CC BY
40Клюев А. В., студент Клюев С. В., профессор РАЕ, канд. техн. наук, доцент, Лесовик Р. В., канд. техн. наук, доцент, Юрьев А. Г., академик РАЕ, доктор техн. наук, профессор, MICE (Великобритания) Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова
ОПТИМИЗАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Введение
С каждым годом в строительстве все большее применение получают пространственные конструкции типа куполов, сводов, вантово-стержневых покрытий, конструкций башенного типа, которые состоят преимущественно из стержней. Прежде всего, это связано с производством высокопрочных сталей, дюралюминиевых и стеклопластиковых материалов, армоцемента, фибробе-тона, клееной древесины, многослойных панелей, гнутых металлических и пластмассовых профилей, а также внедрение в практику проектирования ЭВМ. Все это способствует появлению и значительному распространению пространственных конструкций.
Появление новыхконструктивных решений зданий и сооружений, использование новых материалов, углубленное знание о работе конструкций, использование ЭВМ требуют непрерывного совершенствования методов расчета строительных конструкций.
С возникновением и развитием такой области прикладной механики, как математическое программирование, появилась возможность осуществлять на ЭВМ поиск оптимальных конструкций, т. е. решать задачи оптимизации, к которым не всегда применимы классические методы дифференциального и вариационного исчисления [2].
На основе МКЭ проводятся теоретические исследования в области статики стержневых систем при типовых комбинациях нагрузок и различных типах опи-рания и сопряжения узлов. После этого из числа рассмотренных схем выявляется расчетная схема, согласующаяся с действительной работой конструкции, установленной на основании экспериментальных исследований. Далее осуществляется декомпозиция сложной системы на ряд подсистем с последующей заменой их стержневыми аналогами. Проводится анализ (оптимизация) стержневых подсистем по массе (рас-
ходу материала) методами оптимального проектирования [1].
Расчет на устойчивость стержневых систем стал определяющим в общем процессе расчета, так как разрушение тонкостенных конструкций происходит в основном из-за общей или местной потери устойчивости.
1. Стержневые пространственные конструкции
Стержневые пространственные конструкции - это конструкции, состоящие из двух и более поясных сеток, соединенных между собой раскосами.
Стержневые пространственные конструкции относятся к одному из перспективных направлений в строительной индустрии, так как они обладают высокой архитектурной выразительностью, малой металлоемкостью, большой пространственной жесткостью, надежностью в эксплуатации и др. Они находят применение как при возведении уникальных сооружений, так и при строительстве объектов в труднодоступных районах.
Пространственные конструкции привлекли широкое внимание специалистов по металлическим конструкциям в конце 50-х годов прошлого столетия. Но еще в 30-е годы Г. Белл применил пространственно-жесткие конструкции кристаллического строения для каркасов летательных аппаратов. Французским ученым Р. Ле Риколе установлено сходство регулярных структур с прочными образованиями органической природы, т. е. показана бионическая суть конструкторской идеи. Им же впервые исследованы ортогональные структуры, составленные из тетраэдров и октаэдров.
В последнее время пространственные конструкции, со оружаемые из модульных элементов, нашли повсеместное распространение. Диапазон их применения начинается от детского конструктора и заканчивается большепролетным куполом наземного сооружения, гигантской чашей радиотелескопа, раскрывающейся антенной
космического летательного аппарата, огромной конструкцией башни, созданной В.Г. Шуховым и т. д.
Пространственные металлические конструкции обладают рядом достоинств, рациональное использование которых раскрывает применение этих структур в выигрышном свете по сравнению с другими конструкциями:
1) благодаря многосвязности и пространственной работе они являются более жесткими, чем плоские, что позволяет проектировать покрытия с несущими структурными плитами примерно вдвое меньшей высоты, чем традиционные (1/15 - 1/25 от пролета);
2) возможность перекрывать большие пролеты;
3) благодаря многообразию форм они обладают архитектурной выразительностью;
4) регулярность структур определяет повторяемость размеров и, как следствие этого, максимальную унификацию стержней и узлов;
5) компактность упаковки при транспортировке обеспечивает условия для доставки конструкций в труднодо -ступные районы, даже по воздуху;
6) повышенная надежность от внезапных разрушений, связанная с тем, что потеря устойчивости или разрыв стержня, который не является абсолютно необходимым, не вызовет потери несущей способности всей системы;
7) удобство проектирования линий подвесного оборудования и подвесных потолков и др.
