CC BY
27
УДК 539.3:519.3:624.04
Клюев С.В. - кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и строительной механики
Клюев А.В. - аспирант
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ
Оптимальному проектированию конструкций посвящено большое число исследований, в которых доминирует весовая оптимизация. Такого рода формулировка задачи не должна выходить за пределы известного положения о двойственности постановки задачи синтеза механики деформируемого твердого тела. Сопрягаемыми функционалами являются объем материала проектируемой системы и ее потенциальная энергия. Критерий оптимальности принимает энергетическое содержание [4].
Рассмотрим изопериметрическую задачу формообразования конструкции из однородного материала при заданной величине потенциальной энергии системы. В этом случае функционал имеет вид
(і)
где 10 - заданная потенциальная энергия деформации, т - множитель Лагранжа.
Следствием стационарности функционала являются т уравнений совместности деформаций (т - число лишних связей)
дУ/ды„ = 0, (2)
уравнение энергии
=I 0
«2 ЕЛ, “
(3)
и Г уравнений структурообразования (г - число варьируемых параметров). При варьировании площадей сечений растянутых стержней получаем
ы;
2 ЕЛ2
= 0.
(4)
Рассмотрим проектную задачу для фермы, показанной на рис. 1. С целью выявления знаков внутренних усилий в первом приближении произведем ее расчет [2].
Рис. 1. Статически неопределимая пространственная конструкция
Ферма имеет 12 узлов, 25 стержней и 12 опорных стержней. 12 узлов имеют 36 степеней свободы, которые ограничиваются 37 связями. Таким образом, ферма имеет одну лишнюю связь.
Проведем дополнительный анализ геометрической структуры фермы. Узел 6 связан с шарнирными неподвижными опорами 1, 2, 3 тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости. Подобным же образом узел 8 связан с опорами 1, 3, 4, узел 5 - с опорой 1 и неподвижными точками 6, 8 и т.д. Узлы 9, 10, 11 и 12 как принадлежащие одновременно двум неизменяемым четырехугольникам, не лежащим в одной плоскости и примыкающим к неподвижной нижней части фермы, являются неподвижными. Таким образом, ферма неизменяема.
Основная система метода сил образована путем исключения диагонального стержня 2-5. Вместо него введена сила Х1 (рис. 2).
Каноническое уравнение имеет вид
8цХ1 +Д№ - °,
(5)
где 8ц - перемещение по направлению силы Х1 от Х1 = 1; Д1¥ - перемещения по направлению силы Х1 от внешней нагрузки.
Определяем усилия в статически определимой ферме от силы ¥ = 60 кН. Начало координат поместим в
узле 10. Длины стержней и абсолютные значения косинусов углов даны в табл. 1. Последние используются при определении усилий в стержнях методом вырезания узлов.
Рассматривая последовательно узлы 11, 10, 9, 12, 5 и 6, на основе известных теорем устанавливаем, что усилия
в 04, О1, 5, Тх, О2, $2 , Т2, О3 , S3, Тъ , О5, Об , $6, Т5 равны нулю.
Для определения усилий в остальных стержнях вырезаем последовательно узлы 11, 7, 8, и 6 и записываем уравнения равновесия: ^ X = 0, = 0, ^ X = 0. Найденные усилия внесены в табл. 1.
Определим усилия в ферме (рис. 2) от силы Х1 = 1. Усилия возникают лишь в одной грани нижней части
фермы: 06 = —0,885; 55 = —0,465; 56 = —0,465; Т5 = 1. Вычисляем перемещения, принимая жесткость ЕА постоянной:
Ш2 1 1 3
8;, =У-^^ =-----(0,8852-2 + 0,4652 -1,05 • 2 +12 • 2,259 • 2) = -
^ Т7А Т7А V ’ ’ ’ ’ >
3,269
ЕА ЕА
N2 • 1 1 1 929
Д*-IN^L-—(-7,9)• (-0,465) 1,05 -
ЕА ЕА[ ’ У ’ ЕА
ЕА
(6)
Таким образом,
Д1
8ц
- -0,59кН.
