Эволюционная стратегия оптимизации строительных конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Г. Юрьев, д-р техн. наук, проф., Н. И. Корсунов, д-р техн. наук, проф.,

С. В. Клюев, канд. техн. наук, ст. преп. Белгородский государственный технологический университет

им. В. Г. Шухова

ЭВОЛЮЦИОННАЯ СТРАТЕГИЯ ОПТИМИЗАЦИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Рассмотрены основные формы эволюционной стратегии оптимизации строительных конструкций. Изложено теоретическое обоснование, описаны предполагаемые подходы к решению задачи, уделено внимание выбору начальной популяции и критериям сходимости решения в оптимизационном расчете.

Общая основная идея эволюционных алгоритмов, к которым наряду с эволюционной стратегией относятся также генетические алгоритмы и эволюционное программирование, есть представление процесса таким, каким он наблюдается в эволюции живого существа [1-3]. Это представление в противоположность крайне сложным процессам в биологии сильно упрощается, но, несмотря на это, делает возможными сложные постановки задач, на которых терпят неудачу дедуктивные методы.

1. Основные формы эволюционной стратегии

1.1. Двучленная эволюционная стратегия

Двучленная эволюционная стратегия, обозначаемая так же как (1+1)-стратегия, представляет собой простейшую концепцию для отражения биологических эволюционных процессов. От одного существующего проекта (индивида), родителя, путем применения мутационного оператора производится потомок, новый проект. Выражение этого проекта о 6п6а1ааёёааа6пу ааёп6аё-

л о •• •• л /\ л л /\ о •• л . Л ^ Л Л Л .. ОХО\ОГГ/\~ >< Л Г > /\ /\ /\ \ .* >£ /\

баёшиш ааёё-ё1а1ё п тоатпио (Юёдтет) 101-аеба х:

о =

{х1 ■■■хп }■

Родитель и потомок сравниваются с точки зрения удовлетворения определенному критерию качества, по значению целевой функции, и проект более высокого уровня будет представлять родителя для последующего генерационного цикла. Расчет заканчивается, если выполняется предварительно определенный критерий сходимости, при достижении заданного числа генераций (рис. 1).

Основные составные части этой схемы - эволюционные операторы мутации т и селекции л.

к-я генерация нового проекта определяется согласно формуле:

о" (к )= о е(к)+ N (0, о), (1)

где О п(к) - 11аиё 1б1ае6-116111е; ое (к) - пбйа-

п6а6рйёё 1б1аеб-б1аёбаёи; N (0, о) - п-1абшё аае-

Ш, /V >£ \ \ .. .. Г/У >С \ г* •• >С О •• О •• О Г Г /\ г* г* •• Г . \ Г Г /У г* . Л О .. /\

11б1аёи11 башбаааёапио пёб-аё1ио -ёпаё п1

^ >< о •• л л л лл.о^лол а л г /у >с \ \ •• •• г /\ \ /\ л /\ •• /\ г о г \ о л

пбаа1ё1 ?1а-а1ёа1 0 ё 11б1аёи1и1 16её11а1ёа1 о.

Выбор случайных чисел следует в свете представления биологической эволюции, где малые изменения проявляются с большей вероятностью, чем большие изменения. Из этого вытекает возможность толковать как размер шага в проектном пространстве. Функция плотности распределения вер оятностей компонентов

N вектора N задается в виде

'(*, ) =

2оГ

\/2ло,-

(2)

г = 0

исходный проект Xе (^) оценка Xе(()

пока нет сходимости (хе (()) мутация: X" (¿) = т (Xе )) оценка X" (()

селекция: Xе (? + 1) = 5 (Xе (?), X" (?)) .

г = г+1 конец

Рис. 1. Основной алгоритм двучленных эволюционных стратегий

1а 1п11аа баёаа1ё о61ебёё паёаебёу 1п6ааёуа6 ёд аабо е11еббёббрйёо 1б1аеб1а 1611пё6аёи11 ё6-0ёё

нХАО А Д /V /\ Л . О ~ Л /\ О ></\»»ЛЛО#### •••••• г* •• О •• Г 1 ЛОГ

1б1ае6 а еа-ап6аа б1аё6аёу аёу пёаабрйаё аа1абабёё. А пё6-аа паШа11ё 16 1аба1ё-а1ёё дааа-ё 1ё1ё1ёда-бёё 1еадиааа6пу, -61

- 1) I Xе(к), апёё /(Xе(к)) < /(X"(к)),

X (к +1) = •!, г г (3)

IX "(к), апёё /(Xе(к)) > /(X"(к)). 1 '

г

1

е

При постановке задачи с ограничениями и применении штрафных функций соответственно имеем

(к +1)

Xе(к), апёе 0(хе(к)) < 0(хп(к)), хп(к), апёе 0(хе(к)) > 0(хп(к)).

