CC BY
39
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №12_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Д.С.Сангмамадов
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МАЛОЙ ГЛАДКОСТИ
Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 12.10.2011 г.)
В работе найдена погрешность весовой квадратурной формулы на классе W(V)L(M\a,b) -функций f(t), имеющих кусочно-непрерывную производную fit) на отрезке [а, 6] и удовлетворяющих условию
ь
II 1\а,Ъ\
и
j| f'(t) \dt <М.
Ключевые слова: наилучшая квадратурная формула - погрешность формулы - оптимизация - весовая функция.
В работе рассматривается квадратурная формула
ь
п(/У\ 1 п £('| у
° гг
Jq(t)f(t)dt = X pjih)+Rn(f’4), С1)
a k=\
задаваемая векторами коэффициентов Р — {рк}"к=1 и узлов Т = \1к : а < /, < 12 < ... < 1п_] < Ь}, где с/(1) - неотрицательная и интегрируемая на отрезке \а,Ь\ функция, '■= Кп(/'^',Р,Т) - погреш-
ность формулы (1) на функции / ().
Пусть 1¥<г>Ь(М',а,Ь) - класс заданных на отрезке [а,6] функций /'(/). у которых производная / (I) кусочно-непрерывна на [а, 6] и удовлетворяет условию
ь
а
Через Л - обозначим множество всех пар векторов (Р, Т), для которых квадратурная формула имеет смысл и удовлетворяет некоторым условиям, определяющим свойства квадратурной формулы (1). Требуется найти величину
£п Ж(1)ДМ;а,6) =
a
Адрес для корреспонденции: Сангмамадов Давлатмамад Сайфович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Борбада 48/5, Институт предпринимательства и сервиса РТ. E-mail: [email protected]
= т£ 8ир |^(/;д;Л^)|:/єЖ(1)І :(Р,Т)*А
(2)
и указать векторы Р° — {р°к}пЫ1,Т — реализующие в (2) точную нижнюю грань.
Оценку снизу для величины (2) получим следуя методу оценки снизу погрешности квадратурных формул, изложенному в [1, с.183], а именно, сопоставим каждому вектору узлов множество
Следуя работе [2], введём обозначения:
Як
1к+1 Ч о
| д(і)Л,к = \,2,...,п-\;д0 = ^д(і)Ж,дп = ^д(і)Ж,
д-тах дкА<к<п-\ -ду;д-д(Т):-тах д,2д0,2дп . Определим функцию /Т (?) следующим образом: если д = 2д0, то положим
/г(0 =
2М \
|| /'00 I <*и,
а<і <1
і є [а, 6] \ [а, ],
а если д = 2дп, то
Л(0Ч
і <Е[а,Ь\\[хп,Ъ\,
2М і
И
|| /'(и) | с/м, а
Если же д = д = дг (1 < V < п — 1) , то аналогичным образом полагаем
Л(0 =
м
V и ■■ 0,
I
|| /'(и) | ёи,
у+1’
і є[а,Ь][іу,іу+1].
Очевидно, что fj.it) є \у(г1) I.(М\ а, Ь) и не трудно доказать, что для любого вектора коэффициентов Р имеем
эир \Кп(/;д)\ ■./ Ь(М\а,Ь) =
и
и
(3)
Из (3) следует, что
ь
0
о
ь
(4)
Єп УГ^ЦМ;а,Ь) = Міп%(Г) : Т є А}.
Из (4) рассуждением от противного можно показать, что (см., напр., [2])
Ы{д(Т):Т^А} = д(Т°),
'Т'О ^0 ^0“)
где вектор узлов У однозначно определяется равенствами
2д0 = Чі = д2 =... = дп_х = 2цп = д(Г). Так как Ж^ЦМ; а, Ь) а ї¥тЬ(М; а, Ь), то Є„ ШтЬ(М-а,Ь) >Єп Ш^Ь(М-а,Ь) .
Приступая к оценке величины £п 1¥(Г>Ь(М',а,Ь) сверху, введём вектор коэффициентов
Р° ={Р?,Р2>->Р°}> полагая
тї
(5)
где
1к Чс
т° =а, т° =Ь; | (к = 1,2,...,п\
и введём в рассмотрение квадратурную формулу
\Ф)/т=^Рж)+к,(/-,т\ру
а к=\
Для любой функции / єЦ^^Ь(М;а,Ь) имеем
т/-т\ро)\ =
<
<
I
к=1
11 ло - Ж) і чт + /і ло-ж> і ф)л
к=1
і
|/ (м)сй/
** і
№/■ (и)<іи
д{і)(М > <
(6)
о
к-1
Ъ
п
о
к
0
к
0
к
<
к=1
1к Чс
||/ (м)|сй/+||/ (и)\сііі
і
= Ч(Т°) || / \и) | йи <М-д(Т°).
