CC BY
41УДК 004.8
DOI: 10.30987/article 5c3db114b342b8.67667619
И.Н. Серпик
ОПТИМИЗАЦИЯ СТАЛЬНЫХ ПЛОСКИХ ФЕРМ ПО СТРУКТУРЕ И ПАРАМЕТРАМ НА ОСНОВЕ СТРАТЕГИИ ПОИСКА
РАБОЧЕГО МЕСТА
Предложен алгоритм структурно-параметрической оптимизации стальных плоских ферм с помощью метаэвристической стратегии поиска рабочего места и генетических операторов мутации, селекции и кроссинговера. Работоспособность и высокая стабильность рассматриваемой
процедуры проиллюстрированы на примере оптимального проектирования двухопорной фермы.
Ключевые слова: оптимизация, несущие системы, метаэвристические алгоритмы, стратегия поиска рабочего места, генетические операторы.
I.I. Serpik
STEEL FLAT TRUSS OPTIMIZATION ON STRUCTURE AND PARAMETERS BASED ON STRATEGY OF WORKPLACE SEARCH
At optimum design of trussed structures with the aid of metaheuristic algorithms the account of limitations is usually realized with the aid of penalties which in many cases results in the conditions distortion of problems under consideration and a considerable instability of solutions obtained. The aim of this work consists in the formation of a metaheuristic procedure of a structural-parametric optimization of steel flat trusses which does not provide for penalty introduction at any stage of a computer circuit.
A problem of truss rods mass minimization is set at limitations on a geometrical invariability, durability, rigidity and object stability. A truss topology and rod profiles are varied within the limits of the method of excess structures. There is offered an algorithm based on the metaheuristic strategy offered before of a workplace search and classic genetic operators.
Введение
Метаэвристические методы широко используются при решении оптимизационных задач механики несущих систем. Для оптимизации ферм достаточно успешную апробацию получили такие метаэвристические подходы, как генетические алгоритмы [1], метод роя частиц [2], поиск гармонии [3], империалистический конкурентный алгоритм [4], алгоритм эхолокации дельфина [5] и др. Достаточно подробные сведения об использовании ме-таэвристических процедур в оптимизации несущих конструкций изложены в обзоре [6].
An evolutional search of a structure version satisfying the limitations of the problem at a number of intermediate stages of optimization is foreseen. An auxiliary purposeful function showing the fulfillment degree of conditions on trussed structure working capacity is used.
By the example of the solution of a specific optimization problem for a double-supported truss with the span of 72 m there is shown a high stability of solutions obtained with the aid of the given iteration scheme at the strict fulfillment of limitations set. On the basis of the formation and testing a metaheuristic approach developed there is shown a possibility for efficient use of the strategy of a workplace search in an optimum synthesis of bearing systems.
Key words: optimization, bearing systems, me-taheuristic algorithms, strategy of workplace search, genetic operators.
В оптимальном проектировании конструктивных систем приходится учитывать достаточно сложное сочетание ограничений по условиям обеспечения их геометрической неизменяемости, прочности, жесткости и устойчивости. При использовании для таких объектов метаэвристиче-ских итерационных схем ограничения обычно принимаются во внимание на основе штрафных функций [6], что во многих случаях приводит к искажению условий задачи и значительной нестабильности получаемых решений. В работе [7] предложен метаэвристический алгоритм для параметрической оптимизации плоских
ферм, основанной на стратегии, инспирированной процессом поиска рабочего места (стратегии ПРМ). Схема оптимального поиска при наличии ограничений ставится в соответствие с возможным поведением человека, ищущего работу с наибольшим окладом при удовлетворении своих предпочтений к условиям труда и требований работодателей. Эта стратегия позволяет эффективно учитывать ограничения без введения штрафных функций. При формировании процедуры оптимизации принимается во внимание, что вычислительные затраты на определение массы конструкции пренебрежимо малы в сравнении с трудоемкостью расчета напряженно-деформированного состояния ферм. Данный подход предусматривает ряд последовательных поисков вариантов (проектов) несущей системы, удовлетворяющих ограничениям задачи, на основе повышения степени работоспособности объекта. В каждом таком поиске учитываются только
те варианты, масса которых соответствует текущему требованию к минимальному значению этой величины. Как только удается найти проект, не нарушающий ни одного из ограничений, соответствующая ему масса принимается в качестве минимально требуемой для продолжения процесса оптимизации. Этот проект рассматривается и в качестве текущего результата оптимизации.
