи для школьников может быть сформулировано так: «Пусть в пунктах А, В и С добываются некоторые материалы, которые используются на предприятии Р. Где надо построить предприятие Р, чтобы стоимость доставки материалов из пунктов А, В, С к предприятию Р была наименьшей (суммарный путь доставки наименьший)?».

Рассмотренная задача связана с именами известных итальянских математиков и физиков средневековья Эванджелиста Торричелли (1608-1647), Винченто Вивиани (1622-1703) (учеников Галилео Галилея). Её история охватывает более четырёх столетий. Однако, ранее всего - с итальянским математиком Бенавентурой Кавальери (1598-1647), автором знаменитого «принципа Кавальери» для вычисления площадей и объёмов, который предвосхитил интегральное исчисление.

Считается, что Торричелли получил первое из решений этой задачи (скорее всего как физик), однако, независимо от Торричелли, эта задача была решена и величайшим французским математиком Пьером Ферма (1601-1665). А вот первое геометрическое решение найдено швейцарским геометром Якобом Штейнером (1796-1863) [9].

Теоретические основы и практические приложения решения задач такого типа на высоком научном и, одновременно, доступном для усвоения уровне описаны в старых, но очень актуальных учебно-методических пособиях [2; 9; 10].

В пособии [2] глава так и называется «Точка Торричелли - точка в плоскости треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение». Сформулированные задачи и утверждения содержат подробные решения. Предварительно доказывается существование, единственность, и возможное месторасположение этих точек (она не может лежать вне треугольника), затем рассматривается задача для произвольного треугольника, после чего уточняется для треугольников с углом в 120° и более

В книгах, которые написаны позднее, и, видимо, опираются на более обширные исследования в этой области, задача Торричелли имеет название «Задача Ферма- Торричелли-Штайнера» (аналогично одноимённой главе) [9], а в пособии [10] в главе «Старинные задачи на максимум и минимум» рассматривается более общий тип этих задач, которые объединяются под названием проблемы Штайнера. Подобранные в этих источниках задачи очень разнообразны и красиво решены, доступны школьникам, интересующимся математикой. Для будущих учителей к ознакомлению и изучению предлагается страничка из «Записной книжки» Утешева А.Ю. [11], в которой рассматривается задача Ферма-Торричелли в её развитии, приводятся современные формулировки и способы решения задач (механический, геометрический и аналитический и другие способы для плоского случая, обобщённый случай, обратную задачу), а также рассматриваются смежные задачи, которые сегодня актуальны (дерево Штейнера, мультифокусные эллипсы, треугольно-оптимизационные задачи, стационарные точки семейства потенциалов).

Мы предлагаем будущим учителям математики составить задачи экономического или технического содержания, основанные на задаче Торричелли, проанализировать определения, найти возможные синонимичные названия.

Рассмотрим другие задачи, решаемые методом преобразования плоскости.

Задача 2 [1]. Пункты А и В разделены двумя каналами. Где надо построить мосты ИМ и РЯ, чтобы путь АИИРЯВ был кратчайшим?

Решение. Пусть ширина канала с берегами а и Ь равняется к, а ширина второго канала с берегами а1, Ь1 равняется к1.

Выполним параллельный перенос точки А в точку А1 на расстояние к перпендикулярно к берегам а, Ь речки, а точки В в точку В1 на расстояние к1 перпендикулярно берегам а1 и Ь1 (рис. 1).

в 120°.

120°.

а

В

Рисунок 2

Тогда отрезок (прямая) A1B1 пересечет берег b в точке N, а берег a1 - в точке P, через которые следует строить мосты. Действительно, длина пути AMNPRB не зависит от длины отрезков MN и PR - их длина постоянная. Поэтому путь будет минимальным, если сумма расстояний AM + NP + BR будет наименьшей.

Учитывая, что по свойствам параллельного переноса AM = A1N, RB = PB1, получим:

AM + NP + BR = A1N + NP + PB1.

Но отрезки A1N, NP, PB1 лежат последовательно на одной прямой, потому сумма их наименьшая. Следовательно, путь AMNPRB при таком построении мостов MN и PR будет минимальным.

