CC BY
16Оптимизация регулятора для многоканальных объектов с развитием идеи
упредителя Смита
Вадим Жмудь, Олег Ядрышников Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия
Аннотация: Задача управления многоканальными объектами, в которых присутствуют перекрестные связи от многих (всех) входов к многим (всем) выходам представляет существенный интерес в связи с тем, что такие задачи встречаются во множестве реальных ситуаций. При этом аналитические методы разработаны лишь для линейных систем без запаздывания. Применение моделирования и численной оптимизации позволяет решать эту задачу более эффективно. Однако и в этом случае переходные процессы в системе зачастую обладают недостаточным качеством вследствие большого перерегулирования. Развитие идеи упредителя Смита и обводного канала для многоканального случая с последующим применением численной оптимизации, а также соответствующая модификация стоимостной (целевой) функции, применяемой для оптимизации, позволяет предложить новую методику управления многоканальными объектами, содержащими существенное запаздывание. Методика апробирована на примере.
Ключевые слова: автоматика, регуляторы, многоканальные системы, численная оптимизация, моделирование
1. ВВЕДЕНИЕ
Управление объектами в контуре с отрицательной обратной связью применяется везде, где требуется высокая точность и (или) независимость результата управления от внешних или внутренних неизмерямых возмущений. Особый класс объектов представляют многоканальные объекты, в которых имеется несколько входных и нескольких выходных величин, причем имеет место влияние каждой входной величины на каждую выходную величину, что называется перекрестным влиянием (или перекрестными связями). Требуется проектирование регулятора, обеспечивающего автономное управление каждой выходной величиной с помощью заранее выбранных входных величин.
Например, требуется управлять
температурой и объемом продукта в реакторе с помощью скоростей подачи двух реактивов.
Если объект линеен, как правило, его математическую модель в таком случае можно задать матричной передаточной функцией в оператороной области, то есть в виде отношений преобразований Лапласа от выходных сигналов к порождающим их входным сигналам.
Простейший подход к решению этой задачи состоит в выборе соответствия между входными воздействий и выходными величинами на основе принципа наиболее сильного влияния, если это возможно. Например, если в полупроводниковом лазере требуется стабилизировать частоту и мощность излучения, с учетом, что на каждый из таких параметров влияют температура этого лазера и ток накачки, то возможно два варианта организации управления: а) изменения мощности пытаться регулировать изменениями тока накачки, а изменения частоты излучения пытаться регулировать изменением температуры лазера; б) мощность регулировать за счет изменения температуры, а частоту - за счет изменения тока накачки. Во втором случае поставленную задачу будет решать значительно сложнее, поскольку ток гораздо сильнее влияет на мощность излучения, чем температура. Данное утверждение далеко не очевидно, поэтому требует разъяснения: как можно сравнивать четыре величины с различным наименованием. Действительно, приращение мощности от тока измеряется в Ваттах на Ампер, приращение мощности от температуры - в Ваттах на градус, приращение частоты от тока - в Герцах на Ампер, а приращение частоты от температуры -в Герцах на градус.
Представим матрицу статических
коэффициентов в следующем виде:
K„ (W/A) Kj2 (W/grade)
K21 (Hz/A) K22 (Hz/grade)
Умножим левый столбец на 1 А, а правый -на 1 градус. После этого разделим верхнюю строку на 1 Вт, а нижнюю - на 1 Гц. Получим безразмерные величины. Среди этих величин найдем наибольшую величину. Если она не находится на главной диагонали, изменим нумерацию второго индекса, а именно: 1 заменим на 2, а 2 - на 1, то есть поменяем местами стобцы. В итоге, как минимум, самая
большая величина будет находиться в главной диагонали. Это означает, что, по меньшей мере, одно из двух входных воздействий вызовет в прямом канале отклик более существенный, чем в побочном канале. Если при этом второй элемент в главной диагонали будет больше, чем другие два элемента, задача синтеза многоканального регулятора будет более простой, чем в случае, если бы это условие не было выполнено.
