CC BY
32ПОМИЛКИ УЧН1В У НАВЧАНН1 АЛГЕБРИ: ПРАКТИЧНИЙ АСПЕКТ
Л.А.Благодир, астрант,
Нащональний педумверситет iM. М.П.Драгоманова,
м. Ки1в, УКРА1НА
Розглядаеться стан проблеми дослгдження математичних помилок учнгв у прак-тицг навчання алгебри в основтй школг. Проанал1зоват причини з 'явлення помилок у знаннях учнгв з математики.
Ключовi слова: проблема, математичнг помилки учнгв, навчання в основтй школг.
Постановка проблеми. Процес опа-нування навчальним матерiалом з алгебри в систеш шкшьно! осв^и мае форму кон-цетрично! страт. У навчанш, як i в бага-тьох шших сферах практично! дiяльностi людини, тдвищення ефективносп роботи, досягненнях бiльш високих резулыапв, визначаеться, як правило, не одноразовим використанням будь-якого методичного прийому чи дидактичного засобу, а цше-спрямованим багаторазовим !х застосу-ванням протягом певного часу i в визна-ченiй методичнiй системi. Це, в певнш мь рi, стосуеться i роботи з математичними помилками школярiв. Якщо вона проводиться етзодично, безсистемно, тодi ко-ристь вщ тако! роботи буде незначною. Зовам шших резулыапв можна досягти, якщо всi складовi методично! системи роботи над помилками оргатчно поеднати в процесi оргатзаци навчально! дiяльностi школярiв.
Оновлення змiсту осв^и, створення нових освiтнiх стандарпв, особливост психологичного та розумового розвитку сучасного тдлггка, змiна критерив отню-вання знань, навичок та вмiнь учтв, вве-дення нових форм та засобiв контролю потребують нового тдходу як до форму-вання особисгосп учня, оргатзаци його навчально-тзнавально! дiяльностi, так i до роботи над помилками, яю вiн допускае, зокрема, тд час вивчення алгебри в основ-
тй школь
Анал1з дослщжень. Деяю аспекти до-слiдження математичних помилок учтв у практичны дiяльностi знаходимо в роботах Г.П.Бевза, Г.М.Возняка, Я.1.Грудьоно-ва, Я.С.Бродського, П.С.Моденова, В.С.Павловича, З.1.Слепкань, Н.О.Тарасенково'1 та ш.
Мета даноУ статт1 - розглянути стан проблеми дослiдження математичних помилок учтв у практиц навчання алгебри в основнш школь
Виклад основного матер1алу. У про-цесi реалiзащi iдей демократизаций гумат-заци та гуматтаризаци освiти спостер^а-еться тенденцiя в скороченнi кшькосп годин на вивчення предмет1в природничо-математичного циклу. А тому, саме на су-часному етат оновлення зтсту освiти, особливо гостро постало питання необхщ-ностi тдготовки сучасного висококвалiфi-кованого вчителя-предметника, який м^ би адекватно оцiнювати все, що вщбува-еться, ефективно i якiсно реагувати на всi змши, можливi груднощi в оргатзаци на-вчально'1 дiяльностi школярiв, вчасно ви-являти та виправляти помилки учтв.
На нашу думку, зменшення кшькосп годин на вивчення математики, зокрема алгебри, вщсутшсть ефективноi методично!' системи роботи над помилками, роз-робленоi для практичного застосування вчителями шюл у сучасних умовах, вщсу-
© Б^оауг ь.
тнiсть спецкурсу з методики навчання математики з метою поглиблення знань про помилки та органiзацiю навчально! дГяль-ност учнiв з !х лгквщацп для студентгв педагоггчних унiверситегiв е вагомими причинами наявносп та «живучосп» ма-тематичних помилок учнiв.
Середня школа не тшьки передае сво-!м вихованцям певну суму знань з математики, передбачену Державним стандартом та програмою. Протягом усього шкгльного житта школа вчить сво!х учтв логiчно мислити, застосовувати одержанi знання на практицi до розв'язування певних за-вдань. Умiння мислити, розмiрковувати особливо високо цiнуеться вчителями та фахiвцями тих навчальних закладiв, де бу-дуть продовжувати навчання випускники.
