CC BY
40
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2009, том 52, №1_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Р.С.Сабоиев , Ш.Дж.Хамдамов ОПТИМИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
В ПРОСТРАНСТВЕ L\a,b\
Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важной является следующая оптимизационная задача теории квадратур.
Рассматривается квадратурная формула [1]
& п
\f(t)q(t)dt = Ydpkf(tk)+Rn(J\q\P,T), (і)
а к=\
в которой весовая функция q(t) >0 на отрезке [а,Ь] и интегрируема (может быть, в несобственном смысле) по Риману, Р = {рк} - вектор коэффициентов,
Т = {tk : a <tx <t2 <tn<b} - некоторый вектор узлов, a Rn(f;q,P,T) - погрешность
квадратурной формулы (1) на функции f(t).
Если Ш - некоторый класс функций [ /'(/)|, заданных и определенных на отрезке [а, Ъ\ то через
Rn(Dn;q,P,T) = sup <
о п
\/(1)ч(1)Л-^Рк/^к)
а к=1
:/еШ1
обозначим погрешность квадратурной формулы (1) на классе М . Задача состоит в отыскании следующей величины
£n(m-q) = m£Rn(m-,q,P,T). (2)
р,т
Квадратурная формула (1) называется оптимальной или наилучшей на классе М , если существует вектор Р° = {р°к} - коэффициентов и вектор Т = {?°} - узлов, для которых выполняется равенство
£и(Ш?;<7) = Ди(ШТ;<7,Р°,Г).
Отметим, что задача (2) в случае q(t) = 1 для различных классов функций исследовалась многими авторами, результаты исследований которых приведены Н.П.Корнейчуком в дополнении к книге С.М.Никольского [1]. Для некоторых конкретных весовых функций q{t), суммируемых на (0,+со), задача (2) решена в работе Ю.М.Гиршовича [2].
Обозначим через }¥{г)Ьр:=]¥(г)Ьр[а,Ь\ класс заданных и непрерывных на отрезке [а,й] функций /(/), у которых (г- 1)-я производная абсолютно непрерывна, а г-я производная /(г-1 (ґ) удовлетворяет неравенству
Г' := Г
с(г)
Ь [а,Ь\
и
|/м(0
Л
< 1,1 < р < 00.
В этой статье задача (2) решена полностью для некоторых конкретных весовых функций д(7), имеющих фиксированные особенности на отрезке \а, Ь\ Найдены явные виды наилучших квадратурных формул на классах \¥{ 1 ’Л, [а, Ь\ Имеет место следующее утверждение. Теорема 1. Пусть 0,1]. Среди всех квадратурных формул вида (1) с весовой
функцией q{t)= \/\ - Г , 0 < / <1 наилучшей на классе ]¥{Х)Ь\0,\\ является формула с равными коэффициентами
Щ-ЬМ
о VI — і /- -1
. 2к-\
81П-
4 п
■п
+ К
/; '/Г
-Л
погрешность которой на всем классе равна
Є.
-Л
п 4 п
Доказательство. Хорошо известно [3, с.14], что погрешность квадратурной формулы (1) на всем классе Ж(1) ^ равна
Кп 1¥тЦЧ,Р,Т =8ир|^(0|,
0<ґ<1
где
г п
К(ї)= щ{и)йи -^рк^к -ґ)° - шах[0,и-і\
і к=1
В нашем случае имеем:
Я
Ж(1)4; л/ь
-і ,Р,Т
- вир
0</<1
агссоБ і-'^ірк(ік- і)\
к=1
Следуя схеме рассуждений работы [2], после простых вычислений получаем
п . {2к-\)п -—
Рк = —Л =яп-------------,{к = \п).
2 п 4 п
а
2
I
2
О
При этом, для погрешности формулы на всем классе Ж(1)^ имеем:
1 V (М ж
Є.
ЖтЬ{, л/ь^7 1 ] = іпґ зир І АГ(Ґ)| = — [-р2= = —,
) р? о<кі 1 іп^і-і2 4п
чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Аналогичным образом доказывается следующая
Теорема 2. Пусть [а,6] = [—1,1]. Среди квадратурных формул вида (1) с весовой
функцией с/(1) = \/\ -Г ,-1 </ < \ наилучшей на классе 0Л,[ 1,1] является формула с равными коэффициентами
С08-
2к-\
----ж
2 п у
1-Г а і
погрешность которой на всем классе Ж(1)^ равна
■Я
-Л
(3)
£
Ж{1)Ц-1,1]; 7Ї
-1 л
-Г
ж 2 п
Замечание 1. Найденная нами наилучшая квадратурная формула (3) для класса 1,1] является также квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, то есть она точна для любого алгебраического многочлена степени не выше 2п -1 (см.напр. [4], стр.87). Из вида формулы (3) ясно, что все ее коэффициенты рк = ж!п, а узлы
хк = со$((2к — 1 )ж/ 2 п) - являются нулями многочлена Чебышева первого рода Тп(х) - соз(«агссо8Л'), х |< 1. Такие квадратурные формулы называются квадратурными формулами Эрмита (см.напр.[4], стр.117).