При выполнении этого условия можно предпринятья попытку обеспечения управления каждой величиной в скалярном (одноканальном) контуре управления. Например, можно сделать две скаларяные обратные связи с ПИД-регулятором в прямом тракте. В этом случае матричный регулятор может быть представлен диагональной матрицей, в которой ненулевые члены расположены лишь в главной диагонали. Такой подход может быть эффективным, если в модели объекта наиболее сильное влияние имеет место между выбранными управляющими сигналами и увязанными с ними выходными величинами. То есть во всем диапазоне рабочих частот матричная передаточная функция характеризуется тем, что в главной диагонали стоят члены, величина которых существенно выше, чем величина членов в неглавной диагонали.
Может оказаться, что указанный подход не эффективен, поскольку перекрестное влияние каналов не столь незначительное, чтобы им можно было пренебречь при синтезе регулятора, то есть, чтобы оно достаточно эффективно подавлялось действием основных
(диагональных) контуров управления. В этом случае необходимо пременение метода проектирования матричного регулятора.
В случае, когда объект линеен, можно использовать один из существующих аналитических методов синтеза регулятора для управления таким объектом. Например, если элементы передаточной функции регулятора -апериодические звенья, то в качестве регулятора можно предложить матрицу, являющуюся обращением матрицы регулятора, домноженную на коэффициент и интегратор, то есть множитель КЬ. В этом случае результатом умножения матрицы регулятора на матрицу объекта будет диагональная матрица с интеграторами в главной диагонали. Такая система будет успешно решать задачу автономного управления выходными величинами. Если элементы объекта имеют более высокий порядок, можно попытаться аппроксимировать их элементами первого порядка и применить этот метод, но результат может не быть столь успешным. Существуют и другие методы аналитического расчета многоканальных регуляторов. Однако, если в объекте содержатся элементы запаздывания и (или) нелинейные звенья, то аналитических
методов для расчета регуляторов не существует.
Численные методы состоят в моделировании системы, состоящей из объекта и регулятора, в анализе результатов моделирования при различных численных параметрах регулятора и выборе таких параметров, при которых задача решается наиболее успешно. Численные методы можно разделить на методы эмпирического подбора, методы оптимизации и прочие.
Эмпрический подбор реализует некоторые простейшие правила или алгоритмы отыскания таких параметров регулятора, которые обеспечивают удовлетворительное решение задачи, даже если этот результат и не является оптимальным.
Методы оптимизации требуют
формулировки критерия качества системы в численном виде, например, в виде стоимостной функции. Далее используются процедуры для отыскания таких параметров регулятора, которые обеспечивают наименьшее значение этой стоимостной функции.
К прочим методам можно, например, отнести метод Монте-Карло, который состоит в серии экспериментов со случайным заданием параметров регулятора с выбором того результата, который в наибольшей степени отвечает цели управления.
Также к прочим методам можно отнести все иные методы, основанные на опыте или интуиции разработчика, или на здравом смысле.
Например, можно рассмотреть задачу управления уровнем воды в бассейне и температурой воды при условии втекания в него холодной и горячей воды и неуправляемой скорости вытекания воды и неуправляемом охлаждении. При этом очевидно, что вклад увеличения скорости втекания горячей и холодной воды будет соизмиримо сказываться как на изменении температуры, так и на изменении уровня воды. Возникает конкуренция между двумя контурами управления. Однако здравый смысл подсказывает, что для управления температурой можно вместо выбора одного из двух воздействий - приращение скорости потока горячей воды или приращения скорости потока холодной воды - выбрать приращение суммы этих скоростей, а для управления температурой выбрать приращение разности этих скоростей. Такой скорректированный объект будет управляться более эффективно.