Аналiзуючи помилки, що допускають абiтурiенти на усних та письмових екзаме-нах з математики, В.С.Павлович вщзначав, що «далеко не всi знання абiтурiентiв вщ-повiдають вузiвським вимогам. Багато з них навГть не пгдозрюють про це i тшьки на вступних iспигах починають самi бачити сво! прогалини в знаннях та навичках, що визначили тг помилки, яю не дозволили !м набрати необхгдний прохгдний бал» [7].
Очевидно, устшна робота вчителя математики в школi значною мiрою залежить вiд того, наскгльки свщомо i безпомилково учнi володiють матерiалом, що вивчаеться. Дуже часто, допущен учнями помилки, виправляються без аналiзу, не з'ясовуються причини !х виникнення, не намiчаються шляхи усунення. У планах багатьох вчите-лгв не передбачена цшеспрямована робота оргатзаци навчально! дiяльностi, яка була б спрямована на виявлення, дослiдження та виправлення математичних помилок самими учнями, на розвиток !х лопчного мис-лення та ряду його показникгв (критич-нiсть, доказовiсть та ш.).
ПГд час вивчення нового матерiалу окремi помилки в процеа тзнавально! дiяльностi учнiв - неминучГ Вони можуть бути наслiдком неправильного сприйняття учнями пояснения вчителя чи тексту пщ-ручника. Саме тому важливо своечасно i детально виявляти !х виникнення та вдало
оргашзовувати роботу з попередження. Цього можна досягти, якщо в класi ство-рюються сприятливi умови, за яких учнi ставлять запитання вчителю, висловлю-ють сво!, навiть, помилковi думки. Випра-влення кожно! помилки учня вiдразу сприятиме тдвищенню якостi навчання. Коли корекщя знань не вщбуваеться чи вiдбуваеться частково, помилка вкорГню-еться. Тодi потрiбно «перевчати» школя-рiв, починаючи з початку. Як наслщок, порушуеться структура навчального про-цесу, посгiйно вiдчуваеться брак часу, не-заповненi прогалини в знаннях переходять вiд теми до теми, iз класу в клас, знижу-еться рiвень успiшностi.
Не можна не погодитися, що прогалини та помилки в знаннях учтв е наслщком недосконалостг методiв викладання математики.
Суттевою причиною появи помилок у знаннях учтв е те, що багато вчителГв слабо забезпечують внутрiшнiй логiчиий зв'язок мiж окремими темами та роздшами навчаль-ного матерiалу, не слщкують за формуван-ням важливих знань та вмшь, якi б сприяли подальшому засвоенню навчального матерГ-алу. Математика, як будь-яка iнша наука, е системою фактгв, закономiрностей, щей. Неможливо оволодiти окремими поняттями i фактами, якщо вони не скрiпленi основни-ми iдеями i положеннями теори. Якщо це положення не дотримуеться, то математичнi факти сприймаються формально, запам' ято-вуються тимчасово г немiцно, !х викорис-тання в подальшому малоефективне.
Дехто з учителГв, хоч Г домагаеться виправлення учнГвських алоггзмГв, все ж, по сутГ, не веде помпно! роботи з вихо-вання логичного мислення. В цГй сшуаци основний недолГк полягае в тому, що, по-перше, помилки виправляються без чгтко! системи запитань, якг б змушували учнГв рухатися в певному напрямГ. По-друге, вчителГ не акцентують уваги на тих логгч-них прогалинах, якг е причиною появи помилкових суджень, не пояснюють !х природи.
Тим самим не розкривають можливо-стг логГчного мислення.
Причини неустшносп з математики обумовлеш невщповщшстю мГж рГвнем розвитку учня та рГвнем вимог, що пред'являються навчанням. Цг вимоги ви-значаються змГстом матерГалу Г методами навчання. УчителГ математики в середшх класах часто недооцГнюють роль конкретно-образного мислення школярГв, пере-ощнюють !х можливостГ до абстрактного мислення; постшають з переходом вГд шдуктивного викладу матерГалу до дедуктивного, вимагаючи мислити учня ще не сформованими категорГями.
