CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2GG8, том 51, №2_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 5І7.5
З.А.Парвонаева
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МАЛОЙ ГЛАДКОСТИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 20.02.2008 г.)
1. Рассмотрим квадратурную формулу [І]
ь п
Jq(t)f(t)dt ^Y.Pkf^k) + Rn{f^p^T) (!)
a
в которой весовая функция q(t) на (конечном или бесконечном) интервале (а,Ь) неотрицательна, суммируема и, следовательно, интегрируема по Риману,
Т = Тп -а = Ч <4 < ~<К-1 <*п =ь (2)
- некоторый вектор узлов, Р = {рк} - вектор коэффициентов, Rn(f;q,P,T) - погрешность формулы.
Всюду в дальнейшем через Rn(Wl;q,P,T) обозначим погрешность квадратурной формулы (І) на классе функций M :
Rn Ш;q,Р,Т =sup|i?„ f;q,P,T \
f^m
и положим
Sn(m;q) = wfRn(m;q,P,T). (3)
Если существуют вектор коэффициентов Р° — [РІ j и вектор узлов Т° ={tak), ДЛЯ которых нижняя грань в (3) достигается, то квадратурная формула (І) называется оптимальной или наилучшей на классе Ш , а вектор (Р" ,'Г") — наилучшим вектором коэффициентом и узлом. При этом величина (3) дает наименьшую погрешность квадратурной формулы (І) на классе M . Иногда вместо (3) рассматривают следующую величину
£п (Ш; q, Г) = inf Rn (Ш; q, Р, Г). (3)'
Если существует вектор Р° - {pi}, для которых нижняя грань в (3) достигается, то квадратурная формула (І) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узле Т = {tk}.
В качестве Ш будем рассматривать класс На[а,Ь]-функций f(t), определенных на отрезке [а,й] и для \/ґ',ґ"є[а,й] удовлетворяющих условию
\m-f{f)\<co(\t'-f\), (4)
где co{t) - заданный модуль непрерывности, то есть неубывающая полуаддитивная на отрезке [О,Ь-а\ функция, для которой <»(0) = 0. Из (4) при a>(t) = ta,0 < а < 1 получаем класс Лип-щица На\а,Ь]:
Очевидно, что класс if1 [а, 6] совпадает с классом W(V) [а, 6]- функций f(t), непрерывных на отрезке [а, Ь\ и имеющих кусочно-непрерывную производную удовлетво-
ряющая условию
supvrai | f\t) |< 1.
a<t<b
2. Если известен вектор значений f(Tn) = {f(t0),f(tl),...,f(tn)} функций f еНю[а,Ь] в системе точек (2), то верхнюю и нижнюю границы множества
Hc\f{Tn)) = №: д ^Н"[а,Ь],д(0 = ЯЧ\к = 0,1,2,...,и} образуют функции, определенные на отрезке [tk_x,tk],k = 1,2,...,и, соответственно равенствами
V>(/;0 := (Tn),t) = таx{f(tk)~ со(\ t-tk |)},
0 <к<п
:= ip{f{Tn),t) = min{f(tk) + ю(| t — tk |)}.
0 <k<n
Легко проверить, что -0(/;O и r'(./V) принадлежат классу Н""[a,h], причем 4)(f',tk) = Lp(f,tk) = f(tk),k = 0,l,2,...,n, и при любом t е[а,й] выполняется неравенство
(5)
Функции ; I ) и ip( f; I ) являются соответственно точной минорантой и точной ма-
жорантой для функций / е Нт\а,Ъ]. Так как весовая функция q(t) положительна на \а,Ъ\, то из (5) следует, что
ь ь ь
f)dt ^ ; t)dt. (6)
а а а
В [2, с. 155] доказано, что класс На\а,Ь] является выпуклым, замкнутым и центрально-симметричным множеством. Поэтому из (6) следует, что образом множества Ha(f(Tn)) при отображении
S(f,q)= \q{t)f{t)dt
а
является отрезок
S(H"(f(T„)U1)= )q(t)4if ;t)dt, \q(tMf,t)dt
_a a _
Согласно определению [2, с.88], точка
1 ^
Z(/; q, Р,Т) = - \q(t) ip(J\ t) + t) dt (7)
a
является центром отрезка S(Ha(f(Tn)),q), а величина
1 ^
Rn(/;q,P’T^ = 2 ^^ dt ^
a
- его радиусом, то есть половиной длины. Из (8) следует, что задача нахождения величины (3) для Ш1 = H"’\a,h\ эквивалетна нахождению следующей величины
^„(H(0-,q) = inf sup Rn(f;q,P,T) =
(~P’T>f<EHe'
1 Ь
= - inf sup lq(t)[<p(f;t)-^(f;t)]dt.
