Оптимальное проектирование стержневых конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

Динамика конструкций и сооружений

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

C.B. КЛЮЕВ, канд. техн. наук, доцент А.В. КЛЮЕВ, студент

Белгородский государственный технологический университет им. Б.Г. Шухова

В ранних исследованиях динамически нагруженные несущие конструкции оптимизировались в основном с дополнительными условиями по частотам собственных колебаний. Так как они не изменяются во времени, процедура оптимизация конструкций упрощается. Одну из первых работ, в которой рассматриваются изменяющиеся во времени нагружения несущих конструкций, опубликовал Кассис в 70-е годы 20-го века. Он описывает проблему как оптимизационную задачу с ограничениями. За счет применения штрафной функции он преобразовал ее в последовательность оптимизационных задач без ограничений.

Эти оптимизационные задачи решаются методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла [1].

1. Решение нелинейных задач, связанных с колебаниями

Дискретизация по методу конечных элементов сводит задачу к узловым параметрам r{t), которые должны с течением времени удовлетворить уравнению движения

Mr{t) + Cr(t) + Kr(t) = /?(/), (1)

где M е R""" - матрица массы, С е R""" - матрица затухания колебаний, К е R"'" - матрица жесткости, r(t) е R" - вектор перемещений, r(t) е R" - вектор скоростей, f(t) е R" - вектор ускорений, R(t) е R" - вектор нагрузки, п - число степеней свободы системы. При этом

dt dr

обозначают производные вектора г по времени. В линейной задаче матрицы M, С и К являются константами и решения можно получить методом интегрирования по времени. В то же время он обладает определенной универсальностью и может использоваться и для решения нелинейных задач.

Ниже представлена реализация метода Ньюмарка для линейного и нелинейного анализа систем. По методу Ньюмарка предполагается линейное изменение ускорения от времени t до времени / + At :

Г" =г'+[(1-б)г'+6г'+<у]д?, (2)

!

г'*" = r' + r'At +

2

-alf+ar'*"

At\ (3)

Параметры а и 5 можно представить так, чтобы итерация была достаточно точна и стабильна. Если уравнение (3) для г""" решать в зависимости от /-'+4' и потом подставить в уравнение (2), то получаются уравнения для г"*Л' и г'+Л/, которые содержат в качестве неизвестного только перемещения :

г

•t+Ы

1 / 1+Л/ I • i , \ i 1

(,*.-,-«,)- (4,

'"-¿(-"-'K'-SH'-sb'- <5)

Для расчета перемещений, скоростей и ускорений для времени г + Д/ рассмотрим уравнение движения (1) для времени I + А/ :

Ш'+"+Сг'+&1+Кг'+л'=ЯнА'. (6)

При подстановке соотношений (4) и (5) в уравнение (6) получаем:

—1[—м+—С + К

аДг aAt

= RM'+M

1 V+ — r'+f—•-1 \r'

аДг

аДг V2а

+С

—г' +1 --1 \г' +( —-1

аД t V« J \2а . t+&i

(7)

Определяем перемещения г , а затем скорости и ускорения для момента I + Д/ из уравнений (4) и (5). Интегральные параметры 5 и а находятся в пре-

ттаг-iv* Л х ? X 1 »-г А / /v / 1 / г,гч иго! л * ^лтл п пппяатла Ьаол 7г> плоил PTahw ПШ1.Ш

iJCJ 1 аЛ. V/ U 1 Jfl U J: W ^ 1/ ^ * liymvivi 1YAV-1 ид uvj у v,/«vuiiv/ w luviuiunmi"

при <5 > ] / 2 и а > 1/4. В нелинейных динамических задачах матрицы М , К, С и вектор Й в уравнении движения могут зависеть от г, г и г .

Mr+Cr + Kr =R. (8)

В данной работе предполагается, что только матрица жесткости К зависит от перемещений, матрица же массы М и матрица затухания С остаются постоянными. Система уравнений (7) решается итеративно методом Ньютона - Раф-сона по следующему итеративному предписанию:

[а0М + а, С+KS1' ] Ar- = R'+Al - + M [а/ + а/ + а/ ] +

+С[а/ + а/ +а5г']-(а0М + а1С)<;д',

= а0(г'+А' -г') — агг' -а3г',

г'+А' =г'+аУ+а1г'+л>,

(9) (10) (П) (12)

где - тангенциальная матрица жесткости; F'*^' -- вектор зависящих от г:

/+Д/

r+ А?