(7)
(8)
Таблица 1
Геометрические характеристики стержней и внутренние усилия
Наименование стержней Длина, м со8 а соє Ь соє у Усилие
обозн. величина, кН
9-10 1,000 0 1 0 01 0
9-12 1,000 1 0 0 02 0
11-12 1,000 0 1 0 03 0
10-11 1,000 1 0 0 04 0
5-6 2,000 0 1 0 05 0
5-8 2,000 1 0 0 06 0
7-8 2,000 0 1 0 07 -15,03
6-7 2,000 1 0 0 08 -15,03
6-10 1,024 0,488 0,488 0,724 З 0
5-9 1,024 0,488 0,488 0,724 ^2 0
8-12 1,024 0,488 0,488 0,724 ^3 0
7-11 1,024 0,488 0,488 0,724 ^4 30,79
2-6 1,050 0 0 1 ^5 -7,90
1-5 1,050 0 0 1 ^6 0
4-8 1,050 0 0 1 ^7 -61,62
3-7 1,050 0 0 1 ^8 22,29
7-10 1,746 0,859 0,287 0,424 Т 0
6-9 1,746 0,287 0,859 0,424 Т 0
5-12 1,746 0,859 0,287 0,424 Т3 0
8-11 1,746 0,287 0,859 0,424 Т4 -52,36
1-6 2,259 0 0,885 0,465 Т 0
3-6 2,259 0,885 0 0,465 Т6 16,98
1-8 2,259 0,885 0 0,465 Т 7 16,98
3-8 2,259 0 0,885 0,465 Т 18 67,80
Вычисляем усилия в стержнях грани нижней части фермы:
06 =-0,52 кН; 55 =—7,9 + 0,27 =—7,53 кН; 56 = 0,27кН; Т5 =-0,59 кН.
Лишним неизвестным будем считать усилие Т9 в стержне 2-5 (рис. 2).
В то же время 06 =-0,885Т9; 07 = 08 =—15,03 кН; 54 = 30,79 кН; 55 =—7,9 — 0,465Т9; 56 =-0,465Т9; 57 =-61,62 кН; 58 = 22,29 кН; Т4 =—52,36 кН; Т5 = Т9;
Т6 = Т7 = 16,98 кН; Т8 = 67,8 кН.
Выразим площади поперечных сечений растянутых и сжатых стержней соответственно по формулам
, я, А N
А, = —, А =------^. (9)
' V ФЯ,
где я, - расчетное сопротивление, ф - коэффициент продольного изгиба.
Представляем функционал (1) в виде
V = ® • 2 + 2^3 • 2 + 30^9-1,024 + 7,9 — 0,465Т9-1,05 + 0^-1,05 + г Яу Щ Яу ¥Яу ¥Яу У
61,62 , 22,29 52,36 2Т9 246,98 „ ^
+—-------1,05 + — -----1,05 + —— • 1,746 + —^ • 2,259 +--------------— • 2,259 +
фЯу Яу фЯу фЯу Яу
678 • 2,259 + т(0,885Т9фЯу + 2 -15,03фЯу + 30,79Яу • 0,512 +
Яу Е
+ (7,9 — 0,465Т9)фЯу • 0,525 + 0,465фЯу • 0,525 + 61,62фЯу • 0,525 +
+22,29Яу • 0,525 + 52,36 • 0,873 + Т9фЯу • 2,259 +16,98Яу • 2,259 + 67,8Яу -1,13 — /0Е). (10)
Уравнение (2) приобретает вид
ф7 _ «Я> + 4,5,8 + Е (0,885фЯу, — 0,2ф + 2,25ф ) = 0, (.1)
фЯу фЯу фЯу Е' у у у
или
2 . МФЯ
ФЯу Е
откуда
+ —21 = 0, (12)
2Е
т = — ФЯ2- (13)
Величина /0 , соответствующая статически определимой ферме, равна
/0 = 1 (0,885фЯу + 30,06фЯу +15,764Яу + 4,14фЯу + 0,244фЯу + 32,35фЯу +
Е
+11,70Яу + 45,71фЯу + 38,357 Яу + 76,614фЯу), (14)
или
/0 = Е (142,435Яу +112,504фЯу). (15)
Принимаем /0 = — (150 Яу +115фЯу).
