К ПРОБЛЕМЕ БАНКА МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ: МНОГОКАНАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

К проблеме банка моделей динамических объектов: многоканальный случай

Д.С. Саленко, Н.А. Малышкин, Л.В. Димитров ФГБОУВПО НГТУ, Новосибирск, Россия, Университет Софии, София, Болгария

Аннотация: Задача проектирования регуляторов для многоканальных объектов относится к наиболее сложным задачам теории автоматического управления. Её можно решать аналитическими методами, методами эмпирической настройки, численной оптимизацией и так далее. Для сравения различных методов необходимо результаты проектирования представлять в сопоставимых формах, а исходные условия задач должны также быть сопоставимы, или лучше, если они будут одними и теми же. Даже в случае объектов с одним входом и одним выходом вариантов моделей объектов может быть бессчетное множество, а объект порядка п сложнее в п2 раз. Поэтому мала вероятность совпадения примеров в разных статьях, если они придумываются авторами или выбираются произвольно. Для сопоставления преимуществ и недостатков разных методов целесообразно использовать примеры из известного набора задач, и при этом желательно надежное свидетельство о степени относительной сложности таких задач. Поскольку этот подход пока не получил распространения, можно рекомендовать использование уже опубликованных примеров из литературы. Поэтому актуально сравнение сложности этих задач. В данной статье осуществлено сопоставление нескольких примеров управления многоканальными объектами из литературы. Выяснено, что далеко не все результаты, описанные авторами, достаточно надежны, то есть некоторые утверждения авторов не подтверждаются моделированием, а опровергаются. Предложенный метод можно использовать и в дальнейшем для исследования сложности задачи (в зависимости от сложности объекта и требований к системе) и для сопоставления эффективности различных методов проектирования регуляторов.

Ключевые слова: управление, обратная связь, автоматика, регулятор, качество управления, точность, оптимизация, моделирование, многоканальные объекты, многоканальные регуляторы

ВВЕДЕНИЕ

Целесообразность разработки «банка» моделей объекта рассмотрена в статье [1]. Там же приведен анализ примеров одноканальных систем. Задача управления многоканальными

объектами не менее актуальна, но существенно более сложна. Тем актуальней рассмотрение вопроса создания «банка моделей» для сопоставления методов проектирования многоканальных систем, то есть систем, позволяющих управлять объектами, в которых имеется более одного входа, более одного выхода и влияние сигналов на входе каждого из входов на сигналы на каждом из выходов. Такие объекты нельзя упрощенно представить как набор нескольких несвязанных объектов, поскольку предполагается, что перекрестное влияние каналов столь велико, что им нельзя пренебречь. Исследование показывает, что далеко не каждый многоканальный объект является действительно многоканальным по своей неотъемлемой сути, то есть имеется класс многоканальных объектов, при управлении которыми можно рассматривать отдельные каналы как отдельные объекты. Если для таких отдельных каналов осуществлено проектирование устойчивых систем, то и вся система будет устойчивой.

Один из примеров таких объектов является объект, в котором быстродействие различных каналов существенно различается, например, на порядок или более. Другой возможной причиной возможности управления многоканальным объектом с помощью нескольких одноканальных регуляторов может оказаться существенно большее значение коэффициентов передачи по основным каналам в сравнении с коэффициентами передачи по перекрестным связям.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Особенность многоканального объекта -наличие многих связей, от многих входов ко многим выходам, как показано на Рис. 1.

Основная цель управления таким объектом: обеспечение автономного управления каждой из выходных величин. Если, например, возникла потребность изменения выходной величины на первом выходе объекта, то не следует предполагать, что такая же потребность в таком же изменении возникла одновременно на всех других выходах объекта. Поэтому с учетом того, что выходные величины объекта должны повторять входные сигналы системы, каждый выход в отдельности должен повторять соответствующий вход, не корректно применять для проверки качества работы многоканальной системы входные сигналы, которые совпадают между собой. Это было бы грубейшей ошибкой.

