Оптимальное проектирование стержневых систем на основе энергетического критерия при силовых и температурных воздействиях с учетом безопасной устойчивости Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Вестник БГТУ им. В. Г. Шухова

2009, № 1

Klyuyev@yandex.ru Клюев C.B., проф. РАЕ, канд. техн. наук, доц.,

Клюев A.B., студент

Белгородский государственный технологический университет им. B. Г. Шухова

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ПРИ СИЛОВЫ1Х И ТЕМПЕРАТУРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С УЧЕТОМ БЕЗОПАСНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Предложена методика оптимального проектирования стержневой системы. В качестве примера рассмотрено проектирование стальной пространственной башни. Выгявлен наилучший вариант соответствующий минимуму объема материала башни.

Потребность в решении оптимизационных задач термоупругости и термопластичности возникла сравнительно недавно. Развитие инженерной деятельности привело к появлению конструкций и сооружений, работающих в условиях стационарного и нестационарного нагрева. Так как современная цивилизация использует все более сложные конструкции, обеспечение прочности и надежности которых при их высокой экономичности имеет первостепенное значение, появилась тенденция перехода от допустимых инженерных решений к решениям оптимальным. Конструкции, одновременно работающие на силовые и температурные воздействия, широко применяются в различных отраслях народного хозяйства. Проектирование таких объектов должно в первую очередь базироваться на современных методах расчета, позволяющих удовлетворять всем перечисленным требованиям [1, 2].

Можно выделить различные направления решения тепловых и термоупругих задач оптимизации. Это оптимизация формы теплоотводящих поверхностей, оптимизация распределения температуры и ее градиентов, источников тепла в твердом теле, определение оптимальных свойств материала или источников тепла при заданной температуре. В отдельное направление можно выделить работы, в которых форма тела оптимизируется только по тепловым и температурным показателям.

Здесь следует отметить работы Р.А. Мерика, внесшего большой вклад в проблему оптимального проектирования формы в тепловых задачах. В своих первых работах в качестве оптимизируемого параметра он рассматривает мощность внутренних источников тепла. Последующие труды посвящены оптимизации распределения свойств материала и воздействий (механических и тепловых) в задачах термоупругости. Эта оптимизация связана с распределением модулей Юнга, плотностей, коэффициентов теплопроводности и функций нагружения (поверхностных нагрузок и потоков тепла). Приводится анализ чувствительности функционалов цели и ограничений.

Кроме этого была решена задача методом конечных элементов с кусочно-постоянной аппроксимацией площа-

ди поперечного сечения на каждом конечном элементе задача оптимизации конструкции охлаждающего ребра, на которое наложены температурные ограничения. Задача формулировалась так: необходимо определить такие геометрические параметры области и размещение источников тепла внутри нее, чтобы площадь области была минимальной при заданных ограничениях на распределение температуры в заданных точках. В качестве переменных проектирования использованы величины площадей элементов. Были найдены оптимальный радиус и длина для ребра постоянного сечения при заданном его объеме.

Однако, при решении перечисленных выше задач термомеханические напряжения, обязательно появляющиеся в нагруженных внешними силами упругих телах при изменении температуры, не учитывались.

Этой проблемой всерьез начали заниматься в начале 70-х XX века, и первые работы были обусловлены фактом необходимости одновременного учета температурных и механических воздействий при решении задач термоустойчивости стержней.

В работах Ю.В. Немировского и его последователей рассматривается вопрос об оптимальном проектировании упругих конструкций, подверженных действию как механических, так и температурных воздействий. При этом для упрощения принимается не зависящее от выбранного проекта температурное поле. Решены задачи минимизации величины функционала упругой энергии, косвенно определяющего прочность и жесткость конструкции, путем рационального распределения модулей упругости в трехмерном теле. Показано, что задача о распределении упругих параметров, реализующих минимальный уровень напряжений при заданном поле деформаций, является задачей выпуклого программирования.

Обычно прочность материалов при повышенных температурах тем больше, чем выше температура их плавления. Выявление зависимостей физико-механических характеристик материалов от температуры приводит к большим математическим трудностям, особенно в задачах о температурных напряжениях за пределами

упругости вследствие их нелинейного характера [1].

Основные материалы, используемые в строительстве - бетон и сталь. При нагревании, особенно при воздействии высоких температур, некоторые константы могут меняться в значительных пределах и, следовательно, допущение о независимости упругих констант от температуры не может быть принято.

