CC BY
19
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2016, Том. 2, №4
УДК 624.153.63
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ОПТИМАЛЬНОМ ТОЛЩИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
А.Г. Юрьев, О. А. Яковлев
CYLINDRICAL COVER OF OPTIMUM THICKNESS ON THE ELASTIC BASIS
A.G. Yuriev, O.A. Jakovlev
Аннотация. Кратко рассмотрена история становления расчета цилиндрических оболочек на упругом основании. Становлению теории синтеза такого рода конструкций тормозила постановка во главу угла экономической стороны проектной задачи. Ее строгое решение базируется на принципе стационарного действия, в частности, принципа возможной работы. Критерий оптимальности оболочки приобретает энергетическое содержание. Минимум расхода материала вытекает как сопутствующий результат. В качестве примера рассмотрена вариация толщины достаточно длинной железобетонной оболочки, несущей равномерную вертикальную нагрузку вдоль ребер и расположенной на винклеровском основании. Выявлена достаточно хорошая сходимость итерационного расчета.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка на упругом основании; критерий оптимальности; вариация толщины оболочки.
Abstract. The history of formation of calculation of cylindrical covers on the elastic foundation is briefly considered. To formation of the theory of synthesis of such designs statement at the center of the economic party of a design task braked. Her strict decision is based on the principle of stationary action, in particular, of the principle of possible work. The criterion of an optimality of a cover acquires the power contents. The minimum of a consumption of material follows as the accompanying result. As an example the variation of thickness of rather long reinforced concrete cover bearing uniform vertical loading along edges and located on the Winkler foundation is considered. Rather good convergence of iterative calculation is revealed.
Key words: cylindrical cover on the elastic foundation; criterion of an optimality; a cover thickness variation.
Цилиндрические оболочки на упругом основании рассматриваются как физические модели фундаментов под промышленные и гражданские здания и сооружения [1, 2]. Значительное упрощение их расчета достигается при винклеровской модели упругого основания и достаточно большой длине оболочки [3, 4]. Расширение диапазона исследований рассматриваемого типа конструкций можно видеть в работах [5, 6]. В работе [7] рассмотрен симметричный изгиб длинной пологой цилиндрической оболочки переменной вдоль направляющей толщины, которая выпуклой стороной лежит на неоднородном упругом основании. Получены формулы для жесткого и шарнирного закреплений при решении задачи в отношении прогибов и изгибающих моментов.
Представленный краткий обзор работ свидетельствует о существовании практически приемлемых методов анализа напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на упругом основании.
Переход от поверочных расчетов к проектным задачам связан с принятием критерия оптимальности конструкции. Постановка во главу угла экономической стороны проектной задачи часто ведет к выхолащиванию ее физического содержания и, как следствие, к
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2016, Том. 2, №4
неверным результатам. Не случайно многочисленные решения задач минимизации объема, массы, веса конструкции не привели к созданию стройной теории оптимизации.
Фундаментальный подход к решению таких задач стал возможен при становлении теории синтеза несущих конструкций на вариационной основе и присущем ей универсальном критерии оптимальности [8]: потенциальная энергия системы в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по перемещениям в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала.
Значит, переменная толщина оболочки может быть не следствием интуиции расчетчика, как было ранее, а результатом решения оптимизационной вариационной задачи.
Используем конечно-элементную модель и рассмотрим изопериметрическую проектную задачу при заданном объеме. Полагаем, что конфигурация тела определяется п параметрами. Это могут быть координаты узлов или размеры тела. Предполагая оболочку находящейся в условиях плоской деформации, в качестве таковых принимаем толщины ке конечных элементов е по направляющей. Обобщенный функционал Лагранжа для полосы оболочки на винклеровском основании [9] принимает вид
1 _
(¡ТР + — №1К2и? -Ь ц
(1)
где V- объем конечного элемента; Р - вектор узловых сил; д и й? - векторы узловых перемещений оболочки и основания соответственно; и К2 - матрицы жесткости оболочки и основания соответственно.
Считая варьируемыми величинами параметры кд1, перемещения узлов и множитель Лагранжа ц, записываем первую вариацию функционала для единичной полосы и приравниваем ее нулю:
— -Ь -+-
+
1=1
1 „ 2 <7 -Я + И
дке1
= 0 , Е ке .
(2)
Следствием стационарности функционала являются 2т уравнений равновесия, соответствующих т узлам
К-
1 уЧ. 1
+ КгЪ = Р,
(3)
уравнение, выражающее условие постоянства объема
) = = сот&,
и п уравнений структурообразования
http://vestnik-nauki.ru/
Вестник науки и образования Северо-Запада России
2016, Том. 2, №4
1 '
2* "fflf+
dhei
= О,
(5)
В итоге получаем нелинейную систему уравнений, в которых неизвестными являются параметры he, перемещения узлов и множитель Лагранжа. Решение этой системы, найденное с учетом граничных условий, налагаемых на перемещения, описывает искомую конфигурацию и поле перемещений.
Рассмотрим другой подход к решению задачи, позволяющий использовать МКЭ в традиционной форме, присущей анализу напряженно-деформированного состояния конструкций. Вводя обозначение
дК q
и и . = — а
пт 2
О
dhei
(i = 1,2,...,и),
перепишем уравнение (5) в виде + И = 0 ■
(7)
Если считать, что величина hei есть параметр изменения конфигурации в точке поверхности тела в направлении нормали к ней, то величина присуща
изоэнергетической конфигурации, так как |i = const. Ее можно задать величиной й0 вместо объема Vq .