Задача 3. Дана выпуклая ломаная линия A0A1A2A3A4 и точки A и B, расположенные в той же полуплоскости с пределом A3A4, что и данная ломаная. Построить вписанную ломаную AB1B2B3B4B наименьшей длины (точки B1B2B3B4 лежат на звеньях данной ломаной линии).

Решение. Выполним такие построения: построим точку AI, симметричную точке А относительно прямой A0A1, точку AII, симметричную точке AI относительно прямой A1A2, точку AIII, симметричную точке AII относительно прямой A2A3, точку AIV, симметричную точке AIII относительно прямой A3A4 (рис. 3).

Точку B1 на отрезке A0A1 возьмём произвольно, тогда по свойствам осевой симметрии AB1 = AIB1.

Рисунок 3

Дальше возьмём

B2 = AIB1 х A1A2 => AIB2 = AIIB2; B3 = AIIB2 х A2A3 => AIIB3 = AIIIB3; B4 = AIIIB3 х A3A4 => AIIIB4 = AIVB4.

Учитывая эти равенства, получим:

AB1 + B1B2 + B2B3 + +B3B4 + B4B = = AIB1 + B1B2 + B2B3 + B3B4 + B4B=

= AIIB2 + B2B3 +B3B4 + B4B = = AIIIB3 + B3B4 + B4B = AIVB4 + B4B .

Поскольку отрезки AIVB и B4B лежат последовательно на одной прямой, то их сумма наименьшая, а потому наименьшая длина и ломаной AB1B2B3B4B.

Аналогично можно найти ломаную наименьшей длины для ломаной A0A1A2...A«, которая удовлетворяет условию задачи.

Разумеется, рассмотренные задачи не охватывают всего спектра таких задач. Мы предлагаем подобрать ещё несколько таких задач, решить их именно методом преобразования плоскости и сохранить в «методической копилке».

Выводы:

1. Построение процесса профессиональной подготовки учителя математики на принципах профессионально-педагогической направленности и личностного подхода в преподавании всех дисциплин ОПОП подтверждает свою эффективность.

2. Экстремальные задачи в школьной геометрии, решение которых возможно с использованием метода преобразования плоскости являются очень интересными объектами для изучения будущими учителями математики.

3. Рассмотренные в статье задачи возможно использовать в математических элективных курсах для старшеклассников, при подготовке к олимпиадам, в работе математических кружков.

4. В дальнейшем мы планируем рассмотреть методы дифференциального счисления для решения геометрических экстремальные задачи, а также методические особенности их использования в профессиональной подготовке будущих учителей математики.

Литература:

1. Боровик В.Н. Задачi на максимум i мшмум в геометри [Текст]: навчально-методичний поЫбник / В.Н. Боровик, М.Я. 1гнатенко, М.В. Овчинникова. - К.: Пед. преса, 2005. - 376 с.

2. Зетель, С. И. Задачи на максимум и минимум [Текст] / С. И. Зетель. - М.; Л.: ОГИЗ, 1948. - 224 с.

3. Овчинникова М.В. Использование неравенства Буняковского для решения экстремальных геометрических задач как объект изучения в личностно-ориентированной подготовке будущих учителей математики / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып.54. - Ялта: РИО ГПА, 2017. - Ч. 1. - С. 156-163.

4. Овчинникова М.В. Использование неравенства Енсена для решения экстремальных геометрических задач как объект изучения в личностно-ориентированной подготовке будущих учителей математики / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып.55. - Ялта: РИО ГПА, 2017. - Ч.1. - С. 251-258

5. Овчинникова М.В. Методические особенности использования неравенства Коши для решения экстремальных геометрических задач в личностно-ориентированной подготовке будущих учителей математики / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып. 53. - Ялта: РИО ГПА, 2016. - Ч. 2. - С. 126-135.

6. Овчинникова М.В. Методические особенности личностно ориентированной подготовки будущих учителей математики к работе над экстремальными геометрическими задачами (метод оценки) / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология.

- Сб. статей: Вып.49. - Ялта: РИО ГПА, 2015. - Ч. 1. - С. 208-216.

