Разработка модифицированного эволюционного алгоритма решения задач многокритериальной оптимизации на всех этапах жизненного цикла парка транспортно-технологических машин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

РАЗРАБОТКА МОДИФИЦИРОВАННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ВСЕХ ЭТАПАХ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПАРКА ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН

А.В. Муратов, К.А. Яковлев

В статье рассматривается разработка гибридного эволюционного алгоритма для решения задач многокритериальной оптимизации на всех этапах жизненного цикла сложных технических систем

Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, принятие решений, генетический алгоритм, фронт Парето

В процессе управления сложными техническими и организационно-техническими системами необходимо постоянно принимать непростые решения, связанные с учетом многих критериев качества и ограничений на ресурсы. Если такие решения принимать с использованием только интуиции и опыта руководителя, то будет достаточно сложно сделать оптимальный выбор. В этой связи необходимо разрабатывать и внедрять формализованные методы поддержки принятия решений.

Формальные математические модели принятия решений в настоящее время все более полно отражают сложность реальных практических проблем, что, с одной стороны, делает их более адекватными реальным системам, а с другой - приводит к необходимости решать все более сложные задачи оптимизации. Основные свойства реальных практических задач оптимизации - наличие многих критериев, существенных ограничений, разношкальных переменных и алгоритмическое задание функций -делают невозможным применение традиционных методов. Выходом из такой ситуации является использование адаптивных стохастических алгоритмов, успешно преодолевающих указанные трудности.

Одним из наиболее часто применяемых в такой ситуации подходов являются эволюционные алгоритмы, представляющие собой стохастические оптимизационные процедуры, имитирующие процессы естественной эволюции, в частности - генетические алгоритмы (ГА). Алгоритмическое задание функций и разношкальность переменных не представляют дополнительных трудностей для ГА, которые работают с бинаризованными представлениями решений и не требуют информации о свойствах целевых функций. Однако детальный анализ литературы показал [1-6], что при реализации ГА, возникает ряд трудно разрешимых недостатков, основными из которых являются:

- достаточно высокая ресурсоемкость ГА;

Муратов Александр Васильевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8(4732) 43-77-30

Яковлев Константин Александрович - ВГЛТА, канд. техн. наук, доцент, тел. 8(4732)-53-7б-79

- предварительная сходимость алгоритмов в локальном оптимуме, в общем случае далеком от глобального;

- среди полученных с помощью ГА решений часто встречается большое количество непаретов-ских точек [2].

Таким образом, совершенствование существующих и разработка новых эффективных адаптивных поисковых алгоритмов многокритериальной оптимизации является на сегодняшний день актуальной научной задачей.

Для решения указанных проблем в работе предлагается разработать гибридный эволюционный алгоритм, сочетающий в себе применение модифицированных генетических операторов (ГО), схем селекции и архитектур генетического поиска (ГП)

[3].

Функционирование сложных технических систем (ТС) происходит в динамически изменяющихся условиях как объективной, так и субъективной природы. Обеспечение максимальной или приемлемой эффективности составляет определенную проблему, поскольку этап использования ТС имеет временной лаг с начальными этапами жизненного цикла (исследования и проектирования), то есть:

Б, (/,. ) = Б (В, (/,.-з), Б„ (- 2) Е (/,. )),

где Б,(*) - эффективность процесса функционирования, Б,(*) - эффективность этапа научных исследований, Б^ (*) - эффективность проектирования, Е„(*) - эффективность этапа создания (изготовления) ТС.

Решая задачу

Е, (л ) — тах (1)

где - начало функционирования ТС,

к е {0,1,2,...}) будем считать, что происходит переход +1, если: изменяются внешние усло-

вия, или изменяется управление ТС, или изменяется структура ТС.

Таким образом, решение задачи (1) представляет собой эволюционный процесс решения последовательности задач оптимизации.

Исходя из того, что пространство существования ТС определяется множеством ее состояний, за-

дача эволюционного моделирования при программировании жизненного цикла ТС имеет вид:

Vk е {0,1,2,...,N} найти max E = max E(Y(P, S, C, к)), (2)

p ,s ,c p,s,c

где p е P - множеству задач, S е S - множеству

структур, С е C - множеству стратегий управления, Y - вектор-функция состояний системы.

