О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

и

*

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №7

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева О НАИЛУЧШИХ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ

НЕПРЕРЫВНОСТИ

В статье рассматриваем квадратурную формулу

и

|*д (г) / (г) Ж = ^рк/ (гк) + Яп (/; q; Т, р), (1)

„ к=0

в которой весовая функция q (г) неотрицательна на интервале (а, Ь) и интегрируема (может быть, В несобственном смысле) ПО Риману, Т — } - некоторый вектор узлов, Р = {рк } -

вектор коэффициентов, а Яп (/; q;T, Р) - погрешность квадратурной формулы (1) на функции / (г).

Если М - некоторый класс функций {/ (г)} определенных на отрезке [а, Ь], то через

Яп(Ш;д;Т,Р) = 8ир{| Кп(/;д;Т,Р) |: / еШ} обозначим погрешность квадратурной формулы (1) на этом классе функций и пусть V -множество векторов Р = \р/.!, для которых формула (1) имеет смысл. Требуется при заданной положительной весовой функции q(t) найти величину [1], [2]:

ггй ( Ш; Ч- Т) = тЦРп (Ш; д; Р, Т) : Р а V}. (2)

Если существует вектор Р° - [ е "Р такой, для которого в (2) достигается нижняя грань,

т.е. если

еп(ш-ч-т)=11п(т-ч-.р\п

то квадратурная формула (1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированных узлах Р — {1к }.

Всюду далее, в качестве Ш рассмотрим класс На =Р1т\а^Ъ\ - функций У(0> оп' ределенных на отрезке [б/,/)] и для любых двух точек е [б/,/)] удовлетворяющих условию

\т-яп\<со{\г-п\ (з)

где - заданный модуль непрерывности. В частности, при <у(7) = ? из неравенства (3)

получаем класс Липщица Н1 = Н^\а,Ь\ - функций /"(У) для любых ,?"е [<2,/)], удовлетворяющих неравенству

\т-яп\<\г-п.

В этих обозначениях справедлива следующая

Теорема 1. Пусть [б/, />] = [0,1] и С/(1) = БИТ я/. Тогда среди квадратурных формул вида (1) с фиксированными узлами Т = {(к 1к = к /п) наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой на классе Н ю является формула

1 П-1 / 7 \

ГвІПЯҐ/(0^ = -8ІП2 -^[/(0) + /(1)] + -БІП^У БІП —/( - ] + (/). (4)

J л- 4и л- 2 ' и у и у

о £=і

При этом наилучшая оценка остатка на всем классе Н а равна

1/2 п.

4111 7й + со яя?

2 п

\Пп

єп (Н® ,ып7й,Т*) = 2 ^зіїШ + созяґс^^-^-^(5)

о

5 частности, при Со(1) = / для класса Н1 имеем:

єп (Я1;біііяг1;Г*) = —Ї—Г 1 + 2со8—.

пг V 2«у 4«

Доказательство. В работе [2] доказано, что квадратурная формула (1) с произвольными узлами Т — : а — ^ <... < tn_Y <1п—Ъ} и весовой функцией £/(7) > 0 будет наи-

лучшей по коэффициентам формулой на классе Н®, если ее коэффициенты определить равенствами

4+1

рк = к = ОД,...,и, (6)

хк

где х0 =а, хи+1 = &, =(^_1 +^)/2, к = 1,2,.../г.

При этом легко подсчитать, что

(*!-«)/2 {Ь-1п_х)12

£п(На ;д;Т) = ^д(а + ^а)^)&+ ^д(Ъ ~^со^)&

+

о

о

n- І

+Z <

k= І

С^k+І {k )/2

С{k fk-І )/2

J q(tk + t)co(t)dt + ^q{tk -t)co(t)dt

о о

Л*

(7)

В частности, для вектора равноотстоящих узлов Т — {/ к 1к ~ к/ п\ из (7) следует, что

£„(Я»;?;Г*) =

І/2 n

n-І

(8)

= | 4(О + 4(1-О + Х(^[й + 0 + ЧЙ-/1

о \- к =1

Вычислив Р = {рк} по формуле (6) ДЛЯ £/(?) = я? , получаем коэффициенты формулы

(4). Для доказательства равенства (5) из (8) с учетом тождества (см.[3], формулу 1.344(1), стр.44)

■ кл 2^5т — = а8

k=І

7Г

2 п

имеем:

єп(Н ;sin7rt;T ) =

І./2 n

I

n—І

sm;#

+ sin Л~ (1 — Ґ I sin Я-1--------------------h Ґ J + sin — t

k-І

k

co(t)dt =

І/2 n,

&ЧЇ1

co(t)dt =

J I 2sin;tf+ 2cos;tf^sin| —

О V k=1

l/2w

= 2 J^sin;zf+ cos;rfc£g^-^j

о

откуда и следует утверждение теоремы 1. Имеет место также

Теорема 2. Пусть [б/,/?] — [0,1] н Cj(t ) = Є . Тогда среди всех квадратурных формул вида (1) с фиксированными узлами Т = [ / k \tk — k / п] и произвольными коэффициентами Р — {рk J наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой на классе Н0) является формула

о

Г е‘М)Л = ЪГ''<"&±-т + Ъ!-м'*зЬ±-т + ЪЬ^£1е-"’/ - +Л„(/)

О 4 п 4 п 2 пХТх \п)

При этом наилучшая оценка остатка на всем классе Н а равна

£п(Н‘“-е-'-Т’) =

1/2 п

1 +е 1+1 -2сЫ{е 1 -е 1/л )(1 — є 11п ) 1}а)(і)Л.

(9)

В частности,

£п(Н1-еч-Т*)

и имеет место предельное равенство

3(\-е~1 ) 4 ' --1

4 и

+ е 4 и'

(10)

и—>00

Доказательство. Равенство (9) вытекает из (8) непосредственным вычислением. Полагая в (9) <2>(7) = ? и вычисляя интегралы, получаем

+

е

\п 2 п

Воспользуясь асимптотическими равенствами

(11)

е

еХ » 1 + .Х5.Х ^ О И БШ! « X, X —>■ О,

после несложных вычислений из равенства (11) получаем правую часть соотношения (10), тем самым завершаем доказательство теоремы 2.

В практике вычислений более удобной является следующая

Теорема 3. Пусть [ а, Ь М-1Д]. Тогда среди квадратурных формул вида (1) с весовой функцией с/(1) = 1 /V1 -!2 фиксированными узлами Т = к ^к —СОБкл/п} и произвольными коэффициентами Р — {рк } наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой на классе Н ' является формула

і

0

|4==^[/(-1)+/(1)]+-Х/[С08—Vк (/)■ (12)

2п п Ы к п!

При этом для точной оценки погрешности формулы (12) на всем классе Ню [ — 1,1] имеет место равенство

л; !2п

єп (Я0 [—1,1];(л/і — ґ2 )_1;Т**) = 2п |ю(і)Л.

о

Доказательство. Квадратурную формулу (1) с весовой функцией д(і) = 1/л/1 — I2 вектором узлами Т ={^ : ік = со$(кж)1п}, (к = 0,1,..., п) запишем в виде

и

= ^о/(-!) + Х^(С08^) + рп-^С1)+ С^)'

(13)

'/(* )Ж_

■?2 к=і Полагая в формуле (13)

Ґ = СОБ#, -1 < / <1, 0 <в <7Г, (р{в) = / (СОБ#), (14)

получаем формулу

и—1

у V , . о, V , ^ +

|р(0)^0 = /^(О) + ^/?*р(^] + /?йр(;г) + Дй (15)

о *=1 ”

где (р{в) є Я (і> [0,Л"]. Тогда из (13) - (15) следует, что

’=-р о / (-1)-£

■ * к=1

Л п~^ ґ 1 \

= ^<р(0^6-р0ф(0)-^рк(р\-^-урп<р(я) = Кп (<р),

0 к=1

откуда согласно определению получаем

(Я® [-1,1];(л/і-Г2 )_1 ;Г** ) = іпґ(Я® [-1,1]; (л/і - Г2 )-1 ;Г** ,Р)

= ^ [0,;г];Г ,Р) = єп (Я [0,;г];Г ), (16)

где положено Т0 ={0к : 0к = кл/п}, (к = 0,1,...,п).

