Об одной особенности упругих колебаний «Почти симметричных» систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м XV 19 84

№ 3

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.43

ОБ ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ «ПОЧТИ СИММЕТРИЧНЫХ» СИСТЕМ

Я■ М. Пархомовский

Показано, что весьма малая обусловленная даже технологическими причинами асимметрия массовых и жесткостных характеристик самолета относительно вертикальной плоскости, проходящей через продольную ось самолета, может в некоторых случаях привести к тому, что формы колебаний будут существенно асимметричными. Это главным образом относится к формам крутильных колебаний крыльев.

Механизм этого явления объяснен на примере решения модельной задачи.

При расчете упругих колебаний свободного самолета считают, что он — механическая система, обладающая вертикальной плоскостью симметрии, проходящей через продольную ось самолета. Такое предположение и в самом деле достаточно близко отражает действительность, так как обусловленные технологией, допусками и иногда конструктивными особенностями отличия в массовых и жесткостных характеристиках правой и левой несущих поверхностей — невелики.

Поэтому в большинстве случаев такая асимметрия не слишком сказывается на характеристиках упругих колебаний. Собственные характеристики (частоты и формы колебаний) реальной (почти симметричной) и идеальной (симметричной) механических систем обычно близки между собой.

И тем не менее имеются случаи, когда малая асимметрия заметно искажает собственные характеристики — точнее формы колебаний.

Мы иллюстрируем эту особенность почти симметричных систем на примере крутильных колебаний свободной балки.

1. Именно: отыщем собственные характеристики крутильных колебаний балки длиной 21, несущей диск, массовый момент инерции которого относительно оси балки равен /0. Диск жестко присоединен к середине балки. Ее правая и левая половины — постоянного сечения, причем жесткости на кручение и погонный массовый момент инерции равны соответственно С+, /+ и С-,

Выбрав начало координат в месте стыка и обозначив через 0+ и #- углы закручивания правой и левой частей балки, можем записать систему уравнений и краевых условий, служащих для определения собственных характеристик, в виде [1]:

С+-^ = У+^±, 0<*</.

В месте стыка при л; = 0

й». да (?2»

»_ = »+; С+ -gj — С- — /0 . (2)

На свободных концах

д 9 I д 8-

-jjr=0 при x = l; 5J = 0 при х =— /. (3)

Разыскиваем, как обычно,

• 1М*. *)/ \ <?,- {X) е*‘ I W

Тогда для <р (я) получаем следующие выражения, удовлетворяющие уравнениям (1) и условиям (3):

?_(*) = Л1 cos тгю^1 -f-j-j, <р+ (*) = 42'coso> ^1 — -j-j , (5)

где 1=j/^ , .-у^а

Величина у характеризует степень асимметрии. Это — отношение собственных частот правой и левой половин балки, если каждую из них считать защемленной в сечении jc=0. При у=1 система в динамическом смысле симметрична, ю — безразмерное собственное значение (собственная частота). Постоянные At и Аг определяем из условий (2). Это дает:

A j cos 1«о — Л2 cos со = 0; | ^

i4j [7 sin 70) -(- /«> cos ^со] + А2 sin о) = 0. J

В (6) 1= 7-7— отношение массовых моментов инерции диска и

правой половины балки. Из (6)следует уравнение для определения собственной частоты «**■:

tg to т-J— if tg -уш =—/м. (7)

* При у=1 (т. е. для симметричной системы) уравнение (7) дает частоты симметричных колебаний. К (7) следует добавить уравнение сое и = 0, дающие частоты

антисимметричных колебаний.

Корни о>; -. уравнение (7)— точки пересечения функции у ==^ со + 7 с прямой у =—1т.

График, изображенный на рис.1, дает наглядное представление о зависимости собственных частот а» от параметров / и у- (Здесь и ниже

для определенности принято, что у<1)-

Характерным для функции _у=^ю-)~7тш является нали-

~ 2 п — 1 ~ 2 п — 1

чиє двух систем вертикальных асимптот юл ^ —-— тг и ю„= —— я

(л =1,2...), дающие я-е частоты-крутильных колебаний правой и левой консольных полубалок.

Из рис. 1 следует, что если (при данном значении у) увеличивать /, то первое собственное значение, уменьшаясь, будет приближаться сверху к частоте первого тона правой консольной балки, второе собственное значение асимметричной системы — также сверху — к частоте первого тона колебаний левой консольной балки (2я-я собственная частота, системы , с ростом I приближается к п-й частоте левой консоли, а 2п—1 собственное значение — к п-му собственному значению правой консоли).

