Применение вариационного метода с нелинейными параметрами к задаче о колебаниях подкрепленных пластин сложной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Т о м VI 1975

№ 4

УДК 534.121.1

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА С НЕЛИНЕЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ К ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

В. А. Кухто, Р. Е. Л ампер

Рассматривается применение метода Ритца с нелинейными параметрами в координатных функциях [6, 7]. Метод развивался в работе [8] для получения ортогональных оценок форм колебаний.

К задаче о колебаниях анизотропных пластин с подкреплениями могут быть сведены многочисленные задачи динамики крыла и участков его обшивки, плоских перекрытий и др. (см. [1—5]).

Многочисленные опубликованные результаты для пластин различных форм и с различными условиями закрепления (например, [1—4]) не исчерпывают проблемы ввиду многообразия вариантов задачи. Поэтому целесообразно располагать программой для ЭЦВМ, составленной на основе алгоритма, охватывающего различные варианты задачи. В такой форме был реализован в [5] метод полиномов, предложенный В. Г. Буньковым для широкого класса конструкций.

1. Подкрепленная пластина произвольной формы рассматривается как пластина, составленная из треугольных конечных элементов, каждый из которых имеет свои (постоянные по элементу) поверхностную плотность и характеристики жесткости. В характеристиках жесткости учитывается возможная ортотропия; направления ортотропии для отдельных элементов могут быть разными. Способ задания формы пластины допускает внутренние вырезы (тонкие щели исключаются).

На пластине произвольным образом размещены прямые подкрепляющие балки, обладающие погонной массой и изгибной и крутильной жесткостями. Также по прямым, не обязательно совпадающим с контуром пластины, расположены опоры с линейной и угловой погонными жесткостями. В расчетную схему включены сосредоточенные массы и упругие точечные опоры.

Все опоры обеспечивают естественные условия крепления, не ограничивая кинематики пластины. Предполагается, что случаи

жесткого крепления некоторых точек и контуров можно получить с достаточной точностью, придавая соответствующим опорам большую жесткость [9].

Потенциальная энергия деформации пластины, балок и опор и кинетическая энергия всех элементов записываются через прогибы пластины т.

2. В качестве координатных функций прогибов в методе Ритца приняты функции

‘ге>тп = 51пт11 х&\пп\у\ т — 1, 2, . . М\ п = 1, 2, . . ., N.

Предполагается, что пластина расположена в первом квадрате и ее контур, вообще говоря, не касается осей декартовой системы координат х, у.

Параметры Х1 и Х2 дополнительно варьируются для получения наилучшего приближения после применения вычислительной процедуры Ритца. Кроме того, выбором области изменения этих параметров обеспечивается полнота координатной системы в энергетическом пространстве. Последнее, однако, не означает, что можно рассчитывать на хорошую аппроксимацию силовых факторов вблизи балок и точечных опор.

Выбранная система функций неминимальна для произвольных параметров Аг; поэтому расчет эффективен, если варьированием ограниченного числа функций (изменением Хг) достигается технически приемлемый результат до появления численной неустойчивости. Численная устойчивость контролируется смещением \ на малую величину (1СГ6). Расчет считается неустойчивым, если собственные значения меняются в четвертой значащей цифре или ранее.

Для координатных функций указанного вида потенциальная и кинетическая энергии всех элементов вычисляются в замкнутой форме.

3. Программа вычисления собственных частот и форм колебаний составлена для ЭЦВМ типа М-20. Принят следующий алгоритм. Параметры X,- меняются с заданными шагами. Для фиксированных Хг вычисляются вклады в элементы матриц потенциальной и кинетической энергий последовательным обходом всех элементов, составляющих конструкцию. После обращения матрицы потенциальной энергии решается стандартная задача определения собственных чисел и векторов, по которым строится заданное число форм колебаний.

Выбор области изменения и оптимальных значений параметров Хг, обеспечивающих минимум собственной частоты, определяется расчетчиком, хотя для нахождения минимума могут быть использованы и градиентные методы.

