CC BY
40
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №3_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов
ОБ ОДНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ КУБАТУРНОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
Рассматривается задача минимизации погрешности кубатурной формулы на классах функций, задаваемых модулями непрерывности. Для кубатурных формул с фиксированными узлами на границе прямоугольной области с решётчатым расположением узлов даётся точное решение задачи на некоторых классах функций двух переменных.
Ключевые слова: оптимальные формулы — модуль непрерывности — узлы и коэффициенты — оценка остатка.
В работе для определённых классов функций двух переменных, задаваемых модулями непрерывности, решается экстремальная задача отыскания оптимальных кубатурных формул с решётчатым расположением узлов на прямоугольной сетке. Рассмотрим для функций /(х,у), заданных и интегрируемых в смысле Римана на прямоугольнике Q = {а < х < ¿, с < у < Л}, кубатурную формулу
т п
Ц У (х, у)ЛхЛу = 22 раУ(хк, у,) + Ктп (У), (1)
(Q) к=0 ,=0
определяемую вектором (X, У; Р) узлов
Х = К : а = х0 < х1 < < Хт-1 < хт = ^
У = {у, :с = Уо < У1 < • < Уп-1 < Уп = Л)
и коэффициентов Р = {рк, }т;"0, Ятп (У) := Ятп (У;X, У; Р) - погрешность кубатурной формулы (1) на
функции У(х, у). Там, где это не вызывает противоречия, точки прямоугольника Q будем иногда
обозначать через М :=М(х, у), а узлы через Мы = М(хк, у ) . Множество всех векторов узлов и
коэффициентов, для которых формула (1) имеет смысл, обозначим через Л . Если М - некоторый класс функций {У (х, у)}, заданных и интегрируемых в прямоугольнике Q, то положим
Ятп = т X, У; Р) = эир{| Ятп (У; X, У; Р) | : У е М}.
Требуется найти величину [1]
£тп(М) = т^(М;X,У;Р) : (X,У;Р) е Л}
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
и указать вектор (X*,У*;Р*) (X* = {х*к},У* = {у*};Р* = {р*ы}) из множества Л , на котором достигается точная нижняя грань, то есть выполняется равенство
^ (М) = ятп (М; X *,У *; Р*).
Кубатурная формула (1) с узлами (х*к, у*) и коэффициентами р*ы даёт наименьшую на всём классе М погрешность среди формул, задаваемых множеством Л векторов (X, У; Р), и в этом смысле является наилучшей или оптимальной для класса М .
Обозначим через Н ^ ,Ю2(0) - класс определённых на Q функций /(х, у), удовлетворяющих для любых двух точек (х', у'), (х" , у") е Q условию
| f (x',y') - f (x",y") \<4(\x' -x" I) + ^(I y'-y" I),
где (Dx (ö),®2 (ö) - заданные модули непрерывности, то есть непрерывные неубывающие полуаддитивные функции, в нуле равные нулю.
Наряду с классом H,0h(Q) параллельно будем рассматривать класс H®(Q) функций f (x, y), заданных на Q и таких, для которых
| f (M") - f (M ") \<w(p(M", M")),
где 0)(ö) - заданный модуль непрерывности, а под p(M' ,M") будем понимать одно из следующих хорошо известных расстояний между точками M' = M(x', y'), M" = M(x", y") из области Q :
P (M' ,M") = (x ' - x ")2 + (y ' - y")2 - евклидово расстояние, p2 (M',M") =| x' - x" | + | y' - y" I - хэммингово расстояние.
Нам для доказательства основного результата понадобится следующая лемма, являющаяся несложной модификацией леммы 2 из [1, стр.178] и которая доказывается по схеме рассуждений, приведённой в [2, стр.370].
Лемма. Пусть p(u) - неубывающая для 0 < u < b - a функция. При фиксированном n е N каждому вектору
X = {xk : a = xo < x < — < xn-j < xn = b} (2)
сопоставим функцию
q(X; x) = min p(| x - x^ |), a < x < b.
0< k < n
Тогда, если X* =|хк : хк = а + (Ь — а)к / , то для любого вектора X вида (2) имеет место неравенство
(Ь-а)/(2п)
| д(X; х)<х > | д(X*; х)<х = 2п | ср(г )<г.
Сформулируем основной результат работы.
Теорема. Среди всех кубатурных формул вида (1) наилучшей для классов Нр,Р2(в) и Ншр(0)(1 = 1,2) является формула
Ц /(х у)<х<у = ЕЕ Р*/(а + кк , С + ) + ^тп (/)
(в)
к=0 1=0
где к = (Ь — а) / т, д = (< — с) / п и наилучшие коэффициенты р*и имеют вид:
(3)
* * * * 7 / л
Роо = Рт0 = Роп = Ршп = кЧ / 4;
Р1г = Рш = кЧ / 2 1 = 1 П — 1 р1о = ркп = кд/ 2, к =12..., т—1; Рш = кд, к = 1,2...,т — 1; 1 = 1,2...,п — 1.