Действительно, пусть, например, все передаточные функции соизмеримы. Тогда приращение уровня Ух определяется соотношением Ух = WllUl + ^12и2, приращение температуры У2 определяется соотношением У2 = W2lUl - W22U2. Обозначим выходные сигналы регулятора, соответственно, R1 и R2. Зададим следующее соотношение: их = R1 + R2, и2 = R1 -R2. Отсюда получаем:
Ух = W11(R1 + Я2) + № - Л2),
У2 = W21(R1 + R2) - W22 - R2),
или
У1 = (Гц + ^2) Я1 +(Жц - Wl2 )Я2,
Т2 = ^21 - W22) ^ +^21 + W22 )Л2. Например, в случае равества всех передаточных функций получаем полное диагональное развязывание:
У1 = 2WЯ1, У2 =2 WЯ2. Рассмотренный пример легко понимается на интуитивном уровне, но примененный алгоритм действий трудно формализовать, поэтому в дальнейшем мы будем полагать, что все возможные процедуры упрощения задачи управления уже применены, но задача все же не упрощается настолько, чтобы можно было пренебречь непрямым влиянием контуров, то есть она остается многоканальной задачей синтеза регулятора.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ
Пусть объект описывается матричной передаточной функцией размерности N х Ы, элементами которой являются последовательно соединенные апериодические звенья и звенья чистого запаздывания.
Требуется разработка процедуры для оптимизации регулятора, которая позволила бы рассчитать регулятор в виде функциональной матрицы, также размерности N х Ы, элементами которой были бы физически реализуемые звенья в виде рациональных дробей, например, ПИД-регуляторы.
Предлагаемая процедура содержит следующие шаги.
1. Если возможны какие-либо методы упрощения, аналогичные тем, которые рассмотрены во введении, их целесообразно применить на предварительном этапе путем добавления на входе объекта соответствующей матрицы. Далее полученный модифицированный объект считаем новым объектом и применяем к нему все последующие процедуры.
2. Элементами главной диагонали матрицы регулятора выбираем ПИД-регуляторы вида: W11(s) = КР11 + Кщ11 s + КЛ1 / 5. Здесь КР11 , Кш и КЛ1 - коэффициенты пропорционального, дифференцирующего и интегрирующего трактов, 5 - аргумент преобразования Лапласа.
3. Остальными элементами матрицы регулятора выбираем ПБ-регуляторы вида: W1j(s) = KPlJ + Кщ 5. Если переходный процесс не удовлетворителен, в диагональные элементы также следует ввести интегрирующие слагаемые К11} / 5.
4. Задаем длительность моделирования равной ЫТ, где Т - предполагаемая длительность окончания переходного процесса в системе (эта величина в ходе моделирования может быть уточнена).
5. На первый вход при моделировании формируем входное воздействие V в виде ступенчатой единичной функции без запаздывания. На второй вход формируем аналогичное воздействие V2 с запаздыванием, равным Т, и так далее, для /'-го входа запаздывание равно T (i -1).
6. Формируем весовую функцию F в виде последовательности пилообразных сигналов, линейно нарастающих от нуля до произвольно заданной константы с периодом, равным T.
7. С помощью N вычитающих устройств формируем столбец ошибок управления Е, равных разности между предписанными сигналами V и выходными величинами 7. То есть Ег = V - 7.
8. Полученные ошибки Ег используем как входные сигналы для матричной передаточной функции многоканального регулятора, а также для вычисления стоимостной функции. При этом стоимостная функция вычисляется путем интегрирования суммы модулей всех ошибок, умноженной на весовую функцию F.
9. Используем процедуру оптимизации регулятора, анализируе результат.
10. Если результат не удовлетворителен, применяем многоканальный упредитель Смита [5], чтобы сформировать новый «составной объект». К полученному «составному объекту» применяем всю вышеизложенную процедуру по пунктам 2-9.
11. Вместо упредителя Смита можно испольозовать его развитие в виде обводного канала [5]. Отличие обводного канала состоит в том, что его структура может варьирьваться.
Многоканальный упредитель Смита формируем по тому же принципу, по которому предполагается формировать одноканальный упредитель Смита, распространив этот принцип на многоканальный объект.
3. ИДЕЯ МНОГОКАНАЛЬНОГО УПРЕДИТЕЛЯ СМИТА
В одноканальном варианте идея упредителя Смита состоит в слудеющем [5]. Пусть модель объекта состоит из двух частей: минимально-фазовая часть с передаточной функцией WM®(s) и элемент запаздывания с передаточной функцией W3(s) = exp(-Ts). В этом случае параллельно объекту включается упредитель Смита, передаточная функция которого равна:
Wye (s) = WM0 (s)[1 - W3 (s)]. (1)
В данной статье исследуется возможность использования этой идеи для случая многоканального объекта. Идея используется
как основа, которая дополняется приведенной выше методикой оптимизации многоканального регулятора.
