CC BY
44Лесовик Р. В., канд. техн. наук, доцент, Клюев С. В., проф. РАЕ, канд. техн. наук, доцент,
Клюев А. В., студент
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
Введение
В настоящее время теория оптимального проектирования является одним из актуальных и развивающихся разделов в механике деформируемого твердого тела, на котор ой б азируются проектные р асчеты стр оитель -ных конструкций. Число публикаций в этой области постоянно увеличивается. Становятся все более разнообразными постановки задач и методы их решения.
Задачи оптимизации стержневых пространственных систем делятся на две группы. К первой группе относятся задачи оптимизации параметров системы. В этих задачах осуществляется управление основными характеристиками конфигурации, в том числе рассосредоточе-ние массы по площадям поперечных сечений. Ко второй группе относятся задачи оптимизации материала конструкции, например, при переменном модуле продольной упругости.
Значительное развитие теории оптимального проектирования стержневыхконструкций связано с совершенствованием вычислительной техники. Появление быстродействующих вычислительных машин способствовало интенсивному применению методов вариационного исчисления, математического программирования, оптимального управления системами с распределенными параметрами, которые позволили ставить и решать все более сложные задачи оптимизации стержневых конструкций.
Для математического моделирования используются
мощные расчетные комплексы: Lira-Windows, Ansys, Staad, Мираж, Cosmos, Scad и др. В данной работе для математического моделирования был использован расчетный комплекс Lira-Windows, основанный на методе конечных элементов (МКЭ). Этот метод является мощным и надежным средством исследования поведения конструкций в условиях разнообразных воздействий. С помощью МКЭ можно проводить расчеты статического и динамического напряженно-деформированного состояния, форм и частот колебаний, анализ устойчивости конструкций и др.
Процедура оптимизации по своему характеру часто является итерационной в силу высокого уровня нелинейности задачи. На каждом шаге процедуру итерационного расчета можно разделить на две фазы. Сначала проводится расчет конструкции при заданных параметрах. Затем производится преобразование переменных проекта на основе соотношений, выведенных из критериев оптимальности.
Если усилия в элементах конструкции в значительной мере чувствительны к размерам их поперечных сечений, как это наблюдается в задаче оптимизации многостержневой пространственной статически неопределимой фермы, то может потребоваться большое число итераций для достижения оптимального проекта. В целях совершенствования этого процесса в последнее время привлекаются эв олюционные стр атегии [3].
1. Постановка задачи
Рассмотрим пространственную 25-стержневую ферму (рис. 1). Принимаем во внимание ограничения по напряжениям и устойчивости. Детальная информация о конструкции приведена в табл. 1, 2, 3 и 4.
Рис. 1. 25-стержневая ферма
Для создания оптимизационной модели используется соединенный план геометрии и параметров сечений [1, 2]. Поперечные сечения составляют независимые переменные: А1 А2=А3=А4=А5, А6=А7=А8=А9, А =А ,
А12 = А13 = А14 = А15 = А16 = А17' А18 = А19 = А20 = А21' А22=А23=А24=А25.
Производится параметризация геометрии конструкции с учетом симметрии системы относительно плоскостей хг и уг. Три переменных х4, у4 и г4 получаются из вариационных возможностей узлов 3, 4, 5 и 6 в направлении х, у и г. Две следующих переменных х8 и у8 получаются из вариационных возможностей узлов 7, 8, 9 и 10 в направлении х и у. Тем самым задача охватывает 8 параметров поперечного сечения А1, А2, А6, А10, А12, А14, А , А22 и пять геометрических параметров х4, у4, г , х8 и у8. Далее рассматриваются ограничения на напряжения и устойчивость (15 отдельных ограничений).
Возможны три постановки задачи, которые различаются в определении переменных проекта.
