CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Р.С.Сабоиев
О НАИЛУЧШИХ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ВЕСОВЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ
НЕПРЕРЫВНОСТИ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 17.12.2006 г.)
В работе для функций /(7,т), заданных в квадрате Q = {0 < 7, Т < 1}, найдены наилучшие по коэффициентам весовые кубатурные формулы вида
т п
Ц д(7, т) / (7, т)Лёт = II р„/(!„ ,т)+Кп (/; 4). (1)
Ш) к=° 1=0
определяемые вектором (Т, Т, Р) узлов
Т: 0 = < I <... < 7 , < 7 = 1
0 1 т—1 т
Г :0 = Т0 <Т1 < ... <Тп—1 <Т = 1 и коэффициентов Р = {р}, 4(7, т) > 0 - весовая функция. Если М - некоторый класс
функций {^(/■, т)} , определенных в Q , то положим
Ятп М; Т, Т, Р) = 8ир{Ятп (/; Т, Г, Р) : / е М.}.
Требуется найти величину [1], [2]
^тп (М; Т, Г) = М Ят„ (М; Т, Г, Р). (2)
Рш
Если существует вектор Р0 = {рй °}, для которого в (2) достигается нижняя грань, то куба-турная формула (1) с вектором Р0 = {рь °} называется наилучшей по коэффициентам куба-
турной формулой при фиксированных узлах Т = [7к } и Т = {т }.
Пусть /(7,т) - непрерывная в области Q функция, / е C(Q) и пусть
(7’, Т'), (7", Т" ) е Q произвольные точки. Величина
со(/;7,т) = Бир{| /(Г,Т) — /(Г\Т') |: | Г—Г'|< 7; | Т—т"\< т} называется полным модулем непрерывности / е C(Q).
Через НЮ(Q) обозначим класс функций / е С^), для которых (о(/;7,т) < ю(7,т), где ю(7,т) - заданный полный модуль непрерывности. Параллельно будем рассматривать
класс НаЛ(0) - функций /(7,т), заданных на Q и таких, для которых
| fit', г' ) - fit' ',г")|< C0i4(t'-t"f + (г’-г" )2 ), (г',!'),(/' ', г” ) є Q,
где G)(t) - заданный одномерный модуль непрерывности для 0 < t < V2 Имеет место следующее основное утверждение.
Теорема 1. Среди кубатурных формул вида (1) с весовой функцией q(t,г) > 0, фиксированными векторами узлами
T : (tk :0 = г0 < t1 < ••• < гт-1 < гт = 1}
T : (г :0 = г0 <г1 < ••• <г„-1 <г„ =1} и произвольными векторами коэффициентами ph, k = 0,1,•••,m; і = 0,1,•••,n; наилучшей по
коэффициентам кубатурной формулой на классах функций Hю и Hw’2 является формула с коэффициентами
Pki = Яq(t,r)dtdr’ (3)
(Qki- )
где
Q = (x, <г < xk+1, Уі <г< У,+1}
Х0 = 0, Xk = (tk-1 + гк )/2, k = 1,2,•••, m; Xm+l = 1
У0 =0, Уі = (г-1+гі)/2, і = 1,2,•••, п; уп+1 = гп =1
и наилучшей оценкой остатка, соответственно, равной
m п
s„n (H*;T, T) = £Z U q(t,r)m(\t - г, |,| г - г, |)dtdr, (4)
k=0 1=0 (Qü )
s-(H‘'2,T,T) = ££ jj ф,гЫ4(г->,)2 + (г-г,Г)ЛЛг (5)
k=0 i=0 (Qü’ )
Доказательство. Оба равенства (4) и (5) доказываются по одной и той же схеме, поэтому мы приведем лишь доказательство (4). Оценку снизу для величины (2) получим, следуя методу, изложенному в [1, стр.83].
Сопоставим каждому вектору узлов множество
Нт/ = {/: / е На, /(4,Т) = 0, к = 0,1,...,т; 1 = 0,1,...,п}.
Ясно, что при любом векторе коэффициентов Р = (рй } имеем:
suP{Rmn (f T т, P): f e ht , Л = || q(t, T)f0(t, T^dtdr., (6)
(Q)
*
где f0(t,r) = -(|t - tk \,\r- r |), (t,r) e Qfo .
