CC BY
21
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №4_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.А.Алигаваров
ОПТИМАЛЬНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 25.12.2013 г.)
В работе решается экстремальная задача отыскания наилучших кубатурных формул для некоторых классов функций, задаваемых модулем непрерывности, зависящих от расстояний точек в 1Р (1<р <х>)-норме.
Ключевые слова: кубатурная формула - погрешность - модуль непрерывности.
Задача об отыскании наилучших кубатурных формул на некоторых классах функций, задаваемых модулями непрерывности, и нахождении их точной оценки погрешности рассмотрена Н.П.Корнейчуком [1].
В данной работе аналогичная задача рассматривается для классов функций, являющихся обобщениями рассмотренных в [1,2] классов функций.
Рассмотрим для функций /(х, у) , заданных на прямоугольнике Q = {а < х < Ь, с < у < d}, кубатурную формулу
т п
Ц / (х, у^у = ££ рк1/(хк, у ) + Ктп (/), (1)
(в) к=1 г=1
определяемую вектором (X, У; Р) узлов
а < Х1 < Х2 < ... < хт< b, С < У1 < У2 < ... < Ут< d
и коэффициентов рй . Точки прямоугольника Q обозначим через М = М(х, у), а узлы решётки через Мм = М(х^, у ) . Если М - некоторый класс функций /(х, у), заданных и определённых на прямоугольнике Q , то положим
8тп(Ш) = 1г* Ятп(Ж;Х,У;Р) = т£ 8ир | Ятп(Л |. Будем рассматривать класс И®р (^) (1 < р < да) функций /(х, у) , заданных на Q и таких,
что
\/ (М") - / (М ")\<о[рр (М", М")],
Адрес для корреспонденции: Алигаваров Сурадж Алигаварович. 736000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул. Ленина, 28, Хорогский госуниверситет. E-mail: [email protected]
где р (М' ,М") - I -расстояние между точками М'(х', у') и М"(х", у"), то есть
рр (М',М") = р(х' — х")* + (у' — у")* , (1 < р <ю), а со(5) - заданный на отрезке
0 < г < ё = фЬ — а)р + (ё — с)р модуль непрерывности, то есть полуаддитивная неубывающая функция в нуле равная нулю.
Наряду с классом функций И^р (О) , (1 < р <ю) параллельно будем рассматривать класс
НСр (О) функций /(х, у) , определённых на 0 и для любых точек
М ' = М' (х у '),М " = М"(х ",у ") и М* = М*' Х ' + Х " у ' + у "
принадлежащих области 0 при всех 1 < р <ю удовлетворяющих условию \/(М ') + /(М ") — 2/(М*)\< 2с
х' — х"\У (\у' — у ям-1 I +1 ^ у
где с(3) - заданный модуль непрерывности. Справедлива следующая
Теорема 1. Среди всех кубатурных формул вида (1) наилучшей для классов функций И^р (О)
и ИСр (О) является формула прямоугольников
Ц /(х, у)ёхёу = ЛИд£ £/(а + (2к — 1)к, с + (21 — 1)д) + Ятп(/), (2)
(О) к=1 1=1
где И = (Ь — а) / (2т), ^ = (ё — с) / (2п). При этом для точной оценки погрешности на указанных классах функций формулы (2) при любом р е [1,ю) имеют место равенства
А я _
о о
Между классами И^р (О) и И^р (О) можно определить промежуточный класс ИС-а Р (О)(0 < о < 1) - функций /(х, у), определённых в области 0 и для любых указанных выше точек М', М" и М * из области 0 при любых а(0 <о< 1),1 < р <ю удовлетворяющих условию
\ (1 + о)/(М ') + (1 — о)/(М ") — 2/(М') \<
г
< I'+(\У—
Лемма. Для произвольного модуля непрерывности (о{1), определённого на отрезке 0 < г < р(Ь — а)р + (ё — с)р, 1 < р <ю при любом а е [0,1], имеют место включения
Нр (б) с н1а,Рр (б) с н1Рр (е), (3)
Воспользовавшись приведёнными леммой и теоремой 1, легко доказать следующее Следствие. В условиях леммы для погрешности формулы (1) при произвольном векторе (X, У; Р) и любой ае [0,1] справедливы неравенства
Кп(нр(б);X,У;Р) < Ятп(Щ—р (б);X,У;Р) < Ятп(Н(б);X,У;Р),
откуда в свою очередь вытекают оценки погрешности кубатурной формулы (2) на указанных классах функций:
гЛКЛО)) * £тп(.н1аЛО)) * £тп(.КЛО)\
где рр := рр (Ы',Ы") = р \ х'— х"\р +| у' — у"\р ,1 < р < ю.