2 (p’T>ftH" Ja
Чтобы для произвольной неотрицательной и суммируемой весовой функции q(t) вычислить интеграл в правой части (8), представим функции y/( f’,t) и <p(f',t) в виде
ф f,t =< к =
ip f,t = <^ к = \.2.....п.
1 f(tk) + (D(tk-i), %k<t<tk,
Используя эти равенства, имеем:
ь п I & h
j"<7(/)<£>(y)fifr = ^ j | q(t)cp(t)dt + ^q(t)cp(t)dt j- =
а k=l U-i 4 J
И I St **
= Z1 J ?(*) /(^-1)+ ®1- ^-1) dt + I?(*) /(**) + dt f= (9)
= Zj/fe-i) \q(t)dt + f(tk)\q(t)dt+ \q(t)co(t-tk_l)dt+ \q(t)a)(tk-t)dt\.
k=l I h-i &
Аналогичным образом получаем
Л
Л
^ п \ Чк
^д(і)ф(і)сіі = | д(і)ф(і)сіі + ^{і)ф{і)(іі.
%
п Чк Ч Чк ч
Ё1Д0) |?(о<#+до {?(?>#- -о^Н
І=1 І 4-і Чк 4-і Чк І
(10)
Из равенств (9) и (10) с учетом (7) и (8) следует, что
£пиЛ ,Р,Т) =
Г / *
1
2 к=і
ДО)'
\г*-1
-до
+
\‘і-1
/
+
| ц{і)ск + I ц{і)ск 1 ^-1 .. т
I q(t)G)(t - ік_х )Л - І д(і)со(і - ік_х )Л
Ч-\
к к |<7(0^(Л -і)(М- |^(0<'і>іік-і)(М
к Ік |^(ґ)й?ґ+ |^(ґ)й?ґ
%
+
(11)
Чк
Рп(/;д,Р,Г) =
\ f
+ ДО-
п '
Чк
\Ік
ДО,)- |?(0<#- {?(0<*
V г*-і г*-і
& т
+ / ?(0®(* - 4-і )Ж + / ?(0ю(* - 4-і )Ж
Ч-\ Ч-\
Ч *к
|^)(»(^ -ґ)й?ґ+ |^)ю(^ -ґ)й?ґ >.
л
|^(ґ)й?ґ- |^(ґ)й?ґ
Чк
+
(12)
+ .............
4 Чк
Из геометрических соображений очевидным образом следует, что при любом расположении точек %к,1]к е[1к_г,1к] для произвольной функции / еНт[а,Ь] имеем
^к
ДО,)
ік Чк
| - І
\ г
+ДО
Ік Ік
\ік
Чк
<0.
Поэтому величина (12) принимает наибольшее значение на тех функциях / еНю\а,Ь], для которых ДО = 0, к = 0,1,...,п. При этом, очевидно, что =г1к = (4-1 + 0/2> и мы из (11) и (12), соответственно, получаем:
9,Р,Т) =
п Г (tk-^+tk)/2 Ч 1 п
= Е]ДО 1) I ?0># + Д0 | я(?)<*Л = 'ЁРк/(?к)>
к=1 I *, . Г^_1+^)/2 I к=0
где
(a+t1)/2 (tk+tk+l)/2 Ь
Po= J <l(f)dt>Pk= J q(t)dt,k = l,2,...,n-l;pn = J q(t)dt
a (%-l +tk')^ (t„~i+b)/2
Rn(f;q,T,P) =
n 4 ]
= Z] I q(t)a(t-tk_l)dt+ J q(t)0)(tk-t)dt\. (13)
^=1 [ h-i (h-i+tt У 2 J
Равенство (І3) означает, что при любом векторе коэффициентов
P = {pk},k = 0,l,...,n справедливо равенство
ь
sup \Rn(f\q,P,T)\= \q(t)f0(t)dt, (14)
/єЯ„"[а,г>]
где
Щ[а,Щ = {/: /єН"’[аМДік) = 0,k = 0,1,...,л),
f0(t) = a)(\t-tk \),xk <t<xk+l,k = 0,\,2,...,n,
причем
х0=10=а,хк=(1к_1+1к)12,к = \,2,...,п,хп+1 =1п =Ь.
