CC BY
74
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м X 19 7 9 №5
УДК 629.735.33.015.4
ОБ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРЫЛА
я. М. Пархомовский
Рассматривается краевая задача об изгибно-крутильных колебаниях крыла с помощью метода малого параметра. Устанавливаются некоторые свойства ее собственных характеристик — частот и форм совместных колебаний.
Работающая на изгиб и кручение балка используется в качестве расчетной модели при решении большого круга задач динамической прочности крыла. Имеются хорошо разработанные способы расчета собственных характеристик балки, совершающей связанные изгибно-крутильные колебания*. И тем не менее, насколько нам известно, даже в простейших случаях для этих характеристик не установлены общие, качественные, закономерности. Получение некоторых из них — предмет настоящей статьи.
1. Краевая задача, из которой определяются собственные характеристики изгибно-крутильных колебаний прямой консольной балки постоянного сечения, определяется [1] системой уравнений
0/р-^ + рЧт<?-р>то®у = 0
(О
и краевых условий на закрепленном (£ = 0) и свободном ($ = /) концах балки:
при 1 = 0 при £ = I
а?
0,
= = ^ у _ о
«К <№
(2)
* Собственными характеристиками мы называем частоты и формы собственных колебаний или эквивалентные им собственные значения и функции соответствующей краевой задачи.
В (1) EI и GIp соответственно жесткость балки на изгиб и кручение, т. — масса единицы длины балки, р — радиус инерции массы т относительно оси балки (7m = /np2), р — круговая частота, у (£) и <р(1)— амплитуды прогиба балки и ее угла закручивания, —расстояние центра масс от оси балки. Величина а (£) —определяющий параметр системы (1), который связывает два независимых уравнения в единую систему. Величина и характер изменения о(Е) по длине балки определяют, в основном, качественную картину поведения собственных характеристик краевой задачи (1), (2). Все остальные параметры изменяют их лишь количественно. По этой причине мы в (1) положили EI = GIр — const. Помимо этого мы будем считать постоянными также т и р.
Система уравнений (1) становится более обозримой, если ввести новые переменные х и / и параметр рf.
l = L*x, y—pf> (3)
где и
l=jl=±-j™1. (5)
P L* p x EI v '
После этого система (1) примет вид;
/IV (*) — tt/+ s{io<p =0, \ (6)
+ j
Краевые условия, записанные при х = 0 и x = L, сохраняют структуру, приведенную в (2). Параметры г и L назовем соответственно связью и связанностью системы (1). При этом о (л:) = с0 о (х), о0—наибольшее (по абсолютной величине) значение °(х). Таким образом, |о(х)|<1.
При £ = 0 система уравнений (6) распадается на две независимых. Одна из них описывает „чисто крутильные" (/=0), другая — „чисто изгибные" (<р = 0) колебания балки. Свойства этих парциальных систем хорошо изучены [2].
Для чисто крутильной системы:
(х) + vcp = 0, ср (0) = 9' (L) = 0, (7)
r-я собственная функция <р0г(х) (нормированная так, что |cp0J — = 1) и г-е собственное значение, vr — собственные характеристики r-го тона крутильных колебаний, — будут:
?о
, / 2 . * аг
г— Л/ —sin а —, v =■—-, ' X L L ¿2
(г= 1, 2, . . . ).
(7а>
2
Круговая частота г-го тона крутильных колебаний
(7б>
Для чисто изгибной системы;
/'V (х) — X/ = 0, /(0) =/' (0) =/" (¿) =/'" (¿) = 0, г-я собственная функция /0г(х) (||/0,[|=1) будет
Лг-
ут
№
Сг( Р,)
V£ £
s2(M (r=i, 2, . . . );
С, (P) = ch p - cos p, Sj (¡5) = sh p — sin p, C2(P) = chp + cosp, S2 (P) = sh p + sin p, а r-e собственное значение
Р, — корни уравнения
При этом
Pi = 1,8751, р2 = 4,69409,
D (Р) = ch р cos р + 1 = 0.
2 г — 1
к при г >2.
(8) (8а)
(86)
(9)
(9а) (96)
(9в)
Круговая частота г-го тона изгибных колебаний
(М,ЗГ=А л[~К.