(4)

Чтобы достигнуть благоприятных показателей сходимости во время поиска, производится корректировка размера шага а. Рехенберг дает для этого так называемое 1/5-правило успеха [4]: отношение числа удачных мутаций к общему числу мутаций должно составлять 1/5. Эта вероятность успеха периодически проверяется. Если она меньше, то размер шага умножается на 0,85; если она больше, то размер шага делится на 0,85.

Это предписание получается из исследований сходимости двух простых оптимизационных задач - коридорной модели (линейной целевой функции внутри коридора шириной Ь) и сферической модели (я-осного генератора):

/(х) = с0 + С1 х1;

Ь < < Ь

-< Хг <~, 2 г 2 '

/ (х) = £ х!.

(5)

Этот метод допускает лишь единообразное приспособление всех размеров шагов, т.е. дифференцирование отдельных переменных проекта невозможно. Применение этого жесткого правила может привести к тому, что не достигается зависящая от типа задачи адаптация.

Итак, характерные свойства базисной формы эволюционной стратегии состоят в следующем. Каждый проект принципиально имеет возможность существовать как угодно долго в рамках заданного числа генераций. Для генерирования новых проектов используется только информация одного родительского проекта. Адаптация размера шага мутации ведется на основе 1/5-правила успеха. (1 + 1)-стратегия работает последовательно и довольствуется малыми возможностями рационального использования распределительных вычислительных ресурсов.

1.2. Основные формы многочленных эволюционных стратегий

Последовательное дальнейшее развитие двучленной стратегии представляют многочленные эволюционные стратегии. Они основываются на коллективных обучающих возможностях многих одновременно входящих в популяцию индивидов. Эти индивиды вступают в конкуренцию в окрестности, характеризуемой целевой функцией, ограничениями и переменными параметрами проекта.

Известные стандартные формы многочленных эволюционных стратегий охватывают (ц + Х)- и (ц, X)-формы. Здесь ц обозначает число индивидов (проек-

тов) в родительской популяции, а X - число проектов в популяции потомков, причем ц <Х.

Общий алгоритм этих форм стратегии представлен на рис. 2.

г = 0

исходный проект Р(1) оценка Р(1)

пока нет сходимости (Р (г)) рекомбинация: Рг (г) = г(Р (г)) мутация: Рт (г) = т(Рг (г)) оценка Рт (г)

селекция: Р (г+1) = з(Рт (г)) г = г+1

конец

Рис. 2. Основной алгоритм многочленной эволюционной стратегии: Р - популяции; с - оператор рекомбинации; т - оператор мутации; ^ - оператор селекции

Основные части этих форм многочленных стратегий - эволюционные операторы рекомбинации г, мутации т, и селекции

Оператор рекомбинации осуществляет комбинацию информаций, имеющихся у двух родителей, при производстве потомства. Этот прием ориентируется на существование двуполого размножения в биологической эволюции. Типы функций некоторых рекомбинационных форм, которые могут быть использованы в эволюционной стратегии, отражены на рис. 3 и в уравнениях:

(6)

ха,г еёе % (А)

1/ -(ха, г + хЬ, г ) (В)

ха (г) еёе хЬ (г) (С)

1( ) 2 (ха (г) ,1 + хЬ (г) ,1 ) (О)

При дискретной рекомбинации какая-либо величина берется от одного из причастных родителей (формы А и С в (6)).

При промежуточной (нейтральной) рекомбинации какая-либо величина берется как среднее значение от причастных родителей (формы В и В в (6)).

При локальной рекомбинации для образования всех

величин (...хгп) общего потомка применяется одна комбинация родителей (ха, хь) (формы А и В в (6)).

хГ =

При глобальной рекомбинации для образования каждой отдельной величины хг потомка применяется новая комбинация родителей (ха(), хь()) (формы С и В в (6)).

Выбор участвующих в рекомбинации родителей ха и происходит чаще всего с равномерно распределенной вероятностью из общего пула ц родителей. Альтернативно можно, например, также задать качественно полноценного родителя как одного из партнеров рекомбинации.

Набад1б 16дабее т 661ёбе11еббад 1бе Ша1-

. ..О Г Г Гу ** Г А А .. 1 .. Л Гу Г Г Гу л* Л Л /\ О /\>/\ Л .. >£ Л

-ёанио уа1ёрбешио пдбадааеуо даё жа, ёаё е 1бе аа6^ёа11йб пдбадаае-апёео 61б1ао (п!. (1), (2).

Селекционным оператором устанавливается количество индивидов родителей, которые служат производству последующей популяции. В прикладной метод селекции положено различие между (ц + Х)- и (ц, X)-стратегиями (см. рис. 4).

