CC BY
36
10. Park J., Sandberg I.W. Universal approximation using radial-basis-function networks // Neural Computation, 1991, vol. 3. - p. 246-257.
11. Коблик А. А. Формирование интерполяционных сплайнов для многообразий, представляемых лиевыми группами. // Вестник СибАДИ - 2012 - № 6-C. 103-106.
THE INVESTIGATION OF DIRECT AND INVERSE FUNCTIONAL DEPENDENCES OF ECONOMIC INDICATORS ON THE BASIS OF CONSTRUCTING RBF FUNCTIONS
I. A. Polonsky, S. N. Chukanov, V. E. Shchipanov
A method for the investigation of direct and inverse functional dependencies on the basis of constructing radial basis functions is presented in this paper. For the solution of inverse problems the functional regularization A.N. Tikhonov is applied. The method used to study the problems of decision support in the economy.
Keywords: inverse functional dependencies, functional Tikhonov regularization, radial basis function.
Bibliographic list
1. Bakanov M. I., Melnikov M. V., Sheremet A. D., Theory of Economic Analysis. - Moscow: Finance and Statistics, 2005. - 536 p.
2. Odintsov B. E. Inverse calculations in shaping economic decisions: Studies. - Moscow: Finances and Statistics, 2004. - 192 p.
3. Romanov A. N, Odintsov B. E. The computer-zation audit activities: training manual for high schools - Moscow: UNITY, 1996. - 270 p.
4. Romanov A. N., Odintsov B.Ye. Council Information systems in the economy. - Moscow: UNITY, 2000. - 487 p.
5. Savitskaya G. V. Theory analysis economic activity. - Moscow: INFRA-M, 2007. - 288 p.
6. Haykin S. Neural networks: a complete course. - Moscow: OOO "I. D. Williams," 2006. - 1104 p.
7. Buhmann M. D. Radial Basis Functions: Theory and Implementations. - Cambridge University Press, 2004. - 259 p.
8. Heuberger P.S.C., Van den Hof P.M.J., Wahlberg B. Modelling and Identification with Rational Orthogonal Basis Functions. -Springer-Verlag, 2005. -397 p.
9. Micheli M. The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature. - Ph.D. thesis, Brown University, Providence, Rhode Island, 2008. - 164 p.
10. Park J., Sandberg I.W. Universal approximation using radial-basis-function networks // Neural Computation, 1991, vol. 3. - p. 246-257.
11. Koblik A. A. The formation of interpolating splines for varieties submitted lie group // Vestnik SibADI. - 2012 - № 6 - P. 103-106.
Полонский Иван Александрович - аспирант ФГБОУ ВПО Сибирская автомобильно-дорожная академия (СибАДИ), e-mail: [email protected].
Чуканов Сергей Николаевич - д-р техн. наук, профессор Финансового университета при Правительстве РФ. Основное направление научных исследований - управление процессами в динамических системах. Имеет более 100 опубликованных работ.
Щипанов Владимир Евгеньевич - магистрант Факультета информационных технологий и компьютерных систем ФГБОУ ВПО Омский государственный технический университет, e-mail: mohax. mon @gmail. com
УДК.517.946
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫЕ С СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧЕЙ
ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Г. И. Шабанова
Аннотация. В данной статье устанавливается взаимно однозначное соответствие между классами функций Qм, QM э q (у) и (Г, ( э ((Л), где q (у) - потенциал сингулярной задачи Штурма-Лиувилля, а ((Л) - спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля. Отмечаются свойства функций, принадлежащих введенным классам.
Ключевые слова: оператор, задача Штурма-Лиувилля, спектральная функция, предел последовательности, взаимно-однозначное соответствие.
Введение -ф"+ а (у) = Лф (у, Л) (1)
Спектром, соответствующим задаче Штурма-Лиувилля ф (0, Л) = 1, ф'(0, Л) = 0. (2)
в случае полупрямой [0,«>) называется множество, дополнительное к множеству точек, в окрестности которых спектральная функция постоянна.
Точечным или дискретным спектром называется множество всех точек разрыва спектральной функции С (Л).
Точки в дискретном спектре называются также собственными значениями, а решение задачи (1), (2), соответствующие таким точкам, - собственными функциями.