В нижеследующей теореме приводится более общее утверждение для класса Ж(1)Ь^а,Ь] и весовой функции д(і) = таі, где т > 0, т ф\, а - произвольное действительное число.
Теорема 3. Среди квадратурных формул вида
и п
\тш/Ц)сИ = рк/Цк ) + К„(А т* )
а к=1
наилучшей на классе Ж{1)Ь^а,Ь] является формула с вектором коэффициентов
Р = 1 Рк ■ Рк =
1 таЪ-таа — ,* = 1,и
а\пт
п
и вектором узлов
2
Т = \Ч'-Ч =
1
а\ппг
■ ■ 1п
2к~1^аь , 2п-2к + \_аа т н---------------т
2 п
2 п
,к = \,п\
причем для погрешности формулы на всем классе Ж(1) I^[а,Ь] справедлива оценка
8п ЖтЦа,Ь\тм =~
1 -шм&Ъ -,ЛЛаа
1 т —т
2 п а\пт
(5)
В частности, для q(t) = e *,[а,Ъ\ = \0,+оо) наилучшая квадратурная формула имеет
вид
| е */Ц)Л = - £ / ( Ь 2П
О Пк=1 V 2/7 — 2Л: + 1
+^СЛО,
(6)
а ее погрешность на всем классе Ж(1>Ц0,+со) равна
£п Ж(1)Д0,+сх));е-г =
_і_
2и
(7)
Замечание 2. Квадратурная формула (4) впервые для класса Ж(1)Ьх[а,Ь] исследовалась в работе [5] Т.Н.Бусаровой, где найдена оценка погрешности на всем классе Ж(1)Ьж[а,Ь\ в следующем виде
1
£ =т^'£
v 7 ІП т к=1
т
(\пт) 1п-
-Ь (п-к+\)тК-‘-Ш)1 £+Ш
іаа)П.1(аЬ),2
-т
(\пт) 1п-
•1, (и-^+2)ія(аа)/2-К^Ч)ія(а&)/2 Л
2
(8)
Оценка (8) по сравнению с оценкой (5) является громоздкой и труднопроверяемой.
Теорема 4. Пусть [а,й] = [0,+оо),^) = Ге“^,0</? <+со,0<^ <+со. Тогда наилучшая квадратурная формула (1) имеет вид
о Я
Ґ р + 1Л ^ Я
1 п
п *=1
(9)
узлы которой определяются из системы равенств
| Л =
2п-2к + \
2 п q
ґ і Л р +1
V я У
,(£ = 1,и),
а погрешность которой на всем классе }¥(1)7^[0, -ь-оо) равна
£п Ж(1)Ц0,+ю);1ре^ =1.Г
Ч
Ґ і л /? + 1
V ч у
2_
и
л
где Г(//) - гамма функция Эйлера. В частности, из квадратурной формулы (9), при р - 0, q -1 снова получается формула (6) с оценкой на всем классе W(1)L\0,+ао), равной (7).
Отметим, что для других классов функций малой гладкости наилучшие квадратурные формулы с различными положительными весовыми функциями найдены в работах [6-8].
Институт математики АН Республики Таджикистан, Поступило 12.11.2008 г.
Н«
Хорогский государственный университет им.М.Назаршоева,
Н«Н«
Худжандский государственный университет им.Б.Гафурова
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.:Наука, 1979, 256 с.
2. Гиршович Ю.М. - Изв. АН Эстонской ССР, 1975, т.24, 1, с.121-123.
3. Бахвалов Н.С. - Численные методы. М.: Наука, 1975, 631 с.
4. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. -Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.
5. Бусарова Т.Н. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, ДГУ, 1980, с.17-21.
6. Шабозов М.Ш. - Укр.матем.журнал, 1995, т.47, 9, с.1300-1305.
7. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. - ДАН РТ, 2004, т.47, 3, с.14-19.
8. Сабоиев Р.С. - ДАН РТ, 2005, т.48, 3-4, с.18-22.
М.Ш.Шабозов, Р.С.Сабоиев, Ш.Дж.Хамдамов ДАР БОРАИ ОПТИМИЗАТСИЯКУНОНИИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОР ДАР ФАЗОЙ Ц[а,Ъ.]
Дар мак;ола барои функсияхои вазнии гуногун формулахои квадратурии бехтарин дар фазой L^[a,b] ёфта шуда, к;имати ханики хатогиашон барои тамоми синфи омухташаванда нишон дода шудааст.
M.Sh.Shabozov, R.S.Saboiev, Sh.J.Khamdamov ON THE OPTIMIZATIONS QUADRATURE FORMULAS WITH WEIGHT
IN THE L\a,b\ SPACE
In the article for different functions with weights the best quadrature formulas in the L^[a,b] space are found, the exact error value for all learnt class are approved.
