CC BY
53
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XVII 198 6
М 6
УДК 629.7.015.4 : 533.6.013.43 : 629.7.023.2
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОК СО СТУПЕНЧАТЫМИ ЭПЮРАМИ МАССОВЫХ И ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Я. М. Пархомовский
Установлены некоторые особенности крутильных колебаний балок с резкими перепадами крутильной жесткости и погонного массового момента инерции. Дано сравнение собственных характеристик (частот и форм собственных колебаний) ступенчатой балки и балки, несущей сосредоточенный жестко прикрепленный груз. Рассмотрено влияние на собственные характеристики резкого местного перепада жесткости.
В реальных конструкциях часты случаи, когда на сравнительно небольших их участках имеет место резкий перепад эпюр массовых и жесткостных характеристик. Они имеют разрывы первого рода — меняются ступенями. Перепады массовых характеристик обусловлены наличием жестко подвешенных грузов, перепады жесткостных — вырезами или трещинами и повреждениями, возникшими в процессе эксплуатации.
Ниже на примере крутильных колебаний балки рассмотрены те особенности, которыми отличаются колебания «ступенчатых» балок от колебаний балок с непрерывным распределением характеристик. Крутильные колебания выбраны потому, что перепады массовых моментов инерции достигают порою двух-трех порядков.
Для выявления этих особенностей достаточно ограничиться случаем одноступенчатой балки — когда имеется один разрыв (ступенька). Если перепад характеристик значителен, то вместо ступенчатой балки используют другую расчетную модель — «сосредоточенно-распределенную». Полагают, что если на малом участке длины имеется перепад массовых характеристик, то его можно заменить сосредоточенным массовым фактором — диском, если же наблюдается резкий локальный перепад жесткостей, то — пружиной. Иными словами, флуктуации распределенных характеристик балки, так сказать, изымаются из уравнения и включаются в краевые условия. (По существу, здесь в первом случае полагают абсолютно жестким участок балки, на котором имеет место флуктуация массы, во-втором — полагают безынертным участок балки, где происходит резкое падение жесткости).
Такая модель интуитивно представляется очевидной. Мы попытаемся установить границы ее применимости.
1. Пусть массовые и жесткостные характеристики балки заданы:
У=(Уі, с==(сі. ; (1)
Здесь / — массовый момент инерции единицы длины балки, С —жесткость на кручение. Ниже мы всегда будем считать /2>/1, С2>Сі. Абсциссу л: отсчитывают от места заделки балки.
Крутильные колебания такой балки описываются [1, 2] уравнениями
J 1 2
т дР ’ ’ ’
1^1 У 0 х ,
\&2,
Система краевых условий состоит из условий:
а) на закрепленном и свободном концах
г
дхї
где 0 —угол закручивания:
(2)
Х=1
О,
б) на стыке
сД-
1 дх
(1Х—0) = &2 (^і + 0);
__р д
— °2 jy
x=h-0
х=1,+0
(3)
(4)
Условия (4) выражают собой непрерывность углов закручивания и крутящего момента.
Если как обычно, искать
&г (х, t) = <?г (х) ем, г = 1, 2,
(5)
где ^ — собственная частота, то для формы колебаний <рг(х) получаем следующие удовлетворяющие условиям (3) выражения:
<Р1(л:)==Л18іпА1Хх, 0 <*</!;
<р2 (х) = А2 cos &2 к (I — х), 1Х < х < I
,)
где
(6)
(7)
Собственные значения % и отношение постоянных AjAz находим из условий (4). Из них следует, что к — корни уравнения
sin (j. sin ар-cos у. cos ац = 0 (8)
или
Здесь
tg (* tg aji, =
(8 а)
Отношение же AJA2 равно
Аг ■__ COS a\Ln
А2 sin [Ал ’
>i
(10)
где \1п — п-я корень уравнения (8). Полагаем А2= 1. Тогда форма колебаний п-го тона будет
Левая часть /’’(ц) для F(^)>0 уравнения (12) для нескольких значений а дана на рис. 1.