(ц + X) -пдбадааеу - айа1б 11айо б1аедаёае ед

Гу Г \ О л* Гу . Л л* .. Л •• О Г ** \ Гу Г \ \ \ л* ..Гу.. Г......Л Г >£ /\ .. Л Л О.. О Г Л

1аиаа1 -епёа ааепдабриео шбёубее б1аедаёае е йдйёт. А бадбёидада уд1а1 йёб-аадпу да1баде-апёе 1а1аба1е-а11ау аёедаёийпди жед1е 1дааёшйо е1аеаеа1а.

(ц, Х)-пдбадааеу - айа1б 11аио б1аедаёае д1ёиё1

ед Шбёубее 11д1!ё1а. Аёедаёийпди жед1е 1дааёи-

Г Гу л* \ Г .. \ /\ \ .. /\ /\ \ О \ ** .. .. \ •• /\ .. Г Гу Г л* О ^ О >С Л .. \

1ио е1аеаеа1а 1аба1е-еааадпу ёееи 1аие аатбабе-

ае.

Выбор из X соответственно (ц + X) элементов обширного селекционного пула при эволюционных стратегиях происходит обыкновенно чисто детерминистически, т.е. ц полноценных проектов образуют новую установленную популяцию родителей.

Как при двучленной эволюционной стратегии, при описанных основных формах многочленной эволюционной стратегии происходит адаптация размера шага мутации путем применения 1/5-правила успеха.

Важнейшие свойства представленной многочленной эволюционной стратегии состоят в следующем. Для генерирования потомков можно использовать информацию многих родителей. В (ц + X)-стратегии каждый проект имеет принципиальную возможность существовать как угодно долго в рамках заданного числа генераций. Из этого следует, что качество лучшего проекта через многие генерации никогда не ухудшится. В (ц, X)-стратегии продолжительность жизни

ограничена лишь одной генерацией. Следовательно, качество лучшего проекта через многие генерации может ухудшиться. Адаптация размера шага мутации ведется на основе 1/5-правила успеха.

В связи с дальнейшей независимостью индивидов популяции друг от друга многочленная эволюционная стратегия достаточно хорошо приспособлена к использованию разнообразных вычислительных ресурсов.

2. Совершенствование форм эволюционной стратегии

2.1. Саморегулирующаяся шаговая адаптация

В п. 1.1. был представлен тип функции оператора мутации для генерирования потомков (см. (1), (2). При этом по мере надобности случайный вектор добавлялся к существующему вектору родителей. Предполагалось, что подобно природе, малые изменения проявляются с большей вероятностью, чем большие, и все направления изменений равноправны. Это следует из применения р аспределенных по Гауссу случайных чисел со средним значением 0 и нормальным отклонением а. Это нормальное отклонение, интерпретируемое как длина шага в пространстве поиска, имеет большое влияние на успех или неудачу поиска. Если длина шага мала, получается малая скорость процесса, так как широкий поток концентрируется на малом подпространстве. При большом размере шага, напротив, существует опасность, что может быть много непредвиденных скачков, что скажется на процессе сходимости. Для решения этой проблемы Рехенберг предложил 1/5-правило успеха. Это правило предусматривает заданную эвристику, которую можно рассматривать лишь как грубую исходную величину. Так как это правило введено для двух простых моделей, не исключается появление специфических приспособлений длины шага мутации при широком спектре задач. В связи с этим Швефель предложил расширение правила. Расширяется и вектор проекта (индивид). Он охватывает дополнительно к п переменным проекта хг дальнейшие п нормальных отклонений аг, которые, смотря по обстоятельствам, присоединяются к соответствующим переменным проекта:

х = {(х1 - О!), (х2 ,о2 ),...,(хп,Оп)} = {х о} . (7)

Согласно этому оптимизационный процесс связан не только с собственными переменными проекта (объекта), но и со стратегическими переменными аг. Посредством этой связи достижение качества (путем выгодного регулирования переменных объекта) и благоприятных размеров шагов осуществляется селекцией исходя из выгодного регулирования важных стратегических параметров. Этот процесс саморегулирующейся шаговой адаптации допускает автоматическое приспособление оптимизации к топологическим условиям поставленной задачи.

Реализация этой саморегулирующейся стратегической формы происходит на основе руководства, представленного для основных форм многочленной эволю-

ционной стратегии в п. 1.2 (см. рис. 2). Обобщения, относящиеся к операторам рекомбинации и мутации для генерирования проектов потомков X" ёд п6йап6а6рйёо б1аё6аёипеёо 1б1ае61а xe, 11ёпа1и 1ёжа.