Из (6) находим
(H-.T, T) > inf Rmn (Ht/; t, T, P)
Pki
m n
= IIq(t,r)fo(t,r)dtdr = /t/t ||q(t,r)-(|t-tk |, |г-г |)dtdr (7)
(Q) k=0 i=0 (Qki*)
и оценка снизу получена. Используя коэффициенты (3), получим оценку сверху. Имеем:
m n
| Rmn (f; q; t , т, p’) |=| Ц q(t, r)[f (t,r) - f o„, r )vtdr |<
k=0 i=0
m n
Яq(t,r)-(|t-tk\.\T-ri\)dtdr (8)
k=0 i=0 (Qki*)
и так как оценка (8) справедлива для произвольной f e H -, то из (8) вытекает, что
^ mn (H-; q;T, Т) = inf | яят (H-; q;T, Г, P) |<
Pki m n
<|Rm, (H-; q;T, T, P*)|<H II ?(i,r)®(|i - |, |r-r, |)dtoT. (9)
k=0 i=0 (Qki*)
Из сопоставления неравенств (7) и (9) следует равенство (4).
Теорема 1 доказана.
Таким образом, согласно доказанной теореме, кубатурная формула (1) в частности с равноотстоящими узлами
T* = {tk : tk = k/ m, k = 0,1,..., m},
T* = {r : T = i/n, i = 0,1,...,n} и весовой функцией q(t,t) > 0 будет наилучшей по коэффициентам формулы на классах
H- и H-2, если коэффициенты формулы выбрать следующим образом
Pki = Яq(t,T)dtdT’
- * ч
(Qki- )
где
*
Ош = К ^ ^ Хк+^ Уг Уг+Л
х0 = ¿0 = 0, хк = (2к - 1)/2т, к = 1,2,..., т; хт+1 = гт = 1,
Уо =^0 = 0, Уг = (2 - 1)/2П г = 1,2,..., П Уп+1 = *п = 1
При этом наилучшая оценка остатка на классах Нт и Нт’2 соответственно равна
£тп (Н »; д; Т *, Г *) = її Я д(і,т)а(\ і —ік |, | т — тг. \)йійт
к=0 і=0
(ви )
1/2т 1/2п
,1 — т) + д(1 — і ,т) + д(1 — і ,1 — т)} +
0 0
+
т—1
ї
к=1
п—1
■ ( к Л
ді —+ і, т + д . V т
\
(к —+ і ,1 — т
V т у
(к
+ д------і, т + д---------------------і ,1 — т
V т у V т
к
+
ї
і=1
( і ді і,— + т
А п у
+д
1 — т, — + т
+д
і, — т
+д
1 — і,— т
т —1 п—1
+ї ї'
к=1 і=1
к
п у V п у V п
Л (к і Л (к і Л
+ д —+ і,—т +д і, —+ т
у V т п у V т п у
+
+
+
(к і
\
+ д---і,—т
V т п у
]}ю(і ,т)^і^т,
(10)
(Н"';д;Т*,Г*) = ї£ Ц д(і,т)оЦ(( — ік)2 + (т — т)2 )АГ
к= 0 і=0
(вк)
1/2т 1/2п
І М , т) + д(і ,1 — т) + д(1 — і ,т) + д(1 — і ,1 — т) +
0 0
+
т—1
ї
к=1
п—1
■ ( к л
д\ —+ і, т + д . V т У
(к
—+ і ,1 — т
V т у
+д
(к
-----і,т
V т у
+д
(к л Л
------і ,1 — т
V т УJ
+
+
ї
і=1
Г ( і л ді і,— + т +д (і і Л 1 — і,—+ т +д ( і Л і, — т +д (і і Л 1 — і, — т +
_ V п у V п у V п у V п у
m-1 n-1
+
к i — +1- + ■
к=1 i=1
Л Г к i Л (к i Л
+q —+1,—z +q 1, —+ z
У V m n У V m n y
+
+q
к i
1,— z
V m n
■ - zj®(V t2 +r2 jdtdz
В частности, при q(t,z) = 1 и q(t,z) = tz из этих формул получаем
1/2m 1/2n
єтп (H®;1;T*, T*) = 4mn J J ®(t,z)dtdz,
(11)
0 0
1/2m 1/2n
smn(H®;tz;T*,T*) = mn J J ®(t,z)dtdz,
0 0
1/2m 1/2n
smn(H®2;1;T*,T*) = 4mn J J ®(Vt2 + z2)dtdz,
(12)
0 0
1/2m 1/2n
(H®2;tz;T\T*) = mn J J ®(Vt2 + z2)dtdz.
0 0
Замечание. Интересно отметить, что соотношение (12) является точной оценкой погрешности наилучшей кубатурной формулы (не только по коэффициентам, но и по узлам)
вида (1) с q(t,z) = 1 на классе H®,2(Q) (см.напр. [3], стр.568).
