CC BY
24
УДК.517.946
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ПО СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
Г. И. Шабанова
Аннотация. Эта статья является завершением научного исследования, опубликованного в [4], [5]. Обратная сингулярная задача Штурма-Лиувилля состоит в определении функции д(у) в операторном уравнении, построенной по спектральной
функции и (Л) . Автор представляет несколько новых свойств потенциала д(у), и несложное доказательство теоремы существования д(у) в классе функций Оа.
^-м
Ключевые слова: оператор, задача Штурма-Лиувилля, спектральная функция, предел последовательности, взаимно-однозначное соответствие.
Введение
При решении обратной задачи Штурма-Лиувилля И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан [2] исходили из того, что существует функция К (у, I), I < у, имеющая непрерывные частные производные первого и второго порядка, такая что
у
(р(у, Л) = соял[Лу + |К (у, t)со^л[Л-Л-
0
((у,Л) - решение задачи (1) с дополнительным условием ((0,Л) - h((0,Л) = 0 . К (у, t) удовлетворяет волновому уравнению
82 К (у, t) . 82 К (у, t) _
} - д( у) К (у, О = —^^ , (1)
8 у 2
812
и граничным условиям
8 К (у, t)
Ч(у) = 2
81
8 К(у, у), 8 у '
= о, (2)
t=о
К(у,у) = h + 1}д^)л- .
(3)
(4)
Функция К (у, t)удовлетворяет также и линейному интегральному уравнению
у
f (у, х) + | К (у, т) f (т, х) Лт + К (у, х) = 0 (5)
о
в области х < у . Функции
F(у,х) = ]-Л-Л^(Л) (6)
8 2 F
и f (у, х) =-= [ соял/Лу соя^/Л хЛи1(Л) .(7)
8у 8х J
г — да
существуют и непрерывны для всех значений аргументов [2], если о1(Л) ведет себя на бесконечности достаточно правильно, например Var[о^^^го. Основная часть
Отметим свойства функции д(у), восстановленной по спектральной функции
а(Л) &Оа.
Найдем д(у) по формуле (3). Определим ядро интегрального уравнения (51), решая задачу (1)-(2) методом Фурье.
Пусть К (у, t) = ¥(у)X^) * 0 (8)
Подставим К (у, t) в виде (54) с нужными производными в (47).
¥у X ^ ) — д( у)¥ (у) X ^ ) = ¥ (у) X';
Разделяя переменные, получим тождество, возможное лишь в том случае, когда ве-
¥; () x:(t)
личина отношения—— д(у) =—-— по-¥ (у) ЧКУ) X (г)
стоянна. Обозначим ее - ¡л2.
Имеем две задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
x;+ л2X(^ = 0, X(о * 0, X;(0) = 0 (9) ¥;— д(у)¥ (у) = —л2 ¥ (у), ¥ (у) * 0 .
Пусть X; (Ь) = 0 (10)
Сначала найдем К (у, t) на конечном интервале 0 < t < у < Ь , затем устремим Ь к бесконечности.
Решением краевой задачи (9)-(10) является совокупность функций
X (/) = с1сов-1. Потребуем выполнение
b
условия нормировки \\X (t)|
l2 [0,b]
= 1. Тогда
X (t) = 2 cosnnt = Xb (t) .
V ь ь
Перепишем интегральное уравнение (5) с учетом (8).
f (y, x) + Y(y) JX (r) f (r, x) dr + K (y, x) = 0 . (11)
0
Умножим (11) почленно на X(x) и выразим K(y, x) . В области 0 < x < y < b
Kb (y, x) =_- Xb(x) fb(y,x)__(12)
Xb (x) + JXb (r) fb (r, x) dr
0
ад
fb(y,x) = JcosVXycosVXxdo"1b(X).
Перейдем к пределу в (12) при b ^ ад
lim Kb (y, х) = lim
2 nn
(-cos — xfb (y, х) b b
nn cos—х + b
fcosnnz fcosA/Xz cos VXxdo"1b(A)dz J b J '
- f (У, х)
= K (y, х)
1+ J f (r, x) dr
0
По обобщенной теореме Хелли [1]
ад ад
lim fb(y, x) = lim JcosVXycosVXxdo"1b(X) = JcosVXycos VXxdo^A) = f (y,x).
Xb 0
В соответствии с граничным условием (3) и теоремой о среднем имеем
q(y) = 2 dK(У,У) = 2d dy dy
- f (У, У)
у
1 + J f (z, y) dz
=2d
dy
- f (У, У )
1 + yf (z\У
(13)
Лемма 5 (формула для вычисления q(y))
Если спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля <г(А) принадлежит классу^3 , то коэффициент оператора £q q(y) однозначно восстанавливается в классе функций QM по формуле (13).