(7)
Из (7) сразу следует, что
£п ЦгтЬ(М\а,Ь) <М-д(Т").
Из неравенств (5) и (8) следует, что
£п УГтЬ(М;а,Ь) = М-д(Т°).
(8)
(9)
Из (9) следует, что узлы и коэффициенты р°к наилучшей для класса И7(1)Ь(М\а,Ь) квадратурной формулы (6) определяются по весовой функции д(1) равенствами
Ч 12 1п О
2 і)<іі = |д(і)<іі =... = |= 2 |д(і)<іі := д(Т°);
(10)
РІ=Ч(Та),(к = 1,2,--,гі).
(11)
Из равенств (10) и (11), а также из результатов работ Т.Н.Бусарова и А.А. Борисенко [2] и Ю.Г.Гиршовича [3] вытекает, что узлы и коэффициенты наилучшей квадратурной формулы (6) определяются из системы равенств
О
2п-2к + 1 2 п
о
г = 1,2,...,
п
(12)
р1=-
— [д{7)с#. п •’
а
Погрешность квадратурной формулы (6) имеет вид
л]\л »
£п Ж(1)ДМ;а,6);д(ї) =----------[д{/)сй.
п 1
(13)
Используя формулы (10)-(13), сформулируем следующие утверждения
Теорема 1. Пусть </(/) = а > —1, 0 <а <Ъ. В этом случае наилучшие узлы и коэффициенты квадратурной формулы (6) имеют вид:
Ґ0 = 1к
2к-\ 2 п
оЬа+1)-аа+1) +а~
{к = 1,2,,..., п),
0
о
о
к
а
Ь
і
а+\
01+1 ^,а+\
Рк
Ъ -а
(а +1 )п
При этом для оценки погрешности квадратурной формулы (6) справедлива оценка
1а+1 _ а+1
£„ \¥'"ЦМ-а,Ъ) = —------------М.
2 п(а + 1)
В частности, при [а, 6] = [0,1] квадратурная формула ’ 1
\ffrn
V 2 к-\^ 1 \ а+1
1 2 п ) /
+К (/;*“)
(а + 1)и ы ч ^
является наилучшей для класса 1У']'1,(М]0,\). Погрешность этой формулы на всем классе равна
£ ҐЖ(1)£(М;0,1),ґ“1 =
М
2 (а +1 )п
Теорема 2. Пусть с/(1) = -^ ,0 < а< / < Ь < 7Г. Тогда наилучшие узлы и коэффициенты квадратурной формулы
ь
/^л = £л0Я'.)+^(/ф
имеют вид
ік = 2агссоз
а
соб —
V 2 у
С ОБ —
V 2у
Рк =“1п
2 с о$>(а / 2)
п со$>(Ъ / 2)
При этом для погрешности наилучшей квадратурной формулы (6) на всем классе И/Г(Г)Ь(М\а,Ь) справедлива точная оценка
М с оъ(а / 2)
8п }¥тЬ(М;а,Ь):і = — 1п
п соъф / 2)
Поступило 14.10.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979, 256 с.
2. Бусарова Т.Н., Борисенко А.А. - В сб. "Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложения". - Днепропетровск: ДГУ, 1982, с. 13-19.
3. Гиршович Ю.Г. - Изв. АН ЭстССР, сер. физ.-мат. наук, 1975, т.24, 1, с.121-123.
Д.С.Сангмамадов
ОПТИМИЗАТСИЯИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОР БАРОЙ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ КАМСУФТА
Донишкадаи со^ибкорй ва хизмати Цум^урии Тоцикистон
Дар макола хатогии формулаи квадратyрии вазндори функсиях,ои f (t) барои синфи WmL(M;a,b), ки дорой х,осилаи к;исм-к;исм бефосилаи f'(t) буда, шарти
ь
|/'IU = Ji/'(0l<*£M
а
каноат мекунанд, ёфта шудаанд.
Калима^ои калидй: беутарин формулаи квадратурй - хатогии формула - беутаркунй - функсияи вазндор.
D.S.Sangmamadov
OPTIMIZATION OF WEIGHTED QUADRATURE FORMULAES FOR A SOME CLASSES OF LITTLE-SMOOTH FUNCTIONS
The Institute of Enterprise and Service of the Republic of Tajikistan
In article was founded the error of weighted quadrature formula on the WmL(M;a,b) class of f it) functions, which has piecewise continuous f'(t) derivative on segment [a, 6] and satisfy the condition
b
a
Key words: the best quadrature formula - error offormula - optimization - weighted function.