АналГзуючи котрольт роботи студен-■пв з методики навчання математики, еле-ментарно! математики, математичного аналГзу, ми прийшли до висновку, що од-тею з причин допущення помилок е низь-кий рГвень сформованостг мислення. Вва-жаемо це наслГдком недостатньо! уваги до його розвитку в перюд навчання у школГ. Навчаючи правильному розв'язанню за-вдань, значна частина вчителГв зовсГм не акцентуе увагу на виробленнГ вмГнь аналь зувати, контролювати та здГйснювати са-моперевГрку виконаних завдань. Дуже важ-ливо привчати учнГв пГсля закшчення розв'язування задачГ повернутися до й умови та осмислити одержаний результат. Якщо учт звикли формально вщноситися до одержаних результатгв, не привчеш зь ставляти !х з вихщними даними, то в по-дальшому в !х роботах з' являються без-глуздГ помилки (наприклад, дробова вщ-повщь тд час знаходження кшькостг людей, вщ'емне значення маси та ш.).
Для того, щоб активГзувати мисленневу дГяльнГсть учнГв тд час вивчення ними теоретичного матерГалу вчителю тд час тд-готовки до уроку слГд продумувати систему питань, що дозволить спрямувати мис-лення учнГв у потрГбне русло, зробити !х активними учасниками у вщкриттг нових положень, зв'язкГв та закономГрностей.
Яюсть навчання в значнш мГрГ зале-жить вГд методично! системи навчання, вГд умшня вчителя застосовувати Г! таким чином, щоб вона сприяла активГзаци мис-ленневоТ дГяльностГ учнГв, розвивала Тх творчий потенцГал, пГдвищувала самостш-
нють, сприяла формуванню загальнонав-чальних та спещальних умшь, встанов-ленню мiжпредметних зв'язюв, забезпечу-вала нормалiзацiю навчального наванта-ження школярiв.
Одтею з причин наявносп прогалин у знаниях учшв та появи помилок, що наяв-н в роботах школярiв, е невикорiнений до юнця прояв формалiзму в робот вчителя та формалiзм у знаннях учшв з математики.
Можливосп вдосконалення методики роботи вчителя математики суттево зале-жать вщ його умшня цшеспрямовано ке-рувати мисленневою дiяльнiстю учшв, ак-тивiзувати И. Здiйсиювати таке керiвницг-во учитель зможе, спираючись на психо-лого-педагогiчнi знання, тобто на систему закономiрносгей, у якш буде сконцентро-вано вiдомостi з психологи та дидактики, i вiдповiдну методику використання ц^е! системи пiд час навчання математики. Зо-крема, йдеться про систему психолого-дидактичних закономiрностей, запропоно-вану Я.1.Грудьоновим [1]. Знаючи щ зако-номiрностi, володiючи методикою !х використання, учитель зможе цшеспрямова-но керувати мисленневою дiяльнiстю учшв, !х увагою, процесами запам'ятову-вання навчального матерiалу. На жаль, мало хто з працюючих учшетв математики знайомий з цими закономiрностями. I причину цього ми вбачаемо перш за все, у вщсутносп специального курсу «Математи-чш помилки учшв та методика !х попере-дження» для студеитiв фiзико-математич-ного факультету педагогичного вузу.
Для виявлення та розробки можливих аспектiв методично! роботи над помилка-ми учнiв нами був проведений констатую-чий експеримент, у якому брали участь 178 вчитетв математики Черкасько!, Одесь-ко! та Кiровоградськоi' областей. Серед них 10% учителiв мали педагопчний стаж до 10 роюв, 43% - вщ 10 до 20 роюв, 47% - бiльше 20-ти роюв. Щодо категорiй, то серед них «спещалюти» та li, хто мав другу квалiфiкацiйиу категорiю - 12% учите-л1в, перша квалiфiкацiйна категорiя - 39%, вища - 49% учитетв.
