О наилучших весовых кубатурных формулах для некоторых классов функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ________________________________________2011, том 54, №3_____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

З.А.Парвонаева

О НАИЛУЧШИХ ВЕСОВЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Хорогский государственный университет им.М.Назаршоева

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 04.01.2011 г.)

В работе доказана одна общая теорема для нахождения погрешности кубатурных формул с положительным весом для классов функций H^,C°2(Q), Q = {(х, у) : 0 < ху < 1}, задаваемых одномерными модулями непрерывности.

Ключевые слова: интегрируемая функция - квадратурная и кубатурная формулы - узлы - погрешность - наилучшая формула.

Пусть для приближенного вычисления интеграла

J (f; q) = Ц q(t, т) f (t, r)dtdr,

(Q)

где Q = {(t,T) : 0 < t,T< 1}, f (t,т) - произвольная интегрируемая функция, q(t,T) - положительная суммируемая в Q функция, применена кубатурная формула

m n

J (f, q) = SS Pkif (tk ,т)+Rmn(f, q) := L(f, q)+Rmn (f, q\ (i)

k=1 l=1

задаваемая вектором узлов

t={tk: 0<ti <t2 <■■■<tm <1}

T = {ті : 0 <т1 <т2 <---<т„ < 1} и коэффициентов P = {pu }, Rmn (f, q) := Rmn (f; q, P, T, T) — погрешность формулы на функции f (t,т). Если M — некоторый класс функций, заданных и определенных в области Q, то для каждой f (t, т) є M погрешность формулы (1) имеет вполне числовое значение

Rm„ (f; q; P, T, T) = J( f, q) - L(f; q; P, T, T).

При фиксированных векторах узлов T = {tk }, T = {т } и коэффициентах P = {pkl} наилучшей оценкой погрешности кубатурной формулы (1) с весовой функцией q(t,т) на классе функций M является верхняя грань

Адрес для корреспонденции: Парвонаева Зайбогул Абдулалиевна. 736000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул.Ленина, 28. E-mail: nzaibogul@mail.ru

Кп (М1; д; Р; Т, Т) = 8ир{| J(/, д) - Ь(/; д; Р, Т, Т) |: / е Ш].

Требуется при произвольных узлах и коэффициентах найти величину [1]

^ №, д)=( ^Т) Кп (Ш1; д; р,т , Т).

Кубатурная формула вида (1), для которой достигается нижняя грань для векторов коэффициентов и узлов Р0 = {р°к1} Т0 = {г° ], Т0 = {г° ] называется наилучшей или оптимальной для класса

функций Ш и весовой функции д(г, г) > 0. При этом вектор (Р0, Т0, Т0) называется наилучшим вектором коэффициентов и узлов.

В этой заметке в качестве Ш рассмотрим класс Н 222 := Н 222 ^) -функций /(г,г), определенных в квадрате Q, и для любых двух точек (г ,г ), (г , г ) е Q, удовлетворяющих неравенству

I/(г' ,г )-/(г",г")-{' 12? -г' 2

где сох (г) и со2 (г) — заданные модули непрерывности, то есть неубывающие полуаддитивные на

[0,1] функции, в нуле обращающиеся в нуль.

Нам для формулировки основного результата понадобится следующий факт, доказанный в работе [2].

Теорема А. Среди всех квадратурных формул вида

1 п

| д(г)/(г )Ж = 2 рк/(гк) + Ят (/; д) (2)

0 к=1

с весовым функцией д(г) наилучшей формулой на классе

н2[0,1] = {/ :| /(г ') - /(г ') |< 2(| г ' - г' |), г ', г ' е [0,1]] является формула, узлы которой

Т0 = {к0:0<г0 <г0 <•••<гП-1 <г„0 < 1]

обращают в минимум выражение

П хк+1

з(ч,г2,•••,гп) = 2 | д(г)о(|г-г* ^

к=1 хк

с коэффициентами

г0

хк+1

р = | д(г)ж,

4

где х0 = 0, х0+1 = (г° + г°+1) / 2, к = 1,2,—, п -1, х0+1 = 1, и наилучшей оценкой остатка, равной

v0 П xk+1

s„(H”,q) = £ J q(0”(l'-'"Id

к=1 yo

Приводим следующее обобщение теоремы А.

Теорема 1. Среди всех кубатурных формул вида (1) с весовой функцией д(г, г), наилучшей на классе Н222 (0) является формула, узлы которой

Т0 = К0:0<<•••<гт-1 <С < 1],

Т0 = {г,0:0<?10 <г0 <^^^<г„0-1 <г„0 < 1] обращают в минимум выражение

3 (г1, г2 ,^^^, гт; Г1, Г2 ,"'Гп ) =

т 1 Л'£+1 п 1 У1+1

=2// д(г, г)о (| г - гк |)^г^г + 2// д(г, г)о (| г - г |)^г^г

к=1 0 ^=1 0 у^

и коэффициенты которой определяются равенством

Рш = // д(г,г) dгdг,

(0°+)

