CC BY
76
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том XII
19 8 1
№ з
УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.43:629.7.025,!
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРЫЛА, НЕСУЩЕГО СОСРЕДОТОЧЕННЫЙ ГРУЗ (АСИМПТОТИКА)
Я■ М. Пархомовский
Получены асимптотические формулы для частот и форм крутильных колебаний крыла, несущего сосредоточенный груз. С их помощью установлены некоторые существенные особенности высших тонов крутильных колебаний. В частности, для груза, упруго прикрепленного, это близость частот и форм я-го тона собственных колебаний крыла с грузом к л — 1-му тону колебаний крыла без груза, автомодельность по массе груза, увеличение частоты при увеличении .выноса“ груза и др.
Расчеты реальных крыльев показывают, что границы применимости полученных результатов достаточно широки.
При определении частот и форм собственных колебаний крыла большого строительного удлинения, несущего сосредоточенные грузы (например, двигатели), используется следующая модель. Крыло представляется балкой с распределенными характеристиками. Груз и его подвеска к крылу полагаются системой дискретной — с конечным числом степеней свободы, прикрепленной к крылу в одном сечении //*. Упругие элементы подвески считают невесомыми, а массы — сосредоточенными. Таким образом, рассматривается дискретно-распределенная механическая система.
Метод расчета малых колебаний консольного крыла, основанный на использовании описанной модели, был разработан М. В. Келдышем и автором [1]. Был использован наиболее простой ее вариант. Подвеска — невесомая линейная пружина жесткости ¡1, к ней подвешена точечная масса М — двигатель. Пружина позволяет массе М совершать упругие колебания в вертикальной плоскости. Система груз— подвеска присоединена к балке (крылу) при помощи абсолютно жесткого стержня длины В, где 8—„вынос“ — расстояние от точки подвески пружины к стержню до оси балки (оси жесткости крыла).
При указанных предположениях собственные характеристики крутильных колебаний определяются из решения следующей краевой задачи1:
1 Собственными характеристиками мы будем называть собственные частоту и форму колебаний или эквивалентные им собственные значения и функцию краевой задачи.
О)
Х--7^Г*<& <1а>
Краевые условия: на закрепленном конце (х = 0)
¥(0) = 0; (2а)
на свободном конце (х=1)
с/ф/й!х=0. (26)
В сечении х = Ь, где расположен груз,
ср (А — 0) = <р (А + 0); (За)
* ^ ~СЧТ _ =-С(л)?(Л-0), (36)
= х=1г — О
где
д(х)=' • (3в) “2 — л2 (/т)о
Здесь ось х направлена по оси жесткости крыла, 01— = (в1р)0с(х) — жесткость крыла на кручение, 1т = (1т)0г(х) — массовый момент инерции единицы длины крыла относительно его оси жесткости, р — собственная (круговая) частота крутильных колебаний крыла с грузом, (О/Д и (1т)0 — жесткость на кручение и погонный массовый момент инерции корневого сечения крыла соответственно, I — длина крыла.
Затем
о = — Л=— <В2 = — >2_ АЬп)о12.. п2 0)2 = ш2 С4)
I ’ I ’ 0 М' (О1р)0 Р ’ (Шр)о 0’ 1 ;
?(х)— амплитуда крутильных колебаний крыла, а ЛТ —амплитуда линейного перемещения груза, отнесенная к длине крыла. Для задачи (1) — (3) собственной функцией у* (х)
о(х)
Г: (х) =
X
является совокупность, состоящая нз функции а (х) и числа X. (В том случае, когда система груз — подвеска моделируется более подробно механической системой с 5 степенями свободы, краевая задача по существу не изменяется. В условии (36) выражение для
О (к) заменяется следующим:
а0 2 + а2 Х4-4 + ... + а ,
°^- г;-'--,, /~2 . (Зг)
Ь0 А5 -)- 62 Xі-2 + ... -I- Ь
где ак и Ьк выражаются через упругие и массовые характеристики системы груз — подвеска. Вместо одной алгебраической связи (1а) появляется ^ таких связей).