З метою вивчeння пpaктичнoгo дocвi-дУ з питания aнaлiзy, виявлeния та гопе-peджeння мaтeмaтичниx пoмилoк yчнiв у ^o^ci вивчeния ними aлгeбpи в ocнoвнiй шкoлi здiйcнювaлиcя цiлecпpямoвaнi пе-дагопчш cпocтepeжeння:
ш oбгoвopювaлиcя ypoки у cвiтлi пи-
тань poзглядyвaнoï пpoблeми, ш пpoвoдилиcя пopiвняльнi аналзи ш-
итpoльниx poбiт yчнiв piзниx клаав, ш бeciди, анкетування, iнтepв'ювaния диpeктopiв, зaвyчiв, yчитeлiв, yчнiв, cтyдeитiв-пpaктикaитiв. Рeзyльтaти aнкeтyвaния пoкaзaли, щo 70% oпитaниx вчитeлiв пpoвoдять TOci'm-нo poбoтy над пoмилкaми, i в ocнoвнoмy тд чac викoнaния учиями завдань б^ дoшки та за peзyльтaтaми кoитpoльниx poбiт. Тiльки 15% з ник вiдмiтили, щo op-гaнiзoвyють цю poбoтy за пeвнoю racre-мoю з ypaxyвaниям нayкoвo-oбгpyнтoвa-ниx peкoмeндaцiй. Щo cтocyeтьcя ocтaннix 30% oпитaниx вчитeлiв, тo вoни пpoвoдять poбoтy з пoмилкaми eпiзoдичнo i тшьки в paßi нeoбxiднocтi.
У якocтi ocнoвниx нaпpямiв poбoти з мaтeмaтичними пoмилкaми yчнiв вчитeлi називали:
1) випpaвлeния пoмилoк, дoпyщeниx тд чac викoнaння кoитpoльниx, caмocтiй-ниx, дoмaшнix poбiт, а тaкoж тд чac ycниx вiдпoвiдeй;
2) пoпepeджeння пoмилoк шляxoм ïx дeмoнcтpaцiï вчитслсм;
3) зacтepeжeння yчнiв тд чac гоя^ нсння нoвoгo мaтepiaлy. На жаль, oблiк пoмилoк нс ввiйшoв дo цьoгo пepeлiкy.
Для випpaвлeння дoпyщeниx матема-тичниx пoмилoк бшьшють yчитeлiв нада-ють пepeвaгy вдивщуальним заняттям i заняттям в ipymx пo дeкiлькa yчнiв (32%) та шдивщуальним дoмaшнiм завданням (41%). Ташж були вiдмiчeнi таю види po-бiт як aктyaлiзaцiя вивчeнoгo мaтepiaлy та кoлeктивнa poбoтa за peзyльтaтaми тема-тичнoгo кoитpoлю.
З метою пoпepeджeння пoмилoк вчи-тeлi надають пepeвaгy пoяcнeнню дoмaш-нix завдань (32,4%) та пoвтopeнню вивче-шго мaтepiaлy (24,2%).
У зв'язку з вдеутнютю aдeквaтнoгo cyчacним вимoгaм методичтого забезпе-чення poбoти з математичними гомилка-ми шкoляpiв, yчитeлi у cвoïй дiяльнocтi, гoлoвним чинoм, кepyютьcя ocoбиcтим дocвiдoм та влacнoю штущею.
За даними анкетування та узагальнен-ням вiдoмocтeй, oдepжaниx внacлiдoк бе-ад з учителями, cиcтeмy мeтoдичнoï po6o-ти вчитeлiв з математичними тамилками yчнiв мoжиa змoдeлювaти таким чишм: вuявлeння noMwioK ^ вuправлeння noMu^oK ^ noneрeджeння noM^oK. Очевидш, щo нeдoлiкoм та^' racre-ми е opieнтyвaння лише на виявлення го-милoк, тoбтo пoмилoк уже дoпyщeниx учиями.
На наш гогляд, ocнoвнoю в opгaнiзaцiï po6o™ з пoмилкaми yчнiв е вдaлo canaro-вана та opгaнiзoвaнa навчальна дiяльнicть учителя та тзнавальна дiяльнicть учня з пoпepeджeння та нeдoпyщeння пoмилoк. Зoкpeмa, cиcтeмa пoтoчнoгo кoнгpoлю го-винна бути нaлaштoвaнa на ycyнeння лo-кaльниx пpoгaлин у знaнняx yчнiв.