г
Положим д^)= ^д{и)с1и. Тогда, предполагая, что модулем непрерывности со{{) явля-
0
ется дифференцируемая функция, из (14) находим:
ь
к„(н%-лр,т)=\Ч(1)тл=
а
= £ | } ?(0 - 4-г № + }?(0 ]
*=1 1%-1 ч
= £ 1 } - 4-г) ^ (0 + {- 0 (0!
*=1 ч
£{»(**- 4-і )я (л) - ®(Ч - **)qi (л)+
fc=l
‘А: лк
+ \Чі (0 - t)dt - J qx (t) co’(t - tk_j )<*} =
9l
=ЕІ }^і (о ®'(**- о*# -} Чг со ®'о - **-1 >#
^=1 х,_ /1,_ ,
(15)
Заметим, что правая часть (15) не зависит от вектора коэффициентов Р = {рк }. Таким образом, при фиксированных узлах (2) точная оценка погрешности квадратурной формулы (1) с весовой фунцией д(х) на классе Н“ имеет вид
К(Н°;д,Р,Т) =
п С С
Е і ]Чі (0®'0* - - | Чі (0®'(? - 4-і )Ж,
у, ^ ,
= 17(а,^2,...^п_1,Ъ) (16)
и задача сводится к нахождению минимума функции ./(а,^,^,...,^,^) по всевозможным векторам Т = {^}, удовлетворяющим условиям
а = *„ < < *2 < - < іп_х <іп=Ь.
Приравняв к нулю частные производные функции (16) по переменным = 1,2,...,77-1, получим следующую систему уравнений:
5^
ді.
1к
■со
к (Ч-1+Ч)^2 ік +к+і У 2
■ (О
= 0
(17)
к - \,2,...,п-\.
Если решение Т° системы (17) существует и един-
ственно, то оно как раз определяет точку минимума функции ^7причем вектор коэффициентов
лк+1
рі-рі=
х° =а,х° =(^_1+^)/2,к = 1,2,...,п:хп =Ь
по этим же узлам определяется оптимальным образом. Действительно, с одной стороны, имеем:
к
0
X
к
*я(Н°;д)7>ш£)Кн(Щ;д,Р,Т) =
к=1
Чс лк
|<У, (*>'($ - 1)с/1 - | ^(0 • со (I -/°_1)
(19)
С другой стороны, для получения противоположного неравенства оценим с7п{Н'\ц) сверху. Пусть Т° - решение системы (17). Тогда, используя вектор-коэффициентов
(18), для любой функции / еНш[а,Ь\ будем иметь
яй(/;<1,р°,П =
п к+\
I /шо-/©]?«<#
к—О го хк
<
< ^ | ®(| ^ - ^ |) • = ^(а> ^1°Л, ■ •• ■■ > Сх>ь),
а потому
£п(Нб\д)<^(аХ4^СгМ
Из сопоставления неравенств (19) и (20) следует, что
к=1
к лк
- | с^а)■ о/а-)с/1
(20)
2° =Г°-Г°
1к 1к 1к-1 ‘
*■=1 о
(21)
Для случая <у(0 = ?“,0 < а < 1, то есть когда Я0[а,Ь] = На\а,Ь], равенство (21) приобретает вид
4(Н",д)=с-£
к=1
*к хк
= а
к=1 о
В частности, при а = 1 имеем:
и
о
0
к
п
к=1
** хк
(/)*#-
(22)
Добавляя и вычитая аналогичные интегралы по промежуткам [а,х°] и [а, /{' , ] в правой части (22) имеем:
/°
Л-1 ГЛ
<(Я1;9) = 2Х|<?,(0^-2Х | с/, (/)б// + ^<7, (/)б//
^-1 а ^-1 а а
Равенство (23) ранее получено в работе [3].
