CC BY
28
Проблемы теории упругости
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ
А.А. ТИМОФЕЕВ, аспирант Смоленский государственный университет
Рассматривается задача о нахождении прогиба защемленной пластины, нагруженной сосредоточенной силой. В качестве примера рассмотрена треугольная пластина, для которой при помощи системы «Mathematica» строится функция Грина. Приводится программа, реализующая предложенный в статье алгоритм и график приближенного значения функции Грина для рассматриваемого примера.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: треугольная пластина, функция Грина, прогиб
Рассмотрим решение одной из важных задач механики, а именно задачи о нахождении прогиба защемленной пластины, нагруженной сосредоточенной силой. Решение этой задачи известно для ряда областей, таких, например, как прямоугольник [4]. В данной статье предлагается решение рассматриваемой задачи для пластины треугольной формы (см. рис. 1). В основу решения положим алгоритм, предложенный в монографии [2]. В качестве примера рассмотрим защемленную тонкую пластину треугольной формы, представленную на рис. 1. Вначале приведем известные теоретические сведения [3].
Пусть А - оператор, положительно определенный в гильбертовом пространстве H и требуется решить уравнение Au = f, f е H. (1)
В монографии [3] предлагается следующий алгоритм решения этой задачи: рассмотреть гильбертово пространство H A со скалярным произведением
[U,v]a={AU,V) (2)
Рис 1 ив этом пространстве построить ортонормированную
систему Тогда решением рассматриваемой задачи является ряд
u = z {f^n К, (3)
n=1
который сходится в метрике пространства H.
Если д - дельта-функция Дирака и f = d(xo,yo), то функция (3) будет иметь
вид u = Z^n {{o ,y o К {Х,У ) (4)
n=1
и называется функцией Грина рассматриваемой задачи.
Вернемся к поставленной выше задаче относительно треугольной пластины. Уравнение поверхности прогиба этой пластины, как известно, (см. [3]) имеет вид
д 4 w + 2 д 4 w + д 4 w q{x,y) + э^ду7~ D ' где q(x,y) - интенсивность нормальной нагрузки, D - жесткость пластины на изгиб, E и v - модуль Юнга и постоянная Пуассона материала пластины, h -толщина пластины. Так как по условию край пластины жестко закреплен, то на границе S рассматриваемой треугольной области выполняются условия
Ws = o, dw/dn\s = 0. (5)
В пространстве Ha для бигармонического оператора скалярное произведение функций u(x,y) и v{x,y) определяется следующим образом [3]:
□
к 4а = Ц
( д2 и д2- 2" ^
и д и
■ + ■
д2У д-у
ёхёу, (6)
^дх2 ду2 А дх2 ду2 , где А - треугольная область пластины, ограниченная прямыми
у = 0, у = 2х, у = 2 - 2х . (7)
Построение системы функций {ш„} относительно скалярного произведения [и,у]А стало возможным после появления системы МаШешайса, в которой реализована система вычислений на основе целочисленной арифметики. Классические методы реализации алгоритма Грамма-Шмидта для построения ортонор-мированной системы функций здесь не проходят [5].
Положим д(х, у ) = (д0/0)3(х - х0, у - у0). Граница треугольной области задается тремя прямыми (7). Рассмотрим следующую систему функций: (1 - х - у/2)2 (х - у/2)2 хк-1у1+1, к = 1,2,...4, I = 1,2,...4.
Легко проверить, что каждая из функций этой системы удовлетворяет краевым условиям (5). Кроме этого, данная система функций является полной, поскольку она построена в соответствии с условиями, изложенными в [1]. Далее, руководствуясь алгоритмом Грамма-Шмидта, строим ортонормированный базис из функций {мп } относительно скалярного произведения (6). Как известно, система МаШешайса позволяет провести точное построение этого базиса.