Решение задачи (2) предполагает нахождение в каждом временном интервале такого перечня задач p, выполняемых ТС, такой структуры S и стратегии управления c, которые максимизируют критерий эффективности функционирования ТС как функции его состояний. В большинстве случаев подмножество p определяется лицом, принимающим решение, в отличие от генеральной совокупности P, содержащей все реальные и потенциально возможные задачи.

Задачу (2) можно отнести к классу сложных и трудно формализуемых задач многокритериальной оптимизации. В настоящее время для решения таких задач наиболее часто используются методы многоцелевой оптимизации, позволяющие одновременно оптимизировать несколько целевых функционалов [1]. Вследствие того, что оптимизируемые функционалы независимы, вообще говоря, не существует одного решения, дающего минимум (максимум) сразу всех целевых функций. Решением такой задачи является целое семейство точек, называемое множеством (фронтом) Парето. Компромиссное решение на фронте Парето выбирается ЛПР вручную исходя из вида поверхности фронта в пространстве функционалов и предпочтений, отдаваемых какому-либо функционалу.

Задача многоцелевой оптимизации формулируется следующим образом. Найти значения параметров Х1,...,XN, обеспечивающих максимальные значения q функционалов:

maxp(x),...,/n(x)), x = (x15...,Xn)еX сEn(3) при наличии параметрических ограничений

X = {x : xLi < x < xRi } (4)

и функциональных ограничений

Фj(x)<0, j = 1,...,m . (5)

Для решения задачи (3)-(5) авторами предлагается использовать генетический алгоритм (ГА) [1-4]. В основу ГА положена теория эволюции, согласно которой популяция индивидуумов меняется в течение нескольких поколений путем рекомбинации (скрещивания) и мутации отдельных индивидуумов, подчиняясь при этом законам естественного или искусственного отбора относительно предписанного критерия.

Структурная схема предложенного гибридного эволюционного алгоритма представлена на рис. 1.

Работа ГА начинается с формирования случайным образом начальной популяции, состоящей из

P0 индивидуумов. После этого для каждого индивидуума построенной популяции вычисляются соответствующие значения целевых функционалов и ограничений. В данной работе для решения проблемы предварительной сходимости ГА и экономии ресурсов предлагается реализовать метагенетиче-ский подход [3-4], который заключается в направленном генерировании начальной популяции.

Для направленной генерации множества индивидуумов начальной популяции предлагается использовать ЛПт-поиск. Основная идея метода заключается в использовании равномерно распределенных последовательностей точек в пространстве допустимых параметров, причем пробные точки расположены в пространстве неравномерно, а их координаты определяются согласно алгоритму ЛПт-поиска, подробно описанному в [5]. Такой подход позволяет значительно сократить количество точек с повторяющимися координатами, а, следовательно, и количество «лишних» вычислений.

Применение ЛПт-поиска на начальном этапе позволит обеспечить формирование популяции индивидов, удовлетворяющих всем ограничениям уже в первом поколении, что позволит в дальнейшем не отслеживать индивидов не удовлетворяющих ограничениям (4)-(5), что позволит значительно сократить вычислительную сложность алгоритма.

Следующий этап работы генетического алгоритма - отбор. На этом этапе выбирается определенная доля Tr (0<Tr<1) наилучших индивидуумов для скрещивания. При проведении многоцелевой оптимизации в каждом поколении, как правило, будет несколько индивидуумов, не сравнимых друг с другом по совокупности целевых функционалов. Поэтому выполняется процедура, в которой на основе рассчитанных значений целевых функционалов вычисляется величина, называемая рангом, характеризующая качество индивидуумов [1, 6]. По определению ранга индивидууму, для которого ни один из индивидуумов популяции не лучше него по всем функционалам, присваивается ранг 1. Ранг остальных индивидуумов вычисляется следующим образом:

RANG (x' ) = 1 + аг,

где а. - число индивидуумов текущей популяции,

лучших по всем функционалам индивидуума x' [6]. Чем больше ранг, тем больше расстояние до фронта Парето. Затем для каждого индивидуума популяции

x' вычисляется критерий качества, основанный на ранге:

RANG (x )-1 , ч

Fr = 1 + 2 n(k),

к=1

где П(к) - число индивидуумов ранга к. После этого проводится процедура, предложенная Голдбергом и Ричардсоном [1, 6]. Цель этой процедуры -распределить популяцию около некоторого числа различных пиков в пространстве поиска, причем возле каждого пика сосредоточивается часть популяции, пропорциональная высоте пика [6]. Данная процедура проводится во избежание преждевременной сходимости или сходимости к какому-либо подмножеству точек фронта Парето, а также для получения равномерного распределения точек вдоль фронта Парето. Для этого критерий качества индивидуума, основанный на ранге Бк, умножается на нишевое число т, вычисляемое для каждого индивидуума. Нишевое число т. - это оценка того, как

много индивидуумов популяции располагается в окрестности (нише) индивидуума '. Это число рассчитывается по всей популяции, включая .-й индивидуум:

т

I Sh(p(l, 1)).

1еРориШюп

Здесь Р( J ) - расстояние между индивидуумами х' и X1; 5^ (р) - функция разделения такая, что 5%(0) = 1, Бк( р > С) = 0, 5%( р < С) =

1 - р / С ; С - параметр разделения, который подбирается эмпирически. Индивидуумы, находящиеся на расстоянии С , ухудшают функции качества Б, = БКт друг друга.

Таким образом, сходимость происходит в нише радиуса С , но сходимости всей популяции удается избежать. Поскольку целевые функционалы могут принимать значения на отрезках разной длины, функционалы предварительно нормируются таким образом, чтобы они отображали область поиска X в гиперкуб с единичным ребром [0,1]#. Расстояние между индивидуумами вычисляется в пространстве функционалов по формуле

Р( 1 ) = тах

к=1,..,#

Отбор индивидуумов проводится исходя из значения функции качества Б,. Затем выполняется рекомбинация (скрещивание).

При реализации операции рекомбинации одним из важнейших вопросов является определение места и количества точек разрыва хромосом (альтернативных решений). Большое число точек разрыва может привести к полной потере лучших решений. Малое число точек разрыва часто приводит к попаданию решения в локальный оптимум, далекий от глобального. Поэтому необходим поиск разумного компромисса в этом вопросе.

В работе предлагается использовать оператор кроссинговера (ОК) на основе простых чисел [3]. Работа ОК на основе простых чисел заключается в генерации количества точек разрыва согласно коли-

/к(х' )-/к (х1 )

чественной мере простых чисел, попадающих в длину хромосомы Ь. Если в результате ОК получаются нереальные решения, то происходит замена повторяющегося гена на отсутствующий из хромо -сомы потомка.

На следующем шаге ГА выполняется оператор мутации (ОМ). Использование данного оператора позволит еще более разнообразить генетический материал. Мутации подвергаются индивиды, получившиеся после скрещивания с некоторой вероятностью рт.

В результате выполнения описанных операторов получается новое поколение, заменяющее предыдущее, и этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет рассчитано заданное число поколений N.

На заключительном этапе работы алгоритма (при реализации Т поколений) строится фронт Парето - множество неулучшаемых решений. Выбор окончательного решения на фронте Парето осуществляет ЛПР согласно личным предпочтениям.

Работоспособность алгоритма проверялась на следующих тестовых задачах (здесь приводятся общепринятые названия): ЮТз, БТЬ14, TNK [6]. В задаче БТЬ14 число минимизируемых функционалов # равнялось трем, в остальных тестовых задачах -двум; число варьируемых параметров п в 1БТ3 равнялось 30, в БТЬ14 - 12, в TNK - 2. В задаче TNK накладывались ограничения. В табл. приведены функционалы, область изменения параметров и ограничения для перечисленных тестовых задач.

Критериями качества алгоритма, осуществляющего многоцелевую оптимизацию, являются:

- минимизация расстояния между полученным с помощью алгоритма множеством решений и действительным фронтом Парето;

- равномерное распределение найденных решений вдоль фронта Парето;

- максимизация охвата полученными решениями фронта, т. е. найденные решения должны принимать значения из широкого диапазона значений по каждому из целевых функционалов.

При решении всех тестовых задач использовались следующие значения параметров алгоритма: параметр разделения С = 0.01, доля отбираемых для рекомбинации индивидуумов Тг = 0.3, параметр рекомбинации d = 0.7, мутационный параметр Ц = 0.1 . Число поколений NGen = 100 во

всех тестовых задачах. На рис. 2 - 4 изображены фронты Парето для тестовых задач, полученные в результате оптимизации (обозначены кружками), и точные (сплошными линиями). Из представленных графиков видно, что с помощью разработанного алгоритма удается получить качественные решения.

