CC BY
33
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Т. 1, №4
УДК 624.073
ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ОПТИМИЗАЦИОННОМ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ПЛОСКИХ ФЕРМ
В.А. Зинькова, А.Г. Юрьев, А.А. Толбатов
VARIATIONAL FORMULATION OF OPTIMIZATION PROBLEM FOR FLAT TRUSSES
V.A. Zinkova, AG. Yuriev, A.A. Tolbatov
Аннотация. Оптимизация конфигурации плоской фермы при заданной нагрузке и, прежде всего, ее топологии является актуальной задачей. Ее вариационная постановка является фундаментальными подходом к реализации замысла. Из вариационных принципов структурного синтеза вытекает универсальный критерий оптимальности: потенциальная энергия системы в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по перемещениям в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала. При однородном линейно-упругом материале оптимальную ферму можно представить как равнопрочную виртуальную систему с внутренними силами N/ф/, где фг- - коэффициент уменьшения расчетного сопротивления материала. В качестве численного эксперимента и последующей вариационной постановки задачи рассмотрено определение оптимальной топологии шестипанельной металлической фермы с горизонтальным нижним поясом. Преимущество в экономии материала имеют фермы с преобладанием растянутых стержней, которых не касается проблема устойчивости равновесия.
Ключевые слова: вариационная постановка; топология конструкции; однопролетная шарнирная ферма; критерий оптимальности.
Abstract. Optimization of flat truss configuration at a predetermined load and, above all, its topology is an important task. Its variational formulation is a fundamental approach to the implementation of the plan. From the variational principles of structural synthesis implies universal optimality criterion: the potential energy of the system in the stable equilibrium position reaches an absolute minimum for displacements in a function space, expanded at the expense of function fields configuration and (or) modules of elasticity of the material. In homogeneous linear-elastic material, the optimal truss can be represented as equal-strength virtual system with internal forces Ni/ф^ where 9i is the reduction ratio of the calculated resistance of the material. As a numerical experiment and subsequent variational formulation of the problem considers determination of the optimal topology six-panel steel trusses with a horizontal bottom chord. Advantage in economy of material have a truss with a predominance of tie bars, which does not concern the problem of equilibrium stability.
Key words: variational formulation; construction topology,; single-span hinge truss; optimality criterion.
Совершенствование конструкций ферм шло по мере их практического использования. В книге В.Г. Шухова «Стропила» практически впервые поставлены и решены задачи оптимизации конструкции посредством совершенствования расположения ее частей. По существу, автор рассмотрел вопрос об оптимальной топологии, если под ней понимать расположение узлов и способ их соединения между собой для образования геометрически неизменяемой конструкции. Путем варьирования количества узлов и стержней, а также их расположения находят оптимальную топологию.
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т 1, №4
Обстоятельные теоретические исследования фактора топологии стержневых конструкций начались со второй половины XX века. В книге К.Мажида [1] приведены формулировки и доказательства трех теорем о структурных изменениях, показано применение этих теорем к оптимизации топологии шарнирных конструкций. Изложено исследование топологических изменений в конструкциях, с тем чтобы выяснить главные факторы, влияющие на их функционирование.
Важным фактором в решении проблемы оптимизации топологии конструкций явилось установление универсального критерия оптимальности [2], позволившего отойти от установившейся весовой оптимизации. По этому критерию, минимуму потенциальной энергии системы, допускающей варьирование ее конфигурации, соответствует минимум расхода материала. При весовой оптимизации этот показатель достигается лишь в исключительных случаях. Новая постановка задачи оптимизации топологии на основе универсального критерия осуществлена, в частности, для однопролетных одноэтажных рам
Научная отрасль оптимизации топологии континуальных несущих конструкций получила развитие в последние три десятилетия, когда были изобретены соответствующие проблеме высокопроизводительные вычислительные машины [4].