Поведение корней уравнения (8) или (12) определяется двумя параметрами. Один из них — а, есть не что иное, как отношение частот сог каждого из элементов ступенчатой балки
Второй — р характеризует отношение массовых и жесткостных характеристик этих элементов. Чем больше р отличается от 1, тем больше перепад характеристик (р=1 соответствует «гладкая» в динамическом отношении балка).
Иногда вместо аир будут использоваться другие параметры у и б, связанные с первыми соотношениями:
2. Перейдем теперь к рассмотрению уравнений (8) или (12), дающих значения собственных частот ц*.
Нас будут интересовать, главным образом, случаи, когда рэ>1-Они-то и характерны для крыльев, несущих сосредоточенные грузы. Для них, кроме того, /г//1<1. Здесь можно указать приближенные формулы для низших корней (8) или (12).
При РЭ>1 низший корень уравнения (12) Ц1<1. Для него с точностью до 0(ц4) имеет место формула
* Величины ц и к [см. (9)] пропорциональны, В тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, мы не будем их различать.
(Н)
где \ = xjl.
Уравнение (8) можно записать и в другом виде:
f (и,) = COS (1 Ct) [1 __ Э+ 1
COS (1+ я) (А р------------- 1‘
(12)
а = ад, /ш2 ,
(13)
где
(14)
(15)
(Её можно получить, если в (12) заменить соэ (1 + а) [а « 1 — (1 + а)2 и представить его в виде
Далее, из (8а) следует, что при малых значениях а(а<с1) главным при определении второго и третьего корней уравнения является множитель ц. Заменяя поэтому в (8а) получаем, что с точностью
до (ац)3 эти корни совпадают с корнями уравнения
Если же аЗ>1, то следующие за корни (8а) определяются, главным образом, уже множителем tga[x. Полагая получаем, что
корни ц2 и |л,з совпадают с корнями уравнения
ной точностью) исследовать влияние параметров ступенчатой балки на собственные частоты. (Заметим, что аналогичного типа формулы можно получить и для других — промежуточных — областей параметра а.)
Можно заметить далее, что при р»1, когда значения параметра а близки к 1,2,..., две следующие друг за другом собственные частоты близки между собой. При а»1 достаточно близки между собой значения ц2 и |л3 (см., например, точки пересечения кривой а = 0,99 с прямой (р+1)/(р—1) при 0 = 30 на рис. 1). При а«2 близки значения |Ыз и ц4 (см. кривую а = 2,01 на рис. 1) и т. д. К примеру, при а=1—5, где 1.
Наличие близких частот — одна из важных особенностей систем с резкими перепадами характеристик.
Приведем теперь некоторые результаты расчетов. Конечно, априори ясно, что с ростом /2//1 (при фиксированных значения /і/4 и СуС2) собственные частоты будут падать. Менее очевидно другое: величина |Лі определяется, в основном, только одним параметром — у, т. е. только отношением массовых моментов инерции ступеньки и балки (см. рис. 2, а, на котором при Сі/С2=1 даны (пунктиром) кривые |Аі=/(|/у) для разных значений б). Но уже для ц,2 область автомодельности по б имеет место лишь для сравнительно небольших значений у (сплошные кривые на рис. 2, а)
(16)
приближенные значения которых при а< 1 будут
Р'п+І ~ Л И -)-
(16 а)
(17)
приближенные значения которых при с0>1
[1 + (8я2л2)-1] >
(17 а)
Совокупность формул (15)—(17) позволяет (и притом с достаточ-
^.-|‘2~7-/4Р + [іс5(Р+1)]* ■
6—«Ученые записки» № б
81
При вариации /г/Л изменяются и «относительные расстояниям Дць, й+1 между двумя соседними частотами:
. _ ^*+1 — ^к д к+1 =
1хк
На рис. 2, б и 2, в приведены графики Д [л.12 =/(Р) и Д[л23 = /$) для Сг1С2— 1 и /2 //4 — . (По оси абсцисс нанесены также
значения а).