Це дoзвoлить poзв'язaти два завдання:
1) лiквiдyвaти пpoгaлини в знaнияx yчнiв;
2) забезпечити якicнe зacвoeния ^o-гpaмoвoгo мaтepiaлy.
Сшд зауважити, щo в ocтaннiй чac МОН Укpaïни не poзpoблeнo нoвиx мето-дичниx peкoмeндaцiй на дoпoмoгy вчите-лeвi математики з питань opгaнiзaцiï po6o-ти з л1квщаци та пpoфiлaктики пpoгaлин у знaнняx yчнiв у cyчacниx, змiнeниx yмo-вax poзвиткy ocвiти. Останш пpaктичнi poзpoбки з даш1' пpoблeми та aнaлiз pe-зyльтaтiв вcтyпниx icпигiв були зpoблeнi ще в XX crarn™.
Так, у юнщ вiciмдecятиx на пoчaткy дeв'янocтиx po^ Мifflcтepcтвoм нapoднoï ocвiти Укpaïни були випущен пociбники, щo мicтять методичш peкoмeндaцiï [2, 8, 9] для вчшешв шкш. У ниx визначеш oc-нoвнi типoвi пoмилки тд чac вивчения платмс^' та cтepeoмeтpiï, poзpoблeнi мeтoдичнi пpийoми ïx загоб^ання та ycy-нения. У тоабнику [2] пpoaнaлiзoвaнo ти-
повГ учшвсью помилки в письмових роботах Г усних вщповГдях тд час вивчення алгебри в неповнГй середнГй школГ, з'ясовано причини !х виникнення та рекомендовано можливГ шляхи запобГгання Гм.
АналГз помилок, яких припускалися абГтурГенти на усних Г письмових екзаме-нах здшснили П.С.Моденов [6], В.С.Павлович [7], В.О.Тутков [10]. Автори поаб-ниюв розглянули приклади найбГльш по-ширених типових помилок, запропонува-ли вправи для самостшно'Г роботи та реко-мендацГГ абГтурГентам.
Багато ВНЗ у своГх аналГтичних ви-сновках про результати вступних юпипв тдкреслювали, що абГтурГенти не мають навичок критичного ощнювання результа-■пв свое! роботи, не вГдчувають потреби у встановленш вГдповГдностГ одержано'!' вщ-повГдГ умовГ задачГ Г ощнювання Гг практично! значимостГ. Мало розмГрковують над прийомами розв'язання, поставленого перед ними завдання, не вмшть узагальню-вати цГ прийоми та не вмшть видГляти з них найбГльш прост Г ращональш. Як правило, на письмовому екзаменГ абГтурГент, що розв'язав приклад чи задачу, не аналь зуе вщповщь, не виконуе перевГрку одер-жаного результату, що свГдчить про фор-малГзм у знаннях учшв.
На сучасному етапГ розвитку освГти в умовах змГненого шдходу до ощнювання знань помилки учшв майже не дослщжу-ються. Вщмшено усш та письмовГ екзаме-ни в школГ. Контрольш роботи проводять-ся у тестовш формГ, виконання яких не завжди вГдтворюють реальну картину знань на певному рГвнГ вивчення матерГа-лу. АналГзуючи виконання тестових за-вдань, учителю складно простежити, на якому саме етапГ навчання учень не засво-Гв програмний матерГал.
1нформацГю про характер найбГльш поширених помилок учнГв, яю навчаються за новими програмами та шдручниками, можна знайти в аналГтичних матерГалах -оглядах ЗНО, що друкуються в журналах «Математика в школГ» та «Математика в
школах УкраГни», в шших комплекс-них виданнях, автори яких брали участь у перевГрщ тестгв ЗНО.
СпГлкуючись з учителями математики, методистами вщдшв освГти, знайомля-чись з аналГзами контрольних робГт учнГв, ми прийшли до висновку, що як Г рашше, в знаннях випускникГв шк1л спостерГга-ються серйознГ недолГки. Одним Гз них е розрив м1ж теоретичними знаннями та вмГнням застосовувати Гх до розв'язування задач. ШколярГ не володшть необхГдними умГннями розкривати внутрГшш зв'язки мГж поняттями, що вивчаються, встанов-лювати найпростГшГ види функцюнальних залежностей, не вмГють робити висновки Г узагальнювати накопиченГ ними матема-тичнГ факти, не володГють належним рГв-нем математично! культури.