Работа [5] явилась в некотором роде основополагающей в данной отрасли знаний. Заданная проектная область разбивается на конечные элементы, после чего вводится функция плотности материала, характеризующая его распределение по проектной области. Оптимальное распределение плотности по элементам производится при ограничениях на главные напряжения.
Этот так называемый метод гомогенизации получил развитие в статье [6] и завершенное оформление в монографии [7]. И все же основным его недостатком является чередование областей с высокой и низкой плотностью материала. Это вызывает трудности при практическом воплощении теоретических результатов.
Последующим шагом в решении проблемы явились так называемые 8ГМР-методы оптимизации топологии [8-11]. Рассматриваемая область разбивается на конечные элементы с переменной плотностью материала для каждого элемента. При этом модуль упругости материала локально связан степенным законом с плотностью материала элемента. В качестве оптимизируемой функции рассматривается потенциальная энергия системы или перемещение узлов, а ограничение накладывается на объем используемого материала. Эта установка соответствует вариационному принципу синтеза несущих конструкций, предложенному в работе [2, 12, 13].
Приближенные численные решения задач оптимизации топологии, формулируемые в стандартном виде минимизации целевой функции с учетом ограничений на напряжения, рассмотрены в работах [1-3].
С практической точки зрения представляет интерес работа [5]. В ней представлена методология контроля сложности конструкций, проектируемых с оптимальной топологией. Этот контроль оправдан экономией средств при изготовлении конструкции путем уменьшения ее сложности. Предложена методика градиентного контроля (фильтра), который можно использовать при произвольной сетке.
Особое место занимает работа [6]. При оптимизации топологии решетчатых рам используются стержневые и континуальные элементы. При синтезе рамы, являющейся составной частью высотного здания, использованы четырехузловые четырехугольные и двухузловые балочные конечные элементы. Однако полученные решения носят пока декларативный характер и далеки от практического воплощения.
При рассмотрении работ по оптимизации топологии континуальных систем преследовалась цель их использования в дальнейшем при формировании новых типов узла в составе трубчатой фермы.
[3].
Вариационная постановка оптимизационной задачи может быть представлена в форме интегральных тождеств или приводится к требованию стационарности соответствующего функционала [14].
При проектировании дискретных систем из линейно-упругого материала (модуль Е), используем функционал Лагранжа. В этом случае при решении изопериметрической задачи для фермы имеем:
- = У" + ! 44, (1)
=12ЕФг2 4 =1 г
где и - число стержней длиной ¿¡, имеющих площадь поперечного сечения А. и продольные усилия N фг- - коэффициент уменьшения расчетного сопротивления Я, X - множитель Лагранжа.
С другой стороны, при однородном линейно-упругом материале оптимальную ферму можно представить как равнопрочную виртуальную систему с внутренними силами ЛУфг-. Для растянутых стержней он равен единице, а для сжатых принимается исходя из ограничения гибкости элементов пояса и решетки. Искомые площади поперечных сечений Аг сжатых стержней должны иметь соответствующие минимальные радиусы инерции. Таким образом,
, N
4 =—, (2)
Фг Я
а выражение потенциальной энергии деформации принимает вид:
я N. I
т =— / ■ (3)
о т? ¿—Ч=\ ' 4 '
2Е фг.
Немецкий ученый Роукс сформулировал закон «борьбы элементов» в организме, по которому максимум работы осуществляется минимумом материала. Постоянное функциональное раздражение вызывает усиление действующего органа путем повышения поставки вещества. Отсутствие раздражения позволяет перенести вещество в другие органы, где, напротив, налицо повышение раздражения. Таков процесс «обволакивания» материей силового поля. Этим объясняется способность живых систем адаптироваться к длительным и многократным воздействиям внешних факторов умеренной интенсивности путем как функциональной, так и морфологической перестройки отдельных структур и систем.
Законы структурообразования, вытекающие из принципа стационарного действия, должны прослеживаться как в организации природы, так и в доведенных до совершенства инженерных конструкциях. Поэтому закон Роукса следует рассматривать как следствие этого принципа.