Для весовой функции q(t, z) = sin 7t sin 7t из теоремы 1 и равенств (10) и (11) после простых вычислений получаем следующее утверждение
Теорема 2. Среди всех кубатурных формул вида (1) с весовой функцией
q(t , z) = sin 7 sin 7, фиксированными векторами узлами T = {к / m]k=Qm,
T* = {i / n}=0n и произвольными векторами коэффициентами P = {pfá } наилучшей по коэффициентам кубатурной формулой на классах функций H ®(Q) и H ®,2(Q) является формула
JJsin 7 sin 7t f (t ,z)dtdz =
(Q)
4 7.7 m-1 . k7 . i 7 J к iЛ
= —7 sin — sin— > > sin — sin— f 7 2m 2n““ m n
к=1 i=1
V m n
+ Rmn ( f) .
При этом для наилучшей оценки остатка классов Н т(0) и Нт’ (^) справедливы соответственно равенства
1/2m 1/2n
smn(HC0■;SІnжtsin^r*,Т*) = 4 J J (pm(t)pn(r)a(t,r)dtdr,
0 0
1/2m 1/2n
£mn(H*’2;sin^tsin^t;T*,Т*) = 4 J J (pm(t)qn(т)ю(у/12 + т2)dtdт,
(13)
(14)
0 0
где (pq (u) = sin m + cos m ctg (ml2q).
Доказательство. Равенства (13) и (14) получаются из соответствующих равенств (10) и (11) простым вычислением. В самом деле, с учетом соотношения [4, формула 1.344(1), стр.44]
Р-1 к=1
. лк л
sin— = ctg —
Р 2Р
для класса H m(Q) получаем
smn(Hю;sinmtsinmr;T*,Т*) = J J {[sinmt + sinm(1 -1)][sinmr + sinm(1 -r)] +
1/2m 1/2n
m-1
+ [sin лт + sin л(1 - r)]1
к=1 n-1
f кл Л f кл Л
sin +лt + sin л +
V m J V m
+ [sin л + sin л(1 - t)]1
l=1
sin
Л
Іл ------h лт
V n у
+ sin
\
Іл
--------лт
V n yj
+
m-1
+i
к=1
• f кл Л • кл Л n-1 xI 7л Л • f Іл ^
sin 1 +л t 1 + sin 1 лt 1 sin 1 h лт h sin I лт 1
V m J V m Л l=1« ,n J Vn Jj
}<a(t, T)dtdT =
4
1/2m 1/2n
J J<
0 0
m-1
Екл 'V'' • Іл
sin---------hcosлтsmлт> sin—
m ¿—І тґі
к=1
-1
+
l=1
П
+ cosЛcosлт'V sin—I sin —}rn(t,T)dtdT =
Iх?
m n
к=1 m l=1 n
4
1/2m 1/2n
Í I*
0 0
л
sin л sin лт + cos л sin лт ctg--------------------h
2m
л л л , \ j j
+ sin л cos лт ctg--------------h sin л cos лт ctg— }^(t, т)Шат =
In In
1/2m 1/2n
4 J il sinл + cosMctg ji sin^r + cosTizctg л \œ(t,r)dtdr. 0 0
\ 2n y
В частности, при б)^, г) = № , вычисляя интегралы в правой части (13) имеем:
£mn (H ю;sinжt smлт;T¥, Г *) = -^ (l + 2cos^ Yl + 2cos Л | tg Л tg Л,
л l 2m A 2n У 4m 4n
чем и завершаем доказательство теоремы 2.
Институт математики Поступило 7.12.2006 г.
АН Республики Таджикистан,
Хорогский госуниверситет им. М.Назаршоева
ЛИТЕРАТУРА
1. Лебедь Г.К. - Мат.заметки, - 1968, т.3, №5, с.577-586.
2. Моторный В.П. - Укр.мат.журн. - 1995, т.47, №9, с. 1217-1223.
3. Корнейчук Н.П. - Мат.заметки. - 1968, т.3, №5, с.565-576.
4. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведения. - М.: Наука, 1962, 1100 с.
F.C.CaôoneB
ÜH^H ^OFMy^A^OH KYBATYPHH BA3H£OF A3 FŸH KOЭ^HСHЕНТ^Oflm BE^TAFHH EAFOH CHHŒH ^yHKCHH^OE, KH BA BOCHTAH MO^y^^OH BEŒOCHÆArH MyAHAH my^AAH^
flap MaKO^a xaTorHH aHHKH ^opMy^axoH Ky6aTypHH Ba3Hgop a3 pÿH кoэ^нснентx,Oflm 6exrapHH 6apou 6a^3e chh^x,oh ^yHKCHaxo, kh 6a BOCHTaH Mogy^xoH ôe^ocH^arH MyaHAH mygaaHg, ë^Ta mygaaHg.
R.S.Saboiev
ON THE BEST BY COEFFICIENT WEIGHT CUBATURE FORMULAS, SET BY CONTINUES MODULES
In article exact error of weight cubature formulas by best coefficient for some class function, which defined by continues modules are found.