тч > . Г Гу О Гу \ .. Гу ^..Лл^ЛХОЛ^Л.. Г О Г Л

Вадёё-ша аёаи баепаётбёё (аёпеба61ау, 1аё6-

баёи1ау, ё1еаёи1ау, аё1ааёи1ау, п1. (6) 1аё1ае1а1 16-бажар6пу 1а п6ба6ааё-апеёо 1аба1а6бао. 1а бёп. 6

.. >С О .. л* Л Л /\ .. О Г .. >£ Л Л О >С ** ^ >С Гу .. Л Л О .. •• Л Л / \ Л ^ .. О >с О Л О г

1баап6ааёа1 1бё1аб п 5 б1аё6аёу1ё (||) ё 3 1аба1а1-

1и1ё 1б1ае6а ("), 1бё-а1 1б1ёда1аё6пу аё1ааёи1ау,

ГО Г \ >< \ .... Г \ .. >< О Гу Гу\ Г \ Г \ .. \ .. .. О >С О Л О Г Г Гу ^ Гу Г Г О Гу Л Л Л ^ .. Гу

1аё6баёи1ау баепаётбёу 1аба1а11ио 1аиае6а ё аё1-

Г \ .... Г \ .. .. \^Гу><0\Г\.. >< О Гу Гу\ Г \ Г \ .. \ .. . О л* /\ Л л* ..О

ааёи1ау, аёпеба61ау бае11аё1абёу п6ба6ааё-апеёо 1а-

ба1а11ио.

Оператор мутации в саморегулирующейся стратегической форме содержит два шага: сначала имеет место вариация стратегических переменных т5У , а да6а1

О Г Г Гу Гу \ >£ Л Л •• ..О >С О > О Г Г Гу /ы .. >£ Гу О Гу Л Л

1а11пбаап6ааш аабёабёу 1аба1а11ио 1б1ае6а теу:

X" = т (Xе ) = т^ (Xе)+теУ (Xе). (8)

А1 ёдаажа1ёа 16бёба6аёишо аёё1 0аа1а п 1а11-

Гу><0\0ГГГу\ ..>¿0.. ..Гу . \ О Г \ О \ \ \ .. Гу /ы Л Л О Г О Г Л Г Гу Л Г Л Л

аба1ани1 1бааи-6а1ёа1 1аёио ёд1а1а1ёё а 166а-

• .. О >С О Л О Г Г Гу ^ .. >< Гу Гу Гу .. \ \ ^ .. \ Г .... \ \

бёё п6ба6ааё-апеёо тбатпио 1б1а1аё6пу 16ёи6ё-

.. .. Л /\ Л Л Л Гу Г Гу Г .. Гу^\><\Гу\ \ . О л* /\ Л ГГу><\\.. .. ГГу >< \ О.. О Г

1ёёеа6ёа1иё ё1аабё01ё-апеё пбтёип башбаааёа1-1иё аабёабё111иё 0аа

о" =ое • е"(0,Т). (9)

1аба1а6б т аиаёбаа6пу а дааёпё11п6ё 16 бад1аб11-

л* Л Л Л.Л /Ч Гу О Гу О.................. Лл^ЛОЛ Г \ Гу Гу Гу О Г \ . О ^ Л О

п6ё дааа-ё. 0ааоаёи 1бааёаааа6 аад1а1а д1а-а1ёа 1

т [51

А Л >С .. Л >С Г О \ Г \ л* ..О >С О > О Г Г Гу /ы .. >£ Гу О Гу Л Л /\..>£0.. О

Аабиёб6а1иё 0аа 1аба1а11ио 1б1ае6а 11бааа-ёуа6пу п ёп11ёид1аа1ёа1 6п6а11аёа11ио п6ба6ааё-ап-

/\ Л л* >С Л Л О Л >С Гу Гу л* /\ л* .. Л л* Г Гу Гу Гу >£ Л Г ..О

еёо 1аба1а6б1а п1аёап11 01б16ёа

X" = XI + N (о, о"). (10)

Таким образом, саморегулирующаяся форма эволюционной стратегии развивает обучающую способность в различных областях:

1) приспособление ориентированных на качество переменных проекта, обозначаемое как эволюция 1-го рода, или как «объектно-уровневое обучающее» приспособление;

2) приспособление ориентированных на качество стр атегических пар аметр ов, о бозначаемое как эв о лю -ция 2-го рода, или как «мета-уровневое обучающее» приспособление.

2.2. Эволюционные стратегии с переменной длительностью существования

В п. 1.2 представлены + и ^-стратегии как основные формы многочленной эволюционной стратегии. Обе стратегии смотря по обстоятельствам представляют экстремальную форму.

^-стратегия бааёёд6а6 1ё1ё1аёи16р аёё6аёи-

11п6и п6йап6а1аа1ёу ё1аёаёа1а, 1аба1ё-а116р 1а11ё

Г 7" Л /\ Л /\ О > Гу Г Гу .. .. Л Л Гу Гу .. О Г \ Г \

аатбабёаё. У61 нжа6 1бёаап6ё е а1ёи0ё1 е1ёааа1ё-

..Л Гу \ \ О Г О Г \ \ .. О .. О Гу Гу Г Гу Г Г Гу .. \ \ \ Г \ >£ Г /\>.0

у1 а ёд1а1а1ёё баёаа1ё 061ебёё ё 1аб60а1ёр еа-а-

п6аа по1аё11п6ё, 6ае еае аёаа11бёу61ау ё101б1абёу ёд

Л О .... ^ Гу Гу Г ..Гу.. Г......Л Л ГО Г Г .. О \ .. О >< О ^ Гу .. \ \ .. Гу ..Гу ^ .. О

б1аё6аёипе1ё 1116ёубёё 1а а6аа6 1абао1аё6и а 11пёа-

а6рй6р б1аё6аёипе6р 1116ёубёр.