Краевая задача (1) — (3) отличается от „классической“ тем, что собственное значение \2 входит не только в уравнение, но и в краевое условие.
В настоящей заметке рассматривается асимптотика такого рода задачи. Это позволяет не только дать простые формулы для собственных характеристик высших тонов, но и в целом описать картину колебаний системы.
Задача о крутильных колебаниях консольного крыла с грузом представляет и сейчас самостоятельный интерес. Помимо этого»
•
• консольные балки — это те элементы,совокупность которых образует структурную модель самолета. Поэтому полученные результаты могут оказаться полезными и при анализе собственных характеристик целого самолета.
1> Асимптотика краевой задачи (1) —(3). Если ввести, как это обычно делают [2] (см. также [3]), новые функцию и незави-
симую переменную %(х), определяемые формулами
Ф:
У ГС
то уравнение (1) перейдет в
где
~+(А! + <Э( Е))® = 0,
а уравнение (1а) примет вид
Х--
о)2 —
■ Ф (A) v (А).
(5)
(6)
(7)
(8)
Всюду ниже мы считаем с(х) и г (х) гладкими, дифференцируемыми функциями, хотя это ограничение, конечно, можно значительно смягчить.
Обозначим
Здесь
<■<)
о о
В новых переменных краевые условия (2) и (3) будут:
®_(0) = 0, -^+Hv+{%)\ =0,
di
dv+
di
i=h+о
где D(l) дается (Зв), а И = с(х)Ф(х)
v_ (fi — 0)=!=vjr (h + 0), dV = — D(k) Ф2 (h) V- (h — 0),
Z=h-0
d<&
di
dx
x=l
(10)
(11)
(12a)
(126)
(13)
Ограничившись основными членами асимптотики, ищем решение краевой задачи (6), (11), (12) с точностью до членов о(4~
\ Л2
После проведения соответствующих выкладок получим:
v- (I) — А v+(k) = Al
эт
*(6)
соэ^
sin X? + — cos + Вх
(ККД
СОБ X?
]•
(14)
(15)
При заданной степени точности (т. е. в конечном счете при т<^^) условие (126) принимает вид
dv
d;
При ЭТОМ
; = Л+0
dv_
~~di
5=Л-0
К
МЬ2 0)2 I (Лга)о
ф2 (ft).
(16)
(17)
Получается, следовательно, что при больших значениях X упруго прикрепленный к крылу груз как бы эквивалентен упругому закреплению сечения \ = /г пружиной жесткости 1?.
Из (16) следует, что согласно теоремам Куранта [4] частоты высших тонов крутильных колебаний будут выше соответствующих частот крутильных колебаний крыла, свободного от груза.
Так как далее [см. (17)] при увеличении выноса 8 возрастает и „жесткость“ К, то увеличение выноса должно приводить к увеличению частоты X и наоборот.
[Заметим, что структура условия (16) сохранится и в том случае, если используется иная модель системы груз — подвеска и вместо условия (Зв) используется условие (Зг). Таким образом, все полученные результаты непосредственно переносятся и на этот, более общий случай].
Краевые условия (11), (12а) и (16) дают следующую систему однородных уравнений:
A¡ J cos XL + — sin - Bt
sin XL
sin Xh
A cos Х/г
¥(Л)
cos XA
sin Х/г +
H — У (L)
X
ЧГ (h)
cos XL
= 0,
X
cos Xh
■в,
cos Xh ■
'Г (h) .
—— smXft
X J
^^sinXA
0,
Xh -
«'(A)
sin Xh
4-
(18)
-A¡ l^cos)
4- Bl J^sin Xh + cosXftJ = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы (при этом, естественно предполагается, что /(<С^), получим уравнение для определения собственного значения:
cos XL + — [(Я — Ф (L)) sin XL + ATsin Xh cos X (L - h)\ = 0. (19)
X
Из (19) следует, что
2m — 1
X.