Из (16) ясно, что для нахождения точной оценки погрешности квадратурной формулы (13) на классе функций Н ы [ — 1,1] достаточно найти точную оценку погрешности формулы

(15) на классе Н0} [0,Л"]. С этой целью оценим величину в правой части равенства (16). Оценку снизу получим, следуя методу, изложенному в статье [4], а именно сопоставим вектору узлов Т° = {0к \0к = кж/п} множество

Н0ю[0,ж] = {(р\ (р£Нсо\0,7г1(р(вк) = 0,к = 0Л,...,п}-

При произвольном векторе узлов Р — {Рк } для этого множества имеем:

л

эирЦ Яи <>;т°,Р)|^єНо"[0,я-]}= |^о ^)АО,

(17)

где

Фо(в) =

(О {в),

0 < в < ж !2п.

кж

&>[^| в--------1 ], (2к -Х)ж !2п < в < (2к + \)ж/2п, к = 1,2,...и -1

со(ж-6), (2п-\)ж/2п < в < ж.

Таким образом, из (17) следует, что

П

є„ (Н“ [о,ж]; т о ) > є и (Н о" [о,Я-]; Т о ) > ^ (0) Ав =

о

л/2п п_\ (2к+\)л/2п л

= ^со{д)<ід + '^^ | а>^\0-—\^0 + jcL>(ж-6)dв =

о к=\ (2к-1)л/2п тт-жПп

л!2п п-\

2 ^(D(в)dв + ^J

п к=1

кл / п (2к+1)л/2п

^(^--0^0 + | со[е-^^в

кл I п

^кж

(2к-\) л !2п

л !2п

л !2п

л !2п

= 2 ^G)(6)d6 + 2(п-\) | cд{6)d6 = 2п j(^>(0)d0. (18)

Теперь оценим величину £п (Н [0,ж\,Т ) сверху. С этой целью для вектора уз-

лов Т° ={0к : 0к -кж/п}, (А:-ОД...,и) положим

о

о

о

о

={Рк° '■ Рк° =л/п,к = \,2,...,п-\; р0 =рп =ж12п}.

Очевидно, что для произвольной функции (р(в)еН6) [0,я-] погрешность формулы (15) представима в виде

л/2п

К„(ч>-т\ра)= \шв)-<р(0)¥<р+

п_^ {2к+\)л/2п

+ Х | (р^~(р{~]ав+ \^в)-(р^7ГУ\(!в- (19)

к=1(2к-\)л12п (2к-\)л!2п

Оценивая по абсолютной величине равенство (19) с учетом определения класса На [0,я-] будем иметь

л !2п

\Яп((р;Т0 ,Р°)\< ]ю(0)</0 +

п_у (2к+\)л/2п

л 12п

+

к=1 (2к-\)л12п откуда и следует оценка сверху

,0

(2к-\)л 12п

л !2п

єп (На [0,я-];Г° ) < Яп (Н0} [0,я-];Г° ,Р° ) < 2п ^а)(в)сіЄ.

(20)

Утверждение теоремы теперь с учетом равенства (16) следует из сопоставления неравенств (18) и (20).

Замечание. Легко доказать, что формула (12) является квадратурной формулой наивысшей алгебраической точности [5], а формула (13) с вектором коэффициентами

Р0=^0.-0 Я

п

[к ■Рк =-; к = 1,2,-,п-1; Ро =Р, п

является квадратурной формулой трапеции.

2 п

Институт математики АН Республики Таджикистан,

Хорогский госуниверситет имени М.Назаршоева

Поступило 15.12.2006 г.

о

о

о

о

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.:Наука, 1974, 224 с.

2. Лебедь Г.К. - Мат.заметки. - 1968, т.3, №5, с.577-586.

3. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведения. - М.: Наука, 1962, 1100 с.

4. Корнейчук Н.П. - Мат.заметки. - 1968, т.3, 5, с.565-576.

5. Ермолаева Л.Б. - Известия вузов. Математика, - 2000, №3(454), с.25-28.

М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева ОИДИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОРИ АЗ РУИ КОЭФФИЦИЕНТХ,О БЕХ,ТАРИН БАРОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^О, КИ БА ВОСИТАИ МОДУЛИ БЕФОСИЛАГЙ ДОДА ШУДААНД

Дар макола кимати аники формулахои квадратурии вазндор барои синфи функсияхое, ки ба воситаи модулхои бефосилагй муайян карда шудаанд, ёфта шудааст.

M.Sh.Shabozov, Z.A.Parvonaeva ON THE BEST BY COEFFICIENT WEIGHT QUADRATURE FORMULAS, SET

BY CONTINUES MODULES

In article exact value of weight quadrature formulas for some class function, which defined by continues modules are found.