CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №10________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Д.С.Сангмамадов
ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 03.08.2011 г.)
В работе для некоторых классов функций и кривых найдена точная оценка погрешности квадратурных формул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода.
Ключевые слова: криволинейные интегралы первого рода - погрешность - верхняя грань и нижняя грань.
Пусть Г - произвольная гладкая кривая на плоскости с кусочно-непрерывной кривизной и /(М) = /(х, у) - заданная и определённая вдоль кривой функция.
Рассмотрим задачу численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода в форме линейной комбинации нескольких значений подынтегральной функции следующего вида
. N
¡/(М )А = £ р,/(М,)+Як (/;Г), (1)
к=0
где Mk еГ, к = 1, N. Сумму ^ pkf (Mk) по аналогии с [1-3] будем называть квадратурной сум-
к=1
мой, а Rn (f ;Г) = Rn (f ;Г; рк,Mk ) - погрешность формулы (1) на функцию f. Известно, что параметрические уравнения кривой Г, отнесённой к длине дуги s, как параметру, в прямоугольной сис-
теме координат Oxy имеют вид
x = x(s), y = y(s), 0 < s < L. (2)
Обозначим через s¿, s¿ е[0, L], к = 1, N значения длины дуги s кривой Г, которые соответствуют точкам Mk = M (x(sk ), y(s¿ )) еГ и перепишем формулу (1) следующим образом:
L N
Jf (x(s) y(s))ds = Х Pkf (x(sk), y(sk))+Rn (f ;Г, p S\ (3)
0 к=1
Г
Адрес для корреспонденции: Сангмамадов Давлатмамад Сайфович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан. E-mail: davlat@mail.ru
где 0 < £1 < ^ < ... < ^ < L,Яы(f ,Г,Р,S) - погрешность квадратурной формулы (3) на функ-
цию /, с заданными векторами Р = {рк и Я = {эк .
Пусть задан класс М функций /(М) = /(х(э), у(э)), определённых на отрезке [0, Ь] и удовлетворяющих для любых точек / , / е [0, Ь] условию
I / (х(і' ), у' о)) + / (х(і''), у '' (і)) - 2/
( (
і + і
V V
, У
і + і
Х\
V 2 уу
1<
<
х(і ) + х(і ) - 2х
Г і'+і'л +
2
V ^ У
У(і ') + У(і '' ) - 2 У
V 2 у
Через Н 4 ’^[0, Ь] обозначим класс кривых Г, длина которых не более Ь и параметрические уравнения (2) которых удовлетворяют условию [4]
х(і ) + х(і ) - 2х
У(і' ) + У( і '' ) - 2 У
V 2 у
'і+£^
V 2 У
<®і (и -і |)5
<®2 (и -і |)’
где щ(?), г = 1,2 - заданные на отрезке [0, Ь] модули непрерывности, то есть непрерывные и неубывающие для tе [0, Ь] функции, такие, что , (0) = 0, г = 1,2 и
0 (О ~®г (Ч) (Ч - О (0 <?1< г = 1,2-
Для каждой функции / е М и каждой кривой Г ^ Н
О, ®![0, Ь] остаток квадратурной формулы (3) имеет вполне определённое значение
Ь N
Ям(/;Г, P, Я) = | I(у(э))Лэ- X р^(х(ЭкX у(^ ))-0 к=1
За величину, характеризующую точность квадратурной формулы для всех функций класса М на кривой Г ^ Н 4, можно принять число
Ям (М; Г, Р, Я) = зир{| Ям (/; Г, Р, Я) |: / е М}
и полагаем
^^(М;N ^[0,,];,,) = вир{| ,(М;Г,NN |: Гс Н ^[0,,}.
(4)
Для отыскания формулы, которую можно было бы считать оптимальной для всех функций f е M и кривых H 4’^[0,L], полагаем, что соотношение (1) является точным для f (M) = const, то есть
N
j =Е Pk=L-
Г k=1
Нижнюю грань
^(M;H ^[0,,]) = inf Rn(M;H ^[0,,]; ,, ,) (4)'
( P,S )
по аналогии с определением из монографии [1] будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратур на рассматриваемых классах функций и кривых. Если существуют векторы (P0, S0), для которых
SN (M; H 4 ^,0, ,]) = Rn (M; H ^[0,,]; P°, S0),
то этот вектор коэффициентов и узлов определяет наилучшую квадратурную формулу вида (3) для рассматриваемых классов функций M и классов кривых H е>1,fii![0, L]. При отыскании наилучшей квадратурной формулы будем предполагать, что между узлами и коэффициентами существует линейная связь следующего вида
к ^ ___ N1
Sk = Е Рг - - Pk, k = 1, N, Е Pk = L. (5)
г=1 2 ¿=1
Для таких квадратурных формул имеем
L N
Rn (f;Г, р S) = j f (x(s) y(s))ds- Е Pkf( x(s= ), y(sk)) =
k=1
Plr
N s= +T N/
:E j f(x(s)y(s))ds-EPkf(x(skxy(sk)).
к= К -El к=1
? +:E= Sk +~
Раз6ивая интеграл | 1 на два р^простржнных ^оме™ - р, ■% ] и
с Рк эк —Г
[^^ + -у-], сделаем в первом замену э на эк -X, а во втором э на эк + /. Тогда, после очевидных преобразований, получим
Ь N
Ям(/;Г, р Я) = |1 (у(э))Лэ - X Рк1 (х(эк), у (эк)) =
0 к=1
0
N рк /2
= X | [1 (х(эк +хX у(эк +х)) +1 (Фк- хX у(эк - х)) - 2/(х(экX у(эк))] Ж.