2 L 2 LK
7Г “j™
(2m — 1) тс
(H-W(L))
. о 2 m — 1 , ^
sin2---------------Tih, mn.
(2m — 1) тс 2 L
Теперь из уравнений (18) можно получить:
2 КЬ
(2 т- 1)1
эш-
(2т — 1) я/г
21
Л
1 -
КЬ
2/я —
■яА
(2/и - 1) - I
Наконец, подставляя в (14) выражения (20) и (21), учитывая (5) и (1а), находим основные члены асимптотики для формы колебаний:
9- (■*) “ А, Ф (я)
<?+ (х) = А1Ф(х) £
Стэт
2т — 1 г / \ I т1 / \ 2т — 1 > / >'
— *5 (■*) + Гш (*) СОЭ - я£ (Л)
0 -<х < А;
2т — 1 , ч . 1Г , . 2т — 1 „ . .
■ я£ (X) + 1/т (*) СОБ ——- яс (X)
21
2¿
А < X11 1,
г°Ш':
Здесь помимо принятых ранее (5), (10), (15), (17) обозначений введены следующие:
„ . КГ. 2т — 1 ,
Ст — 1------ --- 81П Г яА,
(22)
Ьпт
(2т-1)
Уя(х) = Тт&) —
(2т — 1) я
Я — ЧГ (¿)+;/Г81п* 21
Ь
2т-
21
яА
(ад+/?тад,
кь
Ч* №)) =
сФ
йФ
Ах
— сФ
(2т — 1) л
¿Ф
2т — 21
яА,
Ах
¿ф
\ ¿л:
йх
(23)
Постоянную Л2 можно выбрать из условия <р+(1)=1.
Формулы (20) и (22) дают решение поставленной задачи.
Мы будем далее считать, что собственная функция
*/ ч I ® ^
? (х)==1 X
имеет узловую точку, если в какой-нибудь точке х0(0<х0<1), <р(х0) = 0 либо если X и 3<р(А) — разных знаков.
Основываясь на этом определении, можно показать (используя, например, приведенный в [2] способ доказательства), что для рассматриваемой задачи остается справедливой осцилляционная теорема Штурма. Именно: с ростом порядкового номера п собственного значения увеличивается число узлов соответствующей ему собственной функции. При этом собственная функция, соответствующая п-му собственному значению, имеет 1 узловую точку.
Отсюда непосредственно следует, что для включения формул (20) и (22) в общую порядковую „очередь“ тонов колебаний их следует записать в виде:
» ( \- °<*<£
(Х)“ (*я(*))+, ¿<*<1, (24)
1 =г “Ь +1 > , (
причем входящие в (24) функции даются формулами (22) и (23), а Х*т — асимптотика m-го тона крутильных колебаний крыла, свободного от груза [3].
В самом деле, правая часть выражения (22) т— 1 раз^меняет знак в интервале (0<х<1), а по (1а) при о><Х, X и 8<р (Л) — разных знаков. Таким образом, форма <р^+1 (х) действительно имеет т узловых точек и ей согласно теореме Штурма соответствует собственное значение >4+1.
Перейдем теперь к рассмотрению формул (24).
Из формулы для Xm+i следует, что параметры, характеризующие систему груз —подвеска, входят в члены О (■^). „Вклад“
V т +1 /
груза в формирование собственного значения уменьшается при возрастании его порядкового номера. Чем больше номер m тона колебаний, тем ближе частота крутильных колебаний крыла с грузом Хот+1 к частоте т-го тона крыла без грузов >4 и при этом, как уже отмечалось, несколько превосходит ее1.
Величина этой добавки, т. е. ДХт+ь определяется произведением Ж82(ог. При этом:
— увеличение выноса 8 увеличивает частоту Xm+J (напомним: увеличение 8 уменьшает частоту первого тона колебаний);
— увеличение выноса 8 равносильно изменению частоты ю
груза на подвеске; •>..