В качестве численного эксперимента рассмотрим варианты топологии шестипанельной фермы (пролетом 1=6ё=18м) с горизонтальным нижним поясом (рис. 1). Кроме семи директивных узлов нижнего пояса, задан также 8-й узел на оси симметрии, определяющий высоту фермы к=2 м. Вариацию топологии ограничиваем 22 узлами, расположенными на вертикальных линиях, служащих границами панелей. В каждой панели предполагаем наличие одного раскоса, который может быть восходящим или нисходящим.
В результате получаем 12 типов ферм, расположенных в диапазоне от треугольной фермы до фермы с параллельными поясами (рис. 1). Восемь промежуточных ферм, по принятой терминологии, считаются фермами с полигональным верхним поясом. Нагрузка F=70 кН приложена в узлах верхнего пояса. Расчетное сопротивление материала фермы Я=240 МПа.
Рисунок 1 - Варианты фермы при вариации топологии: а - с восходящими раскосами, б - с нисходящими раскосами
В табл. 1 даны длины стержней внутренние усилия Ni, площади поперечных сечений Ai, минимальные радиусы инерции /шп. Обозначение стержней соответствует рис. 2.
Рисунок 2 - Нумерация узлов, распространяющаяся на все варианты ферм (в треугольной ферме 4 стержня отсутствуют)
В целях исключения итерационного процесса при определении площадей сечений сжатых стержней коэффициент ф принимался равным 0,75. При его назначении учитывалось ограничение гибкости элементов пояса и решетки. Их площади поперечных сечений должны иметь соответствующие минимальные радиусы инерции.
http://vestnik-nauki.ru/
Таблица 1 - Геометрические характеристики и внутренние усилия ^ стержней фермы
№ фермы
Л
н
¡3 «
ю о
я
со О
ю о
«
я
%
р
е
н о
о
о
о
о «
о С
1-2
794.3
33.1
441.3
18.4
353.0
14.7
2-3
635.5
26.5
529.6
22.1
485.6
20.2
3-4
476.6
19.9
476.6
19.9
476.6
19.9
1-8
0.8
-35.3
1.96
1.11
0.8
-35.3
1.96
8
И «
О
н о
2-10
0.67
-70.6
0.0
0.9
1.2
47.1
1.96
1.50
77.1
3.21
3-11
1.33
-105.9
5.9
1.8
1.6
-35.3
1.96
2.22
1.75
-6.0
0.33
4-12
0.0
0.0
0.0
0.0
ы
о о и
£ р
1-10
3.23
-475.3
26.4
4.49
3.35
-394.7
21.9
2-11
173.8
3.28
0.1
3.4
-100.0
5.56
4.72
3.47
-153.3
8.52
3-12
190.9
3.61
0.2
3.61
63.6
2.65
3.61
10.8
0.45
о «
о с
р
е
и
8-10
3.07
-813.7
45.2
4.3
3.03
0.0
3.08
0.0
10-11
3.07
-813.7
45.2
4.3
3.03
-445.2
24.7
4.21
3.01
-354.2
19.7
11-12
3.07
-651.0
36.2 4.3
3.03
-534.2
29.7
4.21
3.01
-487.3
27.1
№ фермы
4
5
6
1-2
353.0
14.7
264.8
11
264.8
11
2-3
453.1
18.9
423.6
17.7
423.7
17.7
3-4
476.6
19.9
476.6
19.9
476.6
19.9
1-8
0.8
-35.3
1.96
1.11
0.8
-35.3
1.96
1.11
-35.3
1.96
8
И «
О
н о
2-10
1.5
62.4
2.6
105.9
4.41
105.9
4.41
3-11
1.87
15.7
0.65
35.3
1.47
35.30
1.47
4-12
0.0
0.0
0.0
ы
о о и о
й р
1-10
3.35
-394.7
21.9
4.65
3.61
-318.2
17.7
5.01
3.61
-318
17.7
2-11
3.56
-117.9
6.55
4.94
3.61
-190.9
10.6
5.01
3.61
-191
10.6
3-12
3.61
-28.2
1.57
5.01
3.61
-63.6
3.54
5.01
3.61
-63.7
3.54
8-10
3.08
3.23
0.0
0.0
10-11
11-12
3.02
-355.7 -453.5
19.8 25.2
4.19 4.17
-264.8 -423.6
14.7 23.5
4.17 4.17
264.8 -424
14.7 23.5
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
0
3
3
3
3
3
3
Используя формулу для потенциальной энергии деформации (4) и формулу для объема материала (без учета узловых соединений)
V = 2=1 , (4)
вычислим интересующие величины.