В настоящей статье разрабатывается метаэвристический алгоритм, использующий стратегию ПРМ для структурно-параметрической оптимизации стальных ферм. Одновременно варьируются топология и параметры несущей системы в рамках метода избыточных структур. При этом для реализации ряда шагов этой стратегии выполняются генетические операции мутации, селекции и кроссинговера. Проект фермы интерпретируется и как вакансия рабочего места, и как особь популяции.
Постановка задачи
Рассматриваем задачу оптимизации стальной плоской фермы по топологии конструкции и дискретным множествам поперечных сечений стержней. Полагаем, что ферма раскреплена из своей плоскости по узлам. В стержнях учитываем силы растяжения-сжатия. Будем формировать для объекта некоторую избыточную структуру, управление которой предусматривает возможность введения «нулевых» («отсутствующих») стержней, имеющих относительно малую площадь поперечного сечения. При этом структурно-параметрическая оптимизация фактически сводится к параметрической. Для расчета напряженно-деформированного состояния фермы используем метод конечных элементов (МКЭ) в рамках метода перемещений. Каждый из стержней представляем одним конечным элементом. Ставим задачу минимизации массы М стержней конструкции:
'o
M = р^/Д ^ min,
где р - плотность материала стержней; iO - число стержней; , Д - длина и площадь поперечного сечения стержня i.
Поиск осуществляем на дискретных множествах допустимых профилей поперечных сечений стержней. Полагаем, что стержни объединяются в группы, в пределах каждой из которых они имеют одинаковое поперечное сечение. Профиль стержней одной группы рассматриваем как параметр проектирования. В частном случае к группе может быть отнесен только один стержень.
Учитываем следующие ограничения:
1. Геометрическая неизменяемость стержневой системы.
2. Условие по гибкости, прочности и устойчивости стержней c учетом требований стандарта [8]:
ФоЬ = max f < 1, (1)
i = 1,-io
j = 1,...J
где ФаЬ - показатель, характеризующий удовлетворение рассматриваемых ограничений для объекта в целом; J - число нагрузок; f - показатель, используемый
i=1
для характеристики удовлетворения этих ограничений для стержня г при нагруже-нии
Р ^
f„ = max
К
\ Ki max
'ф.P ,
Ti ni J
где К = / Г - гибкость стержня i; kt, r - коэффициент его эффективной длины и минимальный радиус инерции поперечного сечения (для ферм можно принимать ki = 1); Кimax - максимально допустимое
значение Кi (при растяжении Кmax = 300,
при сжатии Кг max = 200); Puy - модуль продольной силы в стержне i при нагруже-нии j; ф - коэффициент, принимаемый равным 0,9 при растяжении и 0,85 при сжатии; P - предельная сила для стержня
3. Условие жесткости:
К'
Ф5 = max
i=i,-i srx
r=1,..,2 lr
j=1,..J
< 1 ,
(2)
где Ф5 - число, отражающее удовлетворение ограничений по перемещениям узлов фермы; Ь - число узлов фермы; |5/г;|, 5™х
- модуль перемещения узла I в нагружении ] для оси под номером г декартовой системы координат (Ох - ось 1, Оу - ось 2) и максимально допускаемое значение для этого модуля.
При растяжении Рп. = атД, где ат -предел текучести материала. При сжатии Р = асг Д, где а сг - критическое напряжение для стержня г, зависящее от приведенной предельной гибкости
к1
К=-
r К
Здесь E - модуль упругости материа-
ла.
При Кс < 1,5
®cr = 0,658К c от;
при Кс > 1,5
0,877
°cr =
К
-О-г
В соответствии с подходом работы [9] условие геометрической неизменяемости будем сводить к ограничениям по перемещениям. Для этого прежде всего должна быть обеспечена геометрическая неизменяемость базовой конструкции избыточной структуры. Расчеты показывают, что в данном случае при задании фиктивной площади поперечного сечения для «нулевых» стержней фермы в 104...106 раз меньше, чем наименьшее значение этой величины для всех используемых вариантов реальных профилей, обеспечивается как имитация отсутствия этих стержней, так и возможность получения хорошо обусловленной системы разрешающих уравнений для геометрически неизменяемого объекта. Если механическая система становится геометрически изменяемой, то об этом могут свидетельствовать относительно большие фиктивные перемещения, получаемые при формальном решении задачи. В том случае, когда при варьировании структуры стержневой системы окажутся изолированными стержни или группы стержней, решение системы уравнений МКЭ может и не дать больших перемещений, однако такие объекты исключаются в процессе оптимизации как нерациональные.