Наряду с достоинствами пространственные конструкции обладают рядом недостатков:
1) сложность узловых сопряжений конструкций по-стержневой сборки и необходимость изготовления элементов с большими затратами труда;
2) высокая трудоемкость монтажа конструкций, собираемых из отдельных стержней, обусловленная большим количеством элементов, а часто и наличием монтажной сварки;
3) наличие большого числа стержней во многих случаях ведет к неполному использованию несущей способности элементов, сечение многих стержней подбирается по предельной гибкости и др.
2. Математическое моделирование стержневой
пространственной системы
Широко распространена следующая вычислительная схема численной реализации нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных: сначала исходная система уравнений дискретизируется по пространственной переменной, затем выполняется интег-риров ание полученной системы о быкновенных дифференциальных уравнений по времени, и, наконец, на каждом шаге осуществляется решение системы нелинейных алгебраических уравнений.
К основным способам дискретизации континуальных задач относятся следующие методы:
1) метод конечныхразностей;
2) вариационные, в том числе прямые, методы;
3) метод конечных элементов.
Метод конечных разностей предполагает переход от дифференциальных уравнений и краевых условий к уравнениям в конечных разностях, которые получаются путем замены различных дифференциальных выражений через разностные отношения и значения функций в отдельных точках. Преимуществом этого метода является его хорошее теоретическое обоснование, включающее в себя условия устойчивости, сходимости, точности разностных схем и др.
Другое достоинство - это относительная простота процедуры дискретизации, которая к тому же позволяет получить редко заполненные ленточные матрицы. Серьезные трудности при использовании МКР возникают, если сетка нерегулярна и ее направление не совпадает с направлением координатных осей, а также в случае сложных граничных условий и сопряжения разнородных конструктивных элементов.
Вариационные методы заменяют проблему решения систем дифференциальных уравнений задачей определения функций, обеспечивающих минимум некоторого функционала. При этом искомые неизвестные функции аппроксимируются набором определенных базисных функций с неизвестными коэффициентами. В тех случаях, когда базисные функции определены во всей рассматриваемой области, матрицы системы уравнений оказываются заполненными. При больших порядках систем решение таких уравнений затруднительно, так как матрицы часто бывают плохо обусловленными [2].
Метод конечных элементов соединил в себе преимуществ а метода конечных разностей и вариационных методов, исключив одновременно их недостатки. Разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными с редко заполненными матрицами. Достаточно полно учитываются геометрическая форма конструкции, распределение в пространстве и изменение во времени внешних нагрузок, сложные граничные условия, температурные факторы, а также физические свойства используемых в конструкциях материалов.
Теоретически МКЭ рассматривается как специфическая разновидность метода Ритца с локально определенными базисными функциями. Это позволяет использовать теоретический аппарат вариационных методов для математического обоснования МКЭ. Поэтому метод конечных элементов является мощным средством решения сложных задач строительной механики.
Решение задач оптимального проектирования конструкций следует вести рациональными, практически приемлемыми методами. К решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второстепенными. Так, например, прикладная задача должна быть решена не только правильно, но и своевременно, с как можно меньшей затратой усилий; решение должно быть доступным для существующих вычислительных средств и пригодным для фактического использования, а его точность должна соответствовать поставленным целям.
Математическое моделирование широко применяют при р асчетах и исследов аниях стр оительных конструкций, чему способствует бурное внедрение в научно-исследовательскую и инженерную деятельность средств вычислительной техники.
Моделирование - это исследование объектов познания на их моделях. Математическое моделирование позволяет устанавливать закономерности изменения состояния конструкции при изменении внутренних параметров.
Для математического моделирования используются мощные расчетные комплексы, такие как Lira-Windows, Ansys, Staad, Мираж, Cosmos, Scad и др., которые основаны на методе конечных элементов (МКЭ). Этот метод является мощным и надежным средством исследования поведения конструкций в условиях разнообразных воздействий. С помощью МКЭ можно проводить расчеты статического и динамического напряженно-деформированного состояния, форм и частот колебаний, анализ устойчивости конструкций и др. [3].
При использовании вышеперечисленных методик и компьютерных программ вытекают следующие преимущества: 1) удобство автоматизированного проектирования; 2) экономия времени; 3) экономия средств.
В настоящее время проектирование строительныхкон-струкций выходит на новый уровень развития. Мощная вычислительная техника позволяет осуществить перебор вариантов проектов за сравнительно короткое время.