При нагреве стали могут меняться прочностные, де-формативные свойства стали и стабильность структуры. Предел текучести и модуль упругости стали при нагреве рекомендуется рассчитывать соответственно через предел текучести и модуль упругости при нормальной температуре (20°С) и коэффициенты условий работы при нагреве. При повышении температуры до 400°С эти характеристики меняются незначительно, а после 400°С - резко уменьшаются и при температуре выше 700°С их значения приближаются к нулю.

Остановимся на изопериметрической задаче формообразования конструкции из однородного материала при заданном объеме У0. В этом случае функционал, соответствующий используемому вариационному принципу, содержит слагаемое, отражающее дополнительное условие, с множителем Лагранжа ¡л, который в изопериметрической задаче является постоянной величиной.

Обратимся к принципу возможных изменений напряженного состояния и рассмотрим проектную задачу для стержневой системы. Функционал Кастильяно имеет вид [1, 2]:

(

2Щ

+ aN /Т

Л

+V! £ .

(1)

где N - продольное усилие в г-ом стержне, число которых п, от силового воздействия; /, и А - длина и площадь поперечного сечения; Е - модуль продольной упругости, а - коэффициент линейного расширения материала; Т - температура г-го стержня.

Следствием стационарности функционала являются т уравнений совместности деформаций (т - число лишних связей):

уравнение объема

Ы/дNm = 0,

£ А/ = V

1=1

(2)

(3)

и г уравнений структурообразования (г - число варьируемых параметров); в частности, при варьировании площадей сечений они принимают вид

N2 2ЕА

■ = цД= сош^.

(4)

В общем случае получаем систему нелинейных уравнений, которую можно решить с помощью ЭВМ. В определенных случаях систему можно свести к одному

разрешающему уравнению, которое носит также нелинейный характер.

Уравнения структурообразования являются составляющими критерия рациональности конструкции фермы. Так, уравнения (4) свидетельствуют о равнонапряженно-сти стержневой системы из однородного материала.

В то же время можно задать величину потенциальной энергии деформации системы I и определить конфигурацию из условия, чтобы функционал объема V достиг стационарного значения. В этом случае функционал свободной вариационной задачи имеет вид

п ( п N2/ Л

У = £ А/ 2 + аЩТ -1{

;=1 ¿=1 2ЕА

(5)

В силу двойственности постановки вариационных задач на условный экстремум с интегральными связями имеем соотношение ц 2 = 1/ цг Следовательно,

(

У = V 2

N¡1

П2 ЕА

-1о + VI£АЬ

л

(6)

и мы, по существу, возвращаемся к предыдущей задаче. Исключение составляют случаи = 0 и ц 2 = 0, имеющие характер вырождения решения. Решения рассмотренных задач совпадают с точностью до постоянного множителя ¡л.

В стержневых системах со сжатыми стержнями необходимо выполнение условия безопасной устойчивости. Это эквивалентно введению виртуального состояния с внутренними силами N , /ф , для сжатых стержней (ф,- коэффициент уменьшения расчетного сопротивления Л). При этом уравнение (4) остается справедливым для растянутых стержней, для сжатых стержней оно принимает вид

N2

2ЕФ 2 А2

■ = ц1 (= сош^.

(7)

Расширим функциональное пространство за счет угла в, определяющего геометрию фермы. Следствием стационарности функционала (1), кроме прежних уравнений будет уравнение из условия

31/Эр = 0. (8)

Задание величины V0 и 10 требует определенного опыта проектирования конструкции, в связи с чем решение задачи ведется методом последовательных приближений. При чисто силовом воздействии одинаково приемлемы обе постановки задачи - с функционалами (1) и (5). При наличии температурного воздействия выгоднее использовать функционал (6).

На основе разработанной методики оптимального проектирования стержневых систем подверженных силовым и температурным воздействиям написана компьютерная программа, позволяющая сократить расход металла на проектируемую конструкцию до 20%. Алгоритм оптимального проектирования представлен на рис. 1.

Вестник БГТУ им. В. Г. Шухова

2009, N1

ЛИТЕРАТУРА

1. Клюев C.B. Оптимальное проектирование стержневых систем. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. - 130 с.

2. Юрьев А.Г. Вариационные принципы механики / А.Г. Юрьев, C.B. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. - 80 с.