В табл. 2 представлены значения J и V для ферм с восходящими раскосами. По этим показателям они имеют преимущество перед фермами с восходящими раскосами, за
http://vestnik-nauki.ru/
исключением фермы 1, по сравнению с которой ферма 7 имеет преимущество в пределах 1,7%.
Таблица 2 - Потенциальная энергия деформации и объем материала
№ фермы 3, кДж V, м3 № фермы 3, кДж V, м3
1 18,921 0,138 7 18,609 0,136
2 12,799 0,093 8 13,245 0,097
3 11,452 0,08 9 11,583 0,0845
4 11,102 0,081 10 11,243 0,082
5 10,658 0,0777 11 10,804 0,079
6 10,723 0,0782 12 11,663 0,085
Из ферм с восходящими раскосами наиболее экономичной является ферма 5. С точки зрения статики это явилось результатом расположения большинства стержней верхнего пояса на уровне высоты фермы. Вариант 6 проигрывает из-за меньшей устойчивости сжатых стержней, примыкающих к опорному узлу.
Незначительные изменения величин 3 и V для рассмотренных ферм за счет конструктивного обеспечения «нулевых» стержней, а также их узловых соединений не меняет представленных выводов.
После проведения численного эксперимента, позволившего накопить информацию о характере деформирования стержней в каждом варианте фермы, рассмотрим строгое решение задачи при ее вариационной постановке. В качестве варьируемых параметров принимаем высоту стойки 2-10 (рис. 2) , которую обозначим И\, и высоту стойки 3-11, обозначаемую И2 (за основу взята конфигурация фермы №4, рис. 1). Исключаем из рассмотрения треугольную ферму, явно уступающую остальным вариантам по расходу материала. Длины стержней и усилия в фермах имеют следующие выражения:
¿1-2 = Л; N1-2 = 2,5^/М;
12-з = Л; N2.3 = 2,5^4(1,6 - И /И1)1/ ¿2 + 1/М],
13-4 = Л; N3-4 = 2,5^</{ [(1,6 - ¿2 /И)1/ ¿2 + 1/Их]+(1/¿1 )(1,8 -1,6 И И)};
I 1-8 = 0,4И; N1-8 = -0,5^;
I 2-10 = И1; N2-10 = 2,5^(1,6 - И2 /И1);
I 3-11 = И2; N3-11 = 2,5^(1,8 -1,6 И/И2);
I 4-12 = И; N4-12 = 0;
¿1-ю = + = + ^ /;,;
¿2-п = + А*: iV2.11 = -2,5^(1,6 - /72 /Ъ0
I 3-12 =
I 8-10 = I 10-11 = ¿11-12 = "
2;
2,5/'(1,8 -1,6 И Ъ2) сГ + к /к
N8-10 = 0; N0-11 = -2,57^ N1.12 = -47ч£
- О-: - О'ИИь
- ■-Л-/И2.
Сложность анализа зависимости усилий в ферме от изменения топологии состоит в непостоянстве знака усилий. При переходе растянутого стержня в разряд сжатых, кроме прочности, необходимо обеспечение устойчивости его равновесия.