Основные спектральные соотношения для
й 2
сингулярного оператора 1 „ =--2 + Ч(у) , где
ёу
q (у) - действительная непрерывная функция в интервале [0, , получим из соотношений в регулярном случае, решая задачу (1), (2) в интервале [0,Ь] и устремляя Ь к бесконечности.
Построим спектральную функцию С0 (Л), отвечающую коэффициенту д(у) = 0 в задаче (1), (2), у е[0, Ь].
Очевидно, <р(у,Л) = ео^л/Лу . Если полученное решение подчинить дополнительному условию <(Ь,Л) = 0, то из характеристического уравнения $т^[ЛЬ = 0 найдем точки дискретного спектра
пт
, m = 0,1,2 ...
(3)
Для двух последовательных собственных значений справедлива асимптотическая формула
VXm+1,b - m,b - "Л ■
(4)
измене-
пУсть ^Кь = и АО>,ъ(Л) ние спектральной функции в интервале (Л,Л + А), концы которого есть точки непрерывности С0Ь(Л). Разобьем интервал (Л,Л + А) точками
Л = Л0 <Л <Л2 < ... < Лк =Л + А на конечное число частичных интервалов (Л; ,Л+:) и
образуем сумму ]Г [а^ (Л) - О^ (Л )].
i—1
Предел этой суммы при к ^ ^ есть не что иное, как интеграл Стилтьеса
Um У [о0.b (Xi)-О0.b (Xi-1 )]-
i-1 X+Д
(5)
J dX о.ь (X) — о о.ь(Х+Д)-о о.ь (X) -До о.ь (X)
Интегрирующая функция С0Ь (Л) является функцией ограниченной вариации:
к
Е 1°0.Ь (Л ) _ С0.Ь (Л-1 ^ ^ к , К
i—1
Вычислим теперь Ао0.ь (Л) по определению, учитывая асимптотическую формулу (3).
X
b
До0,ь(X) — У --1--
X<Xm.b SX+Д ф (y, Xm,b)
2 — У -
X<XmbSX+Д Л b
X m+1,b Xm,b
(Sm+1,b + Sm,b )
(
sin 2jX
(6)
b sin 2 + 4^X
m,b
m, b
b
Решая задачу (1) в интервалах [0,Ь1 ]с[0,Ь2]с...с[0,Ьк] и устремляя Ьк к бесконечности, мы получаем последовательность спектральных функций <г0 Ь = О0 Ь. По первой
теореме Хелли [1], всякая последовательность ограниченных в совокупности неубывающих функций сходится в основном к неубывающей функции о(Л) (т.е. в точках непрерывности
с (Л)).
limOo ,ь (X) —Оо (X) ■
По второй теореме Хелли [1],
X+Д X+Д
lim J do0 b (X) — J do0(X); Л и X + Д -
XX
точки непрерывности o(X) ■
Перейдем к пределу в равенствах (5) и (6) при b ^ » ■
Л+Д
Иш I йо0Ь (Л) = Иш До0Ь (Л) = Иш У
Ь^ж 3 , Ь^ж , Ь^ж ^^
Л -Л
Лт+1,Ь Лт,Ь
Л<Лш,ь <Л+Д П
(^т+1,Ь + $т,Ь )
ъ
Л+Д
п1 ш =1 ао'{Л).
Ь + вт2^Л~ь ■Ь 2 4л/л~;
2 Л++Д йЛ
Из последнего соотношения следует равен-
2
ство дифференциалов йо0 (Л) = — й (а/Л) и
П
вид спектральной функции сингулярного оператора 10
Оо (Л) =
—л/Л при Л > 0, П
0 при Л< 0.
Основная часть
Сформулируем и докажем несколько лемм о свойствах собственных значений оператора Штурма-Лиувилля 1 а, свойствах
д (у) и О (Л), ибо каждая из лемм "имеет своим назначением существенное облегчение работы в будущем ... " [2].
1. О свойствах спектра оператора Штурма-Лиувилля, связанных со свойствами а (у) . Классы функций а (у) .
Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля
1 р = Лгр(у,Л),
(7)
<р(0,Л) = 1, р' (0,Л) = 0 (8)
в интервале [0,Ь]. г = г(у) > 0 ;
г(у)еС[0,Ь]; д(у)е С%Ь].