— имеет место автомодельность по массе груза — изменение массы груза при сохранении жесткости R его подвески к крылу не изменяет собственных частот высших тонов колебаний. Это последнее вытекает из того, что входящая в добавку ДХт+1 величина Мш2 пропорциональна жесткости R пружин, моделирующей подвеску и, следовательно, в выражение добавки М не входит.
Из (24) следует также, что при изменении положения груза по длине крыла (при вариации h) частота Хт+[ не является монотонной функцией h. Зависимость Xm+1 = /(/z) имеет вид волнистой линии, число „волн“ которой на участке 0 hjL 1 растет с ростом порядкового номера тона колебаний, а высота волны убывает. Для каждого порядкового номера тона колебаний существует такое расположение груза по длине крыла, когда он не оказывает никакого влияния на величину Хт+1. Частота эта совпадает с частотой Хт колебаний балки, не несущей груза.
Рассматривая теперь выражение (24) для формы колебаний,, замечаем, что: а) груз можно считать неподвижным, его амплитуда X — величина порядка ~—; б) функция ут+х(х) близка ________ Хт+1
1 Из осцилляционной теоремы Штурма следует, что неравенство имеет место всегда.
к форме колебаний т-го тона крутильных колебаний балки без груза. Величина излома в сечении х = к — порядка -г-“—•
^/л+1
В [1] было отмечено, что собственные характеристики первого тона крутильных колебаний крыла, несущего значительный сосредоточенный груз, определяются параметрами системы груз — подвеска и крутильной жесткостью крыла — крыло является упругим безынертным основанием. Сейчас же мы показали, что собственные характеристики высших тонов колебаний определяются в основном только параметрами крыла. Имеет место, следовательно, своеобразное разделение функций: параметры груза определяют собственные характеристики низшего (низших в случае большего числа грузов на крыле или большого числа степеней свободы системы груз — подвеска) тона колебаний, параметры самого крыла — высшие. Между этими двумя группами могут располагаться один — два тона колебаний, собственные характеристики которых формируются всей системой крыло — упруго подвешенный груз.
Все сказанное остается справедливым и тогда, когда крыло несет не один, а несколько упруго прикрепленных к нему грузов. Справедливо оно и для крыла, рассматриваемого в системе самолета. Грузы „определяют“ только низшие тона крутильных колебаний крыла, высшие же тона для самолета, несущего грузы, будут весьма близки к соответствующим тонам крутильных колебаний крыла того же самолета, но грузы уже не несущего.
Можно, наконец, показать, что аналогичное явление (т. е. как бы „освобождение“ крыла от груза при высших тонах колебаний) будет иметь место и когда крыло с упруго прикрепленным к нему грузом совершает изгибные или изгибно-крутильные колебания. Так, к примеру, частота т-го тона изгибных (изгибно-крутильных) колебаний крыла с грузом будет близка и несколько выше частоты т — 1-го тона изгибных (изгибно-крутильных) колебаний крыла без груза. ,
2. Некоторые количественные результаты. Асимптотические формулы можно использовать и для расчета сравнительно невысоких тонов колебаний. Для крыла, не несущего грузов, например, уже частота X*, определенная по асимптотической формуле [она получается из (24) при /? = 0], отличается от точного ее значения всего на 5—7%.
Для того чтобы составить представление о границах применимости формул (24) о том, что следует понимать под словами „высшие тона“, для нескольких крыльев, несущих двигатели, было проведено сравнение результатов численного решения краевой задачи (1) — (3) с асимптотическими формулами1:
(С/Д= 11,6-10е, (/„)„ = 320, М = 436,4, / = 28,6, 8 = 0,175,
А = 0,4, Я = 2,107-105.
Ниже приведен пример для крыла, характеристики которого (в кГс, м, с) приведены в табл. 1.
Приведены результаты не только для этого крыла, которое считалось исходным, но и' при изменении его параметров Ж, 8,
1 Автор благодарит О. А. Кузнецова за помощь, оказанную при проведе-
нии работы, а также М. А. Стеба и Л. Г. Федосееву, выполнивших все расчеты
п. 2.