Из графика для [112 следует, что по мере увеличения р (т. е. /г/А) значение Д|д,12 возрастает — раздвигаются частоты первого и второго тонов колебаний. По-другому ведет себя Д(х23. Сперва это отношение увеличивается, и при некотором значении р становится максимальным. Затем при дальнейшем увеличении р оно начинает уменьшаться и достигает минимума при «~1. В этой области, как уже указывалось, частоты второго и третьего тонов колебаний близки между собой. В последующем увеличение р снова приводит к увеличению Дц2з.
Из формул (15) и (17а) следует, что Д|Л12 и Д(х23 с ростом р (или, что то же, а) асимптотически стремятся первая —• к величине я/б, вторая — к единице.
Представление о том, как изменяются формы собственных колебаний ф«(Е) при изменении /г/Л или С4/С2=1 и дает рис. 3.
Там же для сравнения (пунктиром) нанесены формы колебаний балки постоянного сечения.
Можно видеть, что:
а) увеличение ./у/г приводит к «выпрямлению» кривой ф1(|) на участке 0<£<0,9. При /г/Л>20 форма ф1(£) практически остается неизменной;
б) при увеличении /4//2 узел формы колебаний второго тона фг(£) монотонно смещается вправо — к ступеньке, и начиная с некоторого
Цч,
•п; ’
Зъ ’ 0,5
л)
О
10
Л)
о
0,5
Л)
10
^/Щ1/39;1/19;1/9 I
10 Уу
1г/1,4/13
20
Зд
0 1 ; 1 2 3 1 1 «а1
0 0,5 10 15 2,0 ос
А/Ь-1/9 /
1 1/19/ \ 1 1
10 20 30 I 1 40
0 1 / 1 2 3 1 1 Ч а —Ь—1
40
1г11,=1/19
2,0 а
1г/1гф9
С,/СгЧ;1г/1, -1/3
Рис. 2
его отношения положение узла почти не меняется. Он находится на •ступеньке, а форма колебаний близка к ломаной линии, вершина которой — в месте стыка балки и ступеньки;
в) с увеличением /2//1 оба узла формы колебаний фз(£) смещаются вправо. При этом внутренний узел перманентно приближается к внешнему. Начиная с некоторого значения /2//1 оба узла размещаются на ступеньке и их абсциссы практически не изменяются.
Отметим в заключение еще одну особенность крутильных колебаний ступенчатых балок. При некоторых значениях а выделяется группа корней уравнения (8) — собственных частот, не зависящих от параметра р.
ю
Именно:
. 2 /и0 — 1
а) если а = —гг----------, где т0 и
Z По
нями уравнения (8) будут значения
, где т0 и п0 — натуральные числа, то кор-
08)
при этом т — такие числа, при которых (2т— 1) п0 кратны 2т0— 1.
При этих Цт один из узлов форм собственных колебаний находится в месте стыка балки и ступеньки. Единая система при jj.ni, определяемых по (18), как бы разбивается на две самостоятельные изолированные;
б) если же « = 2 и" — 1 ’ то также имеется совокупность корней уравнения (8), не зависящих от р. Это числа
где п — такие натуральные числа, при которых частное
нечетное число. При р, = цп обращаются в нуль cos [хп и sin и, следовательно, в месте стыка равен нулю крутящий момент. (Единая колебательная система снова как бы разбивается на две изолированные.)*
Собственные значения, определяемые формулой (18) или (19)„ соответствуют высшим тонам колебаний ступенчатых балок.
