CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XVIII
19 87
№ 2
УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.43 : 629.7.025.1
ОДИН ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРЫЛА
Предлагается аналитическое решение задачи об изгибно-крутильных колебаниях крыла, когда массовый собственный момент инерции сечения крыла равен нулю. Устанавливаются некоторые свойства собственных характеристик.
Случаи, близкие к этому предельному, могут реализоваться на крыле, несущем большое число вынесенных, жестко прикрепленных грузов.
Упруго-массовой моделью крыла большого и среднего строительных удлинений часто является прямая, работающая на изгиб и кручение балка, центры масс сечений которой находятся на расстоянии от ее оси. Вследствие этого балка может совершать связанные изгибно-крутильные колебания.
В предельном случае при ст=0 эта единая колебательная система разбивается на две независимые: «изгибную» и «крутильную». Существует и другой предельный случай, когда система совершает связанные колебания, но деформации изгиба и кручения не независимы. Он будет реализоваться при массе крыла, не распределенной по хорде, а сосредоточенной в точке, находящейся на расстоянии а от оси балки.
Ниже рассматривается именно этот, второй, предельный случай. Он, в основном, охватывает особенности изгибно-крутильных колебаний и в общем случае. Ситуация, близкая к нему, может иметь место, когда крыло несет на себе большое число жестко закрепленных, вынесенных грузов.
1. Известно [1, 2], что частота рп и форма {уп(х), <рп(х)} п-го тона изгибно-крутильных колебаний балки постоянного сечения являются собственными характеристиками краевой задачи, состоящей из системы уравнений
и краевых условий, определяемых условиями закрепления балки. Для консольной балки, защемленной одним концом при х=0 и свободной на втором при х = 1, они имеют вид
Я. М. Пархомовский
Ву1У (*) — тр2у (х) -)- р2 таср (я) = 0, С?" (х) + Jmps'? (х) — р2 тзу (х) = 0
(1а)
(16)
У (0) = У' (0) = ср (0) = 0, (2а)
Сер' (/) = Ву" (/) = Ву(I) = 0. (26)
Здесь В и С — соответственно жесткость балки на изгиб и кручение; т и /т = яг(х2+а2) —масса и массовый момент инерции единицы
длины балки относительно ее оси; шх2 — собственный момент инерции сечения; у и ф — прогиб и угол закручивания.
В рассматриваемом случае к = 0. Именно сейчас система (1) приводится к одному уравнению.
Введем новую переменную / и координату а также параметры Ь и (і («безразмерную» частоту) по формулам
у = °/; і = хіТ-, (3)
Г-а^Й/С; (4)
2 ГП^І
Р = р2—§— • (5)
Тогда система уравнений (1а), (16) перейдет в следующую:
= (6а)
?"(?) + М>-р/=0. (66)
Отсюда следует [см. (2)], что
Г(5)-Т'Ш = 0, Г(5)-Г(0) = ?(5). (7)
Дифференцируя затем (6а) по І и подставляя вместо ф'(Е) его выра-
жение, придем к уравнению:
(Iі V .
+ Iі -ггг — ^ = °» (8)
(№ (№
где
*=/(*)■ О)
Краевыми условиями для уравнения (8) будут
при £ = 0 V (0) = 0, (10а)
при %—Т V' (/) = ■?"(/) = 0, (Юб)
при $ = 0 V(0) = 0, (10в)
где | дается (3). [Условие (10в) вытекает из уравнения (6а)].
В (10) принято:
г-Т“-г/¥- <п>
Итак, рассматривается краевая задача (8), (10).
Решение уравнения (8) имеет вид:
V (%)=АХ сЬ г% + г\ + Л3соз5$ + Л^т «I. (12)
В формуле (12)
. Используя известную процедуру, получаем уравнение для определения собственных значений ц:
2 — VV sh rl sin si -f ([i + 2) ch rl cos si = 0. (14)
Собственная функция un(£), соответствующая n-му собственному значению ци, дается выражением
®«.(5) = Ля{[сНгл5 - cossJ] + Ce[s®shre£ + r® sinse5J}, (15)
где
q __ ___ ____rn sh rn I + sn sin sn I_ (16)
rnSn[s2nchrnT-\-rzncos snl\
Остающуюся неопределенной постоянную An можно задать, например, из условия ип (/) = 1.
Учитывая связи между ип(|), fn(i) и срп(Ю [формулы (7) и (9)], получаем:
у (£) = Л ([ shr"£ _ JlHnl] + с п (Ch f”S~ 1)~г" (coss"e" ’>
IL '’л s/i J n rnsn
?n (9 = К I V„ sh Гп t + sn sin sn Ц + Cn rn sn [s2 (ch r„ 6 — 1) +-
+ ^(coss„5 — 1)].