Отметим свойство собственных чисел ЛпЬ оператора 1д
Лп,Ь >т,
где т - наименьшее значение функции
(9)
д (у) г (у)
в интервале [0,Ь], п = 0,1,2, ... . Дополним начальные условия (8) граничным условием
((Ь,Л) = 0, (10)
и вычислим [3] скалярное произведение (1 а р, р) = (Лгр, р). Применяя интегрирование по частям, получим
о о оо
(1 ар,р) = -1 р" рйу +1 д р2йу = -(йр'+1 др2йу--
= -рр I +1р 2йу +1 др2йу = Л| гр2йу. (11) 0 0 0 0 Пусть Л = Лп - собственное значение, а
р = рп - соответствующая собственная функция. Как известно [3], каждому собственному числу соответствует не более двух линейно независимых собственных функций, и все они образуют ортонормированную систему с весом г(у): ь
Iг (у) рп (у, Л) рт (у, Л) йу = 0 , если п Ф т,
0 ь
Iг (у) р2(у,Л) йу = 1,
если т = п ,
п = 0,1,2,... (12)
Полагая в (11) Л = Лп, р = рп с учетом нормировки (12), получим формулу для собственных чисел оператора 1
ь ь
/2
Лп = Iр'пйу +1 д (у)р1 йу (13)
00 Перепишем (13) в виде
ь ь , ,
>23.. . ьд(у)
Лп = |рп2йу + г(у)р„2(у,Л)йу (13')
0 0 г ( у)
Поскольку функция
а(у) г(у)
непрерывна в
интервале [0,Ь] и достигает своего наименьшего значения т, то из (13') следует оценка
для собственных чисел оператора 1
ь ь
Лп > ¡рп2йу + т| г(у)рп2 йу > т (14) 00 Замечание. Собственные числа зависят от пределов интеграции Лп =ЛпЬ = Лп (Ь).
При изменении коэффициента д(у) в опре-
0
0
0
0
ь
ь
ь ь
0
деленную сторону собственные значения меняются в ту же сторону. При изменении коэффициента г(у) в определенную сторону собственные значения меняются в противоположную сторону [3].
Лемма 1 (о предельной точке спектра оператора 1 ).
Пусть в задаче Штурма-Лиувилля
lq ( = Ar(у)((y,A)
(7)
с дополнительными условиями (8) и (10)
при Ь = Ьп, г(у) = 1,
\ч(у) при у е [0,Ьп] , дп(у) = 1 п ^ ] (15)
[ 0 при у е [Ьп, ,
Чп(у)е С:[0,Ьп]. ч(у) имеет абсолютный минимум
qmin абс
Пусть при больших значениях у > Ь* Ч( у) принимает отрицательные значения и монотонно стремится к нулю
я(У) = 0 Г 1
У
у
(17)
Тогда все собственные числа сингулярного оператора l за исключением, быть может, Аз положительны и A = 0 - предельная
точка спектра. Доказательство
Рассмотрим три задачи Штурма-Лиувилля в интервале монотонного возрастания
q(y)- [b,Ъ ], ък > Ъ.
1. (+ (A-q(y)) r(y)((y,A) = 0 ,(18) ((Ък ,A) = 1, ( (Ък ,A) = 0, (19) ( (ЪпА) = 0 . (20)
2. ('+ (A- qmin) rmax ((У,А) = 0 с дополнительными условиями (19), (20).
3. ('+ (А-qmax) Гmin ((У,А) = 0 сте-ми же дополнительными условиями.
Обозначим собственные значения приведенных выше задач через АпЪ, A1)b, Ап2>ъ. В соответствии с замечанием имеем
3(2)
Ли— Л и — Л\.
