О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №5

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Р.С.Сабоиев

О НАИЛУЧШИХ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ВЕСОВЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МАЛОЙ ГЛАДКОСТИ

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.08.2006 г.)

В работе для классов функций двух переменных, удовлетворяющих условию Липщи-ца первого порядка в единичном квадрате, найдены точные оценки погрешности весовых ку-батурных формул.

1. Рассмотрим кубатурную формулу

т п

3 (/; ч) := Ц яУ, т)/ (г, т = 22 Рк/ & , т)+Ктп (/; ч) = 1(/; ч)+Кп (/; ч), С1)

Ш) k=1 i=1

в которой весовая функция q(t, т) в области Q = {0 < t, т < 1} неотрицательна и интегрируема (быть может в несобственном смысле) по Риману, задаваемую векторами узлами

Т = {tk : 0<ti <t2 <...<tm_i <tm < 1},

Г = {т :О<Ti <Т2 <...<т„-1 <Т < 1} и вектором коэффициентов P = {pki}. Rmn (f; q) - погрешность формулы (1) на функции f (t,T).

Через V = {P} обозначим множество всевозможных вектор коэффициентов, для которых кубатурная формула имеет смысл. Очевидно, что в формуле (1) кубатурная сумма и погрешность зависят от векторов коэффициентов и узлов, т.е.

L(f; q) := L(f; q; P; T, T), Rntn (f) = Rm„ (f; q; P; T, T).

Равенством

Rmn (M; q, P; T, Г) = sup {Rmn ( f; q; P; T, Г)| : f e M} = sup {| J( f; q) - L(f; q; P; T, T)|: f e M} обозначим погрешность кубатурной формулы (1) на классе M и положим

£„, (M; q; T; T) = inf {R„„ ( M; q; P; T, T): P e V}.

Кубатурная формула (1) называется наилучшей по коэффициентам при фиксированных векторах узлов на классе M , если существует вектор коэффициентов P0 = {р°}, такой, для которой

е„„ і Ш; q;T, T) = Rmn і Ш; q P0 -T, T).

В качестве Ш будем рассматривать класс H(u) := H(U)(Q) функций f (t,т), заданных и определенных в квадрате Q и для любых двух точек (t,т) є Q и (t',т') є Q, удовлетворяющих условию

I f ($т - f (t ,т •) |<| t -11 +1 т-т 'I.

В работе [І], в частности, доказано, что для класса H(1,1) при фиксированных векторах узлах T = [tk},T = {т} наилучшей по коэффициентам будет кубатурная формула вида (І) с коэффициентами

РІ =

jj q(t,r)dtdr,

(Qki)

где

Q = К-i <t < X, y,-i < y < y К

Xk = (tk + tk+1 У2, k = 1 V- m - 1 X = 0, Xm = 1,

y, =(т +0/2,i =1, V-n-1; y0 = 0 yn =1,

а ее погрешность на классе H(1,1) вычисляется по формуле

m n

Rmn (H(1Д); q; P0 ;T, T) = q(t, т){| t - ^ | + | т-т \}dtdT. (2)

k=1 i=1 (Qki)

Полагая в правой части (2) q(t,T) = q (t )q2 (т), получаем более простой вид погрешности наилучшей по коэффициентам кубатурной формулы

Уi

Rmn(H(1,1); і1і2 ; P° ;T, T) = j і2(тМ^2 j q1(t) i t - tkI dt +j h(t)dt •Z j і2(т) |т-тI dz • (3)

Нам понадобится следующий факт общего характера, которым воспользуемся в дальнейшем. Наряду с кубатурной формулой (1), вводим в рассмотрение одномерные квадратурные формулы

1 т

| я 0 ^ О >* = 2 1)+Кт 1; ч; 111), (4)

0 к=1

1 п

/ ч,(т)/(т)*=2 ъ,/(т,)+К (/; ч,; 1,, П (5)

0 г=1

где 1 = {ак }“=1,1 = {Ь. }”=1 - произвольные вектора коэффициентов, связанные условиями

т

п

| )Ж = 2 ак, | д2(т)4т = 2 ^

а ^ ^), д2 (т) - положительные суммируемые на отрезке [0,1] функции.

При произвольных векторах узлах Т = {гк}, Т = {т} обозначим через Р = {ак}, Ет(Н1; ^;Т) - коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса Н'[0,1] квадратурной формулы (4), а через Р2 = Щ}, £п(Н1;д2,Т) -коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса Н '[0,1] квадратурной формулы (5). Тогда справедлива следующая общая

Теорема 1. Пусть #(^,т) = ^ (?)д2 (т). Тогда для погрешности наилучшей по коэффициентам кубатурной формулы (1) для класса Н(1Д) справедлива формула

2. Формула (6) дает возможность обобщить некоторые одномерные результаты, полученные в работах [1 -4]. В общем, выбирая конкретные веса ^ (?) и #2 (?) при фиксированных

векторах узлах Т = {^} и Т = {т} , вычислим погрешность (3), получаем при этом кубатур-

ные формулы на классе Н(1,1).

Мы сформулируем основные результаты для кубатурной формулы типа Маркова, т.е. для кубатурной формулы вида (1), в которой вектора узлы Т = ^к}^=1, Т = {т.}”=1 дополнены узлами г0 = 0, гт = 1 и т0 = 0, тп = 1.

