CC BY
38
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №11_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Д.С.Сангмамадов*
О НАИЛУЧШИХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО ТИПА
Институт математики АН Республики Таджикистан, Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
В данной работе решается экстремальная задача о нахождении оптимальных квадратурных формул приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода для некоторых классов функций и классов плоских кривых, задаваемых модулями непрерывности. Найдены точные оценки погрешности оптимальных квадратурных формул на указанных классах функций и кривых.
Ключевые слова: криволинейные интегралы - экстремальная задача - параметрически заданные кривые - погрешность формул - векторы узлов и коэффициентов.
Вопросы приближённого вычисления криволинейных интегралов первого типа для различных классов функций и кривых рассмотрены, например, в работах [1-4]. Здесь мы продолжим исследование в этом направлении.
Пусть функция /(М) = /(х, у) определена и интегрируема вдоль кривой Г ^ Я2. Введём в рассмотрение криволинейный интеграл первого типа
3 (/;Г) = | /(М уь = | / (х, ууь. (1)
Г Г
Предположим, что на кривой Г установлено положительное направление так, что положение точки
М = М(X, у) на кривой может быть определено длиной дуги 5 = АМ, отсчитываемой от начальной точки А . Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями
X = Х(5), у = у(5), 0 < 5 < Ь, (2)
а функция /(х, у) , заданная в точках кривой Г, сведётся к сложной функции /(х(5), у(5)) от переменной 5 . В этом случае интеграл (1) запишется в виде следующего определённого интеграла
Ь
3 (/;Г) = | / (х(5), у(5)^5. (3)
0
Всякая квадратурная формула
N
3(/;Г) - Ц, (/,Г, Р, Б) := £ р/ (х&), у(5к)) (4)
к=1
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734025, Республики Таджикистан, г.Душанбе, ул.Бохтар, 17. E-mail: shabozov@mail.ru
для приближённого вычисления интеграла (3) задается векторами коэффициентов P = {pk и узлов S = {^ : 0 < Sj < s2 <...< < s^ < L}, где p0,p,...,pN - произвольные действительные числа. При фиксированном N > 1 через Л будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов (P, S), либо некоторое его подмножество, определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (4) (например, требование точности формулы (4) на многочлены заданной степени, положительность коэффициентов и т.д.).
Погрешность кубатурной формулы (4) определим равенством
R (f ;Г; P, S )| = | J (f ;Г) - LN (f ;Г; P, S )|.
Если M - некоторый класс функций {f (x(s), ^y(s))}, определённых в точках заданной кривой Г и интегрируемых как сложная функция параметра s на отрезке [0, L], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности формулы (4) на всем классе M , примем величину
RN (Ml; Г; P, S) = sup {|Rn (f; Г; P, S)|: f e Ш}.
Пусть NL - класс кривых Г, заданных параметрическими уравнениями (2), длина которых не превосходит L . Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций M на классе кривых NL обозначим
Rn (M; Nl ; P, S) = sup {Rn (М;Г; P, S) :Ге NL }.
Для того чтобы получить оптимальную квадратурную формулу на классах функций M и кривых Nl , потребуем, чтобы формула (4) была точна для функции f (x(s), j(s)) = const, то есть чтобы выполнялось условие
N
Eft = L.
k=1
Требуется найти величину
Sn (M; Nl ) = inf{RN (M; NL ; P, S): (P, S) e Л} (5)
и указать вектор (P0, S0)(P0 = {p°}, S0 = {s°}) из множества Л , на котором достигается точняя нижняя грань в (5), то есть выполняется равенство
Sn (M; Nl ) = RN (M; Nl ; P0, S0).
Квадратурная формула (4) с узлами s° и коэффициентами p° даёт наименьшую на классах функций M и кривых Nl погрешность среди формул, задаваемых множеством Л векторов (P, S),
и в этом смысле является оптимальной в смысле С.М.Никольского [5] на указанных классах функций и кривых.
Наряду с квадратурной формулой (4), параллельно вводим в рассмотрение следующую квадратурную формулу типа Маркова
Ь
|/ (х(5) у(5))З5 = Ро/ (х(5оХ у(5о))+PN/(х(Ь) у(Ь)) +
0
N-1
+£ Рк/(х(5к), у(5к))+RN (/ ;Г). (6)
к=1
В данной работе исследуются квадратурные формулы вида (4) с произвольными векторами коэффициентов Р = {рк и векторами узлов S = : 0 < ^ < я2...< % < L} и квадратурная формула (6), где заранее зафиксированы в качестве узлов концы промежутка: 50 = 0, = Ь, а узлы 5,52,..., и коэффициенты рк (к = 0,1,..., N) следует выбрать оптимальным образом.