¿2 У Щ
Мы будем искать собственные характеристики задачи (6), (2) в предположении малости связи е. (Это обычно имеет место для крыльев, не несущих на себе сосредоточенных грузов).
Приближенное решение поставленной задачи, т. е. собственную функцию (совокупность {/, <р}) и собственное значение р системы (6), (2), ищем в виде отрезков рядов по степеням а
/(*) = £ г*/*(*)> = ¥*(*). »= £ 00)
й=0 к=0 к =0
Требуя теперь, чтобы каждое из уравнений (6) удовлетворялось выражениями (10) с точностью до членов, содержащих е^1, получаем для искомых /к(х), <Рк (а:), следующие две раздельные системы краевых задач:
/oV — Р-о /о = 0, /Г' — ft) /= th /о — Ро °?о, к к
fk — Hfk—^V'tfk-t— a Y^tVk-t-i (¿ = 2, 3,...);
t=1
f = 0
(11а)
(116)
Ч£ + Ро?о = 0, + р-о?1 = —^То + ^о'/о» к __ к
?! + ^ = - X + ° X ^ {к —2, 3 .
¿=1 <=1
Каждая из функций /к, <вк должна удовлетворять условиям
Л(0)=/*(0)-0, 1 (12а)
/к(Ц = /и(Ь) = о, ) ?к(0) = ?к (¿) = о. (126)
Краевые задачи для систем (11а), (12а) и (116), (126) — рекур-рентны. Они обладают важной особенностью — каждая из них имеет свою, одну и ту же, общую для всей системы совокупность собственных значений. Для краевых задач (11а), (12а) это собственные значения Хг чисто изгибных колебаний:
ft = К> (13)
для задачи же (116), (126) это — собственные значения vr крутильных колебаний:
ft> = V (14)
Числа 1Г и vr, формирующие основной член собственных значений решаемой краевой задачи, образуют две независимые друг от друга числовые последовательности. Их, в свою очередь, можно упорядочить. Мы будем считать, что ни одно из чисел не совпадает с vs, т. е., что собственные значения краевых задач (11) и (12) различны, хотя и могут быть достаточно близкими друг к другу*.
2. Если ограничиться в (10) членами, содержащими е2, то можно показать, что решение задачи (6), (2), „порожденное" г-м тоном изгибных колебаний (т. е. при ¡л0 = Хг), будет иметь следующий вид**:
(/)гизг=/0г + £3(/2)гизг, (?)г изг = s (<Pi)r изг, 1
(Н>)г'зГ = Хг + е2Ыгизг, | (15)
(Л)г изг = Arfor + (/г),-изг • )
Действительно, согласно известным свойствам краевых задач:
— функции <?k(x) определяются единственным образом [при этом ?<>(•*) = 0];
— (Pi)r изг —0, так как для того, чтобы существовало ограниченное решение уравнения для (/,)г ИЗг, необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения была ортогональна к /0г. Последнее может иметь место только при (¡а,)г изг = 0;
— (/i)/-H3r = 0. В самом деле, решение однородного уравнения для fi(x) будет fi(x) = Cf0r(x). Так как мы требуем, чтобы [|/,[]=1, то отсюда следует, что С = 0;
—• функция (?]),-изг — решение уравнения
Ъ+КЪ = К~°/о г Оба)
будет
(?l)r изг = \'\
J з1(s)/0,(s) sin VK(x — s)ds —
(166)
_ ^ * - f cosy {L _ s) ds
cos У Kr L J 0
— из условия ограниченности решения для (/>)ГИзг имеем (см. (11а))
L___
(1*г)г изг = к j o(s)[fi(s))rK3rf0r(s)ds. (17)
* Это означает, что парциальные части крутильных и изгибных колебаний различны. Случай их совпадения не представляет интереса.
** Компоненты изгиба и кручения формы собственных колебаний равно как и собственные значения снабжены индексом .из" или ,кр* соответственно.
Сама же функция (/2)гизг будет иметь вид
(/2)г„зг = Лг/0л+(/Ргизг; (18)
где (/2*)Г1,ЗГ — частное решение уравнения для/,(л:).