ПоСїіНІоиКа іа;іачн Шк>1 ніфі! [Є|>И;і.'П.І!іиЧ 1)11] ІІМНіаЦІШ

- определение пил.і пеленых фуішшіі ^.(.г)...../..(л');

- определение фаювых ограничении Л';

- определима це.ченых ограничении ЧЧх>

>тап 2. Рекомбинация

I

Ґ- г!.і-\....Т: Р

/ I:

Для р н /гч определим. количеств точек разрыва г

--------► г~ ]:

Оператор крои си шивера:

!>. * !>:.■ р. дли />.,)>, рлеечнглгь 1) /.

2) Ух

]|'_-] ( )іГірИСІ! Ир

нндивнлуумл /і.

Рис. 1. Схема гибридного эволюционного алгоритма многокритериальной оптимизации

Тестовые задачи многоцелевой оптимизации

Задача

Целевые функционалы

Ограничения и число парамет-______________ров_____________

ЮТ,

/ (х )= хі

/2(х) = 8(і - С/1 / 8)1п(10П/1 ))і

g(х2,к,х) =1 + 9Ех /(п -1)

0 < х. < 1

г

п = 30

ТЖ

/1(х )= /2 (х ):

х

х„

0 < х. < п,

Ф1 (х )= 1 + 0.1С08

/ Л

х

16агС:ап—

х

V

2 /

■х" - х22 < 0,

Ф2(х ) = (х1 - 0.5)2 +

+ (х2 - 0.5)2 - 0.5 < 0, п = 2

БТЫл

/1(х )=(1 + 8 )с0ї5 /2 (х ) = (1 + 8)с0^

Апх“Л

V 2 У

Ґ Л пх

С0Б

Апх:Л

2

2

Vх-/

/ „а Л

Б1П

/з(х )=(1 + 8

Vх-/

Ґ а Л

пх1

V 2 /

пх

2

Vх-/

0 < х. < 1 п = 12

8(хз,к,хп)=І(х. -0.5)2, а = 100

2

г=3

Рис. 3. Фронт Парето для задачи ТЫК

Рис. 2. Фронт Парето для задачи 1ВТ3

Литература

Рис. 4. Фронт Парето для задачи DTLZ4

Данный алгоритм является универсальным для решения задач управления на всех этапах жизненного цикла сложных технических систем, т.к. обеспечивает поиск глобального оптимума, позволяет ЛПР проследить поиск решений на каждом этапе работы алгоритма.

1. Fonseca C.M., Fleming P.J. Genetic algorithms for multiobjective optimization: formulation, discussion and generalization // Proc. of the 5th Intern. Conf. on Genetic Algirithms. 1993. P. 416 - 423.

2. Гуменников А.П. Адаптивные поисковые алгоритмы для решения сложных задач многокритериальной оптимизации: автореф. дисс. канд. техн. наук. - Красноярск, 2006. - 16 с.

3. Гладков Л. А. Биоинспирированные методы в оптимизации / Л. А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик, П.В. Сороколетов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 384 с.

4. Гладков Л. А. Генетические алгоритмы / Л. А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 243 с.

5. Медынский М. М. Численные методы нелинейной оптимизации: алгоритмы и программы: Учеб. пособие / М.М. Медынский, Е.В. Антоний. -М.: Изд-во МАИ, 2003. - 192 с.

6. Лопарева И.Ф. Многоцелевая оптимизация формы лопасти гидротурбины. / И.Ф. Лопарева, С.Г. Черный, Д.В. Чирков, В. А. Скороспелов, П. А. Ту-рук. - Вычислительные технологии, Т. 11. № 5. 2006. С. 63-76.

Воронежский государственный технический университет Воронежская государственная лесотехническая академия

WORKING OUT OF THE MODIFIED EVOLUTIONARY ALGORITHM DECISION PROBLEMS MULTICRITERIAL OPTIMIZATION AT ALL LIFE CYCLE STAGES TRANSPORTNO-TECHNOLOGICAL CARS PARK A.V. Muratov, K.A. Yakovlev

In article development of hybrid evolutionary algorithm for multicriterial optimisation problem solving at all stages of life cycle of difficult technical systems is considered

Key words: multicriterial optimisation, decision-making, genetic algorithm, front Pareto