■ I ; ' .
75
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
С (X) 1 1 0,338 0,194 0,121 0,084 0,058 0,041 0,030 0,018 0,009
Г (X) 1 0,845 1,603 1,494 1,152 0,756 0,487 0,287 0,126 0,0447 0,0186
к. При вариации каждого из них все остальные полагались равными исходным. Вариация параметров охватывала диапазон гораздо более широкий, нежели встречающийся на практике. Исходный вариант соответствует крылу, несущему двигатель. Для него
I
шисх ~ 0,265X1, Мо2 3 | Гт йх. (25)
о
В табл. 2 и 3 дано сопоставление значений кк, вычисленных с четырьмя значащими цифрами, как методом последовательных приближений (верхние цифры графы), так и по асимптотике (нижние цифры). Одна цифра в графе — численный расчет. Вариант М1М^ = 1 - сквозной. Он^является исходным и при вариации 3, К, к. Случай ./И = 0(3 = 0, /г = 0) относится к крылу, не несущему грузов, и дает, следовательно, значения X*. Их следует сравнивать (см. конец п. 1) с Хй+1.
Из этих таблиц следует, что полученные из рассмотрения асимптотических формул качественные зависимости оказываются справедливыми почти сразу — уже для к >-2. В самом деле, рассматривая результаты численных расчетов, замечаем, что:
— автомодельность по массе имеет место уже для Х2. Это кажется тем более необычным, что при изменении М/Мя№ от 0,5 до 3 величина Хг уменьшается примерно в 2,5 раза. Заметим, что Х2 только на ~5% превосходит частоту X! крыла без груза;
Таблица 2
\Параметры № тона \ч М/АГИСх З/Висх /?/Яисх
0 1/2 1 2 3 1/2 1 2 3 1 4 9
1 1,226 0,4299 0,305 0,2160 0,1765 0,3232 0,305 0,255 0,2086 0,305 0,5003 0,595
2 2,474 2,6336 1,296 1,292 1,290 1,289 1,248 1,292 1,414 1,521 1,292 1,437 Г, 58
3 3,856 3,8327 2,544 2,701 2,543 2,701 2,542 2,701 2,542 2,701 2,507 2,691 2,543 2,701 2,6795 2,842 2,876 3,071 2,543 2,701 2,688 2,842 2,911 3,071
4 5,370 3,906 3,837 3,906 3,837 3,906 3,837 3,906 3,837 3,906 3,834 3,906 3,837 3,906 3,850 3,906 3,871 3,906 3,837 3,906 3,850 3,906 3,871
N. к №: тона 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
1 1,226 0,3237 0,3162 0,3049 0,2898 0,2718 0,2505
2 2,474 1,236 1,252 1,292 1,358 1,435 1,439
3 3,856 2,505 2,529 2,543 2,701 2,509 2,506 2,671 2,633 2,708
4 5,370 3,919 3,927 3,906 3,837 3,951 3,959 3,921 3,908 3,869
* Сравнение с асимптотикой — выборочное.
— при изменении 8/8исх от 0,5 до 3 уже частота Х2 возрастает (между тем как убывает);
— уже для Х2 имеет место эквивалецтность „действия“ 8 и /? (увеличение 8 в п раз равносильно увеличению /? в^/г2 раз);
— зависимость ХА (А)—немонотонна. Кривая ХА (А) — волнистая линия [между тем (Х1 (А) — монотонно убывающая функция А];
— уже частота Х4 практически не зависит от параметров груза и подвески.
Таким образом, влияние параметров подвески и груза на частоты высших тонов колебаний существенно отличается от того, которое имеет место при основном тоне колебаний.
