О наилучших весовых квадратурных формулах для некоторых классов функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

З.А.Парвонаева, С.А.Алигаваров О НАИЛУЧШИХ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.10.2014 г.)

В работе рассматривается задача отыскания наилучших весовых квадратурных формул для класса Липщица.

Ключевые слова: весовая квадратурная формула - погрешность - оптимальные узлы - оптимальные коэффициенты.

Пусть КН(1) := КН(1)[а, Ь] - класс функций Липщица порядка 1 с константой К, то есть множество функций /(г), заданных и определённых на отрезке [а, Ь] и для любых двух точек г , г е [а, Ь], удовлетворяющих условию

\/ (г') - / (г ")|< К\г -г "|,

а := Ж(1)(К;[а, Ь]) - множество всех функций /(г), для которых

supvrai \ /(г ) \< К.

а<г<Ь

Известно [1, с.19-20], что КН(1) = КЖ(1}.

Напомним общую постановку задачи отыскания наилучших (оптимальных) квадратурных формул в смысле С.М.Никольского [1, с.16].

Рассмотрим квадратурную формулу вида

U п

{ q(t )f (t )dt = X Pkf (tk ) + R (f; q), (1)

к=1

задаваемую векторами узлов Т = { : а < ^ < ^ <... < ^ < ^ < Ь} и коэффициентов Р = {р^ }"к=1, Яп (/, д) = Яп (/, д; Р,Т) - погрешность формулы (1) на функцию /(г), а д(г) - неотрицательная, интегрируемая на отрезке [а, Ь], весовая функция.

Если М - некоторый класс функций, заданных и интегрируемых на отрезке [а, Ь], то положим

Адрес для корреспонденции: Парвонаева Зайбогул Абдулалиевна. 736000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул. Ленина, 28, Хорогский госуниверситет. E-mail: [email protected]

Яп (МГ, д; Р, Т) = su.pl| Яп (/, д; Р, Т) |: / е Ш). Задача состоит в отыскании величины

8пт,д)=т£Кп(Ш,д;Р,Т) (2)

и указании вектор-коэффициентов Р0 = {р°)"к=1 и узлов Т0 = {-°)П=1, реализующих в правой части (2)

точную нижнюю грань. Всюду далее в качестве М будем рассматривать класс КН(1), полагая, ради простоты, К = 1.

Таким образом, требуется найти

8ХН*\9) = ЩЯн(Нт,<Г,Р,Т)- (3)

Оценим сначала величину (3) снизу. При этом пользуемся хорошо известным методом Корнейчука [2] получения оценки снизу квадратурных формул, согласно которому каждому вектору узлов

Т = {-к Ки сопоставляется подмножество НТ(1) функций /(-) е Н(1) в узлах - , обращающихся в

нуль:

НТТ = {/: / е Н(1), = 0, к = 1,2,..., п}.

В этом случае, каков бы не был вектор коэффициентов Р = {рк )П=1, справедлива оценка снизу

ь

£п(нт;д) > ея(Н*\9) = { дШт, (4)

где

/т(г) =| г -гк |, (Хк < г < Хк+1,к = 0,1,.,п);

Хо = Хк = (гк + /2, к =1,п-1; Хп = ь.

Далее положим

Я (-) = 1 Ч(и)^и, д2 (-) = | я (п)йп.

а а

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Оптимальный вектор узлов Т0 = {-°)П=1 наилучшей квадратурной формулы вида (1) определяется из решения системы

а

2*1(0 - д I — 1 = о,

2Чх(Ч ) - Ч1

2

Ч-1 + ч 2

г.,, + г..

Ч1

Ч + Ч+1

= 0, k = 2,.,и -1,

2дх(гп)-д I|-*1(Ь) = о,

(5)

а оптимальные коэффициенты Р = {Рд.}П=1 определяются равенствами

р0 =

| q(t)dt, х00 = а, х0 = (/0 + О /2, £ = 1,2,.,и -1; = Ь.

хк-1

(6)

При этом для оптимальной погрешности наилучшей квадратурной формулы на всём классе

Н (1) справедливо равенство

-1 f +0 ,¿0 \ гк + к+1

кт=1

кт=1

+ (Ь - г°п)д1(Ь) - д2(Ь).

(7)

Доказательство. В самом деле, вычисляя интегрированием по частям интеграл в правой части (4), получаем

ь п "к

I д(г)/Г (г)йг = £ | \ г - гк \ д(г)йг =

а к=1 Хк-1

п ^

: Е {| (г* - г)д(г)& +1 (г - гк )д(г)Л} =

к=1 , г

П к к-1 к к

Е { | д1(г)аг - (гк - хк-1) I д(и)Ли + (хк - гк) | д(и)йид1(г)ёг} .