Интерпретация поиска работы как метаэ
Пусть претендент на рабочее место ставит задачу получить работу с наибольшим окладом Е. В качестве дискретного множества, на котором проводится поиск, выступает множество вакансий V. Выделим относительно быстрые действия поиска (изучение объявлений, рассылка резюме, звонки по телефону и т.д.) и требую-
ической процедуры
щие существенно больших временных затрат действия в формате собеседования (с возможными экзаменами). Полагаем, что в рамках быстрых действий претендент получает информацию для вакансий о значениях Е, а также о выполнении части собственных условий и требований работодателей (ограничения по оптимизации Т).
Проверка по остальным ограничениям, которые будем обозначать Т2, осуществляется на собеседовании.
Выделим множество у с V вакансий, для которых выполняются ограничения Т • Пусть на начальном этапе претендент выбирает каким-либо образом ряд вакансий V из множества У1А с у, удовлетворяющего по окладу условию Е > Е, где Е - задаваемое значение, которое в дальнейшем может изменяться. Далее для каждого цикла (итерации) стратегии ПРМ предусмотрим следующую последовательность шагов:
Шаг 1. Путем случайных вариаций выполняется замена части из вакансий у с соблюдением для новых вакансий требования V £ Ул •
Шаг 2. Для рассматриваемой группы вакансий проверяется удовлетворение
Алгоритм решения задачи
С точки зрения поставленной задачи оптимизации фермы полагаем, что Е = 1/М; вакансия - это набор значений параметров варианта особи; ограничения Т учитываются при задании дискретных множеств допустимых профилей стержней и обеспечении условия Е > Е; Т - это проверка удовлетворения неравенств (1) и (2). Стратегия ПРМ может предусматривать использование различных подходов для реализации отдельных ее шагов. Сформулируем алгоритм, основанный на этой стратегии и технике генетических операторов.
Будем оперировать с основной популяцией П размером Ип и вспомогательной элитной популяцией ¥, размер которой зависит от результатов итерационного процесса, но не превышает величины . Первоначально задаем Е = 0, популяцию П формируем из максимальных по порядковому номеру профилей во множествах допустимых поперечных сечений стержней, а популяцию ¥ оставляем на этом этапе пустой. Шаги стратегии ПРМ реали-
условий Т . Если для какой-либо вакансии V эти условия выполняются, принимается Еа = Е1, где Е1 - значение оклада для этой вакансии.
Шаг 3. По результатам собеседований осуществляется оценка степени профессиональной пригодности претендента по отношению к вакансиям у. На основе
этих результатов из множества УА выбирается группа вакансий , близкая к тем вакансиям у, для которых профессиональная пригодность будет наибольшей.
Шаг 4. Для вакансий уС осуществляются операции шага 2.
Итогом поиска для текущей итерации является особь, соответствующая последнему из найденных на шагах 2 или 4 значений Е •
зуем в каждой итерации s > 1 таким образом:
Шаг 1. Выполняется мутация для особей популяции П с использованием схемы работ [9; 10]. Если номер итерации больше некоторого числа Sj, то эта процедура реализуется для случайно выбранных П = max (l, _Xno J) параметров в каждой особи популяции, где X - задаваемое значение на отрезке (0<X<l), nc - общее число параметров. При s < Sj число nx может приниматься большим путем умножения X на число d (l < d < _no/nx J). Для каждого параметра, подлежащего изменению, выбирается величина pa на отрезке [0, 1] с
помощью генератора случайных чисел с равномерным законом распределения и сравнивается с величиной ma (0 < ma < l).
Если pa > ma, может быть с равной вероятностью выбрано любое из допустимых значений параметра, иначе номер позиции параметра во множестве допустимых вариантов назначается путем случайного изменения его текущего значения на 1-2 единицы. Операция мутации для особи
может выполняться многократно до тех пор, пока не будет удовлетворено условие F; > Fa .