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА МНОГОКАНАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРЕДЛОЖЕННЫМ ПУТЕМ
Пример 1. Решение задачи без упредителя Смита. Пусть минимально-фазовая часть задается матрицей с апериодическими звеньями, то есть элементы матрицы являются фильтрами первого порядка:
WМФ _
2 0,5
s +1 5s +1
0,5 2
5s +1 s +1
(2)
Рассмотрим пример, который не вполне соответствует подходу, предложенному в идее упредителя Смита. А именно, пусть элемент запаздывания не вполне является звеном чистого запаздывания, а вместо этого чистое запаздывание имеется лишь в одном канале, а в другом канале имеется элемент с ограниченным быстродействием в виде дополнительного фильтра. В этом случае такая передаточна функция квазиз-запаздывания описывается матрицей следующего вида:
W3 (*)■
ехр(-0,5^) 0
0 1
5^ +1
(3)
На рис. 1 показана структурная схема такого элемента при моделировании его в программе
VisSim.
В соответствии с изложенными в разделе 2 принципами, ПИД-регулятор размерности 2*2 имеет вид, структурная схема которого (также для программы VisSim) показана на рис. 2.
Рис. 1. Структура объекта
На рис. 3 показана структура для моделирования всей системы. На этой структуре присутствуют также блоки для оптимизации коэффициентов регулятора, показаны результаты оптимизации в виде полученных коэффициентов и в виде получаемых переходных процессов. Видно, что перерегулирование по первому каналу составляет около 30 %.
В данном примере результат не столь плох, чтобы служить основанием для поиска альтернативных методов, поэтому усложним задачу.
Рис. 2. Структура регулятора (ПИД в главных диагоналях и ПИ в неглавных диагоналях)
Рис. 3. Результат численной оптимизации регулятора: значения коэффициентов и получаемые переходные процессы
в системе
Пример 2. Рассмотрим вариант объекта менее благоприятных сочетаний свойств прямого и побочного трактов. Пусть минимально-фазовая часть задается матрицей с апериодическими звеньями, то есть элементы матрици являются фильтрами первого порядка:
50 %, а после второго - около - 75 %.
WМФ _
2 1
s +1 2s +1
1,5 2
3s +1 s +1
(4)
Структура такого объекта показана на рис. 4. На рис. 5 и 6 показаны переходные процессы соответствующих передаточных функций, входящих в матричную передаточную функцию (4) (отклик на единичное ступенчатое воздействие). На рис. 7 показаны отклики объекта на единичный скачок первого и втрого входов управления при их раздельной подаче на эти входы.
На рис. 8 показана схема оптимизации и результат в случае, когда первым ступенчатым воздействием является скачок на первом канале, а затем, через 20 с, на второй канал поступает отрицательный скачок из «1» в «0». Видно, что в обоих случаях на выходе первого канала имеет место слишком большое перерегулирование. После первого скачка оно составляет около
Рис. 4. Структура другого объекта: в неглавных диагоналях поднято быстродействие и коэффициенты передачи
Также переходные процессы на рис. 8 отличаются тем, что время между скачками составляет 5 с. Как видим, перерегулирование на втором канале может составить при неблагоприятном сочетании входных воздействий 125 %, что никак нельзя признать допустимым практически ни в какой практической задаче.
-
J Plot Е
2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 .75 .50 .25 л ■у
j
I
0 5 10 16 20 25 30 35 40 Time (sec)
Д Plot П >
1.2 1.0 .8 .Б .4 .2 0 (
/
/
/
/
) ! 5 10 15 20 25 30 35 40 Time (sec)
Рис. 5. Отклик передаточных функций первой строки (4) на единичный скачок
Д. Plot ш Л
2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 .75 .50 25
у
/ ..............
/
0 [ /
) 5 10 15 20 25 30 35 40 Time [sec)
■ Plot ш t\
2.00 1.75 1.50 1 25
- —
/
/
1 00 /
.75 50
25 j
0 ( /
) 5 10 15 20 25 30 35 40 Time [sec)
Рис. 6. Отклик передаточных функций второй строки (4) на единичный скачок
J Plot с
2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 .75 .50 .25 n
| / | ' v.......