к=1

=2Е ч2{ч ) - 2Е) - (ь - ч ыь) - <Ъ(ь)= * хг,..., /п).

к=1

к=1

(8)

Таким образом, требуется найти минимум величины (8) по всем векторам узлов Т = { гк }П=1. Необходимые условия существования экстремума функции ^, /2,..., /и ) приводит к решению системы уравнений (5). Если решение Т0 = {7°, ,..., системы (5) существует и единственно, то оно определяет как раз точку минимума функции &(^,/2,...,/и) . В этом случае с учтом включения Н^1 ^ Н(1) получаем

<

х

х

л

= 2]Т д2(к-2£ д2Г1 + (Ь--°п)д1(Ъ)-д2(Ъ). (9)

¿=1 к=\ ^ 2 У

Теперь получим оценку сверху величины £п ( //"'; £/). Полагаем

-0

р0 =| к = 1,.,п, (10)

где

О /Л , л

хО = а, хО = (гО + г0+1) / 2, к = 1,2,...,п -1; хО = Ь.

Воспользовавшись вектором коэффициентов (10), для произвольной функции / е Н(1) имеем:

П к

\Яп (/, д; Р0, Т 0)|=\£ | [/(О - / (кМ )Л |<

к=1 го

„о

п хк

£ I --коIд(0*й = |д(-)/т«т = ^,-о,...,п,

<

к=1 3

откуда сразу следует оценка сверху

(11)

Если решение системы (5) единственно, то правые части неравенства (9) и (11) совпадают и тогда получаем

£п(Н(1);д) = = т£ Яп(Нт,д;Р,Т) = =

= 2^ д2(-°) - 2}-1 д2 Г ^^ ] + (Ь - О^Ь) - д2(Ь),

к=\ к=\

V 2 У

причём вектор Р0 = {р°)П=1 оптимальных коэффициентов определяется формулами (10), а вектор Т0 оптимальных узлов определяется единственным решением системы (5), чем и завершаем доказательство теоремы 1.

В заключение отметим, что рассмотренная задача (2) для квадратурной формулы Маркова

Ъ п

I д(г)/(-= р0 / (а)+£ Рк/(-к)+Рп+1 / (Ь)+Яп (/; д),

к=1

у которой концы отрезка х = а и — = Ь зафиксированы в качестве узлов, ранее была рассмотрена Т.Н.Бусаровой [3].

0 хк-1

Ь

а

а

В качестве применения теоремы 1 рассмотрим конкретный случай д(г) = е 1, [а, Ь] = [0, +да). В этом случае система (5) имеет единственное решение [4]

е-1 = п / (п +1), е-П = [п(п +1)]-1,

_ж -'ж к -1

е"к = е-2 - (е-2 - е п--, (к = 2,3,., и-1),

п-1

п(п +1) п +1 - к

откуда находим /к = 1п---—-2, рк = 2—-—, к = 1,2,., и.

(п - к +1)2 п(п +1)

Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Единственной наилучшей квадратурной формулой вида (1) при д(г) = е-, [а, Ь] = [0, +ю) является формула

+Р г " ч л ^ 2(п +1 - к) . (. П(п +1) ^ _ , . | е'/(г)Ж = Е -гт2 I 1п ( ) + К- (/, е< ).

0 к=1 П(П +1) ^ (П - к +1)2 )

При этом для погрешности этой формулы верно равенство

£я(Н«\е') = ея<№\е-') = +

Поступило 14.10.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М., 1988.

2. Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных - Мат.заметки, 1968, т.3, 5, с.565-576.

3. Бусарова Т.Н. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул. - В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. - Днепропетровск: ДГУ, 1980, с.17-21.

4. Гиршович Ю. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале. - Изв. АН Эстонской ССР, т.24, Сер. физика. математика, 1975, 1, с.121-123.

З.А.Парвонаева, С.А.Алигаваров ОИДИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОРИ БЕ^ТАРИН БАРОИ

БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев

Дар макола масъалаи ёфтани формулахои квадратурии бехтарини вазндор барои синфи Липшитс дида баромада шудааст.

Калима^ои калиди: формулаи квадратурии вазндор - хатоги - гиреууои беутарин -коэффитсиентуои беутарин.

Z.A.Parvonaeva, S.A.Aligavarov ABOUT THE BEST QUADRATURE FORMULAS WITH WEIGHTS FOR SOME

CLASSES FUNCTIONS

M.Nazarshoev State University of Khorog In this article the problem of finding the best quadrature formulas with weight for a Lipchitz class is consider.

Key words: quadrature formula with weights - error - optimal nodes - optimal coefficient.