Шаг 2:
2a. Проверяется выполнение ограничений T для особей популяции П. Для этого определяется величина коэффициента профессиональной пригодности каждой i-й особи с точки зрения стратегии ПРМ:
к - 1 Р max (Фа,, Ф5)
При достижении условий к > 1 и F > F следует назначение новой величины FA — F .
2b. В популяцию ¥ последовательно добавляется каждая из особей i популяции П , которая больше по значению к
наихудшей особи популяции ¥, и набор значений генов особи i отсутствует в этой популяции. Если размер популяции ¥ становится равным Nxv +1, то вариант проекта
с наименьшим значением к из нее исключается.
2с. Осуществляется проверка особей популяции ¥ на выполнение условия F > F. Если это условие не выполняется, то особь удаляется из базы. Если на этапе 2а было изменено значение F, то на данном этапе в базе ¥ могут остаться только особи, соответствующие условию F — F .
Шаг 3. Реализуются операции селекции и одноточечного кроссинговера. Более приспособленными считаются те особи, у которых коэффициент к имеет большее
значение. При выборе пар особей используется метод рулетки с определением для
Пример оптимизации фермы
Проиллюстрируем работоспособность рассматриваемого алгоритма на тестовом примере стальной плоской фермы на двух шарнирно-неподвижных опорах. Избыточная структура фермы приведена на рис. 2. Рассматривается нагружение объекта системой сил P=20 кН, F=60 кН и силами тяжести, зависящими от варьируемых параметров и приводимыми к узловым точкам.
особи ' длины участка на отрезке [0; 1] таким образом:
4 = / У К,
1 1 / : П 5
П = 1
где = акI; к - значение к для особи п; а, р - задаваемые константы.
Шаг 4:
4а. Реализуются операции шага 2 на основе популяции П, полученной по результатам кроссинговера. В данном случае при пополнении базы ¥ из базы П выполняется дополнительная проверка удовлетворения для особи условия Е - Е, так как кроссинговер может вызвать его нарушение.
4Ь. Проверяется выполнение условия Е - Е для всех особей популяции П . Если для рассматриваемой особи данное требование нарушается, она заменяется лучшей из особей, помещенных в популяцию ¥ , при условии ее отсутствия в популяции П. Если такой особи нет, то для замены используется особь, задаваемая путем случайного выбора значений варьируемых параметров.
Блок-схема данного алгоритма представлена на рис. 1, где so - задаваемое общее число итераций, кртш - наименьшее в текущем состоянии значение кр для особей популяции ¥. Исследование работоспособности предлагаемой итерационной процедуры показало, что для нее целесообразно принимать Мп =15...25; =10...20; а = 0,05...0,15; р =100.150; та = 0,9; Л = 0,1...0,2; ^ =0ппо; ¿=3...6; 9 = 0,2...0,5.
ат — 225 МПа; р — 7850 кг/м3;
Задавалось: Е = 2,08 -105 МПа; 8Г =0,24 м (т=1, 2).
Выполнялось условие обеспечения симметрии конструкции. Профили стержней объединялись в 16 групп (рис. 2). Для каждой из групп принимались для выбора 37 вариантов круглых труб в соответствии
со стандартом [8] (таблица) и возможность исключения из структуры. В таблице к -номер профиля; Д, г - площадь и радиус инерции поперечного сечения к-го профиля; профили отсортированы по значениям радиусов инерции. По такому же принципу формировались множества допустимых профилей при реализации алгоритма. Оптимальный поиск выполнялся при
= Щ = 20; а = 0,1; р = 120; Л = 0,1; ё=5; 0 = 0,3. Так как в этой ферме стержни нижнего пояса являются растянутыми и не предусматривают проверку по условиям устойчивости, в процессе эффективной оптимизации должны быть устранены из структуры ненагруженные стойки, входящие в группы 7, 10, 11.