3. Сравним теперь собственные характеристики ступенчатой балки с ее моделью — балкой, несущей на свободном конце сосредоточенный диск, массовый момент инерции I которого равен массовому моменту инерции ступеньки I = Jih (у которых, следовательно, совпадают значения у)-
Собственные характеристики такой балки (см., например, [3, 4]) , Уп (£) Даются формулами:
При больших значениях у низший корень уравнения (20) можно-получить из (15), полагая там а = 0. Это дает для ^Ж1 выражение
Величина ! несколько превышает р*. При малых значениях а (обычно имеющих место)
* Конечно, при а, определяемых по (18) или (19), сверх указанных выше значений цт или |г„ имеются и другие, уже зависящие от р.
где рж — корни уравнения
(20)
и, следовательно, первый тон колебаний распределенной системы хорошо воспроизводится ее моделью—системой распределенно-сосредото-ченной.
Ситуация становится иной, если сравнивать цг и [гЖ2. Они будут близки между собой (при р>1) только до тех пор, пока а<с1. Это следует из того, что при а<С1 уравнение (16), дающее приближенные значения частоты (л2 ступенчатой балки, совпадает с уравнением (20). По мере возрастания а значения р,2 и ^ж2 будут все больше отличаться друг от друга. Если же а)>1, то, сравнивая выражения (17а) и (16а), замечаем, что отношение ^ха/цш2 может заметно отличаться от единицы и при больших а оно примерно равно а-1. __
На рис. 4 даны графики отношений |я2/цж2=/{V у) при С1/С2=1 для /2//1=1/19 и /2//1=1/9. Там же для нескольких /2//1 даны формы
ср2(|) исходной системы (пунктиром) и ее модели — балки с диском на конце. Видно, что обе системы близки по частоте и форме колебаний лишь при относительно малых величинах у- Чем больше величина у, тем больше (и особенно по форме колебаний) модель отличается от ступенчатой балки.
4. Рассмотрим теперь, как изменяет собственные характеристики резкий (в два-три раза) перепад жесткостных характеристик, если он
№
локальный, т. е. имеет место на относительно малой длине. Полагаем, что такое падение происходит вблизи заделки балки там, где влияние это может быть наиболее существенным.
Будем различать два случая.
Первый — падение жесткости не сопровождается изменением массовых характеристик. Это, так сказать, модель «повреждения» или «трещины» силового элемента.
Если 4А>1, т. е. «трещина» не слишком велика и перепад жесткости С2/Сх умеренный, то величины р сравнимы по порядку с единицей, а «>■!. В этом случае имеет место приближенная формула
(2л— 1) тс 2(1+а)
1-------р-1
(1 + «о
1 +
(2п — 1)2К2 2a(l+a)
)]
л=1, 2. (21)
При выводе (21) предполагалось, что 1 + а>3я, при этом формула (21) в достаточно широком диапазоне параметров аир дает ц2 с точностью до 1%, а погрешность в величине [xj не превышает 0,5%. [К (21) приходят, если представить (8) в виде 8 sin a sin qj, = cos(l -f a) (*, где 5 = p— 1 < 1, и теперь (д.„ искать с точностью до е2 в виде
используя при этом то, что а>1].
Вместо Цп удобнее рассматривать величины
ге==1’2’ <22> где Хп есть не что иное как отношение соответствующих собственных частот балки с перепадами характеристик и балки с постоянными параметрами — «неповрежденной». Влияние перепада жесткости характеризуется уклонением %п от единицы.
В таблице даны с четырьмя значащими цифрами значения Хп для нескольких значений С^Сг и /1//2 для «трещины» и для «выреза»
С1/С2 .Трещина , J2 jj j — 1 „Вырез” , J.2IJl = 3
hlh = = 1/19 hit 2 = 1/9 hlh — 2,5 hlh = 3
ХІ Х2 К ^2 h > ^2 h ^2
2/3 0,9757 0,9765 0,9531 0,9584 0,9024 1,0250 0,9086 1,003
0,9757 0,9758 0,9528 0,9555 0,9133 1,0180 0,9159 1,003
1/2 0,9527 0,9552 0,9113 0,9259 0,8209 0.9951 0,8324 0,9717
0,9526 0,9558 0,9109 0,9215 0,8450 0,9837 0,8476 0,9713
1/3 0,9103 0,9190 0,8402 0,8786 0,7068 0,9613 0,7230 0,9361
0,9104 0,9189 0,8410 0,8758 0,7496 0,9352 0,7638 0.9291
1/5 0,8381 0,8667 0,7382 0,8258 0,5730 0,9298 0,5910 0,9034
0,8395 0,8713 0,7429 0,8260 0,6638 0,8693 0,6654 0,8721
при /2//± = 3. В каждой ячейке верхние цифры — корни уравнения (8), нижние — приближенные, определенные по (22).