Когда у близко к единице, то, уже начиная с />10, частоты первых двух тонов колебаний становятся близкими между собой. Как мы покажем ниже, при этом формы колебаний будут существенно отличаться от чистых — симметричной и антисимметричной. (Заметим также, что при фиксированных I и у собственные частоты высших тонов колебаний сближаются между собой и становятся близкими к соответствующим частотам левой и правой консолей.)

Форму колебаний балки получим, выразив из первого уравнения

(6) Ai через А2. Положив Аг — 1, имеем:

(?-(*))« e Кп cos (l + ~J , (<p+ (*))„ = cos шл - yj . (8)

Здесь (On — корень уравнения (7), a

Kn = _“!!!!»---- (9)

cos

отношение перемещений правого и левого свободных концов балки. Уклонение | /Сп | от единицы — мера искажения формы колебаний, происходящее от асимметрии.

Форму второго тона упругих колебаний удобнее записывать в виде

(<Р_ (х))2 = cos т<й2 ^1 + -J-) , (<Р+ (*))!= Y2 c0S Шз (* “ "f") '

Положим теперь y=1—е, где е>0, причем е<1. Тогда при больших значениях / частоты первых двух тонов колебаний (а они представляют наибольший интерес) будут близки к я/2. Ищем решение

(7) в виде

(0 =JL + a. (10)

Производя вычисления с точностью до б3 и пренебрегая членами, содержащими ё26 и еб2, получаем для б уравнение:

JL/§2 _ /J* е / + 2 — 2е U + — = О,

2 \ 4 / 2

откуда

э1,2 :

я2 -» / / я3 №

2 — 2е+ — е/± I/ (2 — 2е + у е Л —кЧ1

я /

(На)

или принимая во внимание, что первое слагаемое подкоренного выражения заметно превосходит второе:

».«~7-----^ «7.О»)

2(2-2е+Т®/)

Значения (о, вычисленные по формулам (10) и (11), весьма близки при />10 к точным значениям корней (7).

При очень больших / (при е/>1) добавки будут

Если подставить выражение (10) для св в формулу (9), то с принятой выше степенью точности получим:

К

1, 2.

Используя выражения для б,, получаем, что для больших

1 1

-1

е/

1

и при /-»-оо первое отношение, оставаясь отрицательным, стремится к нулю, второе—к бесконечности (положительной).

Таким образом, даже при малой асимметрии системы формы колебаний могут весьма существенно отличаться от «чистых» (антисимметричной при «1 и симметричной при сог), если только относительный массовый момент инерции / диска будет превосходить некоторую, для каждой величины асимметрии свою, величину. Чем меньше е, тем при большей величине / такой момент наступает.

Интересно отметить, что при резком искажении форм колебаний, происходящем при увеличении /, имеет место только весьма небольшое изменение собственных частот.

Так, при е = 0,01 (у = 0,99) увеличение / от 5 до 200 изменяет сн примерно на 0,3°/(Д а Ы2 — на ~б,7%> (см. табл. 1).

Таблица 1

/ 5 10 50 100 200

«0, 1,57848 1,57823 1,57645 1,47592 1,57336

0>2 1,79796 1,69661 1,60594 1,59511 1.59041

О том же, как изменяются при этом формы соответствующих тонов колебаний, можно судить по графикам, приведенным на рис. 2.

Для со = со1 распределение ф+(-к) сохраняется практически неизменным, а перемещение левого свободного конца балки уменьшается при изменении / от 10 до 200 в четыре раза и составляет около 20% перемещения правого конца.

Для второго тона колебаний при почти постоянном (мало зависящем от /) распределении ф_(*) становятся с ростом / малыми амплитуды правой половины балок. С ростом / отношение К% монотонно убывает.

На рис. 3 для /=100 дано семейство форм первых двух тонов колебаний для различных значений е. Мы видим, как с ростом є увеличивается их асимметрия. В то же самое время при изменении є в Юраз (см. табл. 2) сої изменяется только на 0,2%', а <д2 — на ~4,5%!.

Таблица 2

Є 0,005 0,01 0,02 0,05

«і 1,57369 1,57492 1,57593 1,57666

оз 2 1,58847 1,59511 1,61022 1,65993

На рис. 4 приведена зависимость /ц и Кг от величины для различных значений /, иллюстрирующая, сколь заметным может быть влияние малой асимметрии.

2. Это на первый взгляд необычное явление — одно из проявлений возникающей (при больших значениях /) большой связанности исследуемой системы.

Понятие связанности системы (связанности колебаний) было введено Л. И. Мандельштамом [2]. Напомним его вкратце (по [2]).

Любую колебательную систему, например, с двумя степенями свободы, можно рассматривать как составленную из двух парциальных, одностепенных. Единая система образуется благодаря наличию между парциальными системами некоторых симметричных перекрестных свя-

зей, характеризуемых, скажем, величиной е. Нормальные (собственные) частоты всей системы в делом, конечно, отличаются от собственных частот парциальных систем. Но если парциальные частоты далеки друг от друга (система «расстроена»), то нормальные частоты отлй-чаются от парциальных на величины, пропорциональные квадрату є2 (и, значит, при малых є практически от парциальных не отличаются).