Сопоставляя теперь значения X, полученные по асимптотике с численными, видим, что они близки друг к другу уже для А=3. Во всех рассмотренных нами случаях для реальных соотношений параметров крыла, груза и подвески—„высшие тона“ —это точка с порядковыми номерами А>3. Тогда крыло можно считать „освободившимся“ от груза. [Любопытно, что вытекающие из формулы (24) качественные зависимости справедливы раньше — уже при А = 2. Можно еще заметить, что основную погрешность в асимптотике дает крыло без грузов. Оно и определяет границы применимости асимптотики].
На рис. 1—3 даны формы первых тонов колебаний при вариации М, И и А. На соответствующих графиках пунктиром нанесена асимптотика формы, штрих-пунктиром — формы, полученные для крыла без грузов. Видно, что уже при А=3 формы колебаний нечувствительны к вариации параметров и мало отличаются от форм крыла без грузов. Расчеты показывают, что для форм колебаний асимптотика дает удовлетворительные результаты при ¿>4.
Отметим, что есть все основания считать приведенные результаты типичными для реальных соотношений параметров крыла, двигателя, подвески, когда ш -С ^1 • С очевидными изменениями они переносятся и на случай более сложной модели системы груз —подвеска, если высшая парциальная ее частота меньше X,.
Рис. 1
7-u. WOH
+ ?.pp HCL 0, h
' - vj
■. i
, '
I#
Sïl!
•-'■-■à
m
ï
■
Чтобы показать, что выводы остаются справедливыми и при наличии на крыле большего числа грузов, ниже приводятся результаты расчета того же крыла, но уже с двумя грузами. Масса каждого из грузов и жесткость подвески принимались одинаковыми и такими же, как в табл. 1. Внутренний груз был расположен в сечении /г1 = 0,4, внешний — в сечении й2 = 0,7.
В табл. 4 дано сопоставление величин X. для этого случая с другими — когда либо грузов нет (Л1=/г2 = 0), либо имеется груз только внешний (И = 0,7) или внутренний (к = 0,4).
Таблица 4
№ тона Расположение^''^. груза 1 2 3 4 5
Л, = 0,4; Л, = 0,7 0,2473 0,3115 1,538 2,668 3,908
Л = 0,7 0,2505 1,474 2,633 3,908
й = 0,4 0,3049 1.292 2,543 3,906
ЛІ = 0; Л2 = 0 1,226 2,474 3,856
Из таблицы легко усмотреть, что наличие двух грузов влечет за собой появление в спектре частот одного дополнительного низшего тона (в нашем случае — второго). Соотношение между частотами X*. крыла, несущего два груза, и частотами Хй того же крыла без одного из грузов, такое же, как и между частотами Хй крыла, несущего один груз, и крыла без грузов \к. Именно: Х6 соответствуют /.*_! и 1к соответствуют Х^_2. Из таблицы видно, что частота Х3 уже мало отличается от Х2, когда на крыле имеется один внешний груз, а Х4 уже почти не зависит от того, есть ли на крыле грузы.
На рис. 4 дано сравнение соответствующих форм колебаний. На графиках, дающих формы 3—5-го тонов колебаний, нанесены формы колебаний крыла, несущего один груз.
В данном случае уже два низших тона колебаний определяются в основном параметрами системы грузы — подвеска. Для этих тонов крыло—упругое основание. Третий тон — переходный. Начиная же с четвертого тона, собственные характеристики определяются в основном только параметрами крыла.
3. Груз, жестко прикрепленный к крылу. Ниже вкратце рассматривается случай жесткого закрепления груза на крыле ((В = оо).
Краевая задача, из которой определяются собственные характеристики, состоит из уравнения (6), краевых условий (11) и (12а). Условие (126) при (о —> со перейдет в
—$ =-^1^—0, (26) СІІ 1е=/Н-0 Л £=/г-0
где
Мг 5? I
I= ------- ^ ,
{Iт)о ]/с (Л) г (К)
Мх — масса жестко прикрепленного груза и 81 — его вынос, отнесенный к длине крыла. Остальные обозначения те же, что ив п. 1.
