CC BY
28
N. H. Dyachenko. - Machinery, 1974. - 552 p.
6. Engines: Proc. for high schools / Ed. M. S, Hovah. - Machinery, 1977. - 496 p.
Рындин Владимир Витальевич - кандидат технических наук, профессор кафедры
«Механика и нефтегазовое дело» ПГУ им. С. Торайгырова. Основное направления научной деятельности - теплофизика. Общее
количество опубликованных работ: 130. e-mail: rvladvit@yandex. ru
Шалай Виктор Владимирович - доктор технических наук, профессор, ректор Омского государственного технического университета
УДК.517.946
(ОмГТУ). Основное направления научной деятельности - летательные аппараты. Общее количество опубликованных работ: 200. e-mail: [email protected]
Макушев Юрий Петрович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Тепловые двигатели и автотракторное
электрооборудование» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). Основное направления научной деятельности -топливная аппаратура, двигателей внутреннего сгорания. Общее количество опубликованных работ: 120 e-mail: [email protected].
ОСОБЕННОСТИ И КЛАССИФИКАЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Г. И. Шабанова
Аннотация. Статья, предложенная вниманию читателей, продолжает научное исследование сингулярной задачи Штурма-Лиувилля [3]. В статье получено несколько интересных результатов, связанных с аналитической формулой для спектральных функций, свойствами этих функций и их классификацией. Доказано две леммы и представлена теорема о взаимно однозначном соответствии между классами
функций QM э q (y) и Oa э о(Я) .
Ключевые слова: оператор, задача Штурма-Лиувилля, спектральная функция, предел последовательности, взаимно-однозначное соответствие.
Введение Рассмотрим задачу (1), (2) в интервале
Построим спектральную функцию [о b] b = b
оператора Штурма-Лиувилля с ’ ’ n
коэффициентом q(y) eQM.
1 у
Vn (y, Я) = cos VI y + -JJ J sin VI(y -t) qn (t)v„ (т,Я) dz
= cos-
41У+-^ J(sinVIy cOS4lz~ ™4х y (z)vn НЛ) *z-
(1)
Jsin VI(y-t)qn(z)vn(z,I)dz = /un(I)cosVIy + vn(I)siWIy + 0(1)
VI y
где Mn(I) =1
K(I) = ■
Изменение спектральной функции интегралом Стилтьеса
1 си
- - J sin^Izqn (z) Vn (z,I) dz ;
10 1 Ю
-цJcosVI^n(z)Vn(z,I)dz . ob (I) в интервале (Я,Я + А]
Я+А
АОь (Я) = Ob (Я + Д) - Оь (Я) = JdOb (Я)
Я
(2)
(3)
можно записать
(4)
или по определению
А*ь X) = I
1
я<ят,ь <я+д \\фп (у,Хт,ъ )
= I
Хт+1,Ъ Хт,Ъ
Х<Хт,Ъ <X+A Ъ
(д/Хт+1,Ъ ^Хт,Ъ )(д/Хт+1,Ъ + ТХХ)1 \к( у,А,.Ъ) dy
= I
Хт+1,Ъ Хт,Ъ
Х<Хт,Ъ <X+A Ъ
Л ( 1
- + 0| -Ъ lЪ
С/Хт+1,Ъ +4\ПЪ)1J ^ (У, Хт,Ъ ) dy
В преобразованиях использована ^ = s . Кроме того, функции ц (X) и v (X) асимптотическая формула для собственных nV 7 nV/
значений [4]
yjХт+1,Ъ л]Хт,Ъ ъ + 0 ^ Ъ ^ .
Основная часть
Проанализируем полученную формулу.
Ъ
\vl( y,X) dy,
Вычислим интеграл 1
преобразуя (рп(y,X) в форме (1) к более
удобному для исследований виду. Для этого введем обозначения
К(Х)
V
2 2 №п +vn
=sin Sn(X) ,
vn (X)
= cos Sn (X)
(5)
4^n(X)+vJX)
Несобственные интегралы в равенствах (2) и (3) равномерно сходятся, поэтому при Х> р> 0 рп (X) и vn (X) являются
непрерывными функциями аргумента
Тогда
одновременно в нуль не обращаются.
Предположим противное. Пусть хотя бы при некоторых значениях X рп = 0 и vn = 0
одновременно. Тогда получим систему интегральных уравнений
ад
J sin VXrqn (т)рп (t,X) dr = VX ,
1 ад
X J co^JXzqn (z)Vn(r,X) dr
4x
= 0 ,
которая ни при каких X не имеет решения. Следовательно, предположение неверно.
