CC BY
155СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА
Лесовик Р. В., канд. техн. наук, доцент, Клюев С. В., проф. РАЕ, канд. техн. наук, доцент,
Клюев А. В., студент
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Введение
Оптимизация - это система или процесс выбора таких свойств или таких параметров проектируемого объекта, которые обеспечивают его наивысшую эффективность, иначе говоря, это система (или процесс) управления качеством проектируемого объекта [3].
Оптимизации строительных конструкций в течение долгого времени не уделялось должного внимания, хотя решению такого рода задач для простейших систем вели такие крупные ученые прошлого, как И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж. Лагранж.
Во-первых, это связано с тем, что архитекторы и инженеры далекого прошлого часто пренебрегали расходом материала, идущим на конструкцию или сооружение. Во-вторых, не было мощных вычислительных средств, способствующих решать сложные задачи.
Попытки решения задач оптимизации предпринимались еще в древности. Так, уже во времена Пифагора было известно, что фигура, имеющая наименьшее отношение периметра к площади - это круг. В 1638 г. Галилей, положивший начало сопротивлению материалов, решил задачу о балке равного сопротивления. Предложенное им условие равнопрочности использовалось при проектировании конструкций вплоть до XX в.
В 1661 г. Я. Бернулли с помощью дифференциального исчисления исследовал форму балок равного сопротивления, находящихся под действием переменной нагрузки. В этом направлении проводили исследования И. Ньютон и Ж. Лагранж. Но появление математических средств эффективного решения подобных задач следует связывать с именем основоположника вариационного исчисления Л. Эйлера.
По традиции конструкции, близкие к оптимальным, получали с помощью метода проб, основанного на опыте проектирования других подобных конструкций. Проводился анализ нескольких проектов вблизи интуитивного оптимума, приводящий к ситуации, в которой можно было оценить их относительные достоинства и выб-р ать наилучший из них.
Наибольшее распространение в ХХ веке получило оптимальное проектирование конструкций, с целевой функцией объема, веса, стоимости, которая экономической категорией. Иными словами, постановка задачи оптималь-
ного проектирования связана со стремлением обеспечить максимальную технико-экономическую эффективность конструкции при соблюдении условий надежности.
1. Общий подход к оптимальному проектированию
строительных конструкций
Возможности оптимального проектирования существенно расширились в связи с внедрением в практику проектирования вычислительной техники и эффективных численных методов расчета, в частности метода конечных элементов. Основные уравнения метода представляют собой систему линейных уравнений, которые вводятся в итерационную процедуру. В то же время, если в процессе оптимизации варьируемые параметры претерпевает значительные колебания, то возможны трудности со сходимостью процесса.
Поскольку новый подход предусматривает комплексную разработку, позволяющую проектировать систему в целом, а не по отдельным ее частям, одной из чрезвычайно важных научных и прикладных задач является разработка методологии оптимального проектирования сложных технических систем - системного проектирования.
Каждая конструкция имеет предел своей массы. Выдающийся американский математик Винер в книге "Кибернетика или управление и связь в животном и машине" пишет по этому поводу: "... для всякой формы организации существует верхняя граница ее размера, выше которой она не будет действовать. Высота небоскребов ограничена тем, что если она превысит некоторый предел, то для верхних этажей потребуется шахта лифта, которая займет слишком большую часть поперечного сечения нижних этажей. Наилучший подвесной мост, который можно построить из материалов данной упругости, рухнет от собственного веса, если его пролет превысит некоторый предел, а при еще большем пролете рухнет от собственного веса любая конструкция, построенная из данного материала".
Задача рационального подбора материалов приобрела практическое значение в связи с синтезом полимеров, появлением композитов. При создании конструкции заданной конфигурации из композиционных материалов определяются типы компонентов, их количество и расположение. Это повысило творческое начало, по-
скольку появилась возможность эффективного использования материалов. Изменение модулей в композитах может быть осуществлено, например, путем процентного содержания их составляющих. При создании конструкции заданной конфигурации из композиционных материалов определяются типы компонентов, их количество и расположение.