Мы ограничимся асимптотикой собственных значений. Проводя
/ ] \
с точностью СИ—— | вычисления, аналогичные выполненным
\ )
в п. 1, получим уравнение для определения собственных значений (частот):
sin л/z cos \(L — h)-------------------—
cos АЛ
-----(//— Ф (£)) sin ~kh sin k(L — h) —
= 0. (27)
-W(h)cosX(L — 2h)
Основной же член (27) дает следующее уравнение для определения частот:
sin ХЛ cos X {L — h) = 0. (28)
Следовательно, начиная с некоторого порядкового номера
тона колебаний, груз, жестко укрепленный в сечении x=-h(l — h), как бы разбивает балку на две независимых. Одна из них — балка, защемленная по сечениям 1 = 0 и £ = h. Другая — консольная
балка длиной L — h. Такое защемление начинается тем раньше, чем больше /.
6 — „Ученые записки ЦАГИ“ № 3 81
Далее, нули уравнения (28) образуют две независимые друг
2k — 1 т
от друга последовательности чисел ——— тс и —и, которые
следует упорядочить в единую. Тогда окажется (и это — вторая особенность данного случая), что для каждого значения h найдутся числа этой последовательности, близкие между собой. Найдутся два близких друг к другу по частоте тона колебаний. Такое положение не имеет места для крыла, не несущего жестко закрепленных грузов.
Так, если в исходном варианте крыла (табл. 1) положить ш = == ост, то частоты первых пяти тонов колебаний будут следующими: = 0,3053; 1,852; 3,899; 4,087; 6,234. Частоты третьего и чет-
вертого тонов близки между собой.
Заметим, что случай ш = оо может в полной мере реализоваться лишь тогда, когда груз является неотъемлемой частью конструкции крыла. Во всех остальных случаях со — величина конечная, и имеет место ситуация, рассмотренная в п. 1.
Однако, если частота груза на подвеске достаточно велика, причем 1, то собственные характеристики первых, низших, тонов колебаний близки к характеристикам крыла с жестко защемленным грузом и для них в основном справедливы отмеченные только что закономерности. „Защемление“ крыла в сечении, где расположен груз, наступает достаточно быстро. Затем имеются переходные тона колебаний, собственные характеристики которых определяются параметрами всей системы крыло—подвеска—груз. После наступает „освобождение“ крыла от груза. Оно наступает тем позже, чем больше <о,
На рис. 5 для крыла, данные которого приведены в табл. 1, нанесены иллюстрирующие сказанное графики форм 2-го — 50-го тонов колебаний при разных значениях да. Кривые 2 на графиках даны для (Oj == 6о)исх, когда xt <С “i < ^2; для кривых 3— шг = 10шисх или X2<<CO2<<X3. На графиках кривым 1,4 и б .соответствуют а> = ■
' = шисх> <о = 0 со = оо.
В заключение остановимся на соотношениях, связывающих значения 1*к, ХА и Хй для одного и того же крыла.
Из теорем Куранта [4] следует, что (при со ф 0, 00) a) Xft<^ кк, б) ХЙ<Х*, т. е. имеют место неравенства <СХЛ Xfe, к—\, 2 . . . .
С другой стороны, из теоремы Штурма (см. п. 1) следует, что Х*<ХА+1 и, следовательно,, используя а):
<Cta+i-
Таким образом, имеет место следующая выполняющаяся при любых конечных значениях <о цепочка неравенств:
Xi < Xj < X] < Х2 < Х2 < Х2 < Х3...
ЛИТЕРАТУРА
1. Келдыш М. В., Пархомовский Я. М. Колебания крыла с упруго прикрепленным мотором. Труды ЦАГИ, вып. 535,
1941.
2. Л е в и т а н Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М., Гостехиздат, 1950.
3. Пархомовский Я. М. О приближенном решении некоторых краевых задач прочности самолета. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VIII, № 6, 1977.
4. Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1. М., ГТТИ 1933.
Рукопись поступила 17/ VI 1980 г.