Из таблицы можно усмотреть, что даже при очень «глубокой» и «развитой» трещине (С1/С2=0,2, ^//2= 1/9) приближенные и точные значения \п разнятся на десятые доли процента. Из этого вытекает весьма важный факт: резкое (даже в два-три раза) местное падение жесткостных характеристик балки практически не изменяет ее собственных частот колебаний. Даже если на 5% длины балки жесткость упа-
У2//,=/
<р/;<р2 0,5 0
V °'5 / ■ *>
\\ ш
-0,5 ,9 /
I/
Рис. 5
дет в два раза, то вследствие этого частота колебаний уменьшится всего на 5%. Если же «трещина» занимает 2%’ длины балки, то для того чтобы частота катальных колебаний уменьшилась на 5%, необходимо, чтобы жесткость «поврежденного» места уменьшилась примерно в четыре раза.
Отметим также, что частота второго тона колебаний Яг при «трещине» уменьшается еще меньше, чем частота первого тона.
На рис. 5 для нескольких значений ^//2 приведены графики ЯП=/(С,1/С2). Там же приведены графики форм первых двух тонов колебаний для «протяженной» трещины и (пунктиром) формы колебаний «гладкой» балки. Они также мало отличаются друг от друга.
В отличие от характеристик статической прочности, являющихся дифференциальными, частоты собственных колебаний (в том числе и крутильные) — характеристики интегральные и вследствие этого «грубые». Поэтому на величине их, в частности, всегда будет мало сказываться резкое локальное изменение эпюры жесткостей. Собственная частота — недостаточно чувствительный индикатор для обнаружения столь тонкого обстоятельства, как появление трещины. Заметно уменьшаются собственные частоты в тех случаях, когда нарушение жесткости весьма велико.
Заметим, что проводившиеся еще в 1941 г. частотные испытания поврежденных крыльев показали, что локальные повреждения силовых; элементов, сколь бы значительными они ни были, не приводят к заметному изменению собственных частот крыльев. Различие подчас лежало в пределах точности измерений.
Второй случай — когда на балке одновременно резко уменьшаются и притом на относительно большом участке как ее жесткость на кручение Сь так и массовый момент инерции ]\. Это — модель «выреза».
Влияние С1 и Л на Я противоположно. Уменьшение С4 приводит к уменьшению собственных частот, уменьшение же их, напротив, уве-
4/4-3 ;1г/1,~2,3
личивает. Поэтому при «вырезе» величины Я могут либо немного уменьшиться (по сравнению с балкой без выреза), либо даже возрасти (см. таблицу). Во всяком случае, здесь Я можно изменять в нужном направлении.
Представление о том, как изменяются величины Яп и <р„ (£) для двух конкретных случаев «выреза» дает таблица и графики на рис. 6. Пунктиром даны формы колебаний гладкой балки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гроссман Е. П. Курс вибраций частей самолетов. — М.: Обо-ронгиз, 1938.
2. ПархомовскийЯ-М. Об одной особенности упругих колебаний «почти симметричных» систем. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 3.
3. Ананьев И. В., Тимофеев П. Г. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование. — М.: Машиностроение, 1965.
4. Пархомовский Я- М. Крутильные колебания крыла, несущего сосредоточенный груз (асимптотика). — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 3.
Рукопись поступила 15/1У 198,5 г.