(4)
При этом точная оценка погрешности кубатурной формулы (3) на указанных классах функций равна
( к/2 д/2 '
д | р1(г+ к | р2 (т)<т
£тп (Нр ,Р2(в)) = 2тп
Л
V о
к/2 д/2
¿"тп (НЮЛ (в)) = 4тп \ | р(ЛГ+7)Мт.
о о
к/2 д/2
¿тп (НР (в)) = 4тп \ \р(г + т)йгйт:
д/2 к/2 д/2+к/2 / ^ ч
| гр(г)<г + д | р(г)<г + | |д+-—г) р(г)<г, к > д;
о к/2
= 4тп <
| гр(г)<г + к | р(г)<г + | I д + к — г 1 р(г)<г, к < д;
д / 2 д/2
к / 2 д/2+к/2
дк
о к /2
' к / 2
д / 2
| гр(г)<г + | (к—г)р(г)<г, к = д.
к/2
Приведём вкратце схему доказательства теоремы. Оценку снизу для всех перечисленных классов функций получаем хорошо известным методом Н.П.Корнейчука [3] с учётом приведённой выше леммы. Для получения оценки сверху рассмотрим кубатурную формулу (1), заданную вектором
(X*, У*; Р*) узлов
о
X = {х*: х* = а+кН, k = 0,1,...,т},
Y* = {у': У■ = с+iq, I = 0,1,.., п}
и коэффициентов Р * = {р*ь }1'"=а, определённых равенствами (4). В итоге из совпадения оценки снизу
и сверху получаем утверждение теоремы.
Замечание. Легко заметить, что утверждение теоремы тривиальным образом переносится на случай функций любого числа переменных. В одномерном случае это означает, что для класса Н ш[а, Ь] функций /(х) таких, для которых выполняется неравенство
| /(X)-/(х") |< х-х I), х,х" е [а,Ь],
где со(1) - заданный модуль непрерывности, наилучшей квадратурной формулой типа Маркова
Ь п-1
| / (х)сЫ = Ро/(а) + £ р/ (х* ) + рп/(Ь) + Яп (/)
а к=1
(то есть когда заранее зафиксированы в качестве узлов концы отрезка х0 = а, хп = Ь, а узлы х1,х2, ••,хп-\ и коэффициенты р0,р,...,рп выбираются оптимальным образом) является формула трапеций
Ь Г 1 п-1 ]
Г /(х)сЫ = к \ - (/(а) + /(Ь)) + £ /(а + кк) + Яп (/),
а 12 к =1 I
(5)
где по-прежнему к = (Ь — а) / п . При этом оценка погрешности формулы (5) на всём классе Нш[а,Ь] равна
к/2
£п (Нш[а, Ь]) = 2п $ а(Г)йг.
В частности, когда о>(1) = К",К > 0,0 <а < 1, имеем:
Кф - а)"1 1
8п (КН а[а, Ь]) =
а +1 (2п)а
Поступило 22.10.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988, 256 с.
2. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М.: Наука, 1987, 424 с.
3. Корнейчук Н.П. - Мат. заметки, 1968, т.3, 5, с. 565-576.
0
М.Ш.Шабозов
ОИДИ ЯК ФОРМУЛАИ КУБАТУРИИ ОПТИМАЛЙ БАРОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОЕ, КИ БА ВОСИТАИ МОДУЛ^ОИ БЕФОСИЛАГЙ ДОДА
ШУДААНД
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола масъалаи минимизиронии хатогии формулаи кубатурй барои синфи функсияхое, ки ба воситаи модули бефосилагй дода шудаанд, муоина карда шудааст. Барои формулами кубатурии бо гиреххои дар сархади сохаи росткунча фиксиронидашуда, халли аники масъала барои баъзе синфхои функсияхои дутагйирёбанда дода шудааст. Калима^ои калидй: формулами беутарин - модули бефосилагй - гиреуо ва коэффисиентуо -бауои бация.
M.Sh.Shabozov
ABOUT THE ONE OPTIMAL CUBATURE FORMULA FOR CLASSES FUNCTIONS GIVEN BY MODULUS OF CONTINUITY
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The problem of minimization of error of cubature formulas for classes of functions defined by the modules of continuity are considered. For cubature formulas with a fixed nodes on the border of a rectangular area is given by the exact solution problems for certain classes of functions of two variables. Key words: the best formula - modules of continuity - nodes and coefficients - estimate remainder.