(|| + ^)-стратегия, напротив делает возможной неограниченную длительность существования отдельных индивидов. Из этого вытекает в общем гораздо более гладкое изменение целевой функции. Правда, неограниченной длительности существования индивидов препятствует описанная в п. 2.1 способность к саморегулирующейся адаптации длины шага. Краткосрочные качественные потери, которые могут быть вполне выгодными для достижения глобального оптимума, здесь также исключены. По этим причинам предлагается реализация не только (||, и (|| + ^)-форм как экстремальных стратегических проявлений с минимальной (максимальной) продолжительностью существования, но и промежуточных форм с переменной длительностью существования, так называемых к, ^-стратегий, использующих преимущества обеих экстремальных форм. В записи к, ^величина к отражает максимально допустимую длительность существования отдельных индивидов, кроме проходящего цикла «рекомбинация-мутация». Схема селекции этой стратегической формы представлена на рис. 5.

ж селекция

РМ 1)

Рис. 5. Расширенная схема селекции (|1, к, Х)-стратегии

Таким образом, в ходе этой стратегической формы получается на основе предыдущих генераций временная величина р промежуточного селекционного пула, из которого выбирается родительская популяция предков последующей генерации. При этом д < [2, 3].

3. Модификации с учетом требований дискретности

В предыдущих разделах был использован вид функций различных эволюционных стратегий без учета требований дискретности к переменным проекта. Введение этих требований вызывает необходимость моди-

фикации оператора рекомбинации г и оператора мутации т.

Определение области допустимых значений

7~\ л л ^ д л г г л.. .. гг. г .. о х о \ о г г г, г /\ о .. о л ~ .. .. г \ о \ \

еиоеюаеиие 1аоа1аше хс^ ааааопу юоа1 да-

аа1еу 1еж1ае е аабб1ае хи{ аба1еой !аеапое д1а--а1ее:

< = {{ е < ^ *с< ^ хи<}•

(11)

Количество допустимых значений л дискретных переменных проекта ха,г- определяется путем соответствующего введения элементов ^д,..., , которые автоматически распределяются в возрастающей последовательности:

< = { Р ¿а. 2' ■■■ . ¿с. 1} (1 ^ ¿а.2 ^ ■■■¿41 )•

(12)

Появление допустимых дискретных значений следует косвенно через индекс на отобранных величинах, прежде чем может последовать после округления индекса соответствующая реализация операторов рекомбинации г и операторов мутации т, как описано в п. 1.2 (см. рис. 6).

ч ! . И >

1 1 I

Рис. 6. Рекомбинация для дискретных и континуальных переменных проекта

4А л ^л х жлхллОЖЛ.ОЖЛЛ^ ЛЛХЛ

. Аиа1о пооаоаае-апеео 0101

В предыдущих разделах этой главы рассматривались различные выражения эволюционной стратегии. В п. 1.1 в качестве простейшей стратегической формы рассмотрена (1 + 1)-стратегия, а в п. 1.2 - многочленные

(| + Я)- и Я)-стратегии. Наконец, в п. 2.1 представлена возможность саморегулирующегося стратегического приема, а в п. 2.2 - эволюционные стратегии с переменной продолжительностью жизни индивидов. Чтобы достичь возможно более благоприятного поведения

оптимизируемых систем, необходимо выбрать конкретную постановку задачи, целевые установки и, в особенности, приемлемые стратегические формы.

В качестве преимущественных критериев следует отметить их пригодность для широкого спектра сильно нелинейных прерывных постановок задач с многосторонними топологическими свойствами пространства поиска, а также возможность рационального использования различных вычислительных ресурсов для достижения приемлемого решения в приемлемый срок.

В связи с этим описанные в п. 1 двухчленные и многочленные стратегии не применяются в сочетании с 1/5-правилом успеха. Многочленные стратегические формы используются с их способностью к стратегической адаптации.

Применяемые в дальнейшем стратегические варианты охватывают формы (| + Я), Я), к, X). Подытожим их важные свойства: 1) использование коллективных обучающих возможностей популяций; 2) применение стохастических эволюционных операторов (рекомбинация, мутация) к генерированию вариантов; 3) саморегулирующееся приспособление стратегических пар аметров; 4) введение р азличных селекционных схем; 5) благоприятные предпосылки для использования различных вычислительных ресурсов.