к=1 0
Учитывая определение классов функций М и кривых Н *^[0, Ь], будем иметь
Ь N
11 (x(s), у (э))Ж - X Рк1 (х(эк), у(эк))
0 к=1
<
< X | 1 /(Фк +іX У(^ +і)) + /(х(^к - і), У(^к - і)) - 2/(х(^к X У(^к)) 1Ж <
N Рк/2
X/
к=1 0
N рк12
X
к=1 0
X | {|х(эк +х) + х(эк- х) - 2х(эк) М у(эк +х) + у(эк- х) - 2у(эк)|}Ж <
N л/ 2 2 N р4
^ (,1(2 | Х !) + ,2(2 | Х |))ЖХ = - XI (*(|Х |) + ,2(|Х |))ЖХ. (6)
к=1 0 2 к=10
Если рк > 0, к = 1, N, то неравенство (6) обращается в равенство для функции
/ (х(э), у(э)) е М и кривой Г* ^ Н * ^[0, Ь ], определённых следующим образом:
1 (х(5Х у(э)) =
= ,1(|s - Эк |) + *(Р1 / 2) - ^к / 2) + *(| 5 - 5к |) + *2 Ср / 2) - *2 ^к / 2)
для эк - рк / 2 < 5 < эк + рк / 2, к = 1, N
г* ■=!х : |у (0 < 5 < Ь).
Таким образом,_____________________________ 1 N рк
Яы (М; Н * *2 [0, Ь]; Р, Я) = - X} (, (| X |) + *2 (| X |))Жх. (7)
2 к=1 0
Примером квадратурной формулы, для которой выполнены условия (5), является формула прямоугольников. Для этой формулы
^ = (2к-1)Ь / (2К), рк = Ь / N, к = 1,^.
В этом случае из (6) следует, что
___ Ь / N
£ы (М; Н * *2[0, Ь]) = - N I (,(х) + ю2 (X))Жх. (8)
О •*
Заметим, что если выполнены условия (5) и рк > 0, к = 1, Ы, то наилучшая квадратурная формула (3) для классов функций М и кривых Н 4^[0,Ь], то есть квадратурная формула, для которой верхняя грань в (4) и следовательно нижняя грань в (4) , принимает наименьшее значение для формулы прямоугольников. Этот вывод следует из решения соответствующей задачи на абсолютном экстремуме. В действительности, не трудно доказать, что на классах М и Н а>1 ,й^[0, Ь] формула прямоугольников является наилучшей среди более широкого множества квадратурных формул, именно
N
таких, для которых выполнено только одно условие X рк = Ь. Формулируем наш основной вывод в
к=1
виде следующего утверждения.
N
Теорема. Среди квадратурных формул вида (3), для которых выполнено условие X Рк = Ь
к=1
формула прямоугольников является наилучшей для классов функций М и класса кривых Н 4^[0, Ь]. Точная оценка приближения формулой прямоугольников для этих классов функций равна
Ь / N
N 2
___ L / N
SN (M H 4 ’®2[0, L]) = - N f (^(t) + щ (t ))dt.
О J
В частности, когда ^(/) = М^а, ю2(/) = М2/^, 0 <а,Р< 1, то есть для класса Зигмунда [5], Zа,^[0, Ь], получаем
М Та+1 1 М Тр+1 1
£ы (М; 7а^ [0, Ь]) = —+ —2------------------------
2(а + 1) Na 2(Р + 1) Nр
Поступило 10.08.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы - М.:Наука, 1979, 256 с.
2. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов - М.:Наука, 1967, 500 с.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы - М.:Наука, 1967, 641 с.
4. Аксень М.Б. - Журн. выч. мат. и мат. физики, 1963, т.3, 3, с. 554-559.
5. Zygmund A. - Duke Math. Joum, 1945, v.12, 1, pp. 47-76.
Д.С.Сангмамадов
ФОРМУЛАИ БЕХТАРИНИ ХИСОБКУНИИ ИНТЕГРАЛИИ ИНТЕГРАЛИ КАЧХАТТАИ ЧИНСИ ЯКУМ БАРОИ СИНФИ ФУНКСИЯХО ВА КА^ИХО, КИ БА ВОСИТАИ МОДУЛИ БЕФОСИЛАГЙ МУАЙЯН КАРДА МЕШАВАНД
Донишкадаи со^ибкорй ва хизмати Цум^урии Тоцикистон
Дар макола барои баъзе синфи функсияхо ва качихо бахои аники хатогии формулаи квадратурй барои х,исобкуних,ои тарибии интегралх,ои качхаттаи чинси якум хдсоб карда шуда-аст.
Калима^ои калидї: интегралуои кацхаттаи цинси якум - хатоги - саради болои ва саради поет.
D.S.Sangmamadov
THE OPTIMAL FORMULA OF TABULAR INTEGRATION CURVILINEAR INTEGRAL OF THE FIRST TYPE FOR THE CLASSES FUNCTIONS AND CURVES, DEFINED BY THE MODULUS CONTINUITY
The Enterpriser Institute and Service of Republic Tajikistan In article for some classes functions and curve found the exact value of error quadrature formula for the approximate computation curvilinear integral of the first type.
Key words: the curvilinear integral of the first type - error - upper boundary and lower bound.