(17)
Совокупность корней уравнения (14) и выражений (17) дает собственные характеристики рассматриваемой задачи.
2. Краевая задача (8), (10) обладает особенностями по сравнению с обычно встречающимися в теории упругих колебаний.
Во-первых, уравнение (8) имеет вид
■Цу) = *Н(у),
где Ь{у) и N (у)—дифференциальные операторы (четного порядка).
Во-вторых, краевая задача (8), (10) несамосопряженная. Последнее можно установить следующим образом [3].
Т
Введем функцию V и рассмотрим интеграл ]* ъЬ* (г»)*Й, где
/.*(*)- (5) + 1*г>" (?) - (ю (I).
После вычислений получим
т
| [V* I* (V) — (V) —
о
7
= \<от V = ©"г»' + v'v" — wm + р(г»'—*>©')] |. (18)
о
Легко убедиться, что при одинаковых для и и и краевых условиях (10) правая часть (18) будет отличной от нуля. Следовательно, мы имеем особую краевую задачу. Это обусловливает, как будет показано ниже, особенности в поведении Vn(l).
Если теперь правую часть (18) представить в виде
V"' V ] — V (г>т + Р®') ] + (V" + [*'£')] — *>" г'/,) >
о о бо
то можно заметить, что для того, чтобы это выражение обращалось в нуль, необходимо, чтобы функция и(£) удовлетворяла следующим краевым условиям:
при условиях (19а), и есть задача, сопряженная с рассматриваемой. Собственные значения данной и сопряженной краевых задач одинаковы. Собственная же функция Vn(l) краевой задачи (19), (19а), соответствующая собственному значению цп, имеет вид:
Постоянную Ап определяем из условия ип(0) = 1.
Можно показать, используя, например, процедуру, указанную в [4], что выполняются условия ортогональности более общего вида, а именно:
Если в <(21) заменить индекс яна/іи сложить условие, полученное в результате этой операции с прежним, то придем к симметризованной форме условия ортогональности:
Можно дать следующую интерпретацию условиям (21). Краевым задачам (8), (10), (19), (19а) ставится в соответствие: первой —
множество собственных значений |я„ и множество собственных «вектор-функций» (‘У„(?)> '&'’„(?)) [см. (15), (16)]. Второй —то же множество собственных значений и множество «вектор-функций» (Ч)П(Ь), ъ'п(%)) [см. (20)]. Условия (21) означают равенство нулю скалярного произведения «вектор-функций» исходной и сопряженной задач, соответствующих различным собственным значениям.
Необычный вид имеют также коэффициенты ап разложения функции /(!) в ряд Фурье по собственным функциям ип(I)
5 «Ученые записки» № 2 65
при $ = 0 = 0; г/(0) = 0;
при І = І V (7) = 0; V'" (/) + рю' (/) = 0.
(19а)
Краевая задача—уравнение
Ь*{у) = Vя (?) 4- ръ" (?) — {«> (£) = 0,
(19)
где
(20)
(21)
о
I
о
Л00~2 anVntf)- (23)
n=l
Вследствие соотношений (21) получаем
Т
an = Nnl\fvn+f'v’n]d%, (24)
о
где
Рассмотрим в заключение неоднородную краевую задачу для уравнения
wIV(E) + liw"(S)-iw»(6) = /r(6) (25)
и условий (10). Частное решение уравнения (25) будет
v4i)=7mwJFlf-t)l,,it)dt- (26)
<E>(0 = ssh/^ —rsinsf (26а)
и, следовательно, общее решение уравнения (25) имеет вид
v (?) = Аг ch г? + А2 sh г? + А3 cos 5? + Ai sin si -f- v* (I),
где v* дается формулой (26).
При этом постоянные Аи следует определить из (10). Опуская промежуточные вычисления, приводим окончательное выражение для v (е):
v (?) = Ах (ch г? — cos s?) -f А2 (s3 sh г? + rs sin s?) + v* (?), (27)
где Ai и At — решения системы алгебраических уравнений:
A j (г sh rl + s sin si) 4- Аъ (rs3 ch rl -f- sr3 cos si) = — z>*' (I), 1
At (r2 ch rl + s2 cos si) + A2 (r2 s3 sh rl — s2 r3 sin I) — — v*" (I).) ^ ^
Определитель этой системы обращается в нуль, когда ^ (и связанные с ним величины г и s) является собственным значением исходной (однородной) краевой задачи (8), (10). При ц = [л„ ограниченное решение будет существовать только тогда, когда одновременно обращаются в нуль определитель системы и определители, составленные из столбцов правых частей системы (28) и при коэффициентах Ah. Это в конечном счете приводит к условиям при «=1,2,....