5. Связь оптимизации конструкции и эволюционной стратегии

Формулировка задачи оптимизации конструкции охватывает:

1) целевую функцию исходя из минимизации веса проектируемой конструкции;

2) различные виды ограничений на поведение конструкции;

3) назначение континуальных и дискретных переменных проекта.

Изложение материала ориентировано на стержневую систему.

5.1. Целевая функция

В рамках настоящей работы целью оптимального проектирования является конструкция минимального веса. При этом предполагается, что существует ее конечно-элементное представление. При принятии в пределах объема элемента V] однородного материала с объемным весом рг- выражение для веса конструкции имеет вид

г (х ) = £р^ .

г=1

(13)

Целевая функция, базирующаяся на методе штрафных функций, получает вид

/(Х) = ^(Х) + г • Р (X). (14)

Параметр штрафа Р (X) содержит ограничения по-

становки задачи, причем учитываются исключительно ограничения в виде неравенств. Ограничения в виде равенств применяются при оптимизации конструкций ограниченного использования и в дальнейшем не будут рассматриваться.

Так как числовые значения Ж(х)и Р(х) в зависимости от постановки задачи могут сильно отличаться друг от друга, ограничения должны вводиться в целевую функцию в стандартизированной форме. Тем самым применяемая целевая функция приводится к виду

f (x ) = W (x )(1 + rP (x)).

(15)

Чтобы можно было достичь сходимости f (x) при решении связанной ограничениями исходной задачи в процессе генерации на основе эволюционной стратегии, параметр штрафа r, исходящий из начальной величины r(1) _ i, на каждом генерационном шаге повышается, например, удваивается. Этот метод алгоритмически прост и в различных применениях к оптимизации конструкций отмечен как приемлемый.

5.2. Ограничения

В задаче оптимизации конструкции в качестве ограничений принимаются во внимание преимущественно ограничения важных механических характеристик [2]. Чаще всего это касается допускаемых напряжений, узловых перемещений и показателей устойчивости.

В динамических задачах оптимизации конструкций для формирования ограничений до сих пор чаще всего используются инвариантные во времени величины собственных частот. Благоприятным оказывается шаговый процесс решения задачи в заданном анализируемом временном пространстве. При этом, как и при статической постановке задачи, на каждом временном шаге вычисляются искомые величины и производится оценка возможных нарушений ограничений.

laöyäo n äigiisiinöüp ääöaeüiiäi iienaley жа-

ФФ Л О Л /\ **/\ /\ О •• О Л Л •• /\/\ Г г* \ >С Г /\ ФФ Л \ rv Л /\ . /\ Л >£ О Г Л .. Г Л ФФ >£ ..

eaaiiäi liäaäaiey eiinööoeoee n öi-ee göaiey iaiöy-

о г \ г .. о >< о л о л о г \ г л лл/\ • » л •• о о г л /\ л /\ г >с \ фф о г г* л /\ \ г

saiee, laöaiauaiee e öae äaeaa, yöiö iaöag äaenöäee

фф О >C Л Л /V /V Л /V Г /\ г* \ фф фф >е \ г*/\гь/>С\ГОГЛ\ /\ rv О /\ /\ \ /V Г

niäaöseö äigiisiinöü iöe nioöaiaiee änaäignsiuo

äü-eneeöaeüiüo eiioaioee löeiyöü äi äieiaiea öae-

о г о фф \ г о г г/v о ../v /\ о .. о г \ о аа; \ >t г /\ .. л л

жа iaeeiaeiia liäaäaiea eiinööoeoee.

Ограничения на напряжения. При ограничениях на напряжения речь идет о величинах, ориентированных на элемент. Допускаемые величины берутся чаще всего из существующих проектных директив. Для стержневых систем определяются обычно для элемента или для группы элементов допускаемые величины нормального напряжения как в растянутой (gu), öae e ä nsa-

öie (g, )iaeanöe:

ö, > G,

öi < G„

(16)

(17)

Для континуальных конструкций часто привлекается приведенное напряжение Мизеса ои- :

G < G

(18)

В общем, стандартная форма нормализованных ограничений по напряжениям имеет вид

8a,t = — -1 < 0 .

(19)

u (l ),i

Ограничения на перемещения. Речь идет о величинах, ориентированных на узлы. Этот вид ограничений предполагает единичный вектор К и максимальную величину wmax допускаемого перемещения в этом направлении (см. рис. 7).

Рис. 7. Ограничения на перемещения

Таким образом, при = й- • (1 как величине перемещения А■ в направлении ¿1 получается условие

w < w

а в нормализированной форме

w-

8и, = -w^ -1 < 0. w

'' mav j

(20)

(21)

Ограничения на устойчивость. Этот вид ограничений вводится, чтобы избежать такого случая отклонения, как продольный изгиб или выпучивание. Ограничение вводится здесь в виде так называемых местных ограничений на устойчивость, которые определяются в плоскости элемента. В рамках этой статьи данные ограничения реализуются для стержневых элементов с различной формой профиля. Процедура основывается на вычислении для каждого элемента критического эй-лерового напряжения для формирования ограничений на устойчивость.