узловых сил (f;^ =К,*?г;:{,)\ / ные обозначения:

1 б

аД t

2 '

а, =•

аД t

указатель итерации; а0,

1 1 , 5

2а а

сокращен-

1

а7 = 8At.

' aAt ,=(1-5)Д /.

Параметры а и 5 должны быть установлены соответственно в пределах:

1

_8_ 2а

6>^-; а>~ j 5+-^-j . В случае, когда 5 = -^

•, для введения малого искусст-

венного затухания эти параметры видоизменяются:

6 = 0,5 + 0,05, а = 0,25 (1+0,05)2.

Ход нелинейного расчета определяется блок-схемой (рис. 1) Здесь Кгй -известное значение для начального условия. Для Кг0 > 0 определяются начальные условия путем двух статических расчетов, в противном случае начальные значения для г°,г° устанавливается равным нулю. Число Ки ограничивает максимальное количество итераций в течение временного шага. Если фактическое число итераций / > Км, то или делится пополам величину шага времени, или преобразуется модифицированная итерация Ныотона-Рафсона в обычную итерацию Ньютона-Рафсона. Ктп - параметр итерации. При Ктп = 0 тангенциальную матрицу жесткости К'^' составляют только один раз на каждый шаг времени; это соответствует модифицированной итерации Ньютона-Рафсона.

Задание wem

Предварительное вычисление

Вычислени!

вычисление

оЫЧЙСлсНИс

Вычисление из J+At _ J+At

Определение перемещений, усилий и напряжений

STOP

Рис. 1. Блок-схема нелинейного расчета

Итерация заканчивается, если |Jr,-| /

t+At

меньше, чем заданная величина е.

1 2W0

Г .....

I 2140 I

Г I I

«150 152» нала

12М5

110И 10275

Рис. 2. Решетчатая башня i»«i

2. Пример В качестве примера рассмотрим динамически нагруженную решетчатую башню из горячекатаной равнобокой уголковой стали (рис. 2). 154 элемента системы разделены на 10 групп в зависимости от зоны расположения и назначения.

Определим минимальный вес системы под действием нагрузок, показанных в табл. 1. В табл. 1 ДО есть зависящая от времени функция с максимальным первым значением:

25г 0 < / < 0,04

ДО = 25(0,08-?) 0,04 </ < 0,08 0 г >0.08

Площади поперечных сечений 10 групп элементов являются оптимизационными переменными задачами. Дополнительные условия связанны с напряжениями в элементах и перемещениями в направлении оси х узлов А,В,С и Р. Расчетное сопротивление ±240МПа, допускаемое перемещение - 10 см. Данные о материале: р = 7,85 Ю'2 МПа, £ = 2,1 ■ 105 МПа.

Узлы RX(Í),KH R v, хН

А -10,702 T(t) 0 -5,356

В -10,702 ДО 0 -5,356

С -9,771 ДО 0 -5,356

D 8,515 ДО 0 4,817

Для определения перемещений узлов системы и напряжений в элементах и деформирования системы использовалось интегрирование по времени по методу Ньюмарка. Интегрирование проводилось во временном пространстве от 0 до 0,1с с величиной шага Д/ = 0,01с. По эволюционной стратегии 10+10 система оптимизировалась каждый раз без учета и с учетом нелинейных колебаний системы. 10 случайно выбранных начальных величин объема для обоих случаев не идентичны. Объем минимальной начальной величины составляет в обоих случаях V=0,3514 м\

В линейном случае получено решение (система 1 в табл. 2) с объемом F 0,0820 м\ Проведен расчет 736 конечных элементов в 134 генерациях. При этом максимальное и минимальное напряжения по всем элементам составили соответственно 153,5 МПа (элементы 7 и 13 из группы 1) и - 173,3 МПа (элемент 25 из группы 3). Максимальные перемещения узлов А,В,С и D соответственно равны: 4,42; 4,57; 6,36; 9,99 см.

В нелинейном случае при 429 конечных элементах и 80 генерациях получено решение (система 2 в табл. 2) с объемом F=0,0825 лг\ При этом максимальное и минимальное напряжения по всем элементам составили соответственно 153,6 МПа (элемент 13 из группы 1) и 173,3 (элемент 25 из группы 3). Максимальные перемещения узлов А,В,С и D соответственно раны: 4,42; 4,56; 6,35; 9,99 см.