Конкретизируем класс кривых и класс функций, для которых найдём точные значения величины (5) для квадратурных формул (4) и (6). Обозначим через Нш[0,Ь] - множество функций
() е С[0,Ь], удовлетворяющих условию \ р(? ) — р(1 ) |<®(| t — ? |), ? , ? е [0, Ь], где со(5) - заданный модуль непрерывности, то есть неубывающая, полуаддитивная функция, в нуле равная нулю. Через Т®2[0, Ь] обозначим класс гладких кривых Г с Я2, заданных параметрическими уравнениями (2), у которых х(5) е Н®1[0, Ь], а у(5) е Н®2[0, Ь]. Решения экстремальной задачи (5) существенно зависит от выбора метрики в Я . Если М = М(х , у ) е Я , М = М(х , у ) е Я , то введём в рассмотрение следующие расстояния:
евклидово расстояние р (М ,М ) = ^(х — х )2 + (у — у )2; хэммингово расстояние р2 (М , М ) =| х— х |+| у— у |; расстояние Минковского р3(М ,М ) = тах |\ х — х \,\ у — у \|.
Через Ж , (/ = 1,2,3) обозначим класс функций /(М) = /(х, у), определённых на кривых ГсТ'а>2 и для любых двух точек М ,М еГ, удовлетворяющих условию \ /(М) — /(М") \<р(М,М"),I = 1,2,3.
Таким образом, /(М) е Жд , если выполняется неравенство
\ /(М') — /(М") \< Р1(М',М'') = 4(х — х ')2 + (у — у'')2 < <л]о\(\ 5 ' — 5 ' ' \) + а%(\ 5 ' — 5 " ) 5 ',5 ' ' е [0,Ь], а если /(М) е Ж^ или /(М) е ЖА , то соответственно будем иметь
! /(М) — /(М") \< 5 — 5 о + 5 ' — 5" ) 5 ',5" е [0,Ь],
| /(Ы ) - /(Ы ) |< шах{^(|л- 5 |),®2(|л- л |)}, 5 ,5 е[0, Ц]. Имеют место следующие утверждения
Теорема 1. Среди всех квадратурных формул вида (4) с произвольными векторами коэффициентов и узлов
Р = {ркЯ = К :0<^ <<...<^ <L}
наилучшей для классов функций М (/ = 1,2,3) и класса кривых Т^'®2[0, Ц] является формула средних прямоугольников
/д^хж,)*=Ц|^(^-Цу^))*^(/). (7)
При этом для погрешности квадратурной формулы (7) на указанных классах функций и кривых справедливы равенства
Ц/(2 N )
£м (Мд;Т^[0,Ц]) = 2N / ^(л) + «22(л)Ж, (8)
0
Ц/(2 N )
SN (МА;Т^[0,Ц]) = 2N / Ц(л) + (9)
0
Ц/(2 N )
г^ (Мд; Т^[0, Ц]) = 2 N / шах^л),^)}^. (10)
0
Теорема 2. Среди всех квадратурных формул типа Маркова (6) с произвольными векторами коэффициентов и узлов (Р,£), где Р = {рк, £ = {^ : 0 = л0 < * < ••• < = Ц}, наилучшей для
классов функций М (/ = 1,2,3) и кривых Т^ ^ является формула трапеций )/( х(л), у(л) = Ц11 [ / ( х(0), у(0) ) + / ( х(Ц), у( Ц) )] +
+|/ (х (N ], у (N))}+* с / ,Г).
При этом для погрешности наилучшей формулы на классах (/ = 1,2,3) и кривых Т^,Ю2 справедливы точные оценки (8)-(10).
Заметим, что непосредственной проверкой легко убедиться, что утверждение теоремы 1 справедливо на классах функций {/(х(л), у(л))}, для которых в каждой точке л е [0, Ц] на кривых
Г^Та1 ,<02 выражение
| / (х(л + л '), у(л + л ')) + / (х(л - л '), у(л - л ')) - 2/(х(л), у(л)) |,
где 5 ± 5 е [0, Ь], не превосходит следующие мажоранты
2]Щ(\ 5 \) + Щ(\ 5 \),2[щ(\5 \) + щ(\ 5 Р] или 2тах{щ( 5 [),щ(\ 5 \)}.