Затем по формуле ж = (0/0) тп (х0, у0 )оп (х, у) находим приближенное
решение поставленной задачи. Необходимо отметить, что описанным выше способом можно находить решение и для других областей, имеющих более сложную границу, например, когда границу области можно разбить на части, каждая из которых задается уравнением /(х,у ) = 0, где /(х,у) - некоторый многочлен, и произведение их положительно в рассматриваемой области. Ниже приведена программа, написанная в системе МаШешайса, реализующая решение поставленной задачи:
М={{0,0,1},{1,0,1},{1/2,1,1},{х,у,1}}
Бе11а1=Бе1[{М[[1]],М[[2]],М[[4]]}];
Бе11а2=Бе1[{М[[2]],М[[3]],М[[4]]}];
Бе11а3=Бе1[{М[[3]],М[[1]],М[[4]]}];
Я=БеИа1>0&& БеИа2>0&& БеИа3>0;
ХУ=ТаЫе[(Бека2)2 *(Бе11а3)2*хк_1*у1+1,{к,1,4},{1,1,4}];
Р=Иа«еп[ХУ];
а=ТаЫе[0,{1,1,16}];®=ТаЫе[0,{1,1,16}];а[[1]]=Р[[1]];
®[[1]]=0[[1]]/8дг1[1п1е8га1е[((В[а[[1]],{х,2}]+Б[а[[1]],{у,2}])л2) Боо1е[Я],{х,0,1},{у,0,1}]];
Во[а[[к]]=Р[[к]]-8иш[1п1е8га1е[(В[®[[п]],{х,2}]+Б[® [[п]],{у,2}])*(Б[Р[[к]],{х,2}]+Б[Р[[к]],{у,2}]) Боо1е[Я],{х,0,1},{у,0,1}]* о [п]],{п,1,к-1}]; о [[к]]=а[[к]]^П[1п1е8га1е
[((Б[а[[к]],{х,2}]+Б[а[[к]],{у,2}])л2) Боо1е[Я],{х,0,1},{у,0,1}]],{к,2,16}]
о1 = о/.{х^0.3,у^0.2}; 8=8иш[о1[[к]]* о [[к]],{к,1,16}]; Б1=(2*1011*0.013)/(12*(1-0.32));
д0=2*10л5;8=(8*Я0)/01;
Р1о13В[8*Боо1е[Я],{х,0,1},{у,0,1},Р1о1Яапее^Л11]
На рис. 2 представлен график приближенного значения функции Грина рассматриваемой пластины при х = 0,3; у = 0,1 или прогиба пластинки, если в точке (х,у) действует сосредоточенная сила д = 2-105 Н.
0.0 0.
0.0 0.0
Рис. 2
Л и т е р а т у р а
1. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - Л.: Физматгиз, 1962 г. - 708 с.
2. Кристалинский Р.Е. Приближенные аналитические методы решения задач механики деформируемого твердого тела. - Минобрнауки РФ, Федеральное агентство по образованию. - Смоленск: Смол. гос. ун-т, 2007. - 167 с.
3. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970.
4. Ректорис К. Вариационные методы в строительной механике. - М.: ГОСТЕХ-ИЗДАТ, 1948. - 400 с.
5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. - М.: «Наука», 1966. - 636 с.
GREEN'S FUNCTION FOR RIGIDLY FIXED PLATE
A problem of finding of displacements of a rigidly fixed plate loaded by concentrated force is examined. As an example, there was taken a triangle plate for which the function of Green was built with the help of the system «Mathematica». The computer program realizing the algorithm is presented and graphic representation of close value of Green's function for real problem is given.
УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
С.В. КЛЮЕВ, канд. техн. наук, доцент А.В. КЛЮЕВ, аспирант
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
Предложена методика оптимального проектирования строительных конструкций, находящихся в температурном поле. В качестве примера рассмотрено проектирование толстостенного цилиндра.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: оптимальное проектирование, температурное поле
Решение проблемы проектирования рациональных несущих конструкций следует связывать с непосредственным использованием принципов, которым подчинено деформирование твердого тела. Если функционал прямой задачи
- 512 с.
A.A. Timofeyev
имеет в качестве уравнений Эйлера - Лагранжа и естественных граничных условий уравнения и граничные условия принятой теории деформирования, то функционалу проектной задачи должны соответствовать, кроме того, дополнительные уравнения, свидетельствующие о зависимости изменения энергии системы от изменения конфигурации и модулей упругости материала тела. Возможными вариациями функций конфигурации и модулей упругости материала тела будут бесконечно малые изменения функций, удовлетворяющие директивным требованиям к конструкции и материалу; они непрерывны и удовлетворяют требованиям дифференцируемости. Вследствие малости вариаций функций, определяющих конфигурацию, пренебрегаем изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела и изменениями температурного поля. Вариационные постановки проектных задач механики деформируемого твердого тела рассмотрены в работах [1, 2]. Практика проектирования конструкций, используемых в термических условиях, показывает, что насущной проблемой становится приведение в соответствие не только механических, но и термомеханических свойств массы тела и его пространственного устройства.
Становление вариационных принципов в термодинамике тесно связано с работами М. Био, который показал, что основные уравнения для необратимых систем могут быть получены из условия стационарности функционала энергии.