Ы.изг |/о(^М*—«)) ^ —
(/г)г изг 4 ,-—
2><Ч3
X
- Х, | « («) (*! («))г ИЗГ 5, - 5)]
(18а)
здесь 5] (Р) дается (86).
Постоянную А, определяем из условия нормирования ||(/)г Изг||= 1-Отсюда
(19)
Наконец, (<р2)гизг=0.
Мы показали, что решение, „порожденное" изгибом, имеет вид (15). Входящие в него величины определяются формулами (8а), (166), (17) —(19).
Таким же способом можно установить, что решение, „порожденное" г-м тоном крутильных колебаний, имеет вид:
(лг кр = 8 (/>)г кр , Мг кр = <Рог + (В, ?0г + (?;), кр,
Мг кр = V, + е2 (Ы;- кр •
Здесь (/^г кР — решение краевой задачи для уравнения
гIV г ~
/1 —\А=° — \а<?0г-
(Л)гкр = 715, [у7г х) + х)—
V-
У ''г
(20)
- О: | 5, (х-з) )?0Г (5) йз,
(21)
где
4 _____X.
7. = - 1 °Ф (5) [5, ) (К (¿-5))-
- с2 (|/7д) с2 (уЯ - «))] ^
Аг- Ь У
4£|
[о («)*„,(*) [5, С2 (К (А - 5)) -
- С2 52 (у\(£ - 5))] (¡5,
£>(Р), 5Дл:), СДл) даются (86) и (9а)*,
I _
Ыг кр = V, | а<р0 г (/;)г кр ¿л:,
(22)
* Таблицы комбинаций этих и аналогичных круговых и тригонометрических функций даны в [3].
(Фг,р- частное решение краевой задачи для уравнения:
Г" + V, <р = - (^),.кр ?ог + V,'о ( /,), кр,
т. е.
Юг кр = - f [Ыг КР То, (S) - V, 0*(s) ( f\)r кр] X
г О
X Sin V\(x — s) ds. (23)
L
B,= — j (b)rKp%rdx. (24)
и
Полученные результаты можно сформулировать следующим образом. При фиксированных законе распределения <з(х) и связанности L:
— собственные значения (частоты) связанной системы отличаются от собственных значений их породивших чистых тонов на величины, пропорциональные квадрату параметра инерционной связи s2;
— компонента формы (/)ГИзг, порожденная г-м тоном изгибных колебаний, отличается от чисто изгибной f0r(x) на слагаемое порядка компонента же (ср)г Изг пропорциональна первой степени е.
Аналогичное положение имеет место для форм связанных колебаний, порожденных кручением; остается почти „неизменной" компонента (?)/-кР и появляется малая, пропорциональная е компонента (/W
3. Перейдем теперь к рассмотрению случаев, когда указанная закономерность нарушается. Для дальнейшего анализа решений (15) и (20) удобно использовать аппарат интегральных уравнений.
Так, решение уравнения (16а) можно представить в виде
Wrn3T = -\Y-^-<?ok(x) (25)
и по (17) и (25) получить, что соответствующая поправка к собственному значению будет
Ыгизг = -Х?У^-. (26)
ÍTi - х'
Точно так же выражения (21) и (22) можно представить в виде
(fx C*))r кр = — vr ¿ /0 (Л) (27)
k=\ 'k >г
и получить
(28)
Ль — Ч. А = 1 R г
в формулах (25), (27) ?ок(х) и f0k(x) даются выражениями (7а) и (8а), а
L _
аА,= ^a(s)v0k(s)f0r(s)ds. (29)
о
Коэффициент лкг — инерционная связь форм к-то тона чисто крутильных колебаний с г-м тоном колебаний чисто изгибных. Из (29)
5— Ученые записки Л'г 5 65
следует, что при каком-нибудь фиксированном тоне (например г-м изгибном) и возрастании £ акг 0, т. е. связь парциальной формы данного тона с тонами другой парциальной системы уменьшается ио мере удаления их друг от друга.
Из формул (25) —(28) следует, что при близости двух парциальных собственных значений (ПСЗ) и Хт
(30)
будет доминировать тот член рядов, который содержит эту разность. Он будет порядка 1/е.
Установим теперь, когда реализуется соотношение (30).