Таким образом, кубатурная формула типа Маркова имеет следующий вид

Теорема 2. Пусть д(г,г) = г "г г, 0 < э,у< 1. Тогда среди кубатурных формул вида (1) типа Маркова с фиксированными векторами узлами Т = Т* = {к/т}“= 0, Г = Гп = {і/п]П=0 и произвольными векторами коэффициентами, наилучшей по коэффициентам кубатурная формула имеет вид

е,„ (Н,М); сііЧ2 ;Т, Г) = Є„, (Н<1); Й;Т) ■{ дг(г^г + £„ (Н(1); ^; Г)| цх(( )Л. (6)

о

о

Ц Ч(t, г)/&г^г = Ро^./(0, 0) + Рто/(1, 0) + Ро0п1(0,1) + Ртп/(1,1) +

(Є)

т-1

п-1

т-1 п-1

(1 - ')(1 -/:>

1

/ (0,0)+

112m у

Г Г 1 I1 1 yv ч Г 1 I1 У Г г 1I11

і-I і — I • /(О,1) -I —I 1 -И — I

|_ 1 2n J J V 2n J V 2m J

• /(1, О) -

Г г і I11 Г г 1111 Г l Y-S Г 2i -111-. Г 2i -111-.

- 1 -11 — I 1 -11 — I •/(u)+г/ Е 1 I I

V 2m J I 2n J 1V 2 n 2 n 1

-

41-s

1- 1—

2m

Е

i=1

2i -1 У-" Г 2i -1 У-"

2n

—

2n

1

\1-y

-bnJ Е

' ^ і ., \ 1-^ ґ ^ і ., \ 1-5

2k -11 Г 2k — 11

2m

2m

• / [- Оі-

v m J

-

\1-У

1 - 1 —

2n

m

Е

k=1

2k -1Y-* Г 2k -111-"

2m

—

2m

-ЕЕ

k=1 i=1

\ 1-5 / л _\1-5

2k -11 Г 2k — 11

2m

—

2m

2i -111-" Г 2i -111-"

2n

—

2n

/( k’L I-Rmn(/,q,T*’T*),

V m n J

погрешность которой на всем классе H(1,1) равна

(H<ш; q;T -, Т •) =

I -11-5

-o

max <

V

m2 ’ n2

4(1 -s)(1 -у) Vm nJ 24 ^(1 -y)m2 (1 -s)n2y

Теорема 3. Среди всех кубатурных формул вида (1) типа Маркова с весовой функцией q(t,T) = sin жt sin^T, фиксированными векторами узлами T*= T* = {k/m}™= 0, Т* = = {i/n}”=0

и произвольными векторами коэффициентами P = {рм , наилучшая по коэффициентам кубатурная формула имеет вид

Ц / (t, т) sin ^t sin nTdtdT =

(Є)

4 / . 2 Ж .2 Ж .2 Ж . 2 2(n - 1)ж

= —{sin —sin — / (О, О) - sin —sin ---- --/ (О,1) -

ж 4m 4n 4m 4n

.2 ж . 2 2(m - 1)ж . 2 2(m -1)ж . 2 2(n - 1)ж ,ҐЛ 1Ч

- sin2—sin —------— /(1, О) - sin —-— sin —-— /(1,1) -

4n 4m 4m 4n

• 2 Ж . ж-А . жі J л i I . 2 ж . ж-А . жі J n i I

- sin —sin — Е sin—/I 1,—I-sin —sin — Е sin—/I О,— I-

4 m n~1 n V n J 4m n “=1 n V n J

.2 ж . ж A ■ жk Гk Л . 2 ж . жА . жk Гk Л

- sin —sin— Е sin—/ I —,1 I-sin —sin— Е sin—/I —, О I-

4n m k=1 m V m J 4n m k=1 m V m J

. ж . жА A . жk . жі Г k i ^

-sm—sm-22sin—sin—•/I —,_ I}-Rmn(/;q;T ,r ), m n k=1 l=2 m n V m n J

погрешность которой на всем классе H(1,1) равна

1—s

1

m

1

tmn(H<U);q;T•,T•) = 41 tgж + tgж

ж V 4m 4n

Хорогский государственный университет Поступило 16.08.2006 г.

им.М.Назаршоева

ЛИТЕРАТУРА

1. Шабозов М.Ш. - Изв.АН ТаджССР, 1980, №4.

2. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. - Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, №7, с.42-54.

3. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. - ДАН РТ, 2004, т.47, №3, с.14-19.

4. Сабоиев Р.С. - ДАН РТ, 2005, т.48, № 3-4.

Р.С.Сабоиев

ДАР БОРАИ ФОРМУЛАМИ КУБАТУРИИ ВАЗНДОРИ АЗ РУИ КОЭФФИСИЕНТХ,О БЕ^ТАРИН БАРОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ СУФТАГИАШОН ХУРД

Дар мак;ола барои функсиях,ои ду тагйиребанда ки ба синфи Липшитс таалук; до-ранд, формулами кубатурии аз руи коэффисиентх,ояш бех,тарин ефта шудаанд.

R.S.Saboiev

ON THE BEST WEIGHT CUBATURE FORMULAS WITH COEFFICIENTS FOR CLASS FUNCTIONS A LITTLE SMOOTH

In article we found cubature formulas with weight coefficients for functions with two variables, which belonging Lipshets classes.