Термодинамическая теория необратимого процесса термоупругого деформирования основана на предположении о локальном равновесии, при котором мгновенные значения термодинамических функций являются однозначными функциями своих параметров. Основные уравнения классической термодинамики распространяются на локально равновесные макроскопические части термодинамической системы.
1. Метод оптимального проектирования
Обратимся к вариационным принципам изотермической теории упругости, полагая, что тело в исходном состоянии находится под действием сил р,, на
части поверхности ^ и объемных сил р при температурном поле Т . Обобщение принципа возможных перемещений сводится к замене удельной потенциальной энергии деформации удельной свободной энергией Гельмгольца Г, а обобщение принципа возможных изменений напряженного состояния - к замене удельной дополнительной энергии функцией, в некотором смысле аналогичной удельной свободной энергии Гиббса в термодинамике. В проектных задачах стационарность функционала по варьируемым параметрам рассматривается при дополнительных условиях в форме уравнений связи, накладываемых на искомые функции V, в числе которых - функции напряженно-деформированного термодинамического состояния, конфигурации, модулей упругости материала:
ф(у) = 0, | ф(V= с, (1)
о
где О - допустимая область интегрирования с учетом директивных требований к конструкции; с - заданная постоянная.
Условия отражают геометрические и конструктивные ограничения, а также ограничения на поведение системы. Вариационная задача с дополнительными условиями приводится к свободной задаче с помощью метода множителей Ла-гранжа, а ее функционал выражает некоторую обобщенную энергию тела. Дифференциальные уравнения Эйлера - Лагранжа, вытекающие из стационарности функционала, есть необходимое и достаточное условие для допустимых функций допустимого тела быть условными экстремалями.
Для равновесных систем функционал проектной задачи формообразования,
построенный на основе функционала принципа возможных перемещений,
включает удельную свободную энергию Гельмгольца Г , которая в данном случае связана с процессом термоупругого деформирования и функциями конфигурации у:
I = |{Г[8(д, Т), у к ] - ЧТр} dV - \ дтр^ + \ ХтФ Ж, (2)
V V
где д - перемещения, 8 - деформации, V - объем тела, X - множители Ла-гранжа.
Расширение функционального пространства за счет функций, описывающих конфигурацию тела, приводит к вариационной задаче с переменными областями интегрирования. Вывод выражений для вариаций функционалов, имеющих вид интегралов, распространенных на переменные площадь и объем, приведен в работе. Следствием стационарности функционала являются уравнения равновесия в объеме тела и на части поверхности 51, уравнения связи и специфические уравнения проектной задачи. Последние две группы уравнений и отличают проектную задачу от прямой.
При варьировании конфигурации системы и перемещений имеем:
81 = 18 (Г - дт р + Хф) -1 8(дтр5
' +
+\
5,
Г - дтр + Хтф ■- — (дтр5) + 2Н (дтр5)
8тё8 = 0, (3)
дт
где Г 5 - удельная свободная энергия Гельмгольца в точках поверхности тела, Н (у) - средняя кривизна поверхности; т (у) - функция модуля нормали.
Из третьего интеграла вытекает специфическое уравнение задачи формообразования:
Г5 -дтр + ХтФ-дт(дтр°) + 2Н(дтр*) = 0, е 5,. (4)
Это уравнение баланса энергии на части поверхности 5,. Специфические уравнения задачи подбора материала при варьировании функций модулей упругости материала ут имеют вид
дГ - + Хт^ = 0, ¥.ЕУт . (5)
Таким образом, критерии рациональности конструкций, обычно предлагаемые априори, при вариационной постановке проектных задач идентифицируются с уравнениями структурообразования [3]. При решении проектной задачи методом последовательных приближений (с использованием алгоритма решения прямой задачи) они контролируют его сходимость. Критерии иного рода правомерно использовать лишь при доказательстве их сопряженности с закономерностями структурообразования.
Проектная задача решается с использованием вычислительных комплексов, созданных для расчетов конструкций, и программ, управляющих итерационным процессом и анализом чувствительности.
2. Пример оптимального проектирования Рассмотрим проектную задачу для полого толстостенного цилиндра. При решении проектных задач стационарность функционала по варьируемым пара-
метрам рассматривается при дополнительных условиях в форме уравнений связи, накладываемых на искомые функции, в числе которых - функции напряженно-деформированного состояния, конфигурации, модулей упругости материала.
Пусть внутренняя поверхность радиуса г = а имеет постоянную температуру Т = Ть а внешняя поверхность радиуса г = Ь имеет температуру Т = 0. В такого рода цилиндре возникает стационарное осесимметричное температурное поле Т(г). Используем цилиндрическую систему координат г9z.
