Об оценке погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2010, том 53, №5______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Ш.Дж.Хамдамов

ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ НАИЛУЧШИХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ

Худжандский государственный университет им. акад. Б.Гафурова

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 12.04.2010 г.)

В статъе рассматривается квадратурная формула вида

ь п

j q(x)f(x) - Y. Pkf(xk)+Rn (/; q,P,x),

к=1

для которой в частности, при [а,й] = [—1,1],д(.х) = (1 -х)а(\ + хУ, а,/3>—\ найдены наилучшие квадратурные формулы на классе \¥ІЛ)I\— \, \\

Ключевые слова: квадратурная формула - интеграл по Риману - вектор узлов - вектор коэффициентов - погрешность.

Пусть 1¥(Г>Ь\а,Ь] - множество всех абсолютно непрерывных на конечном или бесконечном отрезке [а, Ь\ функций / (х) , для которых

ъ

|| /О) | сіх < 1,

а

а Ж0(1)4[а,6] - множество всех функций /(х) еЖ^Ь[а,Ь], для которых /ТО) = 0 и пусть с/(х) суммируема и положительна на [с/, Л] функция.

Рассматривается квадратурная формула

Ь п

|q(x)f(x) = рк/(хк ) + Яй (/; Р, X), (1)

а к=1

в которой весовая функция (](х) >0 на отрезке [а, Ь\ интегрируема (может быть в несобственном смысле) по Риману, Р — {рк \ - вектор коэффициентов, X = {хк : а < Л', <х2 < ... < хп_х <хп <Ь} -вектор узлов, а Яп(/'^;Р,Х) - погрешность квадратурной формулы (1) на функции /(х).

Если ШІ некоторый класс функций \/(х) \. заданных и определенных на отрезке \а,Ъ\, то

через

Адрес для корреспонденции: Хамдамов Шерали Джумабекович. 735700, Республика Таджикистан, гХуджанд, ул.Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]

ззз

Кп (Ш; д, Р, X) = 8ир{| Кп (/; Р, X) |: / е Щ.

обозначим погрешность квадратурной формулы (1) на классе М .

Если А множество векторов \I\X\ , для которых формула (1) имеет смысл, то задача состоит в отыскании величины

£тп(тЧ) = 1ПРхЯп(тЧ-Р,Х) : (Р,Х) с А} (2)

и указании векторов (Р°, Х°), для которых в (2) достигается нижняя грань. При этом вектор коэффициентов и узлов (Р° ,Х°) определяет наилучшую квадратурную формулу вида (1). Имеет место следующее утверждение

Теорема 1. Пусть [а,й] = [—1,1],д(х) := = (1 —х)а(1+ х)'6, а,/3>—\ Тогда среди всех

-1-і, 1_|,у~1~ ^

квадратурных формул вида

і* т

/(1- х)а(1 + хУ/(х) с!х = £ рк/(хк) + Кп(/), (3)

_1 к-1

наилучшей для класса 1,1] является формула, вектор коэффициентов которой имеют вид

Р = \р,:р,=2"

Г(д + 1)Г(1 + 1) 1

Г(« + /? + 2) п\ых

а вектор узлов определяется из системы равенств

-1 2и Г(а + /? + 2)

При этом погрешность квадратурной формулы (3) на всем классе равна

<?тп(М;д) = 2а

_ ^а+р Г(а + 1)Г(/7 + 1) ^ Т(а + Р + 2) п

Из теоремы 1 в качестве следствий получаем следующие утверждения.

Следствие 1. Пусть а = /3 = —1/2. Тогда наилучшей на классе 1,1] является квад-

ратурная формула Эрмита -Чебышева

-1У11-Х2 п ^ 1 V 2и ;

Погрешность этой формулы равна

2 п

Следствие 2. Пусть а>— 1,/? = 0. Тогда наилучшая квадратурная формула на классе имеет вид

2

а+1

п

Е/

(а + \)п *=1 погрешность которой на всем классе равна

С

1-2

2к-\

V 2й У

_1_\

■ил,

(іа +1 )п

Следствие 3. Пусть а = 0,/3>— 1. Тогда наилучшая квадратурная формула на классе имеет вид

1

^(\ + х)р/(х)с!х ■

2

«2+1

-1

погрешность которой равна

2

Ґ2к-1Л

2й ;

/1-І

-1

+ я„СА

^Ж(1)Д-и];(і+*Л =

2^

(/0 + 1)й

Аналогичные следствия можно вывести для случаев

л 1 1 л 1 1 я 1

а = р= — ; а = —\ р =— и а =—; В = — .

2 2 2 2 2

Пусть теперь [а, Ь] = [0, со), д(х) = хг ■ е~х , -1 < г < +оо, 0 < 5 < +оо.

Теорема 2. Единственной на множестве Й^)(1)Х1[О,-К») квадратурная формула вида

і «

I = X Л**) + Яй (/)

о к=1

является формула, у которой вектор коэффициентов

Р = \рк-рк=^2-7--'Г

[ 2и + 1 5

а вектор узлов определяется из системы равенств

\ $ )

к=1

+оо ^

[ хг -е_х" й&С = —Г

•* я

ч

Ґг + 1Л

1—

2А: 2и + 1

, к = \,п.

где Г(«) - гамма функция Эйлера.

При этом погрешность наилучшей квадратурной формулы на всем классе Й^)(1)Х1[0,+оо) равна

Г -X* •

Ґг + 1Л

1

2п + \

Из теоремы 2 при г — 0, 5 = 1 вытекает

Следствие 4. На множестве И^/^С^+оо) единственной наилучшей формулой при д(х) = е~х является формула

2п + \

\е*/(х)<іх = —=— У / /и-

2и + 1^ I 2и + 1-2£

лея-

Для этой формулы погрешность на всем классе равна

1

2и + 1

Поступило 12.04.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гиршович Ю. - Изв. АН Эстонской ССР, 1975, т. 24, 1, с. 121-123.

2. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С., Хамдамов Ш.Дж. - ДАН РТ, 2009, т. 52, 1, с. 23-32.

ШДамдамов

ДАР БОРАИ ХАТОГИИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ БЕ^ТАРИН БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи акад. Б.Рафуров

Дар макола формулаи квадратурии намуди

о п

\ч(х)Кх) = Е РкКхк)+Кп (/; ч,р,х)

П к=1

дида баромада мешавад, ки барояш дар долати хусуси хднгоми \а,Ь~\ = [-1,1], д(.х) = (1-х)а(1 +х)р, а,Р>-1 будан, формуляром квадратурии бертарин барои синфи Ж(1)Ц-1,1] ёфта шудаанд.

Калима^ои калиди: формулаи квадратури - интеграли Риман - вектори гиреууо - вектори коэффисиентуо - хатоги.

Sh.J.Khamdamov

ABOUT THE EVALUATION ERROR FOR THE BEST QUADRATURE FORMULA IN SOME CLASSES FUNCTIONS

B.Gafurov Khujand State University The article considers the quadrat formula of

b

„fv\ /YvW V n f(x ) . „ v

n

\q(x)f(x) = £ pkf(xk)+Rn (/; q,P,x)

a k=\

kind for which in particularly [a, b~\ = [-1,1], q{x) = (\-x)a (\ +xY, a,/3>-\ are found the best quadrat formulas in W(l)L[-1,1] class.

Key words: quadrature formula - Riemann’s integral - vector nodes - vector coefficient - error.