У КонцепцГ'Г [3] одшею з причин ви-никнення проблеми визначено: «учителГ традицГйно орГентованГ на запам'ятовуван-ня учнями певних абстрактних алгоритмГв дГй, а не на оргашзацш пошуковоГ дГяль-ностГ, розвиток самостшного мислення, формування вГдповГдних компетенцш. Результати участг учнГв 4-х Г 8-х клаав у мж-народних порГвняльних дослГдженнях яко-стг шкГльно'Г природничо-математичноГ освГти пГдтверджують нездатшсть украГн-ських школярГв використовувати здобуп знання та вмГння у реальних ситуацГях по-всякденного життя. Таю недолГки зберГга-ються до заюнчення школи, про що свГд-чать результати аналГзу виконання випус-книками завдань незалежного ощнювання з природничо-математичних предметГв».
Висновки. Якщо говорити про роботу над помилками учнГв пщ час вивчення алгебри, то слщ зазначити, що на практищ ця проблема розв'язуеться досить неефек-тивно. Основною причиною такого явища, на наш погляд, е те, що значна частина вчителГв або не володГе ефективною нау-ково-обгрунтованою методикою органГза-цГГ та проведення роботи з виявлення, запобГгання та усунення помилок учнГв, або в Гх арсеналГ така методика вщсутня взага-лГ.
1. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя / Я.И.Груденов. - М.: Педагогика, 1990. -132 с.
2. Запобггання математичним помилкам учтв: метод. рек. /уклад. Г.М.Возняк. - К.: Радянська школа, 1989. - 88 с.
3. Концепщя Державног цыьовог програ-ми тдвищення якостг шюльног природничо-математичног освти на перюд до 2015 року //Математика в шк., 2010. - № 11. - С.3,4.
4. Кузъмтський А.1. Технолоая i техтка шшльного уроку: навч. поаб / А.I.Кузьмiнський, С.В.Омельяненко. - К. : Знання, 2010. - 335 с.
5. Математика. Комплексне видання: довiдник з математики. 5-11 класи. Аналiз найпоширетших помилок. Типовi mесmовi за-вдання / О.С.Будна, С.М.Будна, А.Р.Гальперта та т. -Х. : «Лтера» ЛТД, 2010. - 320 с.
6. МоденовП.С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения / П.С.Моденов. -М.: Просвещение, 1969. - 351 с.
7. Павлович В. С. Анализ ошибок абитуриентов по математике / В. С.Павлович. - К.: Вища школа, 1975. - 232 с.
8. Прогалини в знаннях учтв з платмет-рп та запобШння гм: Метод. рек. /уклад. Г.М.Возняк. - К.: Остта, 1991. - 65с.
9. Прогалини в знаннях учтв iз стерео-метрИ та гх запобкання: метод. рек. /уклад. Г.М.Возняк- К.: Остта, 1993. - 69 с.
10. Тупиков В.А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике. - 3-е изд. Стереотип / В.А. Тупиков. - Минск: Вышэйшая шк., 1972. - 88 с.
Резюме. Благодыр Л. А. ОШИБКИ УЧЕНИКОВ В ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ: ПРАКТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ. В статье рассматривается состояние проблемы исследования математических ошибок учащихся в практике обучения алгебре в основной школе. Проанализированы причины появления ошибок в знаниях учеников по математике.
Ключевые слова: проблема, математические ошибки учащихся, обучение в основной школе.
Abstract. Blagodyr L. PRACTICAL ASPECT OF PUPIL'S ERRORS IN TEACHING ALGEBRA. The state of the scientific problem is considered on in the article on the example of teaching algebra to secondary school pupils. The reasons for pupils' errors in mathematics are analyzed.
Key words: problem, pupils' mathematical errors, training at secondary school.
Стаття представлена професором В.О.Швецом Надшшла доредакцп 22.02.2011 р.