«Перемещение» коэффициента уменьшения расчетного сопротивления для сжатых стержней фг изменяет вид выражения 3 при итерационном расчете.
Из приведенных выражений для усилий видно, что
1) стержень 2-3 растянут, если И2 <1,6А1 и в то же время |(1,6 - И2 /И1)(1/И2 )|< 1/ А1;
2) стержень 3-4 растянут, если И2<1,6И или И<1,12И2 и в то же время положительное слагаемое превосходит модуль отрицательного слагаемого;
3) стержень 2-10 растянут, если И2 <1,6И1;
4) стержень 3-11 растянут, если И <1,12к2;
5) стержень 2-11 сжат, если И2 <1,6И1;
6) стержень 3-12 сжат, если И <1,12И2.
В рассматриваемой задаче при принятии растяжения стержней 2-3, 3-4, 2-10, 3-11 и сжатия стержней 2-11 и 3-12, а также, как и ранее, фг=0,75 для всех сжатых стержней исходное выражение потенциальной энергии деформации имеет следующий вид:
3 = 2,57^(3,3 Ъ2 + 0,68 1г /?2 + 4,56 с!' /И2 +4,36 /?, + 2,6 с!' И1 - 4,94 И + 3,6 с!2/И).
_ дJ дJ
При ее минимуме выполняются условия: -= 0 и -= 0, из которых вытекают
дИ1 дИ2
уравнения:
4,36^ - 2,6сгг = 0, 3,3 - 0,68 к2 - 4,56 £ = 0,
откуда И1 = 2,32 м, И2 = 3, 64м. Выполнение условий: И2 <1,6И1; И <1,12И2 исключает второе приближение.
Потенциальная энергия деформации равна:
3 = 2,5 • 70 • 103 I (3'3" 3'64 + (°'68" 4)1 3'64 + (4'56" 9)1 3'64 + +4'36" 2'32 +
+(2,6 -9) / 2,32 - 4,94- 2 + (3,6- 9) / 2) = 10111 Дж =10,111 кДж.
Это величина меньше, чем у фермы № 5, на 5,4% и выражает абсолютный минимум,
но по полученной конфигурации эта ферма уступает ферме № 5 с точки зрения
архитектурно-планировочного решения.
Тем не менее, рассмотренная постановка задачи дала представление о несложном алгоритме решения оптимизационной задачи, касающейся топологии фермы, вариационным методом.
В общем случае алгоритм решения задачи оптимизации топологии фермы представлен на рис. 3.
http://vestnik-nauki.ru/
Задание директивных параметров (7, к, ко), ф и выбор переменных (1ц, }?2,..
Определение выражений внутренних усилий в стержнях
Выделение стрежней с переменным знаком усилий и
назначение знаков в начальном приолижении
Запись выражения потенциальной энергии деформации Л
Удовлетворение критерию оптимальной топологии:
а//ой, = о, алеь2 = о, елдкп = о
Решение системы алгебраических уравнений
Нет Проверка удовлетворения принятым знакам внутренних усилий
Да,,
Конец
Рисунок 3 - Алгоритм решения задачи оптимизации топологии фермы
Вариация топологии ферм сопряжена с появлением дополнительных неизвестных параметров конфигурации, что приводит к введению функций и матриц влияния, обеспечивающих компактное математическое представление решения задачи. На примере оптимизации топологии однопролетной металлической фермы показана эффективность вариационной постановки задачи, сводящейся к решению системы алгебраических уравнений, определяющих оптимальную конфигурацию, являющуюся основой для реального архитектурно-планировочного решения. Преимущество в экономии материала имеют фермы с преобладанием растянутых стержней, которых не касается проблема устойчивости равновесия.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Мажид К.И. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Высшая школа, 1979.
238 с.
2. Юрьев А.Г., Строительная механика: структурный синтез. М.: Изд-во МИСИ, 1982.