С учетом формул (5) (рп(y,X) запишем в виде
Фп (y,X) = Vh-2(X) + vj; (X) sin Sn (X) cos VI y +
(X)+ v2 (X) cos Sn (X) • (6)
• siWXy + 0(1) = ^/щ; +v2n sin[sn(X) + VXy]+ 0(1)
1JфП(y,X)dy =1 (]vl(X) + v2n(X)) jsin2[Sn(X) + VIy]dy + 0(1) =
I [ц2 (X) + v2(X)]-i2^sint/X b) cos [2Sn(X) + VI b]+ 0(1)
А°Ъ(X) = I
Хт+1,Ъ Хт,Ъ
X<Xmb <X+A
Л + 0 (1
Ъ l Ъ
(fcZ + VХт,Ъ ) 1
1 tUn2(X) + vl (X)]- sin ъ)c0s [2Sn (Хт,Ъ ) + ХЪЪ]+ 0(1)
т,Ъ
(7)
2
и
Перейдем к пределу при b — ж в формулах (4) и (7) .
к+д
lim J dab (к) = lim ДаЪ (к)
Ъ—ж J Ъ—ж
к
, к+Д
2f d к
J п FTГ..2^д , ,.2/
к+д
J da^)
я| 2/к[ц2 (к) + V2 (к)] к
Сравнивая два последних интеграла, получаем дифференциал спектральной функции
d (к) = 2 dk_________
а( ) к 2л/к[д2 (к) + V2 (к)]
г- (8)
_ 2 d^/к)
к ц2 (к) + V2 (к)
и производную
ст'(Л) = 1
1
, Л> 0 (8’)
WX и2(Л) + v^)
В случае q (y) е QM , Я > 0 , Д > 0 из (8) и (8’) следует, что спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля [1], [2]
<с(Л) непрерывная монотонно возрастающая функция.
Выведем аналитическую формулу для ст(Л) . Из (8) получим
2 Г 1 1 1 1 ]
аст(к)=к|_ 2/Т + 2/Т [ц2 (к)+V2 (к)]- 2/Т J ак =
= 2^/к+2 1 1-Ц2(к)-v2(к)
к 2/к ц2 (к) + V2 (к)
ак =
(л/к)+2 а^/к)[1-ц2 (к) -V2 (к)]
= 2 dU/к)+— 2 2
к ' к ц2 (к) + V2 (к)
= da0 (к) + da., (к), к> 0
Инвариантность формы дифференциала, вид функции <70(Л) , тип точки Я = 0 (лемма 1) позволяют записать " 2
— л/Л + сс(Л), если Л> 0, о(Л) = U 1 (9)
0 , если Л < 0
Нетрудно заметить, что и(Л), v(Л), CTj (Л) фактически зависят от аргумента s = -\[Л , поэтому
2 1 - ju2(s) -v2(s)
o-;(s) =
n U2(s) + v2(s)
(10)
c(s) =
2
1
(11)
n /u2(s) + v2(s)
Если q(y) е QM , то какими свойствами обладает функция a1(s) ?
Во-первых, убедимся в справедливости 2
оценки 0 < cC(s) < — .
n
Преобразуем функции
u(s) = lim jun (s) = 1 -1J sinsrq(r) (p(s,z) dz (12)
п—ж s J
° 0
1 ж
v(s) = lim vn (s) = — J cos sz q(z)q>(s,z) dz к
п—ж s J
0
виду (13)
u(s) =1 -1 gks) ; v(s) =1 g2(s) где s s
ж
gi(s) = Jsinszq(z)^(z,s)dz , (14)
0
ж
g2(s) = J cos szq (z)p(s,z) dz . (15)
Вычислим
ц2 (s) + v2 (s) =1 - 2 g1 (s) + -1 [g2 (s) + g2 (s)]=
| + g (s) + r2'
= (i - 1g1(s) J + s1 g2 (s)
и предельные значения
2
lim [u2(s) + v2(s)]= 1,
s ——ж *"
lim [u 2(s) + v 2(s)]= о
s — 0 +
2
lim cC(s) = —,
s—ж n
lim cr'(s) = 0 ;
s —0+
lim a1 (s) = 0,
s —ж
2
lim <c[(s) =---.
s—0+ n
Докажем, что значений больших или 2 -п
равных — a (s) принимать не может.
n
Перейдем к пределу в равенстве (6)
Ф (уД) = |im фn(y, к) =
П—ж
= д/ц2 (s) + V2 (s) sin [б(к) + л/к y]
К
Как известно, в задаче (1), (2) <р(0, А) = 1. Используем эти условия и получим
■\]v2(s) + v2(s) ■ sin S(A) = 1, тогда
/u2(s) + v2(s) = - 1
> 1.
sin2 S(A)
Оценим функцию в (11). Для всех
s е (0, да)
1
2
< —
2
0 < c'(s) = — 2
к ju2(s) + v2(s) к
Из равенства (10) выразим c1(s) в виде 2
CTj'(s) = c'(s)-и оценим c1(s).