Е
Уравнение (9) имеет вид
2,9Т9фЯу + 30,06фЯу +15,764Яу + 4,14фЯу + 0,244фЯу + 32,35фЯу +
+11,702Яу + 45,71фЯу + 38,358Яу + 76,614фЯу = 150Яу + 115фЯу, (16)
или
2,9Т9фЯу +142,43 5Яу +112,504фЯу = 150 Яу + 115фЯу. (17)
Таким образом,
(2 6 ^
— + 0,86 . (18)
Ф
Т=
9
Таблица 2
Внутренние усилия и площади поперечных сечений стержней
Наименование стержней Длина, м Усилие Площадь сечения пі 2
обозначение величина, кН
9-10 1,000 01 0
9-12 1,000 02 0
11-12 1,000 03 0
10-11 1,000 04 0
5-6 2,000 05 0
5-8 2,000 06 -5,867 3,762
7-8 2,000 07 -15,03 9,635
6-7 2,000 08 -15,03 9,635
6-10 1,024 *1 0
5-9 1,024 ^2 0
8-12 1,024 *3 0
7-11 1,024 *4 30,79 11,842
2-6 1,050 *5 -10,314 6,117
1-5 1,050 -2,415 1,548
4-8 1,050 *7 -61,62 39,5
3-7 1,050 *8 22,29 8,573
7-10 1,746 Т 0
6-9 1,746 Т2 0
5-12 1,746 Т 0
8-11 1,746 Т4 -52,36 33,564
1-6 2,259 Т5 5,193 1,997
3-6 2,259 Т 16,98 6,531
1-8 2,259 Т 1 7 16,98 6,531
3-8 2,259 Т 8 67,80 26,077
2-5 2,259 Т 1 9 5,193 1,997
Переходим к составлению уравнений (9):
2А (0,885Т9)2 -
для стержня 5-8
1 -
- 0,885т; ф2Я2 2ЕАф2 7 1 ф2Яй
(19)
для стержня 2-6
для стержня 1-5
для стержня 1-6
2А (7,9 + 0,465Т9) _ 0 _ 7,9 + 0,465Т9
2г>2 0 77/12^2 0 А2 2 ;
1 -
ф2Я2 2 ЕА2, ф
2А (0,465Т9) ф2Я2 2ЕАф2
0, А, - 04651 3 фЯ
1 -
2А Т92 - 0, А4 -А
ф2Я2 2ЕА2 ’ 4 фЯй
(20)
(21)
(22)
В табл. 2 представлены усилия и площади поперечных сечений, при Яу = 260 11а (сталь С390) и ф—0,6.
Для стержней с нулевыми усилиями площади сечений принимаются по конструктивным соображениям.
Полученный оптимальный вариант стержневой конструкции обладает наибольшей жесткостью, ему соответствуют минимальные перемещения.
При большем количестве лишних неизвестных отличие решения состоит в составлении системы уравнений для их определения, которая носит линейный характер.
Выводы
1. Рассмотрение проблем анализа и синтеза строительных конструкций основывается на методологическом единстве методов их решения, основой для которого являются вариационные принципы строительной механики.
2. Энергетический критерий оптимальности, выявленный при вариационной постановке изопериметрической задачи структурного синтеза в виде уравнений структурообразования, является основополагающим критерием качества конструкции.
3. Критерий минимума объема имеет обоснование лишь при возможности двойственной постановки проектной задачи и дополнительном условии, имеющем энергетическую основу.
4. Использование энергетического критерия и критерия минимума объема для оптимального проектирования стержневой конструкции сводится к решению систем алгебраических уравнений, определяющему глобальный экстремум целевой функции.
5. Вариационная постановка задачи позволяет решать проблему безопасной устойчивости сжатых стержней на уровне оптимального проекта.
Литература
1. Клюев С.В. Оптимизация строительных конструкций / С.В. Клюев // Молодые ученые - производству. Сб. науч. тр. регион. конф. - Старый Оскол: СТИ МИСиС, 2006. - С. 242-247.
2. Клюев С.В. Расчет внутренне статически неопределимой пространственной фермы / С.В. Клюев, А.Г Юрьев // Вестник БГТУ им. В.Г Шухова, 2005, №>10. - С. 375-378.
3. Юрьев А.Г. Основы проектирования рациональных несущих конструкций /А.Г. Юрьев. - Белгород: БТИСМ,
1988. - 94 с.
4. Юрьев А.Г. Энергетический критерий структурообразования несущих конструкций /А. Г. Юрьев, С.В. Клюев // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2006, .№2. - С. 90-91.