Система 1 Система 2

Т. л1 ...2\ Л^ии 1 Т гх. ^ ^ !

X, 80x8 12,270 80x8 12,270

х2 80x8 12,270 80x8 12,270

¿А £ ии /V и 6,909 60x6 6,909

X, 30x3 1,737 30x3 1,737

хъ 20x3 1,119 20x3 1,119

х6 25x3 1,419 25x3 1,419

х7 20 х 3 1 1 1 А |,м9 лл . . л .зих :> 1 п~> п 1, /.} /

** 20x3 1,119 20x3 1,119

20x3 1,119 20x3 1,119

20x3 1,119 20x3 1,119

V 0,0820 ,И3 0,0825 V

Вес 643,865 кг 647,743 кг

Для контроля обоих решений проведено дальнейшее исследование, в котором каждый раз приводились линейный и нелинейный итерационные расчеты. Максимальные напряжения и перемещения из контрольных расчетов приведены в табл.3

Таблица 3. Данные контрольных расчетов

контрольный расчет Система 1 Система 2

линейный нелинейный линейный нелинейный

ЯА,см 4,42 4,42 4,42 4,42

Я в, см 4,57 4,57 4,57 4,57

<1с>см 6,36 6,36 6,36 6,36

9,99 10.01 9,99 9,99

153,5 154,3 152,9 153,6

-173,3 -177,2 -169,2 -173,3

На рис. 3. приведен итерационный процесс для обоих случаев. Для обоих решений обозначения профилей и площади поперечных сечений приведены в

табл. 2.

Г,м3 0,4--

0,3

0,2

0.1

линейный сл>-чай не линейный случай

V.

0.0820

0,0825

. 20 40 60 80 100 120 134 генерации Рис. 3. Итерационный процесс в примере

В то время как напряжения и перемещения системы 2 из обоих контрольных расчетов лежат в допускаемой области, имеет место небольшое нарушение

дополнительного условия относительно перемещений для узла D системы 1 при нелинейном контрольном расчете. Практически это нарушение незначительно. Однако различие может иметь большое влияние, если оптимизируемая система была бы жесткой, так как оптимум задач оптимизации конструкций часто лежит на границе допускаемой области и зависит от ее локализации при расчете по методу конечных элементов.

Выводы

Блок-схема итеративного оптимизационного расчета имеет приемлемое согласование с многочленной эволюционной стратегией оптимизации.

На примере проектирования стержневой конструкции произведено сопоставление результатов линейной и нелинейной постановок задач. Незначительное расхождение соответствующих величин объемов позволяет рекомендовать линейный расчет.

Литература

1. Fretcher R. A rapidly convergent descent method for minimization / R. Fretcher, M.J.D. Powell // Comp. J. - 1963. -V. 6. -№2 - P. 163 - 168.

THE OPTIMAL DESIGN OF A STEEL SPATIAL TOWER

S.V. Klyuyev, A.V. Klyuyev

The optimal designing technique based on evolution strategies has been suggested. The designing of a steel spatial tower is considered here as an example. The best variant corresponding to the minimum of volume of tower material was revealed.

-о- нь чь

УПРАВЛЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ГИБКИХ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ЛОКАЛЬНОМ И ПРОДОЛЬНОМ ЗНАКОПЕРЕМЕННОМ НАГРУЖЕНИИ*

В.А. КРЫСЬКО, д-р техн. наук, профессор НЕ. САВЕЛЬЕВА, канд. физ.-мат. наук К.Ф. ШАГИВАЛЕЕВ, канд. техн. наук, доцент Саратовский государственный технический университет

Под процессом управления хаосом понимаем преобразование хаотического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами.

Управлению хаосом распределенных механических систем в известной нам литературе посвящено ограниченное количество исследований. В основном эти исследования касаются простых моделей распределенных систем. Исследованию хаотических колебаний гибких оболочек в последнее время уделяется большое внимание [1-6]. Настоящая работа ставит своей целью продолжить начатые исследования [Î-7] и распространить их на решение задач управления хаотическими колебаниями гибких цилиндрических оболочек.

Исследуем колебания цилиндрической оболочки при совместном действии поперечного внешнего давления и продольной нагрузки (рис.1).

Исходными являются уравнения теории пологих оболочек [8], которые с использованием известных безразмерных параметров приведены к безразмерному виду:

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ 08-604-01-434-08-606 и грант СГТУ 1.3.08.2008).