Вторым параметром, который при данной величине связи ез(5) определяет собственные характеристики системы (6), (2) является ее „связанность" ¿. Используя (5), (76) и (9в) можно Ь выразить через парциальные частоты я-го тона изгибных и т-го тона крутильных колебаний
¿ =
К (Рт)
кр
(31)
"т (Рп) изг
то значение /,, при котором (рт)Кр — (рп)изг можно назвать критическим. Близость величины Ь к критическому значению характеризует близость между собой соответствующих парциальных частот (Г1Ч).
Положим теперь, что значение I близко к критическому и примем п = 2, от=1. Это наиболее интересный в приложениях случай. Пусть, следовательно,
1=А(1_б£),
>1,
К I.
(31а)
Выделяя в (25) — (28) доминантный член 0( —), получаем
(/1)1 кр ~ ~
(^2)1 кр
2Ве
26
Г" ?(»(*)»
а12 . / ч а12 ,*
— изг ~ — 2
26е
4 1 ^
= = ^ . а12 = | « (5) ?01 (в)/оз (в) ¿5.
(32)
Следовательно, по (15) и (20) Ы1 кр ~ ».
а2 V* 12 1'
Ыа
1 кр
20 12 1 - ' 26 —/*(*), (?(*))» «г ?„,(*).
Далее имеем
(<?>1 кр ~ ?«(■*) + гЫ1 кр
( /)2 изг —/02 + £ ( /2)2 1
(33)
(34)
Из (33) и (34) следует, что если значение Ь близко к критическому (близки между собой две какие-нибудь частоты парциальных систем), то, даже при малой связи, ситуация, описанная в конце п. 2, радиально меняется.
2-й тон
6=0,3
3-й тон
шпчш-//
1-м и 1
-ж И I
1-Й -и
Рис. 1
Именно, (ср)2 изг уже не функция порядка г, а конечная, причем она пропорциональна у01(лг); добавка к /02(х) — первого по в порядка малости. Собственная же форма совместных колебаний, порожденная первым тоном крутильных колебаний, имеет конечную изгиб-ную компоненту, пропорциональную /02 (-*:), и добавка к ее крутильной компоненте становится первой, по г, порядка малости. При близких парциальных частотах имеет место большая „связанность" колебаний. В первую очередь очень связанными между собой оказываются формы тех тонов совместных колебаний, которые порождены близкими частотами парциальных систем*.
Представление о формах колебаний при значениях Ь, близких к критическим, дает рис. 1. На нем приведены полученные численным расчетом краевой задачи** (6), (2) формы 2-го и 3-го тонов совместных колебаний для £ = 0,95 -ь 1,05. (Здесь и ниже, если не оговорено противное, результаты расчетов даны для е = 0,3, о=1)
(Л) и
На рис. 1 даны эпюры линейных перемещений двух точек сечения, равноудаленных от оси балки. Кроме того, на нем пунктиром нанесены узловые линии тона колебаний — геометрические места точек, остающихся неподвижными. Мы видим, что при связанности близкой к критической уже трудно или даже нельзя „распознать" происхождение тона совместных колебаний. Формы 2-го и 3-го тона близки между собой. Заметим, что большая связанность форм имеет место только в узкой области значений Ь, причем область эта тем уже, чем меньше е.
Вне этой узкой области связанность форм невелика. Это можно усмотреть на рис. 2, на котором для того же (достаточно большого) значения е = 0,3 даны эпюры 2-го и 3-го тонов колебаний, но для ¿ = 0,3, 0,5, 0,75, 1,5, когда справедливы соотношения
* Этот факт для других механических систем был обнаружен А. Н. Резником и автором.
** Расчеты, приводимые ниже, по нашей просьбе были выполнены автором программы определения собственных характеристик Е. И. Соболевым. Пользуемся случаем выразить ему благодарность.
2-й тон
\ V17Z
3-й тон
/
Рис. 2
(15) и (20). Формы совместных колебаний этих тонов здесь достаточно близки к формам парциальных систем их породивших. Для к ==0,5, например, это соответственно 1-й и 2-й тона крутильных колебаний.
Первыми при значениях близких к критическому, по порядку малости по £ становятся и поправки к собственным значениям и Х2*. Знак этих поправок определяется знаком 6, т. е. тем, какая из парциальных частот Х2 или V! выше**.