п,Ь — п,Ь — п,Ь
Введем новую переменную у - Ьк = У и запишем задачу 2 в новых переменных
<+ (Л-Чнаим) гшах <(У,Л) = 0, <(0,Л) = 1, <(0,Л) = 0,
< (Ьп - Ьк) = 0 (21)
Решение этой задачи известно:
<(У,Л) = ео^(Л- днаим )гГтах • У . Подчиняя
<(У,Л) условию (21), получим собственные
А(1) =
значения 'Vb
2 2 п п
(Ъп - Ък )2 rmax
+ qH
и аналогично,
А(2) =■
22 п2п
. . r
к ' min
+qHfla6; п = 1, 2 -
п,ь~ (Ьп - ьк )2
Таким образом, оценка собственных значений задачи 1 имеет вид
2 2 2 2 п п _ „ _ п п
:q(b) = m < 0 . (16) (Ъп - Ък )2 rmax
< А < п п (22)
+ Чнаим — An,b — ^ 7^2 + qnau6 * '
(Ъп - Ък ) rmin
Из оценки (22) и теоремы Штурма [4] о разделении нулей следует существование бесчисленного множества собственных значений у исходной задачи Штурма-Лиувилля, а также предельные соотношения ЛпЬ^<^>
при п ^^ ; Лп (Ь) ^ ^ при Ьп ^ 0 .
Если Ьп возрастает, то Лп(Ь) монотонно убывает.
В интервале [Ь^ Ьп] в силу условия (17)
qH
q
наиб
^(Ък) = 0
^(Ъп) = 0
Г1 ^ Г 1 ^
v Ъ2;
Символика 0(a) означает, что
к 1
<£
или
qHauM > £
£
>
£
Ъ2 (ъп - Ък Г £
(23)
Чнаиб < Инаиб \ — ,2 < 7т , \2 Ь (Ьп - Ьк )
Усилим неравенство (22), положив г(у)=1 и учитывая оценки (23) для ч( у) в интервале
[Ьк, Ьп ].
£
(Ъп - Ък ) (Ъп - Ък);
^ . п2п2 £
2 < Ап.Ъ <Ti-rv + Т,-rv
"(Ъп - Ък )2 (Ъп - Ък )2
22
По теореме о промежуточном пределе lim Л , = 0.
ь„ ^
qn ( y)
\q( y) при y e[0, Ьп ],
При сколь угодно малом £ и Ьп ^ ж
точка Л = 0 является правой предельной точкой спектра. Лемма доказана для д(у)е ^[0,ж) таких, что последовательность функций {дп (у)} при п ^ж сходится по норме пространства ^[0,ж) или сильно сходится к д( у) .
Определение 1. Пусть д(у) удовлетворяет следующим требованиям:
1. д(у)е С 1[0,ж)пф,ж);
q( y)
h [0,-)
< M .
2. qmin = q(b*) = m < 0.
¿mm абс
qn( y)
3. При больших значениях у > Ь* д(у) принимает отрицательные значения и монотонно стремится к нулю д(у) = 0 у ^ ж .
4. Последовательность элементов [д(у), если у е[0,Ьп ], [0, если у е(Ьп, ж)
линейного нормированного пространства Ь1[0, ж) сходится в ^[0, ж) к элементу этого пространства д( у) по норме
Пш| дп ( у) - д( у)| ^ [0,ж)= 0 .
Условимся считать, что совокупность функций д(у) с указанными свойствами составляет класс Q .
Определение 2. За класс QMпримем множество целых функций класса Qм, таких, что а(0) = А > 0 .
2. Спектральная функция оператора 1 а
как предел последовательности. Аналитическая формула спектральной функции. Свойства и классификация спектральных функций.
Лемма 2 (о пределе последовательности спектральных функций)
Если последовательность финитных функций (15)
[0 при y e(bn, ж)
сходится по норме к q(y) G h, [0,ж) и q(y) непрерывна в каждом конечном интервале, то из последовательности соответствующих спектральных функций оператора l q (1) - (2)
7 (Л), а2(Л),..., оп(Л),... (24)
монотонных, неубывающих и ограниченных в совокупности на всюду плотном множестве Д, можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность
7п(Л), <722(Л), . , ann(Л),... , (25) сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции 7 (Л). Доказательство [1]
Пусть Д - какое-нибудь счетное всюду
плотное множество точек Л1,Л2,... ,Лп,____
Рассмотрим последовательность (24) в точке Л = Л■ Множество значений
7(Л), 72(Л), .•• , 7n(Л), по предположению ограничено, следовательно, оно содержит по крайней мере одну последовательность
7п(Л), МЛ), . , 7In (Л), . , (26) сходящуюся к некоторому предельному значению 7 (Л)■
Рассмотрим теперь функциональную последовательность
711(Л), 712(Л), ... , 71n(Л),... в точке
Л = Л2. Из нее также можно выделить сходящуюся последовательность
721 (Л), 722(Л),... , 72n(Л), . (27)
Последовательность (27) является сходящейся и в точке Л, и в точке Л ■ Функциональную последовательность 721 (Л), 722 (Л),... , 72n (Л),... рассмотрим в
точке Л = Л. Из нее также выделим сходящуюся подпоследовательность
731 Л 732 Л 733 (Л3 X . , 73n Л . (28)
Последовательность (28) сходится в трех точках Л= Л1 , Л= Л2 , Л= Л3 . Продолжим такое выделение последовательностей
7,1 (Л), 7k 2 (Л),... , 7кп (Л),... (29)
для которых одновременно имеют место r равенств lim окп Xr) — o(Xr) при всех
n
r < k ■
Составим диагональную последовательность
Оц (X), О22 (X), О33 (X), к , Отп (X), к (30) Вся она выделена из (24) и сходится в точке Xy Подпоследовательность (30) без первого члена выделена из (26) и сходится в точке X — X ■ Последовательность (30), за исключением ее k-1 членов выделена из (29), поэтому limопп (Xk) — o(Xk) при каждом k.