Критическое напряжение вычисляется по формуле

Ghi = -

,2

(22)

где k - eiyööeoeaiö, gaäenyuee iö löiöeey na-aiey

^ Л О >< Г фф \ Г ^ ** /V /V Л Г О Л /\ >i О фффф О Г Л фф

nöaösiy e oneiäee aäi gaeöaieaiey.

При этом для сжимающего напряжения о, в элементе I вводится ограничение

-Ь,г < -

а в нормализованной форме

gsi = — -1 < 0,

-h i

(23)

(24)

Для представленных ограничений в динамических задачах реализуются шаговые процедуры в заданном анализируемом временном пространстве. При этом последнее делится на г (равных промежутков времени Д, и уравнения движения системы выводятся посредством прямого метода интегрирования. При этом величина ограничения gi получается как сумма по г ( промежутков времени:

g = £% (j -At).

(25)

j=1

1—i л /\ /\ /\ >< \ •• /\ ^ •• /v /v о .. \ г л л л . o~/\/\o **/\ /\ о .. о г \ о

Eae aiaiöeeinu auea, aeiaie-aneia naaaaiea

nenoäiü iisii iienaou öaesa 1a iniiaa aa iiaaeuiuo naienoa. Yöi eanaaöny, iaiöeiaö, öa^iiainiuo -anöiö e löaiäeaaapüeö oiöi eieaäaiee. Ä nayge n yöei öaa-

• • Л Г 1 \ /V »» \ Л /\ О /\Г*>С\Г\лОГЛ*Ф Г Л Г г* Л /\ О Г Г /\ О . Л (V 1 Л д /\

eegopöny öaesa iaöaie-aiey ia niänöaaiiua -anöiöu,

Л. Л •• Г **/\Л • • Г Г Л Л • • /V /V О \ ^ /V /\ Л •• ** >£ /\ ** о ** r >c \ /\ /\ .. г о г л ..

öiöy oiiiyioöay auea eaaiaay löioaaoöa auiieiaiey

Л. \ Г Л . О Л Л Л Г Л Л Г Л. Л. ..X Л Д /V /V ** Л Л о **** г о о

iaöaie-aiee iaiiiai löiegaiaeöaeuiaa.

Ограничения на свободные колебания. В противоположность рассмотренным выше ограничениям ограничения на собственные частоты относятся к цельной системе. Для избежания явления резонанса могут иметь смысл как верхняя, так и нижняя границы для собственной частоты А.-:

А. <

А j ^ А min, j ,

(26) (27)

-ж-ОхОчОггЛО ФФХЛОЛ-Ч-Ч

.3. 1аоа1апиа 101аеоа

В оптимизационной задаче переменные проекта представляют собой свободные величины, которые описывают конфигурацию конструкции или такие параметры элементов, как площадь поперечного сечения, толщина стенки элемента пр офиля сечения и т.п.

В настоящей главе рассматриваются геометрические переменные проекта (геометрическая оптимизация) и ориентированные на элемент переменные (оптимизация параметров).

Эта смешанная постановка задачи, в общем, значительно сложнее, чем чисто параметрическая оптимизационная задача. В последнем случае для стержневых систем получается линейная связь между весом конструкции и площадями поперечных сечений элементов. Если принять переменной также геометрию конструкции, то, в общем, получится нелинейная зависимость веса конструкции от переменных проекта. По качеству смешанная (геометрическая и параметрическая) задача оптимизации явно отличается от чисто параметрической задачи оптимизации и требует соответственно более дееспособных методов решения.

Для опр еделения допустимых в ариаций целесо о б -разно собирать в группы элементы или узлы. Эта концепция обозначается как переменный массив. Тем самым поддерживается близкое к действительности описание конструкции и одновременно уменьшается число переменных проекта.

L

Рис. 8. Модель конструкции с переменными проекта

а в нормализованной форме:

f=г2- "1 -0'

gfr.

(28)

(29)

В итоге для Р (X) в формуле (15) при учете всехр ограничений в виде неравенств получается выражение

р (x )=£ g+ (r) i=1

(30)

где g+ (x)= max(0, gi (X)). Öaeaäay ooieoey (15) iöe-

ieiaaö aea

f (X) = W (X)(1 + r£ g+ (X)).

(31)

L

X 2

Рис. 9. Вариант конструкции

Для выяснения этой связи на рис. 8 представлена модель конструкции с геометрическими переменными (у4, x6, у6) и тремя группами переменных поперечных

сечений (Д, А2, А3), а на рис. 9 - возможный вариант конфигурации.