Вычислим q(0) и укажем поведение q(y) на бесконечности. Предварительно найдем
ад
/ (0,0) = | ^(А) = ^(А), /;(0,0) = 0,
q(0) = 2f (y,У) 0 = 2
у=0
V ffi(A)
= A > 0 (14)
f(y,y) = J cos2VX yda/VX) = 0
= J l + cos^/Xy ^^ = 1 Va.(X) + 1 J cos 2syda.(s) 0 2 2 2 0 По Лемме Римана-Лебега
ад
[3] Jcos2sydox(s) ^ 0 приy ^ ад, а интег-
0
рирование по частям дает
тогда
b
b
2
да 1 да
[ cos 2 syda^s) =--[ sin 2 sy a1(s)ds
о 2У о
= о
= VX
v у ;
f(T ,y) = |cosVXt'cosVX yda1(X) = о
= 1 |[cos VX (т* - y) + cos л/X (т* + y)]da1 (X) -2 о
= -1 -j —1 * i sin s(y - т*) da1 (s) + —^ i sin s(t* + y) da1 (s)
2[У-т о У+т о
y ^ да; yf (т*,у) = 0(1) при y ^ да
да
K(0,0) = - V a^s) = с > 0.
s=0
1 да ( -- V a1(s) + 01 1 Vi ч 20 х V/ У у к (у, у) =--———--- при У ^ да.
q(У*) = 2~г-dy
1+0(1)
- 2 V^ + 0V/У 1 + 0(1)
= 0|Л |, У ^да
lim q(y) = 0_.
y ^^
Формулы (13), (14) позволяют сделать вывод:
q (y) е С1 [0,да)пL [0,да); || q(y) |[0 ю) < M . Далее, поскольку q(y) непрерывна в каждом конечном интервале [0,b], то достигает на этом интервале по меньшей мере один раз наибольшего значения Мъ и по меньшей
мере один раз наименьшего значения mb.
В качестве qmm примем min {mb}.
ъ
qmin = q(b*) = тъ1п |тъ | = m <0.
Таким образом, три условия определения 1 проверены.
Аналитичность q(y) следует непосредственно из схемы восстановления q(y) по <i(X) [2].
Если <l(X) - целая функция на интерва-
ле [0, да) э Л ,
2
lim cr^s) =--
s ^да ж
«¡(s) = 0[у2r), r > l, s ^ да то, согласно
формулам (6), (7), F (у, х) и f (y, х) - целые функции, K (y, х) (5) также целая в области х < y и q(y), определяемая формулой (3) -целая функция на интервале [0, да)э y. При этом условия (14) и имеют место. Лемма 6 (о пределе последовательности финитных функций qn (y))
Пусть £q - регулярный оператор Штурма-
qn
Лиувилля и <<n(X) - его спектральная функция. Выделим из последовательности ограниченных в совокупности неубывающих функций <<n(X), n = l,2,..., соответствующих
qn(y) , подпоследовательность
< nj ( X ) .
Если lim <jnj(X) = <(X) в основном, т.е. в
j ^да j
точках непрерывности <(X), то последовательность qn(y), n = l,2,... сходится к
q(y) eLl [0, да) по норме (или сильно сходится) и образуется по правилу
lq(y) если y е[0, bn ] ,
qn (y)= 1 л [а ]
[ 0 если y e[bn, да]. Доказательство
Пусть «m (X) известна и
Xm),Xm),... ,Xm),■■■ - собственные числа оператора £ при y е [0, bm].
Пусть Xn)An)> .•• X?,... - собственные числа оператора £q , оп(X) - спектральная
функция этого оператора и qn(y) восстанавливается на интервале
[0, bn ]=[0, bm ]^(bm, bn ].
лт) и л
(n)
наименьшие собственные
значения соответствующих операторов, причем xn) < xm.
Восстановим qm(y) в интервале [О, bm ]. Составим функцию
fm (x, y) = J cos sx cos sydGXm (s) и
s 0,m
решим интегральное уравнение
и
- Km (X, У) = fm (X, У) + JKm (y,z) fm (z, х) dz (16)
0
методом последовательных приближений.
Для определения q(y) в сингулярном Аналогично,
случае используем функцию
ад
f (х, у) = Jim fm (х, y) = J cos ях cos sy dox (s) ^ (y, y) <
I J |cos sy|d|c1(s) J |cos sy|d|c1(s)|
K (y, y) <-^-< J-- < _J>-
y 1 -ff * ч ад
1-J|f(z,У)|dz ~yV (z ,y)l 1 -bJ|cossy|d|1(s)|
J |cos sy|d 1 (s)|
и интегральное уравнение
У
- К(х, У) = /(х, У) + |К(У,т)/(т, х) dт (17)
0
Оценим К (х, у) и Кт (х, у) в конечном интервале [0, Ьт ]э у.