Рис. 1. Блок-схема решения задачи на основе стратегии ПРМ
Рис. 2. Ферма с избыточной структурой: 1-16 - номера групп стержней
Таблица
Допустимые поперечные сечения круглых труб_
Обозна- A, см2 Обозна- A, см2
к чение профиля rk, см к чение профиля rk, см
1 PX0.5 2,06 0,635 20 PX3.5 23,74 3,327
2 P0.5 1,61 0,663 21 P3.5 17,29 3,404
3 PX0.75 2,79 0,815 22 PXX4 52,26 3,480
4 P0.75 2,15 0,848 23 PX4 28,45 3,759
5 PX1 4,12 1,034 24 P4 20,45 3,835
6 P1 3,19 1,069 25 PXX5 72,90 4,369
7 PX1.25 5,68 1,331 26 PX5 39,42 4,674
8 P1.25 4,32 1,372 27 P5 27,74 4,775
9 PX1.5 6,90 1,537 28 PXX6 100,64 5,232
10 P1.5 5,15 1,582 29 PX6 54,19 5,563
11 PXX2 17,16 1,786 30 P6 36,00 5,715
12 PX2 9,55 1,946 31 PXX8 137,42 7,010
13 P2 6,90 1,999 32 PX8 82,58 7,315
14 PXX2.5 26,00 2,144 33 P8 54,19 7,468
15 PX2.5 14,52 2,347 34 PX10 103,87 9,220
16 P2.5 10,97 2,405 35 P10 76,77 9,322
17 PXX3 35,29 2,667 36 PX12 123,87 10,998
18 PX3 19,48 2,896 37 P12 94,19 11,125
19 P3 14,39 2,946
Осуществлялось 10 независимых запусков процесса оптимизации с выполнением по 8000 итераций. Группы 7, 10 и 11 стержней не вошли в конструкцию фермы ни в одном из запусков. Получившиеся значения М располагались в достаточно узком интервале [7759,2; 7771,1] кг. При этом в 8 запусках было достигнуто наименьшее из найденных в численных экспериментах значение целевой функции. Проверки показали, что полученные при оптимизации варианты конструкции строго удовлетворяют
поставленным ограничениям. Сходимость для наилучшего и наихудшего запусков с точки зрения скорости достижения наименьшей для данного запуска величины M отражена на рис. 3, подготовленном с помощью свободно распространяемой версии программы для работы с графиками Advanced Grapher. На рис. 4 представлена полученная структура и номера профилей конструктивных элементов для варианта несущей системы с наименьшей суммарной массой стержней.
Наихудшая сходимость Рис. 3. Графики сходимости итерационного процесса
Рис. 4. Результат оптимизации по
Вывод
Предложенный алгоритм позволяет реализовывать метаэвристическую схему оптимизации ферменных стальных конструкций по структуре и параметрам, не предусматривающую использование
штрафных функций для учета ограничений. При этом обеспечивается строгое выполнение условий геометрической неизменяемо-
структуре и номерам профилей стержней
сти, прочности, жесткости и устойчивости для всех получаемых вариантов несущей системы. На примере решения конкретной оптимизационной задачи для двухопорной фермы проиллюстрирована высокая стабильность решений, получаемых с помощью данной итерационной процедуры.
Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РФФИ № 18-08-00567 «Оптимизация несущих систем по топологии, параметрам, режимам многократного предварительного напряжения и последовательности приложения полезных нагрузок».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Nanakorn, P. An adaptive penalty function in genetic algorithms for structural design optimization / P. Nanakorn, K. Meesomklin // Computers and
Structures. - 2001. - Vol. 79. - № 29-30. - P. 2527-2539.
2. Perez, R.E. Particle swarm approach for structural design optimization / R.E. Perez, K. Behdinan // Computers and Structures. - 2007. - Vol. 85. - P. 1579-1588.
3. Lee, K.S. The harmony search heuristic algorithm for discrete structural optimization / K.S. Lee, Z.W. Geem, S.-H. Lee, K.-W. Bae // Engineering Optimization. - 2005. - Vol. 37. - № 7. - P. 663-684.
4. Kaveh, A. Optimum design of skeletal structures using imperialist competitive algorithm / A. Kaveh, S. Talatahari, // Computers and Structures. - 2010 -Vol. 88. - №21-22. - P. 1220-1229.
5. Kaveh, A. A new optimization method: Dolphin echolocation / A. Kaveh, N. Farhoudi // Advances in Engineering Software. - 2013. - Vol. 59. -P. 53-70.
6. Stolpe, M. Truss optimization with discrete design variables: A critical review / M. Stolpe // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2016. - Vol. 53. - № 2. - P. 349-374.