7
$F(r-t)Wn(t)dt-0, (29)
О
где
^ (t) = [Гя Sh гп 7+ sn sin sn Т] [rn sh r„t + sn sin t] —
— [r%n ch rnl + s2„ cos sn I] [ch rn t — cos sn t).
Можно показать, что с точностью до множителя К
wn{t)-K5n{T-t),
где vn — собственная функция задачи, сопряженной с данной, соответствующая |л = |лп. Она дается формулой (20).
Условия (29) при п= 1,2,... будут
Т
j" F(t)vn (t) dt = 0. (30)
о
Если значение параметра (д, совпадает с п-м собственным, то ограниченное решение неоднородной краевой задачи (25), (10) будет иметь место, когда правая часть уравнения (25) ортогональна к п-й собственной функции задачи (19), (19а), сопряженной с данной. Ре-
шение же краевой задачи (25), (10) будет
v (?) = Dvn (?) + ■ f F(t — t)[snshrnt — r„sins„/] dt; (31)
V М-п(^„ +Vn)6
здесь vn (I) — собственная функция задачи (8), (10), а постоянная D остается неопределенной.
3. Приведем некоторые результаты расчетов.
Корни fin — «безразмерные» частоты изгибно-крутильных колебаний— функции параметра I [см. (4) и (11)]:
7= — V— •
1 о V в '
I является их единственной характеристикой, которую можно также представить в виде
J__(икр)т |3Л
(“изг)л ат
где
(юкр)т = —J- "[/" —Г И (<оизг)л = —
соответственно частоты т-го тона «чисто» крутильных и n-го тона
«чисто» изгибных колебаний. Постоянные ат и даны в [5].
Переход от (хп к частоте собственных колебаний рп дается в формуле (5). Отсюда
p.=^ViT‘ <з2>
В отличие от «чистых» изгибных и крутильных колебаний, где константы ат и зависят только от номера тона, здесь при связанных
колебаниях jin=fn{l)- _
Первые пять значений Yрп для ряда / даны в табл. 1. Если (для определенности) считать, что I изменяется за счет величины а, то малым его значениям соответствуют большие значения погонного массового момента инерции (то2), большим же I — малые значения его. В первом случае доминанта — кручение, во втором — изгиб.
т V?7 Vv-i Унз Vv-i Vh
0,1 15,694 47,083 78,524 109,938 141,36
0,5 3,0716 9,2335 15,632 21.919 28,228
1,5 0,8772 2,755 5,0532 7,1712 9,3152
3,7 0,3158 1,1708 2,3510 3,4474 4,5459
5,0 0,1290 0,5830 1,2552 1,9309 2,6060
10,0 0,03437 0,1914 0,4649 0,7821 1,1181
20,0 8,7407-Ю-з 0,05298 0,1412 0,2596 0,3992
30,0 3,8986-Ш-з 0,02405 0,06579 0,1248 0,1984
Примем за исходное некоторое значение / = /исх (или, что то же, ^исх) и соответствующую ему величину Yv'n— (VV/Jhcx и построим по-данным табл. 1 графики
I { I I
Проведем далее кривые и (—*р-) через точку -у5- = 1. Первой
из них соответствует закон изменения частоты любого тона крутильных, второй — изгибных колебаний при изменении длины балки. Оказывается, что независимо от выбора 1асх вся совокупность кривых \п располагается в секторах, образованных указанными кривыми. Она и приведена на рис. 1. Здесь принято /исх—1- Цифрами 1—5 обозначены соответствующие значения \п-
т ки А, ^2> ^2 *3 > £.1 кі, к1 къ, къ
0.25 0,111 0,053 0,0321 0,023 0,0126
0,994 0,995 0,9987 0,999 0,9994
3,0 0,809 0,478 0,510 0,399 0,328
0,603 0,678 0,799 0,885 0.992
10,0 0,978 0,867 0,754 0,657 0,56
0,218 0,406 0,592 0,711 0,791
30.0 0.999 0,982 0,961 0,944 0,891
0,0744 0,153 0,251 0,341 0,421
Если рассматривать, например, кривую Т1=/(-^р")» т0 естественно, что при малых ^сх- она близка к кривой, дающей закон изменения частоты при крутильных колебаниях балки, а при /“сх- 1 близка
к кривой » дающей закон изменения частоты при чисто изгиб-
ных колебаниях. Примечательно другое: с ростом порядкового номера тона колебаний кривые уп располагаются все ближе к кривой, описывающей закон распределения частот при крутильных колебаниях.
Иными словами, как бы мал ни был массовый момент инерции балки, его влияние возрастает с ростом порядкового номера тона колебаний. При высших тонах колебаний его влияние становится определяющим.