На описание числового материала (координат неповторяющихся вершин треугольных пластин и концов балок, жесткостей, углов ортотропии и т. д.) в оперативной памяти отведено 432 кода. В это число входят описания адресов информации о данном элементе (по два кода на каждый треугольник и по одному — на остальные элементы).

В памяти машины отведено место для матриц до 27-го порядка. Для данного порядка матрицы Р и числа N функций по оси у координатные функции выбираются в последовательности: наш,

4021, ■ ■ ■> Щи ... И Т. Д.

4. Рассмотрим некоторые результаты расчета форм колебаний консольных пластин и их собственных значений Л = £/р/ш4 «Л Здесь О — характерная изгибная жесткость, р/г — характерная поверхностная плотность, а — длина заделанного края, ш — собственная частота. В расчетах принято: £) = ф— = 1, вылет консоли равен 2, коэффициент Пуассона — 0,3.

Приведем пример выбора максимума собственного значения В табл. 1 даны частичные результаты расчета первой частоты изотропной пластины. Максимум Л, соответствует ^:=0,55; Х2 = 0,35.

Для той же пластны в табл. 2 дан пример выбора безразмерных линейной (х = /Са3/0) и угловой (ч = Са/0) жесткостей опорного края, обеспечивающих условия, близкие к защемлению. В дальнейших расчетах принято: х = 104, у—103.

Параметрические расчеты проводились при четырех-пяти положениях пластин в системе координат, так как эти положения влияют на приближение результатов к точным и на устойчивость счета. <

В табл. 3 приведены собственные числа шести низших тонов колебаний изотропных трапециевидных пластин для различных отношений Ь хорд концевого# корневого сечений консоли. Расчеты выполнены при числе координатных функций Р = 21 (N=3) и Р = = 27 (N=4) и сопоставляются с .результатами из статьи [5]. Звездочкой отмечен расчет при ,А/^5.

В табл. 4 даны сравнительные .результаты расчетов и экспериментов по определению собственных частот прямоугольной консольной пластины. Эксперимент выполнен на пяти стальных образцах 200X400 мм, толщиной от 1,47 до 1,50 мм, выдержанной с точностью +0,015 мм. Колебания возбуждались одним—тремя электромагнитами. В таблице даны средние экспериментальные значения Аг по пяти образцам и указан разброс.

Таблица 1

Результаты расчета первой частоты изотропной пластины А1 при значениях

параметров

*1 Х3

0,525 0,550 0,575 0.325 0,350 0,375

0,364014 0,364036 0,363755 0,364014 0,364036 0.363755

0,364026 0.364048 0,363776 0,364026 0,364048 0,363776

0,364002 0,364030 0.363753 0,364002 0,364030 0,363753

Таблица 2

1 = 103 V. = 104

X. Л2 7 Аг

МО» 0,366488 0,0199648 1-102 0,370566 0,0200255

2-Юз 0,365208 0,0198082 2*102 0,366956 0,0198325

1-10* 0,364052 0,0196784 1-Юз 0,364052 0,0196784

2 -104 0,363997 0,0196607 2-103 0,363686 0,0196558

1-106 0,363804 0,0196469 1-10* 0,363381 0,0196419

Отношение хорд Ъ Сравнение собственных чисел низших тонов колебаний изотропных трапециевидных пластин А* при числе координатных функций Р

А1 из даннной работы А,- из работы [5]

Р 21 27 20 30

Л1 0,36405 0,36457 0,36379 0,36414

•^2 0,019678 0,019801 0,019754 0,019772

0 Аз 0,006517 0,006568 0,006493 0,006522

а4 0,003277 0,003306 0,003224 0,003239

А6 0,001149 0,001171 0,001085 0,001152

Аб 0,000889 0,000897 0,000831 0,000845

А, 0,83250 0,83387 0,83113 0,83312

А-2 0,030793 0,030915 0,030813 0,030876

0,4 А3 0,018729 0,018819 0,018695 0,018753

0,004373 0,004404 0,004224 0,004266

а5 0,002873 0,002881 0,002817 0,002842

■Л-в 0,001163 0,001192 0,000977 0,001059

Д1 1,1850 1,1862 1,1798 1,1843

а2 0,048797 0,049683 0,049223 0,049328

0,8 Аз 0,033334 0,033508 0,033440 0,033535

А4 0,005428 0,005455 0,005356 0,005408

А5 0,004320 0,004326 0,004291 0,004326

Ав 0,001550 0,001558 0,001381 0,001412

Таблица 4

Сравнительные результаты расчетов и экспериментов по определению собственных частот прямоугольной консольной пластины