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XVII 1986 Мб
УДК 629.735.33.015.4.025.1
МАКСИМИЗАЦИЯ ЖЕСТКОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБЕ
Н. В. Баничук, В. И. Бирюк, Д. М. Епураш
Рассматривается задача максимизации интегральной жесткости (обратной потенциальной энергии деформации) изгибаемой пластины, моделирующей крыло. В качестве управляющей функции принимается распределение углов наклона осей ортотропии относительно некоторой фик-сированной прямоугольной декартовой системы координат. Приводятся результаты численных расчетов для модельных крыльев большого и малого удлинения, нагруженных распределенной нагрузкой.
Максимизация жесткостных 'характеристик крыльев представляет собой актуальную задачу, поскольку в ряде случаев в качестве определяющих требований могут выступать требования аэроупругости. Некоторые вопросы оптимизации жесткостных характеристик анизотропных элементов конструкции в плоских задачах теории упругости рассмотрены в работах [1—5]. В данной работе оптимизируются жесткост-ные характеристики упругих изгибаемых пластин, моделирующих крылья летательных аппаратов. В отличие от работ [1—3] для решения прямой задачи отыскания функции прогибов используется метод конечных элементов.
1. Постановка задачи. Рассмотрим изгиб упругой ортотропной пластины постоянной толщины /г, занимающей область О плоскости ху, нагруженной действием распределенной поперечной нагрузки q{x, у). На части границы пластина жестко защемлена, а на остальной части Г2 — свободна (Г = Г1 + Г2 — контур, ограничивающий область О). Считаем, что свойства материала не меняются в направлении поперечной оси г, и пренебрегаем нормальным напряжением аг. Обозначим через гю = ш(х, у) и а = а(х, у) соответственно распределения прогибов пластины И углов, определяющих положение осей ортотропии 1] относительно фиксированной декартовой прямоугольной системы координат ху (а — угол между осями £ и х). Тогда уравнение равновесия пластины и граничные условия запишутся в виде [6]
Ьча = (£>ц чвхх)хх+ (Я22 туу)уу + (012 <а>хх)уу + фп ™уу)хх + 2 (016 гвху)хх+ + 2(Г>16 ™хх)ху + 2 (Я26 тху]уу + 2 (02в чоуу)ху + 4 (£>66 <а>х^х9 — ц\ (1.1)
дно
чю I г = 0, -д—
1 г, ’ дх
= 0; (1.2)
г.
о, (1.3)
где Мп — изгибающий момент, Ніп — крутящий момент, Ып — перерезывающая сила. Нижними индексами х и у обозначены частные производные соответствующих величин, а через д/дп, д/дэ — производные в направлении внешней нормали и вдоль дуги контура соответственно. Компоненты тензора упругих модулей Отп определяются формулами [6]:
Еи Е2, 012, V!, — модули упругости сдвига и коэффициенты Пу-
ассона для главных направлений упругости.
Величины Игап ЯВЛЯЮТСЯ фуНКЦИЯМИ угла а, т. е. Агт = Втп (ос) -Примем в качестве управляющей функции а(х, у), а в качестве оптимизируемого критерия качества величину работы, производимой внешними силами,
Сформулируем следующую задачу оптимизации. Требуется найти такую функцию а(х, у), чтобы функция прогибов, определяемая из решения краевой задачи (1.1) — (1.3), реализовала минимум функционала интегральной податливости / (а):
2. Условие оптимальности. Получим условие оптимальности в сформулированной задаче оптимизации. Прежде всего заметим, что вид функционала (1.4) позволяет исключить из рассмотрения дифференциальную связь (1.1). Для этого аналогично тому, как это делалось в [1, 2], краевая задача (1.1) — (1.3) сводится к вариационной задаче. Заменим ее соотношением из вариационного принципа минимизации функционала полной энергии деформации [6]
£)и = соэ4 а + вігі4 а + 2И3 віп2 а сов2 а;
£22 = віп4 а —{— Л>2 С054 а + 2В3 єіп2 а сов2 а:
£)66 = £)* + (£>! + 1)2 — 2£3) эт2 а соб2 а;
£)12 = 1)2 V! (Д + 02 — 2£3) віп2 а соэ2 а;
Д6 = ~~[Фі—£>з) сов2* — (£)2 — £>3)зіп2 а] біп 2а;
Д6 = -у [(£\ — В3) эШ2 а — (02 — 03) сов2 а] віп 2а,
где
Р. ЬЗ
А =
Д = Д + 2Д;
(1.4)
/* = тіпУ(а).