7. Овчинникова М.В. Применение приёма оценки максимума или минимума по свойствам геометрической фигуры в решении экстремальных геометрических задач (из опыта подготовки будущих учителей математики) / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып. 57. - Ялта: РИО ГПА, 2017. - Ч.1. - С. 141-148

8. Овчинникова М.В. Экстремальные геометрические задачи в личностно ориентированной подготовке будущих учителей математики (метод подбора) / М.В. Овчинникова // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. - Сб. статей: Вып. 48. - Ялта: РИО ГПА, 2015.

- Ч. 1. - С. 186-194.

9. Протасов В.Ю. Максимум и минимум в геометрии / Протасов В.Ю. - М. МЦНМО, 2005. - 56 с.

10. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах [Текст] / В.М. Тихомиров. - 2-е изд., исправленное. - М.: МЦНМО, 2006. - 200 с.

11. Утешев А.Ю. Задача Ферма-Торричелли и её развитие: Электронный ресурс: Режим доступа http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri

Педагогика

УДК: 796.91

кандидат педагогических наук Орешкина Ирина Николаевна

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования «Уральский государственный университет физической культуры» (г. Челябинск); тренер первой категории Орешкин Александр Сергеевич

Муниципальное бюджетное учреждение «Спортивная школа олимпийского резерва по конькобежному спорту имени Лидии Павловны Скобликовой» (г. Челябинск)

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕХНИКИ БЕГА КОНЬКОБЕЖЦЕВ С ПОМОЩЬЮ СБАЛАНСИРОВАННОЙ ПОСАДКИ

Аннотация. Статья посвящена актуальным вопросам совершенствования техники бега на коньках на основе современных тенденций на международной арене ведущих конькобежцев мира. А именно применение С. Педерсоном на Чемпионате Европы по конькобежному спорту на дистанции 10000 м нового элемента техники бега, который заключается в том, что кисти рук опираются на колени спортсмена, тем самым создавая опору для плечевого пояса, которой нет в классической схеме.

В научном труде представлены результаты исследования «сбалансированной посадки», предложенной А. А. Стафеевым для совершенствования техники бега конькобежцев для повышения уровня спортивных результатов на различных дистанциях.

Ключевые слова: техника бега на коньках, «сбалансированная посадка», конькобежцы, биомеханические особенности скоростного бега, график бега, классическая техника бега на коньках.

Annotation. The article is devoted to topical issues of improving the technique of running on skates on the basis of modern trends on the international world of leading skaters of the world. Namely, the application of S. Pederson at the European Speed Skating Championships at a distance of 10,000 m of a new element of running technique, which consists in that the hands rest on the athlete's knees, thereby creating a support for the shoulder girdle that is not in the classical scheme.

The scientific work presents the results of the study of the "balanced landing" proposed by AA Stafeev for improving the technique of running skaters to improve the level of sports results at different distances.

Keywords: skating technique, "balanced landing", skaters, biomechanical features of high-speed running, running schedule, classical technique of running on skates.

Введение. Скоростной бег на коньках обусловлен ростом спортивных результатов, как на международном, так и всероссийском уровнях [8]. Это напрямую связано с прогрессом в области материально-технического, организационно-методического и другого обеспечения [5,6]. Он положительно влияет на процесс спортивной подготовки конькобежцев, а именно на совершенствование техники и тактики бега, разработку и применение новых методик тренировки спортсменов различного уровня подготовленности [2, 3, 4].

По данным современных тенденций в конькобежном спорте отмечено применение нового элемента техники бега по прямой. А именно норвежский конькобежец Sverre Lunde Pedersen на Чемпионате Европы по многоборью, который проходил 08.01.2017 г в Нидерландах, на последних кругах дистанции 10000 м применил необычную технику бега. Основной особенностью является то, что руки не совершают маховое движение, а опираются кистями на колени и помогают выполнять толчок объединенным усилием ног и рук.

А. А. Стафеев определил гипотезу - применение нового элемента техники бега на коньках позволит улучшить спортивные результаты конькобежцев.

В современной литературе по конькобежному спорту данный вопрос недостаточно изучен и требует дальнего исследования.

Целью исследования являлось, выявление целесообразности применения нового элемента техники бега на коньках.

Задачи исследования:

1 Теоретически обосновать необходимость применения нового элемента техники бега на коньках.

2 Проанализировать график бега Педерсена на дистанции 10000 м.