Задача 1 (континуальная): Континуальные переменные поперечных сечений и геометрии: 0.01 < А. < 2.0;
Таблица 1
25-стержневая ферма: координаты узлов
узлы X у г узлы X у г узлы X у г
1 -37,5 0 200 5 37,5 37,5 100 9 100 -100 0
2 37,5 0 200 6 -37,5 -37,5 100 10 -100 -100 0
3 -37,5 37,5 100 7 -100 100 0
4 37,5 37,5 100 8 100 100 0
Таблица 2
25-стержневая ферма: топология элементов
Род. У3 У3 Род. У3 У3 Род. У3 У3 Род. У3 У3 Род. У3 У3
1 1 2 6 2 4 11 4 5 16 4 9 21 6 9
2 1 4 7 2 5 12 3 4 17 5 8 22 6 10
3 2 3 8 1 3 13 5 6 18 4 7 23 3 7
4 1 5 9 1 6 14 3 10 19 3 8 24 4 8
5 2 6 10 3 6 15 6 7 20 5 10 25 5 9
Таблица 3
25-стержневая ферма: проекции нагрузок
нагрузка 1 нагрузка 2
узлы
1 0,0 2000,0 -5000,0 1000,0 10000,0 -5000,0
2 0,0 -2000,0 -5000,0 0,0 -10000,0 -5000,0
3 0,0 0,0 0,0 500,0 0,0 0,0
6 0,0 0,0 0,0 500,0 0,0 0,0
5.0 < х4 < 70.0; 5.0 < у4 < 70.0; 50.0 < г4 < 150.0; 50.0 < х8 < 120.0; 50.0 < у8 < 120.0; г =2, 6, 10, 10, 14, 18, 22.
Таблица 4
25-стержневая ферма: постоянные
модуль упругости Е = 1.0 107
допустимое напряжение ^аёш = ±40000
удельный вес У = 0.1
коэффициент устойчивости к = 39.274
Задача 2 (дискретно-континуальная). Дискретные переменные - поперечные сечения, континуальные -геометрические переменные:
Д. е Ц ; 5.0 < х4 < 70.0; 5.0 < у4< 70.0; 50.0 < г4 < 150.0; 50.0 < х8 < 120.0; 50.0 < у8 < 120.0; г =2, 6, 10, 10, 14, 18, 22.
Задача 3 (дискретная). Дискретные переменные -поперечные сечения и геометрические переменные:
Д. е Д; х4 е Д; у4 е Д; е Д; х8 е Д; у8 е Д; г=2, 6, 10, 10, 14, 18, 22.
2. Решения на основе эволюционных стратегий
Три описанные оптимизационные задачи решаются на основе эволюционных стратегий [2, 3]. В табл. 5 представлены результаты оптимизационных расчетов.
На рис. 2 представлена исходная конфигурация для случая континуальных переменных (задача 1).На рис. 3 представлены конечные конфигурации для постановок задач 1, 2 и 3.
Рис. 2. 25-стержневая ферма, начальная конфигурация:
- начальная конфигурация, плоскость хг;
- начальная конфигурация, плоскость у г.
Достигнутые результаты убеждают нас в эффективности эволюционной стратегии оптимизации конструкций. Применяемые высокоразвитые формы многочленной эволюционной стратегии обнаруживают благоприятную сходимость.
Выводы
1. Наличие современных расчетных комплексов открывает возможность оптимизационной постановки задачи с использованием продуктивной итерационной процедуры.
2. Введенная в работе эволюционная стратегия с переменной длительностью существования индивидов оправдывает себя в оптимизационных расчетах с дискретными и континуальными переменными проекта присущими пространственным фермам.
Таблица 5
25-стержневая ферма: результаты
№ Переменная начальная величина (НВ) 1 НВ 2 НВ 3 Задача 1 Задача 2 Задача 3
1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 0,01 0,1 0,1 0,01495 0,1 0,1
2 4 0,782 0,8 0,8 0,537 0,7 0,7
3 А 0,754 0,8 0,8 0,7362 0,7 0,08
4 А10 0,01 0,1 0,1 0,01 0,1 0,1
5 А12 0,13 0,2 0,2 0,0136 0,1 0,1
6 А14 0,558 0,6 0,6 0,0952 0,3 0,3
7 А18 0,982 1,0 1,0 0,7994 0,6 0,6
8 А22 0,801 0,9 0,9 0,3144 0,4 0,4
9 Х4 37,5 37,5 38,0 25,565 11,581 9,0
10 >4 37,5 37,5 38,0 44,981 56,076 99,193 48,0 93,0
11 г4 100,0 100,0 100,0 106,32
12 Х8 100,0 100,0 100,0 50 51,651 47,0
13 >8 100,0 100,0 100,0 95,1 50,0 52,0
Вес 229,55 145,6 145,4 123,88 135,15 136,142
Число генераций 256 145 91
Рис. 3 Конечная конфигурация: а, в, д - плоскость хг; б, г, е - плоскость у г а, б - постановка 1; в, г, - постановка 2; д, е - постановка 3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Клюев С.В. Оптимальное проектирование стержневых систем. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. -130 с.
2. Юрьев А.Г. Основы проектирования рациональных несущих конструкций. - Белгород: БТИСМ, 1988. - 94 с.
3. Юрьев А.Г. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ, 2006. - 134 с.