где

0к+ = { < г < х{ < г < 1+1],

*1 = 0, Xfc+1 = ('к + 'к+1) / 2, к = 1, П - 1 Xn+1 = 1,

У10 = 0, Ук+1 = (г1 + г++1 ) / 2, + = 1 т - 1, У°т+1 = 1. Лри этом наилучшая оценка остатка на всем классе Н22 22 (0) равна

£тп (Н2,22(0); д) =

і з'м

q(t, г)” (j t -t£ |)dtdr + SJJ q(t, г)” (j г - Г j)dtdr

k=1 0 xl 1=1 0 Ли

Из теоремы 1 в качестве следствия вытекает

Теорема 2. Пусть q(t,r) = q (t)q2 (г). Тогда для погрешности наилучшей кубатурной формулы (1) на классе H ” ”2(Q) справедливо равенство

£тп (H” ”40); qq) =

1 1

=£т (Н 2; д1) | д2 (гМг+£п (Н 2; д2) { д(г )dг, (3)

о о

где £т (Н2; д1) и £п (Н22; д2), — соответственно точные оценки погрешности наилучших квадратурных формул вида (2) с весами д (г) и д2 (г) для класса функций Н2 [0,1] и Н°2[0,1].

Теорема 2 означает, что если известно решение задачи о нахождении наилучших квадратурных формул для класса Н2 [0,1], то при помощи формулы (3) сразу можно написать точную оценку погрешности наилучшей кубатурной формулы для класса Н 2 22 (0).

Отдельно рассмотрим класс Н1,1 (0) -функций /(г, г), для любых (г , г ), (г ,г ") е 0 удовлетворяющих условию

|/(г'г^-/(г" ,г ')|<|г ,-г ' | + |г,-г ' ^

которое получается из класса Н 2 22 (0) при 2 (г) = г, а2 (г) = г.

Рассмотрим одно применение теоремы 2 для класса Н(1,1) (0).

Теорема 3. Пусть д(г,г) = а2а(г+т), где а > 0, а Ф 1, а — действительное число. Тогда наилучшие узлы имеют вид:

0 1 (т - к +1) + каа

гк = —------1п---------)----, к = 1,2,-, т,

а 1п а т +1

о 1 і (п — I +1) + 1а 1 Г = —------іп---------)-,I = 1,2,-,п,

+ а1п а п +1

а оптимальные коэффициенты определяются равенствами:

Р°+ = 1 -.2 • аа(*г?)(аа'г*1 -аагг-)(ааг" -а""),(к = 1,2,-,т,/ = 1,2,-,п),

(2а+па)

Р» = ТТ"^ • аак (а“*'*' - аагк-1 )(ааг'’ -1), (к = 1,2,-, т),

(2а+па)

Р»° = 1 ,2 • ааг0 (ааг0 -1)(ааг+*1 - а“*), (/ = 1,2,-, п),

(2а 1п а)

р000 =-----1--- • (а“° - 1)(а“0 -1),

00 (2а 1п а)2

1

(2а іп а)2

РІп = „ • а2а (аа — )(аа — ааг ).

При этом точная оценка погрешности наилучшей кубатурной формулы на всем классе Н(1,1)(0) согласно (3) и результата Т.Н.Бусаровой [3] равна

£™ (H "‘’(О), а2“«' ">) =

‘ I ^ í (lnа)~‘ln(m-*+‘>+*°° (ln а)_‘ ln(”-k+2)+(k_‘)a“

j х i а m+‘ a m+‘

>2

(2a ln a)2 |§ i

Л2

i a(lna)_‘ln(”_+++* _ ^(lna)_‘ln("_l+2>++‘l_‘)a I

l=‘ I J J

Поступило 14.01.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1974, 224 с.

2. Лебедь Г.К. - Мат. заметки, 1968, т.3, 5, с.577-586.

3. Бусарова Т.Н. - Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложения. - Днепропетровск: ДТУ, 1980, с.17-21.

З.А.Парвонаева

ОИДИ ФОРМУЛАМИ КУБАТУРИИ ВАЗНДОРИ БЕ^ТАРИН БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев

Дар макола як теоремаи умумй барои ёфтани хатогихои формулахои кубатурй бо вазни мусбат барои синфи функсияхои H4 ®2 (Q), Q = {(х,у): 0 < xy < ‘}, ки ба воситаи модули бефо-силагии якченака дода шудаанд, исбот карда шудааст.

Калима^ои калидй: функсияи интегронидашаванда - формулауои квадратуры, ва кубатурй -гиреууо - хатогй - формулаи беутарин.

Z.A.Parvonaeva

ABOUT BEST WEIGHTED CUBATURE FORMULAS FOR SOME CLASSES FUNCTIONS

M.Nazarshoev Khorog State University A general theorem for finding errors of cubature formulas with the positive weight for function classes H4 ®2 (Q), Q = {(x,y): 0 < xy < ‘}, driven one-dimensional modulus is proved in the article.

Key words: integrable function - quadrature and cubature formulas - nodes - error - the best formula.