Приняв за основу формулы радиальных (ог) и тангенциальных (од) напряжений от воздействия температуры и условных компенсационных нагрузок на поверхностях цилиндра, выводим:
о, = -4GK
ю* -i
r r
Л
2
, b b ln— 1
(6)
i j h2 ^
lnb - 1 К + 1
ое = -4GK
r
• +
r
1 b b2 , ln — _-1
(7)
где О - модуль сдвига, К - модуль объемной деформации. Нормальные напряжения оz находим по формуле
о z = у(о г + ое)- Еа Т, (8)
где Е - модуль продольной упругости, V - коэффициент Пуассона, а( - коэффи-
циент расширения, которая после подстановки принимает вид:
( 1. \
о z = -4GK
in b
_r____
, b^ b2 , b ln — ___1 ln —
2v
(9)
Далее будем считать, что модуль Е, коэффициенты V и аг - величины постоянные, не зависящие от температуры и радиуса. Среднее нормальное напряжение равно
(
о = - 4 GK 3
ln b
Л
ln b-
a
1 + V 2(1 + V )
l b + b2 , ln —--1
(10)
Используем вариационный принцип Кастильяно и решим проектную зада-
чу при условии
(11)
n(b2 - a2 )= S0, где S0 - заданная площадь сечения полого цилиндра.
Рациональному сечению соответствует стационарное значение функционала, записанного без учета объемных сил
I = 3а( jdyjTordr + Jn(b2 - a2)- S0 ] (12)
0 a
где X - множитель Лагранжа. После подстановки а и интегрирования получаем
I = -8паt
4
GKTX ln(b / a) I ln(b / a)
-(b 2 - a 2 )ln b - 2ln b 2V ' \ 2 4
ln b 1 lb 2 +
,, ln a 11 2 b2 (ln b)2 a2 (ln a)2 2ln b\---la 2 +—^-'----^-'2 4 I 2 2
ln b 1 u 2
4 lb2 +
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
(ln a 1 i 2
+1 "Г - 7 a
•ja2 i + x[(b2 - a2)-S,
Из условий
*=0; dL=0; di=0
da db ЭХ
(13)
(14)
получаем нелинейную систему уравнений с неизвестными а, Ь, X, которая решается с помощью ЭВМ.
Рассмотрим числовой пример. Найдем значения а и Ь, при котором функционал принимает стационарное значение, если
Е = 2-104 МПа; v = 0,2; a t = 8,74-10"6 °С-1; Ti = 100°С; S = 0,7
м
0
Из решения системы уравнений, в основу которых были положены условия (14), получаем a = 0,657 м, b = 0,809 м. Вычисляем возникающие в сечении цилиндра напряжения и строим их эпюры (рис. 1).
Уровень напряжений в рассмотренном примере определяет класс бетона и при необходимости способ и степень его армирования или предварительного напряжения.
Предложенное решение проектной задачи пригодно и для полого цилиндра из полимера, который может
явиться элементом конструкции, на-Рис. 1. Напряжения в сечении цилиндра, МПа „ „
ходящейся в агрессивной среде, когда использование бетона может оказаться нецелесообразным.
Решение проектной задачи при условии ползучести материала будет носить итерационный характер. Шаговая процедура во времени имеет скорость сходимости, зависящую от характера кривой ползучести.
Выводы
1. Проблема оптимизации конструкций, находящихся в температурном поле, эффективно решается с привлечением вариационных принципов термоупругости.
2. Критерий оптимальности конструкций идентифицируется с уравнениями структурообразования, вытекающими из условия стационарности функционала проектной задачи.
Л и т е р а т у р а
1. Юрьев А.Г. Вариационные постановки задач структурного синтеза в статике сооружений / А.Г.Юрьев. - М.: МИСИ, 1987. - 94 с.
2. Юрьев А.Г. Основы проектирования рациональных несущих конструкций / А.Г. Юрьев. - Белгород: Изд-во БТИСМ, 1988. - 94 с.
3. Юрьев А.Г. Энергетический критерий структурообразования несущих конструкций / А.Г.Юрьев, С.В. Клюев // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2006. - №2. - С. 90 - 91.
THE MANAGEMENT BY DESIGN PARAMETERS IN THE OPTIMAL DESIGHN PROBLEMS
Klyuyev S.V., Klyuyev A.V.
The optimal designing method of building structures existing in temperature field is presented. The design of thick-walled cylinder is considered as an example.