(1.5)
я
(2.1)
где
г = Оп т2хх + 2Д2 <и>ххт„ + Д2 м2уу + 4Д6 т2ху + + 4(016® + ^26
С учетом теоремы Клапейрона задача минимизации (1.5) при условиях (1.1) — (1.3) сводится к последовательному вычислению минимума по т и максимума по а функционала V:
/* = тт(—тт V) — — тах тШ V. (2.2)
а •ш л уц
Для получения условия стационарности У по а выпишем выражение для первой вариации функционала, обусловленной вариацией 8а управляющей функции:
ЪлУ = —\\ — Ьайхйу. (2.3)
2 1/ г) дсс
ы
Необходимым условием экстремума является равенство нулю первой вариации функционала V: 6аУ=0. Так как это равенство должно выполняться для произвольной вариации управляющей функции 6а , из (2.3) получаем необходимое условие оптимальности в задаче (2.2)
дР/да. = 0. (2.4)
3. Метод численного решения. В качестве вычислительного алгоритма решения сформулированной задачи используется алгоритм последовательной оптимизации, предложенный в [1—3]. Для отыскания в задаче оптимизации (2.2) максимума по а принимается метод наискорейшего спуска. Решение же прямой вариационной задачи отыскания
функции ха проводится методом конечных элементов. При использовании градиентного метода потребуется выражение для вариации управляющей функции 8„, приводящей при д/7/дафО в линейном приближении к увеличению значения функционала V. Из (2.3) следует, что выражение
я * др
= г —- ,
да
где t — произвольное положительное число (шаг в направлении градиента), удовлетворяет указанному требованию, так как
'■и=т1[(-£-)’
Опишем кратко вычислительные операции, выполняемые на одном стандартном шаге алгоритма. Пусть известно /г-е приближение для управляющей функции ак{х, у) и для функции прогибов шк(х, у), а также соответствующее значение функционала Vй. С использованием величин &-го приближения вычисляется вариация управляющей функции и определяется (&+1)-е приближение для а:
ай+х = а* 8а . (3.1)
Далее для найденного распределения угла ортотропии ак+± с применением метода конечных элементов определяется распределение прогибов тк+1(х, у) и значение величины Ук+1. Для найденных ак+1(х, у) и юк+1(х, у) оценивается невязка в выполнении необходимого условия оптимальности (2.4). Если невязка достаточно мала, то процесс решения оптимизационной задачи заканчивается. Если же невязка велика, то осуществляется переход к (£+2)-му шагу, на котором выполняются аналогичные операции.
Для решения задачи отыскания действительных прогибов т(х, у) применялся метод конечных элементов [7]. По сравнению с обычно используемыми схемами конечных элементов алгоритм данной работы
имеет одну особенность. В обычных схемах матрица упругости, связывающая напряжения и деформации в какой-либо точке пластины, не меняется в процессе счета. При оптимизации же с. помощью итерационного процесса (3.1) компоненты £>тп тензора упругих модулей меняются от шага к шагу, что приводит к пересчету элементов матрицы разрешающей системы уравнений на каждом шаге алгоритма последовательной оптимизации.
4. Примеры расчета. По описанной выше методике разработана ФОРТРАН-программа, с помощью которой на ЭВМ ЕС-1022 проводились расчеты оптимального распределения углов наклона осей орто-тропии для изгибаемых пластин, нагруженных равномерно распределенной поперечной нагрузкой ^О=сопз1 = 0,01 МПа.
