CC BY
23
УДК 539.3
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЯ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ
© 2006 г. А.Г. Юрьев, С.В. Клюев
Полный функционал прямой задачи имеет в качестве уравнений Эйлера - Лагранжа и естественных граничных условий уравнения и граничные условия теории деформирования. Функционал проектной задачи связан с дополнительными уравнениями, свидетельствующими о зависимости изменения энергии системы от изменения конфигурации, модулей упругости материала тела и расположения нагрузки.
Частный функционал проектной задачи можно получить из общего, рассматривая некоторые уравнения Эйлера - Лагранжа и естественные граничные условия полного функционала как дополнительные условия, если это не противоречит постановке задачи. В большинстве случаев остается неизвестным напряженно-деформированное состояние. Поэтому постановки задач структурного синтеза следует связывать с обобщением известных вариационных принципов теории упругости.
В проектных задачах стационарность функционала по варьируемым параметрам рассматривается при дополнительных условиях (в форме уравнений связи), накладываемых на искомые функции у, в числе которых - функции напряженно-деформированного состояния, конфигурации (у с), модулей упругости
материала (у m), нагрузки (у 1):
ф (у ) = 0, J ф (у )ш = с,
ш
где ш - допустимая область интегрирования, с -заданная постоянная.
Эти условия отражают геометрические и конструктивные ограничения, а также ограничения на нагрузку и поведение конструкции. Они имеют вид алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений. Вариационная задача с дополнительными условиями приводится к свободной задаче с помощью метода множителей Лагранжа X . Если за основу взять функционал принципа возможных перемещений, то вспомогательный функционал примет вид
I = J {и Ге (q), у 1- q p}dV - J qT p sdS + J X T фdV,
V ^ Г j ' S J V
где и - удельная потенциальная энергия деформации; q - вектор перемещений; е - вектор деформаций; р -вектор объемных сил; p s - вектор сил по части поверхности S1 ; V - объем тела.
Возможными вариациями функций конфигурации и модулей упругости материала будут бесконечно малые изменения функций, удовлетворяющие директивным требованиям к конструкции и материалу; они непрерывны и удовлетворяют требованиям диффе-ренцируемости. Вследствие малости вариаций функций, определяющих конфигурацию, пренебрегаем изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела.
Следствием стационарности функционала I являются: а) уравнения равновесия в объеме тела V и на части поверхности £ 1; б) уравнения связи; в) уравнения структурного синтеза, обусловливающие критерий рациональности конструкции.
Потенциальная энергия системы в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по перемещениям в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала. Это происходит в случае приобретения несущей конструкцией максимальных жесткостных показателей, так что в точке стационарности функционал имеет минимакс -минимум по функциям перемещений максимумов по функциям конфигурации и (или) модулей упругости материала.
Энергетический критерий рациональности конструкции использовал В. Горак при решении изо периметрических задач по определению конфигурации [1].
Первичным этапом научного поиска в области проектирования рациональных несущих конструкций явилось так называемое «оптимальное проектирование». Присущая ему постановка проектной задачи с сугубо экономическим критерием (минимум объема, массы, стоимости и т. п.) при определенном выхолащивании физического содержания выходит за рамки механики деформируемого твердого тела. Как следствие, не обеспечивается гарантия достижения глобального экстремума функционала цели ввиду возможного отсутствия у него свойства выпуклости.
Достаточное условие для его достижения может дать лишь введение энергетического начала в процедуру оптимального проектирования, что следует из двойственности постановки задач на условный экстремум с интегральными связями. Так, целью изопе-риметрической задачи формообразования является расположение материала заданного объема V0 таким образом, чтобы доставить абсолютный (глобальный) минимум функционалу потенциальной энергии системы, зависящей от векторов функций перемещений q
и конфигурации у c. При этом функционал свободной вариационной задачи имеет вид
I = I (q, у c )+ X 1 [v (У c )-V0 ],
где I - функционал прямой задачи; X1 - множитель Лагранжа (= const).
В то же время можно задать величину потенциальной энергии системы 10 и определять конфигурацию из условия, чтобы функционал объема V (у c)
достиг стационарного значения. В этом случае функционал получает вид
I? = V(уc) + X2 [I(q,У c)-10].
В силу двойственности постановки задачи имеем соотношение X 2 = 1/ X1 . Следовательно,
I? = X2 [I(q,Уc )-10 + XiV(Уc )],
и мы по существу приходим к предыдущей задаче о глобальном минимуме. Исключение составляют случаи X1 = 0 и X2 = 0, имеющие характер вырождения решения. Решения рассмотренных задач совпадают до постоянного множителя Лагранжа. Таким образом, постановка задачи минимизации объема строго согласуется с общефизическим принципом стационарного действия лишь в отдельных случаях, подобных рассмотренному выше.
В частном случае конструкция может быть равно-напряженной по всему объему, и тогда, по теореме Васютинского для линейно-упругого тела, ей соответствует минимум потенциальной энергии деформации.
Так как последняя пропорциональна объему тела, то в качестве критерия рациональности здесь может выступать минимум объема.
Что касается используемой в качестве проектного критерия равнонапряженности, то в строгом смысле она не всегда достижима. Равнонапряженность не предполагает существования какого-либо функционала, и в этом случае проектным задачам не свойственна двойственность постановки. Согласование с энергетическим критерием возможно лишь в частных случаях постоянства удельной потенциальной энергии деформации в пределах поверхности тела или его объема. В последнем случае оба критерия вместе с критерием минимума объема приводят к одинаковым результатам.
Проектный расчет можно построить в форме итерационного процесса, в основу которого положен аналитический расчет и корректировка параметров. Может случиться, что сходимость данного процесса потребует большого числа циклов. Предпринимаемый для выхода из этого положения анализ чувствительности для инженеров-проектировщиков имеет сложную форму. Поэтому в настоящее время предлагаются новые подходы к оптимизации конструкций, основанные на аналогиях с эволюцией природных систем и организмов.
Литература
1. Horak V. Inverse variational principle of continuum mechanics. Praha, 1969.
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова 26 декабря 2005г.