3. Основные виды оптимизации стержневых
конструкций
Анализ работ по оптимальному проектированию стержневых конструкций показывает, что к настоящему времени сформировались две постановки задач оптимизации стержневых конструкций:
1. Заданы воздействия. Требуется определить такие пар аметры пр о екта, при которых р асход м атериалов, необходимых для сооружения конструкции, была бы минимальной, а требования, заложенные в строительных нормах, выполнялись.
2. Задан некоторый объем ресурсов, необходимых для сооружения конструкции. Требуется при заданном объеме ресурсов определить такие параметры проекта, при которых конструкция могла бы нести максимально возможные нагрузки и воздействия без нарушения требований, заложенных в строительных нормах [1].
4. Требования, предъявляемые
к оптимальному проектированию
стержневых пространственных конструкций
Проектирование неизбежно связано с рядом требований, приводящих к определенным геометрическим и конструктивным ограничениям, а также ограничениям на поведение конструкции. Некоторые из них носят общий характер, но их бьльшая часть определяется спецификой отдельного проекта. Назовем лишь требования (ограничения), относящиеся к большинству конструк-
ций. Функциональные ограничения содержат требования включения или исключения элементов или связей, сказывающиеся на функциональной эффективности конструкции. Кроме того, существуют ограничения: по напряжениям, по перемещениям, по условию совместности деформаций, конструктивные, эстетические (архитектурные) и др.
Некоторые требования иногда можно не учитывать при постановке задачи, а проверять ихвыполнимость после получения решения. При наличии временной нагрузки в исходные данные задачи синтеза конструкции вводится один из вариантов ее расположения. Полученная конструкция проверяется на все возможные комбинации постоянной и временной нагрузок. При неудовлетворительных результатах пр оверки в исходные данные вв одится другой вариант временной нагрузки. В то же время нельзя стать на путь построения огибающей конфигурации , поскольку связанное с ней перераспределение напряжений м ожет привести к нарушению условия пр очности.
В качестве объектов исследования в данной работе приняты стержневые пространственные конструкции башенного типа. Конструкции башенного типа имеют широкое распространение, в частности, на линиях электр опередачи и связи. Расход металла и других м атериалов во многом зависит от приближения конструкции к рациональному проекту.
4.1. Ограничения на напряжения
Значение напряжений в любом элементе стержневой металлической пространственной конструкции башенного типа должно быть не более предельно допустимого напряжения для данного вида элемента:
^ < Ry Yc ,
(1)
где Яу - расчетное сопротивление, ус - коэффициент надежности.
Для растянутых элементов принимаем
N < ry
A.. yic,
(2)
где N - расчетное усилие в г-м стержне, Д - площадь поперечного сечения г-го стержня. Для сжатых элементов принимаем
N А ф
где ф - коэффициент уменьшения основного допускае мого напряжения.
—^ < R y
У ' c ,
(3)
4.2. Ограничения на перемещения
Максимальное перемещение узла конструкции должно быть не более допустимого перемещения, определяемого нормами проектирования:
f < [ fu ] ,
(4)
где - фактическое перемещение г-го узла, - предельно допустимое перемещение.
4.3. Ограничение по условию совместности
деформаций
Возникающие в стержневых системах деформации вызывают перемещения их элементов. Чтобы после деформации системы сплошность ее не нарушалась, поле перемещений должно быть определенным образом согласованно с полем деформаций.
В методе конечных элементов необходимо принять по крайней мере квадратичные базисные функции координат, чтобы обеспечить неразрывность поля деформаций. При смягчении условий нер азрывности стремятся удов -летворить лишь условия неразрывности перемещений.
4.4. Конструктивные ограничения
Для каждого вида сортамента есть конечное число типоразмеров, которые ограничивают область его применения:
А < [А], (5)
где А, - площадь ;-го элемента, [А] - предельная площадь сечения для определенного типа сортамента.
4.5. Эстетические ограничения
Требования, предъявляемые к внешнему виду конструкции, вызывают геометрические и конструктивные ограничения.
При наличии симметрии в конструкции исключение элементов необходимо производить симметрично, чтобы не потерять ее архитектурную выразительность и органичность.
Вышеперечисленные ограничения определяют область допустимых решений при оптимальном проектировании стержневых конструкций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клюев С.В. Оптимальное проектирование стержневых систем. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. -130 с.
2. Юрьев А.Г. Вариационные принципы механики / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. - 80 с.
3. Юрьев А.Г. Эволюционные и генетические алгоритмы оптимизации строительных конструкций / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ, 2006. - 134 с.