Независимо от исходных величин в модели конструкции переменные проекта разделяются также по их соответствию области величин на дискретные и конти-

i=1

нуальные переменные. Чтобы установить близкую к реальной оптимизационную модель, часто целесообразно такие параметры, как площади поперечных сечений или толщины стенок, определять через дискретные переменные проекта. В таком случае можно ввести в модель находящиеся в распоряжении ряды профилей, нормированные толщины стальных листов или другие стандартные серии строительных элементов. Для представления таких геометрических величин, как, например, длины стержней, координаты элементов, чаще пользуются внутри заданной области величин континуально меняющимися переменными проекта.

5.4. Начальная популяция

Для производства начальной популяции Р(0) (см. рис. 2) в распоряжении имеются два способа:

1. При учете верхней и нижней границ в соответствии с требованиями к дискретности величины п переменных проекта хп всех ц родителей принимаются случайно равномерно распределенными.

2. Ейб1ау ёд дааашё 1а^аёипё ёпбёабдабёё

Расчет заканчивается, если выполняется абсолют-

x(0) =

{{•Ч»}

(32)

генерируются дальнейшие ц-1 родителей путем вве-

дения шага мутации с повышенным размером c • G например, с с = 10:

(0)

x(0) _ Х(0) ¿Vi — Л-1

+ N(0,c • g ), к _ 2,...,- .

(33)

Преимущество 2-го метода состоит в том, что он позволяет информацию об известной конфигурации включать в оптимизационный расчет.

5.5. Критерии сходимости

Чтобы обеспечить нормальное функционирование оптимизационного расчета, необходимо установить приемлемые критерии его окончания. Практические методы!, осуществляющие поиск решения в виде точки с исчезающими первыми производными, часто используют это условие существования точки экстремума так же и как критерий сходимости. Для эволюционных стратегий это вид критерия неприемлем. Здесь чаще применяются критерии, которые непосредственно ориентируются на величины целевой функции. Исходной точкой для определения условия прекращения расчета является, например , принятие положения, что при приближении к оптимуму все ц родителей фактической генерации расположены абсолютно или относительно плотно.

Критерий сходимости 1. В генерации gиз популяции ц родителей устанавливаются:

а) лучшая величина целевой функции

/Г _ min {/ (xf)}, к _ 1.....ц ;

б) худшая величина целевой функции

/fe) _ max{/(х^)}, к _ •

(34)

(35)

ный критерий

f fe) _ f (g) < p J ю J b abs

или относительный критерий

-

(/g) - /bg)) / (xg)).

(36)

(37)

Величины гаЬх > 0 и 1 + £ге1 > 1 устанавливаются по желаемой точности решения при учете точности вычислительной машины.

Этот критерий находится в зависимости от типа задачи, так как при дискретных переменных проекта величины целевой функции различных проектов не могут как угодно плотно располагаться друг к другу.

Альтернативная возможность для определения критерия окончания расчета появляется, если процесс оптимизации рассматривается во временном пространстве от нескольких генер аций.

Критерий сходимости 2. Учитывается средняя величина целев ой функции ц р одителей генер ации g

/V _ - X ндх^) - к_1

(38)

Расчет заканчивается, если выполняется абсолют ный критерий

f (g- dg) - f (g) < p J av J av ahs

eee iöiineöaeüiue eöeöaöee

(39)

(/g-Ag) — /(g)) < / V av J av s — Ja

f(g)

(40)

где Ag - учитываемое число генераций. Величина еahs > 0 и 1 + erel > 1 устанавливаются по желаемой точности решения при учете точности вычислительной машины.

Критерий сходимости 3. Пусть f(g) - лучшая величина целевой функции родительской популяции в генерации g:

fhg) = min{f (xkg))}, k = 1.....ц . (41)

Расчет заканчивается, если выполняется критерий

e-Ag

XI/-i -Л| < Л

(42)

где Д£ - снова означает учитываемое число генераций. Величина 1 + е > 1 устанавливаются по желаемой точности решения при учете точности вычислительной машины.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Юрьев А.Г. Естественный фактор оптимизации конструкций.

- Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2003. - 110 с.

£

1

£

1

2. Юрьев А.Г. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ, 2006. - 134 с.

3. Grill H. Ein objektorientiertes Programmsystem zur discret -kontinuierlichen Strukturoptimierung mit verteilten Evolutionsstrategien// Fortschr. - Ber. VDI. - Reihe 10. - Nr.520.

- Dusseldorf: VDI Verlag, 1998. -179 S.

4. Rechenberg I. Evolutionsstrategie'94. - Stuttgart: Fromman -Hoozboog - Verlag. 1994. - 158 S.

5. SchwefelH.P. Numerische Optimierung von Computer - Modellen mittels der Evolutionsstrategie. - Dortmund: Birkhauser Verlag, 1977. - 152 S.