Наконец, рассматривая формулы (32), мы замечаем и следующее. Если
1
«52 = / Ф) <р01 (О/о, (5) ¿э = 0, (35)
о
т. е. оборвана инерционная связь между двумя близкими парциальными тонами, то даже при близком к критическому, функции (»1)2 изг и (/1)1 кр останутся порядка е, и формы колебаний окажутся не слишком связанными, — „балансировка" балки на 1-й тон крутильных и 2-й тон изгибных колебаний. Выражение (35) — частный случай общего выражения, когда погонная масса меняется по длине балки).
Таким образом, подбирая соответствующий закон 0(5), можно управлять в нужном направлении связанностью форм. Колебания наиболее чувствительны к изменению инерционной связи при Ь, близком к критическому.
Обрыв связи (т. е. я12 = 0) при и Х2, далеких друг от друга, не изменит существенно положения, как это следует из (25) — (28).
Обратим в связи с этим внимание на следующее. Известно [5],
* На это обстоятельство указал Л. И. Мандельштам, рассматривая колебания систем с двумя степенями свободы [4].
** Напомним, что формулы (32) и следующие из них имеют целью указать тенденцию изменения собственных характеристик и не предназначены для вычислений.
что чем дальше отстоят друг от друга ПЧ степеней свободы, формирующих флаттер, тем выше критическая скорость флаттера Укр. Сближение ПЧ сопровождается уменьшением Укр и близким ПЧ соответствует зона минимума Укр. Рассмотрим изгибно-крутильный флаттер крыла. Выше было отмечено, что при далеких друг от друга ПЧ формы совместных изгибно-крутильных колебаний связаны мало, что при сближении их связанность увеличивается и что наиболее сильно формы колебаний связаны при близких ПЧ. Это дает основание для другой интерпретации поведения Ккр при сближении ПЧ: чем больше связанными между собой оказываются парциальные системы степеней свободы формирующих флаттер, чем больше связаны между собой формы совместных колебаний, тем меньше величина 1/кр; увеличить ]/кр можно, уменьшив связанность форм колебаний. Но именно при близких ПЧ сравнительно малого изменения инерционной связи достаточно, чтобы связанность форм колебаний резко уменьшить. Следовательно, при прочих равных условиях наиболее эффективная балансировка крыла должна оказывать при близких ПЧ. Так оно и имеет место в действительности. Таким, в общих чертах, конечно, представляется механизм действия инерционной связи на величину 1/кр.
Такой же, как описанная выше, будет ситуация и при условии
4. Остановимся теперь на некоторых качественных соотношениях, вытекающих из полученных формул.
а) Зафиксируем ряд \ и будем увеличивать V, (а, следовательно, и все vк). Пусть между неизменными = л* и = расположены два исходных значения и
ь;<>?<к8<й. (36)
Из (26) тогда следует, что (^2)1изг<0 и> следовательно, изг <С(первая частота совместных колебаний меньше низшей частоты системы парциальной. С ростом v, (¡х): изг снизу стремится к А[.
Установим теперь как изменяется ((х)] кр при увеличении Из (28) вытекает, что до тех пор, пока V, основной вклад в величину (¡12)1 кр дают слагаемые ряда „окаймляющие" т. е. при
< "'1 < >-2
2 2 *11 , а12 ~Г 1*
кр
(37)
Эти слагаемые разных знаков. Сначала в сумме (37) преобладает первое слагаемое и с ростом v, (¡х2)1 кр убывает, оставаясь положительным. Сперва, следовательно, (1^)1 кр > V!. При дальнейшем возрастании V! превалирует уже второе слагаемое и теперь уже <!*)1кр<^1 (см. также (33)). Когда же, при дальнейшем увеличении -V] становится большим, чем X*, основной вклад дают другие члены
ряда (28) и при ^О^^з,
(^2)1 кр = >
+
и, значит, снова повторяется описанная выше картина. Аналогичным способом из формул (26) устанавливаем поведение „поправок" к тону „порождаемому" Х2. Если, например, ^<Х2-02, ^то при увеличении v, (51)2 изг > ^2 при vi Х2 и ({а)2 изг < Л2 при ^,>Х2. ^
Типический вид зависимостей ([1)1 крК =/^1^1) и (^)2изг/Х2 = = /(71Л?)> полученный по числовому расчету, приведен на рис. 3. Там же пунктиром нанесены кривые, полученные по приближенным формулам (37) и (20) для (ц), кр и аналогичным формулам для (р)2изг. Мы видим, что расчет подтверждает полученные качественные закономерности. Приближенные формулы дают достаточную точность при
Легко усмотреть, что зависимость кР = порождаемая
V,— одного типа (тип /), в то время как зависимость (^)г изг^/ОО — другого (тип II).