Ситуация становится принципиально иной, если частоты парциальных систем весьма близки между собой (система «почти настроена»).

Теперь нормальные частоты отличаются от парциальных на величины первого порядка малости по е. Колебательные характеристики системы, следовательно, определяются не только величиной связи, но и, что более существенно, степенью близости парциальных частот — степенью расстройки системы — «связанностью» ее по определению Мандельштама. В [2] была введена и мера связанности. Чем ближе друг к другу частоты. образующих данную систему парциальных систем,. тем колебательная система более связана.

В 1952 г. автор и А. Л. Резник, анализируя результаты частотных испытаний конкретных самолетов, заметили, что, если частоты парциальных систем близки между собой (т. е. при большой связанности системы), имеет место еще одно обстоятельство: формы колебаний единой системы могут весьма значительно отличаться от форм колебаний парциальных систем.

Таким образом, при большой связанности системы (даже если связи малы) имеют место два обстоятельства: 1) нормальные частоты отличаются от парциальных на величины порядка е и 2) формы совместных колебаний существенно отличаются от форм колебаний парциальных систем.

Все сказанное, конечно, имеет общий характер и справедливо как для систем с конечным числом степеней свободы, так и для систем распределенных (см., например, [3]).

Перейдем теперь к нашему случаю.

Эффект малой асимметрии может быть трактован следующим образом: когда рассматриваемая система симметрична (при у=П> она по существу распадается на две независимые, парциальные. Одна совершает антисимметричные колебания. Ее собственные частоты не за-

Рис. 4

висят от момента инерции /0 диска и совпадают с частотами полуба-лок, защемленных посередине. Другая совершает симметричные колебания. Ее собственные частоты зависят от /0 и при больших значениях /0 могут стать достаточно близкими к частотам первой системы. При уф\ обе системы образуют единую, связанную. Если / не очень велико, то частоты обоих парциальных систем далеки друг от друга и малая связь (малая величина е) не слишком изменяет формы колебаний связанной системы. Одни из них достаточно близки к чисто антисимметричным, другие — к чисто симметричным. Увеличивая / О (т. е. /) и тем самым сближая между собой частоты парциальных систем, мы резко увеличиваем роль малой связи. Единая система становится «весьма связанной» и формы колебаний уже существенно отличаются от «чистых».

Йтак, малой асимметрией механической системы пренебрегать уже нельзя, если близки между собой собственные частоты парциальных систем, ее формирующих.

3. Модель п. 1 является упрощенной моделью крутильных колебаний крыла в системе свободного самолета. У самолета массовый момент инерции фюзеляжа с оперением относительно оси жесткости крыла иногда в несколько сот раз превосходит массовый момент инерции самого крыла. А тогда при малой асимметрии правой и левой половин крыла может возникнуть ситуация, аналогичная описанной выше.

И действительно в практике частотных испытаний имеются случаи, когда при возбуждении резонансных крутильных колебаний одной половины крыла другая «слабо откликается». Запись амплитуд обеих половин дает картину, подобную изображенной на рис. 2. Что дело здесь именно в асимметрии, подтверждается тем, что формы крутильных колебаний можно сделать чистыми, если на слабо «откликающуюся» половину крыла установить, как это делал А. Л. Резник, дополнительный малый груз, т. е. искусственно симметризовать механическую систему. И все же в таких случаях мы имеем дело с реально существующей асимметрией самолета и быть может не имеет смысла подбором ли грузов или способа возбуждения колебаний обеих половин крыла приводить систему к идеальной модели.

4. Заметим в заключение, что самолет наиболее чувствителен к асимметрии характеристик, определяющих крутильные колебания крыла.

Влияние асимметрии характеристик, определяющих изгибные колебания крыла (погонных масс, жесткостей на изгиб), значительно меньшее. Дело в том, что массы фюзеляжа и крыла — сравнимы, одного порядка. Поэтому частоты парциальных изгибных систем — симметричной и антисимметричной — достаточно раздвинуты и, следовательно, мала обусловленная асимметрией связанность объединенной системы. . __

ЛИТЕРАТУРА

1. Ко май А. И. Совместные колебания крыла с сосредоточенными грузами. — Труды ЦАГИ, 1940, вып. 472.

2. Ма ндельштам Л. И. Полное собрание сочинений, т. IV. —

М.: Изд. АН СССР, 1955.

3. Пархомовский Я. М. Об изгибно-крутильных колебаниях крыла.—Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 5.

Рукопись поступила 16/ХП 1982 г.