Аг По данной работе По работе [5] По работе [10]

расчет экперимент расчет эксперимент

А! 1,34379 1,26 +4% 1,3523 1,327 1,37

а2 0,072924 0,0593 +7% 0,073003 0,07178 0,07589

А3 0,034879 0,0323 +3% 0,034848 0,03426 0,03637

Л4 0,006809 0,00618+6% 0,006887 0,006743 0.007274

а5 0,004393 0,00416+2% 0,004352 — —

Ав 0,001852 0,00175+3% — — —

а7 0,001807 0,00172+3% 0,001849 0,001792 0,001811

Расчетные формы колебаний (узловые линии) для обследованных пластин показаны на фиг. 1. На двух образцах экспериментальные формы колебаний шестого и седьмого тона не соответствуют

расчетным (фиг. 1, г), меняясь

Таблица 5 Собственные значения А<

щины, местные внутренние напряжения и искривления) на формы с близкими частотами.

На фиг. 1, д и е показаны узловые линии форм колебаний консольной пластины с одной и двумя подкрепляющими балками постоянного сечения, расположенными на 25 и 60% хорды. Для

расчета выбраны относительная из-гибная жесткость ЕЦОа — 0,1165; относительная крутильная жесткость С/к/Оа=0,00157; относительная погонная масса балки р/рАа = = 0,008. Соответствующие собственные значения приведены в табл. 5. .

Был выполнен также расчет не-подкрепленной ортотропной консольной прямоугольной пластины с фиксированными жесткостями кручения и изгиба в направлении вылета консоли. Уменьшение жесткости изгиба вдоль хорды

для одной балки для двух балок

А! 1.20954 1.10005

а2 0.072479 0,072272

Аз 0,031260 0.028522

а4 0,006703 0.006676

а5 0,003989 0,003657

Ав 0,001819 0,001827

приводит к смене некоторых форм колебаний. Так, четвертая, пятая и шестая формы колебаний при уменьшении указанной жесткости в 10 раз сходны соответственно с седьмой, четвертой и пятой формами колебаний изотропной пластины (фиг. 1, г).

Приведенные выше расчеты обусловлены необходимостью проверки метода и показывают его надежность для крайнего случая — наличия практически жесткой заделки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, .Наукова думка", 1964.

2. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., ГИТТЛ,

1957.

3. Ракова Л. В., Рвачев В. Л., Учишвили Л. А. Изгиб и колебания пластин сложной формы. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969. М., „Наука", 1970.

4. Ф и л и п п о в А. П., Булгаков В. Н„ Воробьев Ю. С., Кантор Б. Я., Марченко Г. А. Численные методы в прикладной теории упругости. Киев, «Наукова думка", 1968.

5. М а р ч е н к о Г. А. Исследование колебаний консольных прямоугольных и трапециевидных пластин методом Ритца. Изв. вузов, Авиационная техника, 1965, № 1.

6. Александрович Л. И., ЛамперР. Е. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. М., „Наука", 1966.

7. Л а м п е р Р. Е. О варианте метода Ритца с нелинейным пара-

метром в координатных функциях (тезисы доклада). „Изв. АН СССР, МТТ", 1971, № 3. ■

8. Москаленко В. Н., Муравин Е. Л. О спектрах частот и форм собственных колебаний пластин с вырезами и конических оболочек. Труды МЭИ, вып. 1Q1, 1972.

9. Ананьев И. В„ К о л б и н Н. М., Серебрянский Н. П. Динамика конструкций летательных аппаратов. М., .Машиностроение", 1972.

10. Barton М. V. Vibration of rectangular and skew cantilever plates. Journ. of Applied Mechanics, vol. 18, № 2, 1951.

Рукопись поступила 31IV 1974 г.