Если был бы зафиксирован ряд и относительно его передвигался ряд X, мы получили бы снова картину, подобную изображенной на рис. 3, с той лишь разницей, что по типу / изменялись бы ([а)изг, по типу же II — (!л-)кр.
Таким образом, соотношения между парциальными собственными значениями (ПСЗ) и собственными значениями системы (СЗ), имеющие место в случае систем с двумя степенями свободы [4], в системе с распределенными характеристиками, перестают быть справедливыми. Они заменяются другими, более сложными. Соотношения, установленные для систем с двумя степенями свободы, выполняются лишь тогда, когда два ПСЗ, формирующих данное СЗ, близки между собой и „преодолевают" искажающее влияние всего остального спектра ПСЗ.
Из формул (28) следует также, что при обрыве инерционной связи (а12 = 0)
Рис. 3
и, по крайней мере, при л'О^/* ((г)] кр=/(у1) — монотонно убывающая функция, остающаяся большей чем (см. штрихпунктир-ную кривую на рис. 3).
б) Рассмотрим теперь как изменяются при увеличении (всех собственные характеристики данного, фиксированного тона совместных колебаний. Ограничимся, для определенности, исходным расположением ПСЗ (36).
Начнем со второго тона совместных колебаний. Из соображений, приведенных в п. 2, следует, что при v1-<>^2 он формируется
из первого тона чисто крутильных колебаний. В его собственной форме будет преобладать крутильная компонента, а СЗ будет возрастать с ростом Когда же ^ > X*, тот же второй тон трансформируется уже из второго тона чисто изгибных колебаний и его СЗ будет оставаться почти неизменным, какой бы большой не была величина V,. Сказанное иллюстрируется рис. 4 (кривая /), на котором дан график
(}1(л> — СЗ я-го тона совместных колеК баний). За принято значение, по-
лучаемое при I =
ч2 11 2а,
Напомним также, что
Ыкр (Рг) изг
Эту смену форм можно увидеть, рассматривая эпюры для А = 0,3, 0,5, 0,75 и ¿=1,5, приведенные на рис. 2. Окрестности &=1 (^ близкие к Х2) будет соответствовать переходная область, в которой сильно связаны формы колебаний (см. рис. 1).
Повторяя приведенное выше рассуждение, можно установить следующее чередование наименований, определяющих, так сказать, этиологию 3-го тона совместных колебаний*: 2-й крутильный — 2-й изгибный — 1-й крутильный — 3-й изгибный.
Графи
1 /V3'
кУг
/(А), иллюстрирующий сказанное, дан на рис. 4
(кривая 2). Смену же форм колебаний — первые три из указанных выше — для третьего тона можно увидеть на рис. 2. (Эпюры для
1 /V"7"
А = 0,5, 0,75, 1,5). На рис. 4 также нанесена зависимость |/ — — /(¿) " кривая 3.
крутильны 3-изгибный.
Вся совокупность наименований форм третьего тона дается рядом: 3-й ьный—1-й изгибный — 2-й крутильный — 2-изгибный — 1-й крутильный —
Ум*'*;
/(/г) представляет собой кривую, в которой чередуются между собой п почти прямолинейных „подъемов" с п „площадками". Каждому подъему соответствует крутильная форма совместных колебаний, площадке — форма из-гибная. В конце концов, при очень больших V, характеристики я-го тона совместных колебаний становятся близкими к характеристикам п-го тона колебаний чисто изгибных.
Рис. 5
--£ —в, 2
- 0,3
2-й топ
Аналогичная картина будет иметь место при изменении жесткости на изгиб (величин X). В конечном счете п-й тон совместных колебаний становится близким к я-му тону колебаний крутильных.