Этот же факт следует и из рассмотрения табл. 2, в которой для нескольких значений I даны отношения &„ = у р„-о— и 6„ =
____ Р П
— 1 ) отношения частоты я-го тона связанных колебаний к час-
тоте того же тона изгибных (верхняя цифра таблицы) и крутильных колебаний (нижняя цифра). Любопытно, что в то время как при / =30 (т. е. при весьма малых значениях о) при я= 1 У Ні 0,999, то уже при п — 7 У и, /2 рт-1 0,81. В то же вре-
мя /ця / а"1 возрастает при п— 1 от —0,075 до 0,559 при п — 7.
Отсюда следует, что частоты высших тонов связанных колебаний будут близки к частотам чисто крутильных колебаний балки длиной I.
Действительно, можно показать, что имеет место асимптотическая формула
~ тс при п>п0. (33)
Формула (33) дает значения Эп с точностью до 1,5 -*-2%' уже при п0 = 4, а при /<0,5, начиная с мо=1, дает для Эп значения, отличающиеся от точных не более чем на 3%.
Можно указать еще приближенную формулу для определения первых, низших значений цп для больших значений /. Для /;»1 (т. е. при малых ц) можно принять г5 [см. (13)]. _
Пренебрегая в уравнении (14) членами, содержащими ц и Уц, получаем для определения 5 уравнение
1 + сЫ соэ = О,
совпадающее с уравнением для определения частоты изгибных колебаний консольной балки [5]. Уже при 1 = 5 первые 3—4 корня уравнения (32) отличаются от точных значений не более чем на 3%.
На рис. 2 приведены графики собственных функций и„(|). (Цифрами 1—5 на рис. 2 и других, приводимых ниже, обозначены порядковые номера собственных функций). Вид уп(|) существенно отличается от привычных.
Здесь могут встретиться случаи, когда несколько первых ип (|) не имеют узловых точек — при / = 0,1, и случаи (при / = 20), когда п-я собственная функция имеет п—1 узловую точку.
Между ними лежат промежуточные. При I—1,5 первая, вторая и четвертая собственные функции — безузловые, Уз(|) имеет две узло-
х = \/1
1=0,1 1=3
вые точки, а и5(1) — только одну. При / = 3,0 первая и четвертая (!) формы — безузловые, Уг(Е) и Уз(|) имеют соответственно один и два узла, но и5(1) имеет только один узел (см. рис. 2).
Такое поведение ип(|) можно объяснить тем, ЧТО (?) = ./п (£)-
При малых величинах /(Т< 1) (т. е. при больших значениях а) первые тоны изгибно-крутильных колебаний — доминантно крутильные. При />10 ситуация обратная: здесь доминируют изгибные колебания. Между этими значениями / — зона переходная со всеми отсюда вытекающими последствиями.
Можно было ожидать, что собственные функции ип (£) сопряженной задачи будут вести себя так же необычно. Оказалось же, что никаких «аномалий» в их поведении нет. (См. рис. 3, на котором приведены vn(l) для тех же значений /, что и на рис. 2).
4. Форма п-го тона изгибно-крутильных колебаний {/«(!), ф(Ш выражается через Vn(l) и представлена выражениями (17).
Первые пять форм собственных колебаний приведены на рис. 4 (для / = 0,1; 1,5) и на рис. 5 (для / = 3,0; 20). Всюду они нормированы так, что юп (/) = 1.
Обращает на себя внимание нарушение типичного для «чисто» из-гибных и «чисто» крутильных колебаний порядка чередования узлов колебаний (факт, отмеченный уже в [2]), а также своеобразный (в некоторых случаях) вид срп(|). Для ^ = 3, например, максимальное значение формы фг(|), которая безузловая, достигается не на свободном конце балки, а в средней ее части. При 7=20 формы фг(£), фЛЕ) и ф5(|) безузловые и «горбатые»: фг(Е) достигает своего максимального значения в средней части балки, а фЛЕ) и фб(|) имеют по два максимальных значения. При этом у формы ф4(1) — один, а у формы ф5(|) — два минимума. С этим обстоятельством надо считаться при решении
1=0,1
1=3
1=0,1 1-0,1
х = і./ї
x-tjt
вопроса о размещении противофлаттерных грузов на крыле. На рис. 6 приведены формы фг(|) для / = 3 и 5 и ф4 (£) для /=20, обладающие указанными «аномалиями». На рис. 6,6 для / = 3 и 5 даны эпюры второго тона связанных колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гроссман Е. П. Курс вибраций частей самолетов. — М.: Обо-ронгиз, 1938.
2. Пархомовский Я. М. Об изгибно-крутильных колебаниях крыла. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № 5.
3. Н а й м а р к М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.; ГИТТИ, 1954.
4. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —
М.: Изд. иностр. лит., 1953.
5. Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. —
И,—Л.: ГНТИ, 1932.
Рукопись поступила 23/УП 1985 г.