к
2
---< c[(s) < 0. (16)
к
Функции с ограниченной производной составляют класс абсолютно непрерывных функций. Любая абсолютно непрерывная функция есть функция ограниченной вариации [5].
CTj(s) - абсолютно непрерывная,
монотонно убывающая функция.
Во-вторых, определим асимптотическое поведение c1(s).
щ О)
1 -ц2 (s)-v2 (s)
Ц2 (s) +v2 (s)
= — Isin2 8(s) -1 = — cos2 8(s)
2 |
к '
Поскольку lim c[(s) = 0, то cosS(s) ^ 0
при
s ^ да
к
к
S (s) ^ —. Пусть
S(s) = — - a(s), гдеа^)-
малая функция, тогда
бесконечно
i „ 2 2
lc1(s) = — cos' к
к г \
----a (s)
2
2 • 2 t ч 2 \
= — sin a(s)-a (s) ■
кк
По определению предела, если s0 - сколь угодно большое число, то Vs > s0
IcXs)) < г .
1
Возьмем a(s) = —, r > 1. Очевидно,
sr
s2r > sn
I ч| 2 ^ 2 1 2 1
и CTj (s) ~ — a (s) =-----------------— <------------= г .
к к s к sn
к
и
Таким образом, для a[(s) при s ^ да имеет место асимптотическая формула
C'(s) = Of , r > 1, s ^ да. (17)
При s ^ да справедлива также оценка
у c{s] = a(s+1) - C(s) = |a1'(s + 0s) M <(s + es )2r M, < s2r ’
0 < в < 1,
s+1 " 1 !
V a 1I s) = Of IT 1 r > 1, s ^ да
s V J V .s J
Замечание. Если a (s) имеет
производную и является интегралом от нее, то в этом случае [1] интеграл Стилтьеса сводится к обыкновенному интегралу Римана. В результате рассуждений доказана Лемма 3 (о форме и свойствах
спектральной функции оператора £ q).
Если q(y) eQM, то спектральная функция a (А) сингулярного оператора Штурма-
Лиувилля имеет вид (9)
a (А) = \ к 0.
—VX + a1 (А) , если
если А < 0
А > 0,
Функция a1 зависит от аргумента
s = 4А.
c1(s) - абсолютно непрерывная
монотонно убывающая функция в интервале
(0, да):
2
---< a[(s) < 0 для всех s е (0, да) (18)
к
lim CTj'(s) =------
s ^°+ к
и a'(s) = of sr
r > 1, s ^ да.
Определение 3. Пусть q(y) eQM и a (A) - спектральная функция сингулярного оператора £q . Пусть каждой функции
qn(y) соответствует спектральная функция
Cn (A).
Будем говорить, что множество спектральных функций сингулярного оператора Штурма-Лиувилля £q составляет
класс о, если каждый элемент этого множества удовлетворяет требованиям:
1. о (Л) = lim onn(Л) в основном, т.е. в
n — w
точках непрерывности о(Л). —nn(Л)} -
подпоследовательность, выделенная из
последовательности О (Л)}, п = 1, 2,__
' 2
— ыЛ + о1(Л), если Л> 0,
2. о(Л) = \п 1
0, если Л < 0.
3. o^s) , ^ = л[Л - функция ограниченной вариации, монотонно убывающая на
интервале (0, го).
2
4. lim o[(s) =---
Всякую целую функцию в области Д
s —>0+
п
и Oi'(s) = —J , r > 1, s — Го.
2
Для всех s е (0, го)--< o[(s) < 0.
п
Лемма 4 (аналитичность o1'(s)).
Если q(y) eQM и является целой в интервале [0, го), то соответствующая
спектральная функция оператора £ q о (Л) е о и имеет целую функцию о1'(Л) ,
Л = s2, в интервале [0, го)э Л. Обратное утверждение справедливо.
Доказательство.
Формула (10)
2 1 - ju2(s) -v2(s)
°i'(s) =
где ц (s)
п ju2(s) + v2(s) v(s) определены равенствами (12) и (13), устанавливает взаимно однозначное соответствие между q(y) и o[(s). В силу п. 4 определения 3 точка s = 0 является устранимой особой точкой для o[(s). o[(s) обладает свойством четности и знаменатель дроби в (10) не обращается в нуль ни при каком значении s.
Из классических источников, например [6], известно, что аналитическая функция в точке представляется в окрестности этой точки в виде степенного ряда.