Рассмотрим некоторые частные весовые квадратурные формулы.
3. Пусть [а, 6] = [0,+оо), <7(7) = е~*. В этом случае, справедлива Теорема 1. Среди квадратурных формул вида
(23)
+со л
/е-у(ОЛ = £А/(0 + ^(/;0
£=0
наилучшей для класса Я'[0,+оо) является формула, узлы и коэффициенты которой определяются равенствами
% = 1п
іЛ + ї.е-и*
п п
,к =
г = 0 г = 1
*0 К'91П А?
„0 1 (Л —1/2 „0 1 Г^-1/2 -1>
Ро — '[1 е )’Рп ~ [е )’
п у J пу J
Рк =— п
• (1 -е'1/2)-[(п-к) + ке~т],к = 1,2,...,п -1. При этом погрешность на всем классе Н1 равна
= 1-е 1/2 )2.
п
Приступая к вычислению величины (3) при фиксированном векторе узле Т = {^}, воспользуемся формулой, доказанной в работе [4],
1/2 п п-\
£(Я“;Т) = | {^(1 - 0 + ?(0 + X “0 + Ч(і + С)].
о к=1
ъ
о
2
Теорема 2. Пусть \а, Л] = [0,1 ], с/(1) = эт пі. Тогда для вектора узлов Т* = (/,. : ^ = к/п}”к=0 наилучшая по коэффициентам квадратурная формула типа Маркова имеет вид
і
J / (t) sin ntdt =
” 1 як J кЛ
2й н п упу
погрешность которой на всем классе Ят[0,1] равна
—isin2^-[/(0)+/(i)] + sin^-^sin—■/ - \+Rn(f'Mn7rtX), 71 4 n ™ ™ 1
1/2/5
S(H ;sm7rt,T )=---------------------cos;r
. л- J
sin----- 0
2n
' 1л
t------
v 2 nj
В частности, при co{t) = t получаем результат работы [5]
£п (Я1; sin =
n 4 n
Если же выбрать вектор узлов
2k-\
t** = у о = °Л = M* =^^~,k = x,2''"'ny
(24)
то мы получим следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть [а, Л] = [0,1], с/(1) = эт л/. Тогда для вектора узлов (24) наилучшая по коэффициентам квадратурная формула типа Маркова имеет вид
і
J/(t) sin ntdt -
2
п-1
7Г
П
п к=1
7гк
п
Ґ2к-\Л v 2п j
• + ^(/;sin^,r*),
погрешность которой на всем классе Я® [0,1] равна
£п (Я®; sin 7rt, Т**) = 2 cos — • [ sin ntco{t)dt.
2 n J
1/2/5
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
Поступило 20.02.2008 г.
о
о
о
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. - Квадратурные формулы, М.: Наука, 1979, 256 с.
2. Сухарев А.Г. - Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа, М.:Наука, 1989, 304 с.
3. Бусарова Т.Н. - Укр.матем. журнал, 1986, т.38, №1, с.89-93.
4. Лебедь Г.К. - Матем.заметки, 1968, т.3, №5, с.577-586.
5. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. - ДАН РТ, 2004, т.47, №3, с.14-19.
З.А.Парвонаева
ОПТИМИЗАТСИЯИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОР БАРОИ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ КАМСУФТА
Дар мак;ола формулах,ои квадратурии вазндор барои синфи функсиях,ои камсуф-та омухта шудааст. Барои синфх,ои муоинашаванда хатогии х,аник;и формулах,о х,исоб карда шудааст.
Z.A.Parvonaeva
OPTIMIZATION OF QUADRATURE FORMULAES WITH WEIGHT FOR A LITTLE-SMOOTH FUNCTIONS
In this article have been learned the quadrature formulaes with positive weight for a little-smooth functions. The exact estimations errors of formulaes were founded for these considered classes.