Пусть р = тах |К(х, у)|. Тогда из равен-
0< у <Ь
ства (61')следует оценка
у
р < \/(х, у )| + р || / (т, х )| ёт ,
0
\/( х, у )|
Р
<
1 - J|f (z,х)|dz
Поскольку K(х, y) < max K(х, y) = p ,
0< y <b
то при х = У
1 - b J|cossy d\\1m (s)
s0,m
Вычислим модуль разности
K(y, y) - Km(y, y)| . По прямой предельной теореме [1], если последовательность функций \1m(s)|, m=1, 2, ..., сходится в основном
к функции \1(s), то последовательность характеристических функций
ад
J |cos sy|d\im (s)| сходится к характеристи-
s0,m
ад
ческой функции J |cos sy|d |\(s)|. Эта сходи-
0
мость равномерна в каждом конечном интервале у. Поэтому модуль разности
K(y, y) - Km(y, y)| при надлежащим выборе b (b выбираем достаточно большим) можно сделать сколь угодно малым вместе с s .
|K (У, У) - Km (У, У )| <
|cos sy| d|1(s)|
ty\d Km ( s )|
л (
1 - b J |cos sy|d |1( s )| 1 - b J |cos sy| d |1m (s )|
Перепишем неравенство (18) в равносильном виде
К(у, у) - £< Кт (у, у) < К(у, у) + £.
Переходя к производным, получим
ёК ёК г -1 —т =- в интервале [0, Ьт ]. Согласно
ёу ёу
формуле (3), qm (у) =
iq(y), всли y е[° bm ]
0, если у е(Ьт, ад). Очевидно, qn (у) строится по тому же правилу (15): qn(у) = qm(у) = q(y) на интервале
< S
(18)
[0, Ьт ] и qn (у) = q(y) является непрерывным продолжением функции qm (у) на интервале
[Ьт, Ьп ] .
Последовательность финитных функций qn(у) сходится по норме к q(у) [0, ад) .
Нт|^(у) - q(у)||А[0,ад) = 0 .
Лемма доказана.
Теорема 2. Если спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля о(Х) принадлежит классу С7а, то существует единственная функция q(y) - коэффициент уравнения
s
0,m
(1) в классе функций QM и обратно, если
q(y) принадлежит классу QM, то о(Х) является спектральной функцией оператора Штурма-Лиувилля.
Действительно, все спектральные функции о(Х) класса С7а удовлетворяют условиям теоремы существования q(y) [2]:
1. Для всякого у > 0 существует инте-
и
грал JeUydo(X).
2. Функция
a(y) = JC0S^y d\(X)
i
X
имеет непрерывную четвертую производную.
Заключение
Несмотря на то, что прямая и обратная задачи Штурма-Лиувилля широко представлены в специальной литературе, исследования, связанные с сингулярной задачей, являются новыми и публикуются впервые. Доказанные леммы и теоремы могут оказаться полезными при решении обратных задач математической физики, редуцируемых к обратной задаче Штурма-Лиувилля.
Библиографический список
1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1969. - 400 с.
2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969. - 439 с.
3. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. - М.: Гостехиздат, 1948. - 479 с.
4. Шабанова Г. И. Некоторые классы функций, связанные с сингулярной задачей Штурма-Лиувилля. // Вестник СибАДИ. - 2013. - № 4(32). - С. 108-113.
5. Шабанова Г. И. Особенности и классификация спектральных функций оператора Штурма-Лиувилля. // Вестник СибАДИ. - 2013. - № 5(33). - С. 98-103.
RECOVERING STURM-LIOUVILLE THE SPECTRAL FUNCTION
G. I. Shabanova
The article is an accomplishment of some simple research published in [4], [5]. The inverce singular Sturm-Liouville problem consists of finding the function q(y) in operator's equation which are built upon
the spectral function <r(A) e CXa.
The author presents some new properties of the potential q(y), analitic formula, expressing q(y), and a simplified proof of the existence theorem for
q(y) e QM.
Keywords: an operator, Sturm - Liouville problem, a spectral function, the limit of consequention, reciprocal correspondence.
Bibliographic list
1. Gnedenko B. V. The course of probability theory. - Moscow, 1969. - 400 p.
2. Nimark M. A. The linear differential operators. -Moscow, 1969. - 439 p.
3. Titchmarsh E. C. An introduction to the theory of Fourier's integrals. - Moscow, 1948. - 479 p.
4. Shabanova G.I. Some classes of functions which are connected the inverse singular Sturm -Liouville problem. // Vestnik SibADI - 2013. - № 4 (32). - P. 108-113.
5. Shabanova G.I. Preference and classification of spectral functions the Sturm - Liouville. // Vestnik SibADI - 2013. - 5 (33) - P. 98-103.
Шабанова Галина Ивановна - доцент кафедры «Высшая математика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). Основное направление научных исследований - Обратные задачи математической физики. Общее количество публикаций - 21.E-mail: karaseva_rb@mail. ru