При построении методов проектирования конструкций обычно сталкиваются с противоречивыми требованиями. С одной стороны, теория проектирования должна быть простой, применимой к решению практических задач до численныхрезультатов, а с другой - должна наиболее точно описывать проектируемую конструкцию из реальных материалов. Постольку полное удовлетворение обоих требований одновременно почти невозможно, всегда указывают на степень идеализации рассматриваемых объектов и принимают обоснованные допущения.
В прямой задаче строительной механики имеют дело с так называемой расчетной схемой сооружения, под которой понимают упрощенную схему действительного сооружения с отражением его основных свойств. Сохраняя эти предпосылки, модель структурного синтеза содержит определенное число проектных параметров или функций и информацию о внешних и внутренних связях. Предполагается, что внешние силы относятся к квазистатическому типу, а процесс нагружения - однократный.
Для решения прямых задач строительной механики часто прибегают к дискретным моделям тел. Действительную систему заменяют приближенной физической моделью, состояние которой выражается конечным множеством чисел. В этом случае расчет физической модели можно истолковать как приложение одного из методов математической дискретизации, при которых точное решение, описываемое при помощи соответствующих функций, заменяется приближенным решением в виде конечного множества чисел.
Проектирование неизбежно связано с рядом требований, приводящих к определенным геометрическим и конструктивным ограничениям, а также к ограничениям на поведение конструкции. Некоторые из них носят общий хар актер, но б ольшая часть определяется спецификой отдельного проекта. Остановимся на требованиях (ограничениях), относящихся к большинству конструкций.
К числу ограничений на поведение конструкции относятся следующие: 1) на напряжения, накладываемые требованиями прочности, безопасной устойчивости; 2) на перемещения, накладываемые требованиями жесткости; 3) в отношении совместности, обеспечивающие неразрывность частей конструкции.
Некоторые требования иногда можно не учитывать при постановке задачи, а проверять их выполнимость после получения решения. При наличии временной нагрузки в исходные данные задачи синтеза конструкции вводится один из вариантов ее расположения. Полученная конструкция проверяется на все возможные комбинации постоянной и временной нагрузок. При неудовлетворительных результатах проверки в исходные дан-
ные вводится другой вариант временной нагрузки. В то же время нельзя стать на путь построения огибающей конфигурации, поскольку связанное с ней перераспределение напряжений и деформаций может привести к нарушению ограничений на поведение конструкции.
В задачах оптимального проектирования присутствует целевая функция, определяемая как функция переменных параметров проектирования, которая лежит в основе выбора конструкции из альтернативных приемлемых решений (вместо функции может быть задан функционал). Критерием оптимальности служит условие максимума или минимума целевой функции (функционала) [1, 2].
Большую роль при выборе модели и постановке проектной задачи играет априорная информация о свойствах искомого решения, что позволяет принять существенные ограничения. В большинстве случаев, однако, трудно предсказать свойства искомого решения, ибо последнее может нарушить гипотезы, положенные в основу самой модели. Могут быть также нарушены неучтенные ограничения. В связи с этим представляется целесообразным решить прямую задачу для полученной конструкции, оценить напряженно-деформированное состояние и, если необходимо, скорректировать модель и ввести в проектную задачу дополнительные ограничения.
2. Многокритериальное^ в оптимальном
проектировании
Невозможно одновременно максимально удовлетворить каждое из множества требований в отдельности в силу того, что они нередко взаимно исключают друг друга. В то же время оптимальные решения, удовлетворяющие лишь одному из предъявляемых требований, позволяют получать такие конструкции, которые могут быть использованы лишь в частных случаях строительной практики и потому не всегда представляют интерес. Таким образом, при выборе рационального конструктивного решения из множества альтернатив необходимо исполь-зов ать целый ряд критериев, т.е. оптимизир ов ать решение в соответствии с несколькими целевыми функциями.