можно разложить в степенной ряд 2
cns ,
сходящийся во всей области Д и обратно, всякая функция, представимая в Д сходящимся степенным рядом, является целой.
Выразим o[(s) через функции ^(s) (14) и g 2 (s) (15).
=-п
1
Ц (s) + v (s)
-1
1 - 1 g1(s)j + 1 §2 (s)
s ! s
-1
-1
2 2sgl(s) - g, (s) - g22(s)
п (s - &м)2 + g2(s)
(s - g1(s))2 + §2(s)
Если q(y) - целая функция, то g1(s)и g2(s) также целые, поскольку sin sr , cossr , <p(r,s) - целые функции.
Функция f2(s) =
(s - g1(s))2 + §2 (s)
может быть разложена по степеням s в окрестности точки s=0.
w
f2(s) = 2 Сп8П , причем b0 * 0 .
n=0
Функция f(s) = 2 Sg1 (s) - g2 (s) - g l(s) также представима степенным рядом с центром в нуле
w
f1(s) = 2 ansn .
n=0
В силу четности o[(s), ряд Маклорена для o[(s) содержит только четные степени s
w w
°1(s) = 2 cns2" = 2 cnb^ )2n =
n=0
= 2 Cn ^n = °1W
- = Л—J
—(Л)
c0 = Jim —'(Л),
Л—0+
c = lim
Л—0+ 1!
c = lim —
(n+1)
(Л)
n л—0+ n!
коэффициенты разложения.
ст^) - аналитическая в точке Л = 0 , так
как на полупрямой Л> 0 она представляется сходящимся степенным рядом.
Доказательство обратного утверждения непосредственно следует из схемы
определения q(y) по известной спектральной функции [7].
Определение 4. Все спектральные
функции класса а с целой функцией а[(Л)
в интервале [0,да) образуют класс Ga. Заключение
Сформулируем основные результаты Теорема 1. Между классами функций QM и
G , QM и Ga устанавливается взаимно однозначное соответствие. Функция q(y) -коэффициент оператора Штурма-Лиувилля (1) - (2) обладает всеми свойствами класса
QM (QM) тогда и только тогда, когда соответствующая спектральная функция
принадлежит классу G (Ga).
Доказательство прямого утверждения содержится в леммах 1-4, доказательство обратного утверждения будет следовать из лемм 5, 6 и схемы восстановления q(y) по спектральной функции а(Л) [7].
Библиографический список
1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Издательство «Наука», Москва. 1969. - 400 с.
2. Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. Издательство «Наука», Москва. 1977. - 279 с.
3. Шабанова Г. И. Некоторые классы функций, связанные с обратной задачей Штурма-Лиувилля // Вестник СибАДИ. - 2013. - № 4 (32). - С. 108-113.
4. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в
спектральную теорию. - М.: Издательство
«Наука», 1970. - 671 с.
5. Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа.- М.: Издательство «Наука», 1968. - 288 с.
6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Издательство «Наука», 1973. - 736 с.
7. Наймарк М. А. Линейные
дифференциальные операторы. - М.:
Издательство «Наука», 1969. - 439 с.
PREFERENCE AND CLASSIFICATION OF SPECTRAL FUNCTIONS THE STURM-LIOUVILLE OPERATOR
G. I. Shabanova
The article, which I propose to reader's attention, continues the research of singular Sturm-Liouville problem [3].
In this note I obtain some intresting results related analytical formula for spectral functions, some properties of this functions and their classifications. Two lemmas are proved and the theorem about reciprocals correspondens between the classes of
functions QM Э q(y) and Ga э а(Л) is performed.
Keywords: an operator, Sturm - Liouville
problem, a spectral fanction, the limit of consequention, reciprocal correspondence.
Bibliographic list
1. Gnedenko B. V. The course of probability theory. - Moscow, 1969. - 400p.
2. Hinchin A .J. Eight lectures on mathematical analysis. - Moscow, 1977. - 279p.
3. Shabanova G. I. Some classes of functions which are connected the inverse singular Sturm -Liouville problem. // Vestnik SibADI - 2013. - №4 (32). - P.108-113.
4. Levitan B. M., Sartgcyan I. S .The introduction to the spectral theory. - Moscow. 1970. 671 p.
5. Sobolev V.I. The lectures on complete chaptes of mathematical analysis. - Moscow. 1968. 288p.
6. Lavrentjev M. A., Shabat B. V. The methods of functions of a complex variable. - Moscow. 1973. 736 p.
7. Nimark M. A. The linear differential operators. -Moscow. 1969. 439 p.
Шабанова Галина Ивановна - доцент кафедры «Высшая математика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной
академии (СибАДИ). Основное направление научной деятельности: Обратные задачи
математической физики. Общее количество опубликованных работ: 21. e-mail