в) Происходящая как бы скачком при Ь критическом смена наименования тона колебаний подготовлена постепенной перестройкой его формы. Она происходит все время с ростом V,, пока сохраняется постоянным наименование тона.
Так, рассматривая совокупность кривых {/, <р} при £ = 0,3 для второго тона колебаний (см. рис. 5) легко заметить, что с ростом к при т. е. когда рассматриваемый тон — 1-й тон кру-
тильных колебаний, компонента <?{х) формы колебаний монотонно убывает; в то же самое время вторая компонента —/(х) сначала безузловая, характерная для первого тона колебаний, становится затем узловой, свойственной 2-му тону колебаний, причем по мере роста А узел /(х) передвигается вправо, к концу балки. (На рис. 5 и 7 компоненты /п(х) приведены к значению /л(1)=1)-Затем, при когда 2-й тон совместных колебаний трансфор-
мируется из 2-го изгибного тона, компонента /(х) формы колебаний изменяется сравнительно мало, в то время как компонента ■?(.*:) продолжает убывать. Интересно отметить, что теперь (при компонента <?(х) достигает наибольшего значения не на свободном
конце балки, а в ее средней части. На рис. 6 приведены графики ср-,(х) для разных к, иллюстрирующие сказанное. (На рис. 6 принято
На рис. 7 можно проследить постепенное изменение форм, происходящее с ростом k на третьем тоне колебаний. Обращаем внимание на то, что компонента f(x) формы колебаний сперва узловая, впоследствии (при когда третий тон совместных
колебаний — первый тон колебаний крутильных) становится безузловой. При этом наибольшее значение f{x) достигается в средней части балки, а не на свободном конце.
г) Говоря о формах колебаний, остановимся еще на одном обстоятельстве. Для парциальных — чисто крутильной и изгибной — систем существует однозначная связь между порядковым номером тона колебаний и числом узловых точек соответствующей ему формы колебаний.
Аналогом узловых точек для системы связанной служат узловые линии — кривые
о / ч Alf)
"г \Х) — ~ ?„(*)-
где fn(x) и ср„(х) — компоненты формы я-го тона совместных колебаний. Кривая Rn(x) обращается в нуль в точках х*, для которых
fn(xl) = 0 и в бесконечность в точках xk, для которых <р(д:й) = 0.
Для совместных колебаний не существует зависимости между порядковым номером тона колебаний и видом узловой линии или числом точек x*k и х„. Одному и тому же порядковому номеру тона могут соответствовать различные виды узловых линий — различное число точек xl и хк. Характер узловых линий определяется тем, какой из тонов и какой именно парциальной системы формирует данный тон совместных колебаний. Примеры узловых линий третьего тона колебаний даны на рис. 2.
Узловая линия га-го тона колебаний может иметь 2га различных видов — от непрерывной кривой с га — 1 точками х\ до кривой
тангентоидного типа с га—1 точками хк.
Переход от га—1-го тона совместных колебаний к га-му может и не сопровождаться увеличением числа точек х\ и хк. Число их может даже уменьшиться (см. например эпюры для /г=1,5 на рис. 2).
д) Увеличение е делает форму колебаний менее „чистой". Этот, впрочем априорный, факт можно усмотреть из рис. 5 и 7, на которых даны формы колебаний для г = 0,3 (сплошная кривая) и в = 0,2 (пунктирная).
Отметим в заключение, что все полученные качественные зависимости сохраняются и тогда, когда характеристики крыла меняются по длине.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гроссман Е. П. »Курс вибраций частей самолетов*. М., „Оборонгиз", 1938.
2. Тимошенко С. П. „Теория колебаний в инженерном деле*, М. — Л., ГНТИ, 1932.
3. А н а н ь е в И. В., Егоршева Н. И. „Табулированные значения круговых и гиперболических функций", М-, „Машиностроение", 1974.
4. Мандельштам Л. И. .Лекции по колебаниям". Полное собр. соч., т. 4, М., Изд. АН СССР, 1955.
5. Пархомовский Я. М. Крутилыю-рулевой флаттер хвостового оперения. Труды ЦАГИ, вып. 524, 1940.
Рукопись поступила 15\Х1 1978 г.