100 с.
3. Юрьев А.Г., Нужный С.Н. Оптимизация топологии однопролетных одноэтажных рам // Функциональные исследования, 2013. № 10. С. 742-746.
4. Сысоева В.В., Чедрик В.В. Алгоритмы оптимизации топологии силовых конструкций // Ученые записки ЦАГИ, 2011. Вып.2. Т.42. С. 1-12.
5. Bendsoe M.P., Kikuchi N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method. Comput Methods Appl. Mech. Eng., 1988, 71(2), p. 197-224.
6. Diaz A.R., Kikuchi N. Solutions to shape and topology eigenvalue optimization sing a homogenization method // Int. J. Numer. Methods Eng., 1992, 35, р. 1487-1502.
7. Bendsoe M.P., Sigmund O. Topology optimization: theory, methods, and applications /. Berlin: Springer, 2003. 376 р.
8. Bendsoe M.P. Optimal shape design as a material distribution problem // Structural Optimization, 1989. № 1. P.193-202.
9. Rozvany G.I.N. Structural design via optimality criteria. Dordrecht: Kluwer, 1989. 463p.
10. Rozvany G.I.N., Zhou N., Sigmund O. Topology optimization in structural design // Advance sin design optimization. London: Adeli, 1994, P. 240-299.
11. Yang R.J., Chahande A.I. Automotive applications of topology optimization // Structural Optimization, 1995. № 9. P. 245-249.
12. Юрьев А.Г., Панченко Л.А., Серых И.Р. Рубанов В.Г. Тонкостенные конструкции тоннелей мелкого заложения // Промышленное и гражданское строительство, 2014. № 8. С. 208-211.
13. Абсиметов В.Э., Панченко Л.А.. Пространственные тонкостенные конструкции на основе стеклофибробетона // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова, 2009. № 1. С. 28-29.
14. Ямб Э., Юрьев А.Г., Панченко Л.А., Серых И.Р. Новые подходы к формированию строительных конструкций на основе углеродных наносистем // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В. Г. Шухова, 2009. № 3. С. 63-67.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Зинькова Виктория Анатольевна ФГБОУ ВПО «Белгородский государственный технический университет им. В.Г. Шухова», г. Белгород, Россия, ст. препод. кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, начальник отдела создания и оценки объектов интеллектуальной собственности, E-mail: vikzinkova@mail.ru.
Zinkova Viktoria Anatol'evna FSEI HPE «Belgorod State Technical University after V.G. Shukhov», Belgorod, Russia, a senior lecturer the department of theoretical mechanics and strength of materials, the leader department creation and evaluation of intellectual property objects, E-mail: vikzinkova@mail.ru.
Юрьев Александр Гаврилович ФГБОУ ВПО «Белгородский государственный технический университет им. В.Г. Шухова», г. Белгород, Россия, доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, действительный член Российской академии естествознания,
E-mail: yuriev_ag@mail.ru.
Yuriev Alexcandr Gavrilovich FSEI HPE «Belgorod State Technical University after V.G. Shukhov», Belgorod, Russia, Doctor of Technical Science, Professor the department of theoretical mechanics and strength of materials, Member of Russian Academy of Nature, E-mail: yuriev_ag@mail.ru
Толбатов Анатолий Александрович ФГБОУ ВПО «Белгородский государственный технический университет им. В.Г. Шухова», г. Белгород, Россия, кандидат технических наук, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, E-mail: vikzinkova@mail.ru.
Tolbatov Anatoliy Alexcandrvich FSEI HPE «Belgorod State Technical University after V.G. Shukhov», Belgorod, Russia, Candidat of Technical Science, Professor the department of theoretical mechanics and strength of materials,
E-mail: vikzinkova@mail.ru..
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 236022, г. Белгород, ул. Костюкова, 46, БГТУ им. В.Г. Шухова, БК 409. Зинькова В.А.
8(4722)30-99-29