7. Серпик, И.Н. Стратегия метаэвристической оптимизации несущих конструкций, инспириро-
ванная поиском работы / И.Н. Серпик // Междисциплинарные исследования в области математического моделирования и информатики: материалы 7-й науч.-практ. internet-конф. - Тольятти, 2016. - С. 40-43. - URL: https://elibrary.ru/download/elibrary 25678372 47 033212.pdf (дата обращения: 15.08.2018).
8. Load and Resistance Factor Design (LRFD). Vol. 1. Structural Members Specifications Codes. - 3rd ed.
- American Institute of Steel Construction (AISC), Chicago, Illinois, 2001.
9. Serpik, I.N. Mixed approaches to handle limitations and execute mutation in the genetic algorithm for truss size, shape and topology optimization / I.N. Serpik, A.V. Alekseytsev, P.Y. Balabin // Periodica Polytechnica-Civil Engineering. - 2017. - Vol. 61.
- № 3. - P. 471-482.
10. Serpik, I.N. Optimization of flat steel frame and foundation posts system / I.N. Serpik, A.V. Ale-kseytsev // Magazine of Civil Engineering. - 2016.
- № 1. - P. 14-24.
1. Nanakorn, P. An adaptive penalty function in genetic algorithms for structural design optimization / P. Nanakorn, K. Meesomklin // Computers and Structures. - 2001. - Vol. 79. - № 29-30. - P. 2527-2539.
2. Perez, R.E. Particle swarm approach for structural design optimization / R.E. Perez, K. Behdinan // Computers and Structures. - 2007. - Vol. 85. - P. 1579-1588.
3. Lee, K.S. The harmony search heuristic algorithm for discrete structural optimization / K.S. Lee, Z.W. Geem, S.-H. Lee, K.-W. Bae // Engineering Optimization. - 2005. - Vol. 37. - № 7. - P. 663-684.
4. Kaveh, A. Optimum design of skeletal structures using imperialist competitive algorithm / A. Kaveh, S. Talatahari, // Computers and Structures. - 2010 -Vol. 88. - №21-22. - P. 1220-1229.
5. Kaveh, A. A new optimization method: Dolphin echolocation / A. Kaveh, N. Farhoudi // Advances in Engineering Software. - 2013. - Vol. 59. -P. 53-70.
6. Stolpe, M. Truss optimization with discrete design variables: A critical review / M. Stolpe // Structural
and Multidisciplinary Optimization. - 2016. - Vol. 53. - № 2. - P. 349-374.
7. Serpik, I.N. Strategy of metaheuristic optimization of bearing structures caused by work search / I.N. Serpik // Inter-Subject Investigations in the Field of Mathematical Modeling and Informatics: Proceedings of the 7th Scientific- Pract. Internet-Conf. -Togliatti, 2016. - pp. 40-43. - URL: https://elibrary.ru/download/elibrary 25678372 47 033212.pdf (address date: 15.08.2018).
8. Load and Resistance Factor Design (LRFD). Vol. 1. Structural Members Specifications Codes. - 3rd ed.
- American Institute of Steel Construction (AISC), Chicago, Illinois, 2001.
9. Serpik, I.N. Mixed approaches to handle limitations and execute mutation in the genetic algorithm for truss size, shape and topology optimization / I.N. Serpik, A.V. Alekseytsev, P.Y. Balabin // Periodica Polytechnica-Civil Engineering. - 2017. - Vol. 61.
- № 3. - P. 471-482.
10. Serpik, I.N. Optimization of flat steel frame and foundation posts system / I.N. Serpik, A.V. Ale-kseytsev // Magazine of Civil Engineering. - 2016.
- № 1. - P. 14-24.
Статья поступила в редакцию 7.09.18. Рецензент: д.т.н., доцент Брянского государственного Инженерно-технологического университета
Кисель Ю.Е.
Статья принята к публикации 25.12.18.
Сведения об авторах:
Серпик Игорь Нафтольевич, д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Прикладная механика и физика» Брянского государственного инженерно-технологического университета, е-таП: ^ег[email protected].
Serpik Igor Naftolievich, Dr. Sc. Tech., Prof., Head of the Dep. "Applied Mechanics and Physics", Bryansk State Technical University, e-mail: [email protected].