......v.......
I \
\
0 & 10 15 20 25 30 35 40 Time [sec)
J Plot шт
1.00 .75 50 .................л \
/ \
.25 0 - 25 / / \
/ \
in \
-.75 н nn \ X
i - —_
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time [sec)
Рис. 7. Отклики объекта на единичный скачок первого и втрого входов управления при их раздельной подаче на эти входы
На рис. 10 показан результат оптимизации в такой же схеме для случая, когда ступенчатый положительный скачок сначала подается на второй канал, а затем, через 5 с, на первый канал. В результирующей системе в первом канале сохраняется плохое перерегулирование.
Наконец, можно попытаться увеличить время между скачками и в этом случае; результат показан на рис. 11. В полученной системе по-прежнему остается излишне большое перерегулирование в первом канале.
Можно сделать следующие предварительные выводы:
Вывод 1: Последовательность и знак выбранных тестовых воздействий при оптимизации многоканального регулятора влияют на результат.
Вывод 2: Воемя моделирования и время между последовательно подаваемыми тестовыми воздействиями при оптимизации многоканального регулятора влияют на результат.
Вывод 3: Многоканальный ПИД-регулятор для объекта, описываемого произведением передаточных функций (4) и (3), при оптимизации по критерию минимума интеграла от суммы модулей ошибок, умноженных на время с момента поступления скачка, не привело к удовлетворительному результату: перерегулирование слишком велико.
Рис. 8. Результат оптимизации ПИД-регулятора 2*2 для объекта (4), последовательность скачков: сначала на первый канал из «0» в «1», затем на второй канал из «1» в «0», между скачками 20 с
Рис. 9. Тот же результат оптимизации ПИД-регулятора 2*2 для объекта (4), последовательность скачков, та же, оба скачка из «0» в «1», время между скачками - 5 с
Рис. 10. Результаты оптимизации при подаче сначала единичного скачка на второй вход, а затем, через 5 с, единичного скачка на первый вход - плохое перерегулирование в первом канале
Рис. 11. Результаты оптимизации при подаче сначала единичного скачка на второй вход, а затем, через 10 с, единичного скачка на первый вход - плохое перерегулирование в первом канале
Для более эффиктивной оптимизации регулятора введем в стоимостную функцию «детектор правильности движения»,
предложенный нами в [6]. Детектор правильности движения определяет
произведение ошибки на ее производную по времени. Это произведение при качественном переходном процессе должно быть отрицательным, то есть ошибка должна убывать, если она положительна и она должна
возрастать, если она отрицательна. Иными словами, ошибка движется к нулю, если это произведение отрицательно, и она движется от нуля (возрастает по абсолютной величине), если это произведение положительно.
При использовании составной стоимостной фунции важен выбор весового коэффициента, определяющего соотношения между ними. На рис. 12 показаны результаты оптимизации в случае, когда весовой коэффициент при втором члене равен пяти. В этом случае эффективно подавляется перерегулирование, однако, основная цель управления стстои в обеспечении нулевой ошибки управления. В полученных переходных процессах плохая точность управления первого канала: видно, что ошибка
со временем возрастает. Этот результат также проявляется в том, что один из коэффициентов интегратора отрицателен (выход блока 122 равен -1,65328). Все коэффициенты интеграторов главной диагонали (/ = ]) должны быть положительными. Отрицательными могут быть в идеале лишь коэффициенты побочных трактов, то есть коэффициенты, нумерация которых не совпадает, например, р21, d21 и т. д. В редких случаях можно согласиться с отрицательными коэффициентами
дифференцирующих трактов в главной диагонали, но это совершенно исключено для интегратора (если коэффициенты передаточных функций объекта в главной диагонали положительны).