В этом случае приходится сталкиваться с проблемой многокритериальности, которая затрудняет успешное применение аналитических и численных методов для решения реальных задач. В случаях использования двух критериев можно путем численных расчетов получить множество эффективных конструктивных решений.
В общем случае, когда число критериев больше двух, затруднительно не только построение множества эффективных конструктивных решений, но и выбор предпочтительного решения, так как общепринятого подхода для реализации таких задач оптимизации еще нет.
Существуют различные подходы к решению многокритериальных задач оптимизации. Наиболее распространенным из них является агрегирование многих целевых функций в единую функцию полезности. Подобный подход широко применяют, когда целевые функции аддитивны; в этом случае проще привести оценки по каждому критерию к единой шкале. В противном случае возника-
ют трудности математического плана, вызванные вычислительной сложностью алгоритмов оптимизации.
Всем известно, что чем сложнее проектируемая конструкция, тем выше эффект от применения методов ее оптимального проектирования.
При решении практических задач также широко используется принцип последовательного выявления предпочтений относительно рассматриваемых критериев. При выборе рациональной конструктивной системы один из критериев принимается за наиболее важный из всех других и исследуется его влияние на агрегированную функцию полезности. Так поступают и со всеми другими принятыми критериями. Однако, если оценки по рассматриваемым критериям окажутся одинаковыми либо превышающими минимально необходимый уровень, тогда подобные исследования оказываются неоправданными. Но это становится ясным только после проведения численного анализа.
При решении многокритериальных задач оптимизации используют также принцип доминирования: один из выявленных в пр оцессе пр оектирования р ациональных конструктивных систем (например, опытным путем) преобладающий критерий оптимальности (материалоемкость, трудозатраты или энергозатраты) принимается за целевую функцию. На остальные же критерии эффективности накладываются ограничения. При таком подходе поиск рациональной конструктивной системы сводится к решению задачи параметрической оптимизации.
Многокритериальная задача оптимизации в общем виде является нелинейной, невыпуклой, что значительно затрудняет ее реализацию существующими методами математического программирования.
3. Тенденции оптимизации строительных
конструкций
Стоит отметить, что первоначально решение задач оптимального проектирования конструкций проводилось с использованием методов классического вариационного исчисления. Недостатком этих методов было то, что они решали лишь частные задачи оптимального проектирования строительных конструкций.
С появлением в середине прошлого века вычислительной техники и ее применением к решению задач оптимизации привело к интенсивному развитию методов математического программирования, которые позволили ставить и решать более сложные задачи расчета и оптимизации строительных конструкций.
Основной альтернативой методов математического программирования применительно к оптимизации строительных конструкций явилась методология критериев оптимальности. Существенным моментом была разработка энергетического критерия оптимизации [4].
Выявленные энергетические характеристики оптимальных конструкций могут использоваться как критерии, обеспечивающие минимальный вес и служить основой для построения методов их синтеза. При этом задача о поиске минимума заменяется задачей о синтезе
систем с заранее заданными свойствами. Кроме того, такая постановка не только позволяет создавать эффективный вычислительный алгоритм, но и с высокой степенью достоверности оценивать уровень приближения полученного решения к оптимальному [1, 2, 5].
4. Основные виды задач оптимизации
конструкций и методы их решения
Среди проектировщиков интерес к задаче оптимального проектирования строительныхконструкций занимал всегда главенствующую роль. Из всего многообразия существующих постановок задач оптимизации можно выделить следующие основные направления исследований:
1) минимизация массы конструкции с фиксированной геометрией решетки или срединной поверхности (распределение масс по элементам заданной осевой схемы или вдоль срединной поверхности заданных очертаний);
2) оптимизация формы и упругих свойств материала конструкции;
3) поиск оптимального распределения внешних нагрузок.