! = х — х
Результат следствия позволяет сформулировать
Теорема 2. Среди всех кубатурных формул вида (1) наилучшей для класса функций Н(-ар (б) (0 <а< 1, 1 <р < ю) является формула прямоугольников (2). При этом для точной
оценки погрешности формулы (2) на классе Н(_а р (б) справедливо равенство
А Я _
= 4тп\\оАФ>' + т>')Мт.
о о
Теорема 3. Наилучшая кубатурная формула (2) для класса Н(_а р (б) (0 < а < 1, 1 < р <ю) единственна.
Приведённые теоремы 1-3 являются обобщениями соответствующих теорем из работы [3]. Результат теоремы 1 легко распространяется на следующий класс Н( (б) функций /(х, у), для
которых в каждой точке (х, у) е б выполняется неравенство
| /(х + г, у + т) + /(х + Г, у — т) + /(х — Г, у + т) + /(х — Г, у — т) — 4/(х, у) \<
< 4((ргр + тр ), 1 < р <ю, (х ± г, у ±т) е б.
Теорема 4. Среди всех кубатурных формул вида (1) наилучшей для класса Н( (б), 1 < р <ю является формула (2). При этом для точной оценки погрешности формулы (2) на классе Н(Р (б), 1 < р <ю справедливо равенство
(0 = 4тпЦса(Фр+тр)Жс1т.
о о
В частности, при р = 1 имеем
1г д
С(яГ(м,0 = 4 тп\\а^ + т)йхйт =
= 4тп
|гс(г)ёг + И^а(г)ёг + | (д + И — г)с(г)ёг, д > И;
0 Ид
д И И+д
|гс(г)ёг + д^с(г)ёг + | (д + И — г)с(г)ёг, д < И;
0 д И
рИ р2И
I гс(г)ёг +1 (2И — г)с(г)ёг, И = д.
0И
В заключение отметим, что класс ИюРр(О) шире, чем классы ИС_а р (О) (0 < о < 1, 1 < р < ю) . Это следует из того, что если функция / е И^а р (О), то / е И С (О X а обратно не всегда верно. В самом деле, если функция / е ИС_а р (О), то мы имеем:
\ (1 + о)/(х + г, у + т) + (1 — о)/(х — г, у — т) — 2/(х, у) \< 2с(ргр + тр ),
\ (1 — о)/(х + г, у + т) + (1 — о)/(х — г, у — т) — 2/(х, у) \< 2с(ргр + тр ),
\ (1 + о)/(х — г, у + т) + (1 — о)/(х + г, у — т) — 2/(х, у) \< 2с(ргр + тр ),
\ (1 — о)/(х — г, у + т) + (1 + о)/(х + г, у — т) — 2/(х, у) \< 2с(ргр +тр ). Складывая эти неравенства, получаем
\ / (х + г, у + т) + / (х + г, у — т) + / (х — г, у + т) + / (х — г, у — т) — 4/ (х, у) \<
< 4с(ргр + тр ), (1 < р <ю, (х ± г, у ±т) е О).
Последнее неравенство означает, что при любом 0 <о < 1, 1 <р < ю класс ИС—о,рр (О) ^ И СР (Я), а потому класс И С (О) шире, чем класс И^ (О) (0 <о< 1, 1 < р <ю).
Поступило 25.12.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных — Мат. заметки, 1968, т.3, 5, с.565-576.
2. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988, 256 с.
3. Алигаваров С.А. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций двух переменных, задаваемых модулями непрерывности — Изв. АН РТ. Отд. физ-мат., хим., геол. и техн. н., 2013, 2(151), с.28-39.
С.А.Алигаваров
ФОРМУЛАМИ КУБАТУРИИ БЕ^ТАРИН БАРОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОЕ, КИ БА ВОСИТАИ МОДУЛИ БЕФОСИЛАГЙ ДОДА
МЕШАВАНД
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев
Дар макола масъалаи экстремалии ёфтани формулахои кубатурии бехтарин барои баъзе синфи функсияхое, ки ба воситаи модули бефосилагй дода шуда, аз масофаи байни нуктахои l
(1 < p < да) -норма вобаста мебошанд, хал карда шудааст. Калима^ои калиди: формулаи кубатурй - хатогй - модули бефосилагй.
S.A.Aligavarov
OPTIMAL CUBATURE FORMULAS FOR THE CLASSES FUNCTIONS DETERMINED BY THE MODULUS OF CONTINUITY
M.Nazarshoev State University of Khorog We solve the optimization problem of finding the best cubature formulas for certain classes of functions determined by the modulus of continuity, depending on the distance of points in lp (1<p <®)-norm. Key words: cubature formula - error - the modulus of continuity.