Эти классы функций соответственно обозначим ЖЖ2 д (I = 1,2,3) . Очевидно, что эти классы
шире, чем классы функций Ж (I = 1,2,3), определённые на тех же кривых Г с ТЩ. Имеет место более общее утверждение
Теорема 3. Квадратурная формула (7) является наилучшей среди всех квадратурных формул вида (4) для классов функций Ж2р и кривых ТЩ,Щ. При этом для погрешности наилучшей формулы имеют место равенства
£к (Ж2,р,ТЩ,Щ ) = [Жр,ТЩ,Щ), (I = 1,2,3), (11)
где значение правой части равенства (11) соответственно определяется равенствами (8)-(10).
Доказательство. Не умаляя общности приводим доказательство равенства (11) для классов Ж2д и кривых ТЩ . Для квадратурной формулы (4), заданной векторами коэффициентов
Р° = {Р0 : Р0 = Ь / N, к = 1,2,—, Щ} и узлов
У = (50 : 5°к = (2к — 1)Ь / (2Щ), к = 1,2,—, Щ}
погрешность формулы представим в виде
Ящ (/ ;Г; Р°, 50) =
N Ь/(2N)
= л/;Г)—Ьщ(/;Г;Р0,50) = £ { [/(х(5°к + 5),у(5°к + 5)) +
к=1 0
+ / ( х(5к° — 5), у(5к° — 5)) — 2/ (х(5°°), у(5°к) )] Ж. Отсюда сразу следует, что
£„ (Ж2,р, ТЩ ,Щ) < Яж (Ж2,А, ТЩ,Щ; Р0,50) <
Ь/(2 N )
< 2N | фЩ(*) + щ22(5)^5 = ¿Щ (Жр,ТЩ ,Щ),
0
а учитывая включение Ж2 д з для произвольной кривой Г с ТЩ ,Щ, приходим к равенству
Ь / (2N) _
¿Щ Ж ж 2,р, Т ^ Щ2 )=¿Щ (Жр, тщщ ) = 2 N |
0
Аналогичным образом доказываются два других равенства (11), чем и завершаем доказательство теоремы 3.
Поступило 29.10.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вакарчук С.Б. - Укр. матем. журнал, 1986, т.38, 5, с.643-645.
2. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. - ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с.415-419.
3. Сангмамадов Д.С. - ДАН РТ, 2011, т.54, 10, с.801-806.
4. Шабозов М.Ш., Файзмамадова Л.Г. - Известия АН РТ. Отд.физ.мат., хим., геол. и техн., н., 2012, 2(147), с.7-15.
5. Никольский С.М. Квадратурные формулы - М.: Наука, 1988, 256 с.
М.Ш.Шабозов, Д.С.Сангмамадов*
ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ БЕ^ТАРИНИ ^ИСОБИ ТАЦРИБИИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КА^ХАТТАИ ТИПИ ЯКУМ БАРОИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ
ФУНКСИЯ^О ВА ХАТХ,ОИ КА^
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишкадаи соибкори ва хизмати Цум^урии Тоицкистон
Дар макола масъалаи экстремалии ёфтани формулахои квадратурии бехтарини хисоби такрибии интегралхои качхаттаи типи якум барои баъзе синфхои функсияхо ва хатхои кач, ки ба воситаи модулхои бефосилагй дода шудаанд, хал карда шудааст. Хатогии аники формулахои квадратурии бехтарин дар синфхои нишондодашуда муайян карда шудааст. Калима^ои калиди: интегралуои кацхатта - масъалаи экстремали - хатуои каци ба тарщи параметры додашуда - хатогии формула - вектори гиреуо ва коэффитсентуо.
M.Sh.Shabozov, D.S.Sangmamadov THE BEST QUADRATURE FORMULAS FOR APPROXIMATE CALCULATION OF CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, The Enterpriser Institute and Service of Republic Tajikistan
In this paper the extremal problem on finding an optimal quadrature formulas of approximate calculation of curvilinear integral of the first kind for some classes of functions and classes of plane curves given by modulus continuity is solved. The exact estimators error of quadrature formulas on specified classes were found.
Key words: curvilinear integrals - extremal problems - parametrical given curve - error of formula - the vector of nodes and coefficients.