В виду того, что элементы реальных конструкций, имеющие в большинстве своем постоянные геометрические и физические характеристики, нагружены с разной интенсивностью, т.е. имеют различные напряжения, конструктивные системы с постоянными характеристиками элементов заведомо не рациональны. Исходя из этого задача конструирования заключается в следовании направлениям потоков основных напряжений, возникающих в элементах конструкции от действия заданных нагрузок и последующем перераспределении плотности и физических характеристик материала таким образом, чтобы сконцентрировать материал в направлениях и областях действия наибольших напряжений и, наоборот, ослабить малонапряженные участки.
Эта цель может быть достигнута при создании конструкций с переменными характеристиками путем варьирования плотности, толщин, физических характеристик элементов, откуда следует три разновидности постановок оптимизационных задач:
1) минимизация массы стержневых систем с одновременным поиском оптимального распределения сечений стержневых элементов;
2) проектирование конструкций переменной плотности, с последующим удалением материала из мало-нагруженных областей и образованием внутренних полостей на их местах, а также минимизация массы конструкций путем выбора схем оптимального армирования;
3) проектирование конструкций переменной жесткости при помощи распределения по объему или поверхности конструкции физических характеристик материала (модулей упругости), а также путем создания оптимальной анизотропии элементов.
К недостаткам работ указанного подхода следует отнести:
1) отдельное, независимое рассмотрение геометри-
ческих и физических характеристик элементов конструкции, не учет их совместного влияния на оптимальный проект;
2) варьирование отдельных физических характеристик материала конструкции при фиксированных значения остальных;
3) постоянство заданного типа анизотропии материала во всей задаваемой им области.
Ф. Отто предлагает оценивать эффективность конструкции с учетом связи между формой, усилием и массой по формулам:
Ь1е = т / ЕБ, (1)
X = Б/4Е, (2)
где Ые - отношение массы т конструкции к усилию Г, действующему на расстоянии Б; X - относительная стройность конструкции.
Массивные конструкции согласно формуле (1) имеют большие значения Ые, а легкие конструкции - малые значения. Из формулы (2) следует, что с увеличением Б растет стройность конструкции. Причем конструкции, подверженные сжатию и изгибу, при большой стройности X имеют большую массу и, следовательно, большие значения Ые.
5. Вывод
В теории оптимального проектирования рассматриваются комплексные ситуации, в которых скрещиваются отдельные критерии, выражающие требования к конструктивным системам. Причем эти требования противоречат друг другу, а потому при проектировании конструктивной системы необходимо учитывать каждое из
них. В противном случае самая надежная конструктивная система может оказаться неэкономичной, а самая экономичная - ненадежной.
Оптимизация строительных конструкций состоит в том, чтобы найти такую систему, которая, например, обеспечивая достаточно высокую надежность, требовала бы минимума затрат на ее изготовление и эксплуатацию, т. е. надо найти компромиссное решение. Задачи, в которых количество функций равно количеству критериев, как говорилось выше, относятся к классу задач многокритериальной оптимизации. В настоящее время их реализация сопряжена с большими математическими и вычислительными трудностями.
Разработка проблем оптимального проектирования конструкций позволяет преодолеть трудности, связанные с несовершенством конструктивных форм и большой их материалоемкостью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клюев С.В. Оптимальное проектирование конструкций башенного типа: Дисс. ... канд. техн. наук / С.В. Клюев; Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. - Белгород, 2006. - 153 с.
2. Клюев С.В. Оптимальное проектирование стержневых систем. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. -130 с.
3. Ольков Я.И. Оптимизационные методы в совершенствовании конструктивных форм стальных каркасов зданий: Дисс. ... докт. техн. наук / Я.И. Ольков; Свердловск: УПИ, 1990. -418 с.
4. Юрьев А.Г. Основы проектирования рациональных несущих конструкций. - Белгород: БТИСМ, 1988. - 94 с.
5. Юрьев А.Г. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ, 2006. - 134 с.