Так как функции OnnX) не убывают и равномерно ограничены, то и o(X) будет неубывающей и ограниченной на множестве Д.
Докажем, что последовательность Опп (X) сходится в основном к функции o(X) при n — » ■ Для простоты изложения Onn (X) заменим на On(X) ■ Пусть точки X,X',X"g Д и X'<X<X" ■ При этом On(X) < Оп(X) < Оп(X) ■
Тогда
limоп(X) < limоп(X) < Пшоп(X) < limоп(X) ■ (31)
п—» п—» п—» п
Пусть X и X - точки непрерывности спектральной функции, следовательно, lim оп (X) — o(X ), lim оп (X") — о(X), и
неравенство (31) будет иметь вид
o(X) < lim оп (X) < lim оп (X) < o(X") ■
пп
Средние члены в полученных неравенствах не зависят от X, X, поэтому
o(X - 0) < lim оп (X) < йшоп (X) < о( X+0)
и в точках непрерывности o(X) имеем lim оп (X) — o(X) ■
п
Для сходимости в основном достаточно, что последовательность функций
{onX)}сходилась к o(X) при n —» на каком-нибудь всюду плотном множестве Д [1]^ Ниже мы всегда будем считать, что функции onX) удовлетворяют условию
Заключение
Статья содержит предварительные исследования сингулярной задачи Штурма-Лиувилля. Полное исследование включает в себя шесть лемм и две теоремы. Публикация новых научных результатов относительно свойств функций <J(A) и q(y) будет продолжена.
Библиографический список
1. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей. Издательство «Наука», Москва. 1969. - 400 с.
2. Хинчин А. Я., Восемь лекций по математическому анализу. Издательство «Наука», Москва. 1977. - 279 с.
3. Цлаф Л. Я., Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Издательство «Наука», Москва. 1979. - 191 с.
4. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. Издательство «Наука», Москва. 1970. - 671 с.
SOME CLASSES OF FUNCTIONS WHICH
ARE CONNECTED THE INVERSE SINGULAR STURM-LIOUVILLE PROBLEM
G.I. Shabanova
This article is about one reciprocals correspondence between the classes of functions Q„,
QM Э q (y) and <7, <7a Э <(A), where q (y) is a potential of singular Sturm-Liouville problem, and <(A) is a spectral function of Sturm-Liouville operator.
We are celected the main properties of functions, connected with pointing classes.
Keywords: operator Sturm-Liouville problem, the spectral function, the limit of the sequence, one-to-one correspondence.
Bibliographic list
1. Gnedenko B. V. The course in probability theory. "Nauka", Moscow. 1969. - 400 p.
2. Khinchin A. J. Eight lectures on mathematical analysis. "Nauka", Moscow. 1977. - 279 p.
3. Tslaf L. Y. The calculus of variations and integral equations. "Nauka", Moscow. 1979. - 191 p.
4. Levitan B. M. IS Sargsyan. Introduction to spectral theory. "Nauka", Moscow. 1970. - 671.
Шабанова Галина Ивановна - доцент кафедры «Высшая математика» Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (Си-бАДИ). Обратные задачи математической физики, 21, [email protected]
°п = 0 и
оЛх-0) = оЛX).
непрерывны
слева