Критерием сходимости итерационного процесса служит условие
\uHlli-u0\/ii0 ^ Ч> (8)
где £q - некоторое малое положительное число.
Основываясь на вышеизложенном подходе, принимаем следующий порядок расчета: 1) задаем произвольную начальную конфигурацию; 2) делим оболочку на элементы; 3) устанавливаем параметры hg изменения конфигурации оболочки; 4) составляем матрицу
. —i ч
жесткости К^ J для оболочки и К2 для упругого основания; 5) из уравнения равновесия определяем перемещения q; 6) при этих перемещениях определяем величины соответствующие всем параметрам hei, 7) делаем вывод о сходимости (при ее наличии расчет заканчиваем, а при отсутствии сходимости производим корректировку конфигурации и возвращаемся к третьему этапу расчета.
Для корректировки толщин элементов можно использовать формулу
-1 (9)
I ■'
, 0-1) .(V) /14
где п^ и й, г - значения толщин на (V - 1)-м и у-м шаге итерации соответственно.
В качестве примера рассмотрим достаточно длинную железобетонную оболочку, несущую равномерную вертикальную нагрузку вдоль ребер (рис.), т.е. находящуюся в условиях плоской деформации. Начальные значения модуля деформации и коэффициента
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
2016, Том. 2, №4
Пуассона железобетона принимаем соответственно 2,4-104 МПа и 0,2; коэффициент постели - 3-104кН/м3.
Первоначально принимаем толщины всех элементов одинаковыми и равными 0,2 м. Этому значению соответствует упругая стадия деформирования материала оболочки. Используем приведенный выше алгоритм решения задачи, производя корректировку толщин элементов по формуле (9) и назначив £0= 0,0025.
Рисунок - Цилиндрическая оболочка на упругом основании
Величина левой части формулы (8) в 1-м приближении составляет 0,0879; во 2-м -0,0586; в 3-м - 0,0145; в 4-м - 0,0022. Это свидетельствует о хорошей сходимости результатов решения задачи. В 4-м приближении получаем следующие результаты: Н1= 0,208 м; ¿2= =0,204 м; Н3= 0,198 м; ¿4= 0,192 м; ¿5= 0,2 м; ¿6= 0,202 м.
Представленную методику расчета можно использовать при проектировании фундаментов из нескольких сопряженных цилиндрических оболочек. Порядок сопряжения определяет расчетную схему конструкции [10], которая может явиться объектом оптимизации с позиций топологии и геометрии.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Тетиор А.Н. Железобетонные оболочки в качестве фундаментов промышленных и гражданских зданий и сооружений // Известия вузов. Строительство и архитектура, 1966. № 2. С. 13-17.
2. Фарид А., Дейвуд Р. Цилиндрические оболочки на упругом основании // Международная конференция по облегченным пространственным конструкциям покрытий для строительства в обычных и сейсмических районах (г. Алма-Ата, 1977 г.). М.: Стройиздат, 1977. С. 202-203.
3. Макеев Е.М. К расчету цилиндрической оболочки, лежащей на упругом основании // Прочность и надежность конструкций. Киев, 1978. С. 87-93.
4. Тананайко О.Д., Богородецкий А.А. Некоторые особенности статической работы длинных цилиндрических и призматических оболочек на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений, 1978. № 2. С. 20-24.
5. Кращук А.А., Чаплинский И.А. Расчет пологой цилиндрической оболочки, лежащей на упругом основании // Известия вузов. Строительство и архитектура, 1971. № 8. С. 41-45.
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
2016, Том. 2, №4
6. Кращук А.А., Чаплинский И.А. Экспериментальное исследование пологих цилиндрических оболочек на упругом основании // Известия вузов. Строительство и архитектура, 1973. № 2. С. 24-31.
7. Кращук А.А. Расчет пологой цилиндрической оболочки переменной толщины, лежащей на неоднородном упругом основании // Известия вузов. Строительство и архитектура, 1975. № 12. С. 54-61.
8. Юрьев А.Г. Строительная механика. Синтез конструкций. М.: Изд-во МИСИ, 1982.
100 с.
9. Метод конечных элементов: учебное пособие для вузов / П.М. Варвак, И.М. Бузун, А.С. Городецкий и др. Киев: Выща школа, 1981. 176 с.
10. Меркулов С.И., Татаренков А.И., Дворников В.М. Усиление железобетонных конструкций изменением статической схемы // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова, 2013. № 5. С. 49-53.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Юрьев Александр Гаврилович ФГБОУ ВО «Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова», г. Белгород, Россия, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, E-mail: yuriev_ag@mail.ru
Yuriev Alexander Gavrilovich FSEI HE «Belgorod State Technological University Named after V.G. Shukhov», Belgorod, Russia, Doctor of Engineering, Professor, Professor of Chair of Theoretical Mechanics and Resistance of Materials,
E-mail: yuriev_ag@mail.ru
Яковлев Олег Александрович ФГБОУ ВО «Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова», г. Белгород, Россия, доцент кафедры теоретической механики и сопротивления материалов,
E-mail: yak-oleg@yandex.ru
Jakovlev Oleg Aleksandrovich FSEI HE «Belgorod State Technological University Named after V.G. Shukhov», Belgorod, Russia, Associate Professor of Chair of Theoretical Mechanics and Resistance of Materials, E-mail: yak-oleg@yandex.ru
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46, БГТУ им. В. Г. Шухова, ГУК, каб. 503.
Яковлев О. А. 8(4722)30-99-01 доб. 17-61 Тел. 8-9888988398