Для удобства проведения расчетов использовался переход к нормированным относительно модуля упругости Е\ величинам
Е)\ — Е)Х!ЕХ, = 1^2! Е\, •—Ой/£'1, д' = д/Е1
Рис. 1
(штрихи в дальнейшем опускаются). Значения параметров задачи полагались равными:
1 = Е2/Ех = 1/9, р. = 0,2/^ = 1/6, А = 0,8 см, V, —0,1.
Значение коэффициента Пуассона V2 получается из соотношения Е1у2=Е2У1.
Наряду с оптимальным распределением углов наклона осей орто-тропии в программе вычисляются главные напряжения
+ °у I п Г ( *х~ °У V I 2 а1>2 =------ +у ^ +*х>,
а также определяется распределение углов наклона первого главного напряжения относительно оси
ф = аг^ ■
*-ху
Расчеты проводились для двух вариантов изгибаемых пластин. В первом случае рассматривалась пластина, имеющая конфигурацию стреловидного крыла, защемленная вдоль стороны х — 0 и нагруженная равномерной нормальной нагрузкой ^0- На рис. 1 показана геометрия и конечно-элементное представление пластины. При проведении расчетов были использованы следующие значения геометрических параметров пластины: /=12 м, 60 = 7 м, Ьк=45°, <р2 = 63°. Во втором случае рас-
Рис. 2
четы проводились для пластины с конфигурацией трапециевидного крыла при тех же условиях нагружения. Геометрия и конечно-элементная модель пластины представлены на рис. 2. В точках А, В, С, £> стороны х = 0 пластина жестко закреплена. Значения геометрических параметров пластины полагались равными: Ь = = 5,2 м, В0=9,75 м; Вк=1,8 м, ОА=АВ = = ВС=СЭ = 1,75 м.
На рис. 3 и 4 приводятся оптимальные распределения углов а(х, у). Каса-
Рис. 3
Рис. 4
тельные к линиям, приведенным на этих рисунках, показывают направления с максимальным модулем упругости. На рис. 5 и б изображены направления первого главного напряжения. Из рисунков видно, что как в первом, так и во втором случае оптимальное распределение углов наклона осей ортотропии ортогонально направлениям первого главного напряжения, за исключением незначительного участка, примыкающего к свободному концу крыла. В этой части оптимальное решение совпадает с направлениями первого главного напряжения. Изломы траекторий в концевых сечениях являются следствием конечноэлементного разбиения пластин и псо-Д
Значения функционала V для оптимальных пластин сравнивались с соответствующими значениями для пластин с распределением углов ортотропии а = —я/4 (стреловидное крыло) и а=0 (трапециевидное крыло). Относительный выигрыш в жесткости, получаемый за счет оптимизации, составляет 26% в первом случае и 23% во втором случае.
1. Баничук Н. В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых сред в плоских задачах теории упругости. — Изв. АН СССР, МТТ,
1979, № 1.
2. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. — М.: Наука,
1980.
3. Албу л А. В., Баничук Н. В., Епураш Д. М. Численный ме-
тод оптимизации анизотропных свойств упругих элементов конструкций.— В кн.: Исследование операций и программирование. — Кишинев,
Штинца, 1982.
4. Баничук Н. В., Епураш Д. М. Оптимизация жесткостных характеристик анизотропных элементов конструкций. — В кн.: Материалы Второй всесоюзной научно-технической конференции. — Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов. — Ереван, Изд. Ереванского университета, 1984..
5. Баничук Н. В., Бирюк В. И., Епураш Д. М. К задаче оптимизации конструктивно-силовых схем при использовании анизотропной модели. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 2.
6. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. — М.: Гостехиздат,
Рис. 5
Рис. 6
ЛИТЕРАТУРА
1957.
7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир,
1975.
Рукопись поступила 19/У11 1985 г.