Рис. 12. Результаты оптимизации при вводе детектора правильности движений с весовым коэффициентом 5: малое перерегулирование в каждом канале, но плозая точность управления в первом канале
На рис. 13 показан наилучший полученный результат с этой структурой регулятора, а именно: достигнут астатизм каждого тракта, перерегулирование умеренно большое только по одному каналу, астатизм подтверждается положительными коэффициентами
интеграторов главных диагоналей и визуально по графикам не опровергается предположение астатического управления (ошибки стремятся к
нулю)
На рис. 14 показан результат, полученный с упредителем Смита. Структура этого упредителя также приведена на этом рис. 14. Видно, что перерегулирование первого канала снижено до 25 %, во втором канале оно несколько меньше, около 20 %, статическая ошибка каждого канала достаточна мала
Рис. 13. Наилучший результат, полученный со структурой регулятора без упредителя Смита
Рис. 14. Наилучший результат, полученный с упредителем Смита
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, показано, что применение упредителя Смита в сочетании с предложенной методикой оптимизации регулятора и особенностями его структуры дает значительный положительный эффект, состоящий в достижении малой ошибки при малом перерегулировании в системе для объекта с неблагоприятным сочетанием параметров его модели.
ЛИТЕРАТУРА
[1] В.А. Жмудь, В.М. Семибаламут, Р.Ю. Ишимцев. Регулятор для системы с обратной связью. Патент на изобретение РФ RU 2368933 С1. G05B 11/14. 0публ.27.09.09. Бюл. № 27. Заявка № 2008110243, Правообладатель: Институт лазерной физики СО РАН.
[2] В.А. Жмудь, А.А. Воевода, В.М. Семибаламут, Р.Ю. Ишимцев. Регулятор для многомерного объекта. Патент на полезную модель РФ RU 93994 U1. G01R 23/02, G01P 3/36. 0публ.10.05.10. Бюл. № 27. Заявка № 2009138894/22 от 20.10.2009, правообладатель: ГОУ ВПО Новосибирский государственный технический университет и Институт лазерной физики СО РАН.
[3] Жмудь В. А., Семибаламут В. М., Воевода А. А. Адаптивная система для регулирования и стабилизации физических величин. Патент на изобретение № 2457529. Приоритет от 11.01.2011. Заявка № 2011100407. Зарегистрировано 27.07.2012. Срок действия до 11.01.2031. Правообладатель: Учреждение РАН Институт лазерной физики Сибирского отделения (RU)
[4] Жмудь В. А. Моделирование, исследование и оптимизация замкнутых систем автоматического управления. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2012. -335 с.
[5] Р.Ю.Ишимцев, А.А.Воевода, В.А. Жмудь.
Обводной канал для САУ скалярных и многомерных объектов: сравнение с упредителем Смита // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск. 2008. 2(52). С.11-22.
[6] В.А. Жмудь, О.Д. Ядрышников. Численная оптимизация ПИД-регуляторов с
использованием детектора правильности движения в целевой функции. Автоматика и программная инженерия. 2013. № 1 (3). С. 24-29.
Вадим Жмудь - заведующий кафедрой Автоматики в НГТУ, профессор, доктор технических наук, автор более 250 научных статей, главный научный сотрудник Института лазерной физики СО РАН. Область научных интересов и компетенций - теория автоматического управления, электроника, измерительная техника.
E-mail: oao_nips@bk.ru Олег Ядрышников - аспирант кафедры Автоматики НГТУ, автор более 10 научных статей. Область научных интересов и компетенций -теория автоматического управления, оптимальные и адаптивные системы, оптимизация, многоканальные
системы.
E-mail: oleg_yadr@mail.ru
Optimization of Regulator for MultiChannel Objects with the Developing of the Idea of Smith's Predictor
Vadim ZHMUD, Oleg YADRISHNIKOV
Abstract: The problem of control of multi-channel objects in which the influence between many (all) inputs and many (all) outputs, it very important. That is so because such problems are often occur in a lot of real situations. With all that, analytic methods are developed only for linear systems immediately. The using of modeling and numerical optimization allows heve a solution of this task more effectively. Nevertheless, in this case transient processes in the system have often not satisfactory quality because of the big overshooting. The developing of the idea of Smith predictor and by-pass channel for the multi-channel case with the using of the numerical optimization after that as well as the use of accordingly modified cost function allows proposing of the new methodic of control of multi-channel objects containing great delay. The methodic is tested on the example.
Key words: Automation, Regulators, Multi-channel Systems, Numerical Optimization, Modeling