Рис. 1. Символическая постановка задачи проектирования двухканального регулятора: Уъ У2 -задание, и1, и2 - управление, ¥ь ¥2 - выходные величины

Действительно, предположим, мы добились того, что при подаче на оба задания единичного ступенчатого воздействия на каждом из выходов устанавливается эта предписанная величина за счет действия обратной связи. Это можно обеспечить даже в случае, если, например, между первым входом и первым выходом связь вообще отсутствует, и первый вход вообще никак не влияет на действие системы. Действительно, если ^1=У2, то это означает, что удовлетворяется требование

¥1 = ¥2 = аУ1+ЪУ2, где а + Ъ = 1. (1)

Например, это может быть

¥ = ¥2 = У1, (2)

либо, например

¥1 = ¥2 = У2. (3)

Поэтому, например, требование (2) может быть выполнено в структуре, показанной на Рис. 2, что не является примером автономного управления обоими каналами.

Чтобы исключить такую ситуацию при оптимизации многоканального объекта в работе [2] приводится требование использования линейно независимых сигналов задания У1 и У2. Там же приводятся рекомендуемые варианты таких сигналов, а именно: единичные ступенчатые воздействия, сдвинутые друг относительно друга по времени на половину времени моделирования (для двухканального случая), либо гармонические сигналы со сдвигом, например, 90°, то есть синус и косинус как функции времени с коэффициентом, имеющим физический смысл частоты сигнала.

Указанные правила следует учитывать и при проектировании регулятора, и при сопоставлении результатов проектирования с использованием численных примеров.

Рис. 2. Ошибочная постановка задачи проектирования двухканального регулятора: выходные величины совпадают, что не будет иметь места при реальной работе системы, по сути объект преобразован в одноканальный

2. ДВУХКАНАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ БЕЗ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Пример 1. Рассмотрим пример, приведенный в статье [3] в качестве многоканального объекта.

В объекте два входа и два выхода. Объект описывается матричной передаточной функцией: 1

W2{sУ

-х

(5 + 1)(25 + 1)2(0,5 + 1) " 1,55 +1 0,2(0,755 +1)"

0,6(0,755 +1) 0,8(1,25 +1)

На Рис. 3 показан переходный процесс, взятый из этой статьи [1].

х

. (4)

Рис. 3. Переходный процесс из статьи [3]

Этот процесс получен в условиях, которые в предыдущей главе названы некорректными. А именно: авторы пишут, что на оба входа подаются единичные ступенчатые воздействия.

На этом основании позволим себе усомниться в приведенных результатах и перепроверим их. Проверка показала, что можно обеспечить перерегулирование вдвое меньше, то есть 10 % вместо 20 %. При этом переходный процесс завершается за немного меньшее время. А именно: если на приведенных графиках видно,

что между 15 и 20 с имеется остаточный процесс, то на получаемых при численном моделировании результатов видимая часть переходного процесса практически полностью завершается к моменту 15 с, то есть величина ошибки меньше, чем четверть процента (меньше, чем толщина линии на графике).

Действительно, рассмотрим результаты подробнее. На Рис. 4 приведена схема для моделирования системы и оптимизации регулятора с этим объектом в программе УгзБт.

В результате численной оптимизации получены следующие коэффициенты регулятора:

Р11 = 1,382; /11 = 0,4078;

pi2 = -0,30678; /12 = -0,10975;

P2i = 0,00134; /21 = 0,000537;

Р22 = 1,745; /22 = 0,4637.

Здесь pnm - коэффициент пропорционального регулятора между входом с номером n и выходом с номером m, /nm - коэффициент соответствующего интегрального регулятора.

На Рис. 5 показаны крупно переходные процессы в системе.

Рис. 4. Схема для моделирования системы и оптимизации регулятора в программе У1з81т для объекта Т1ТО из [1]

В системе задающими сигналами являются единичные ступенчатые воздействия, сдвинутые во времени на 40 с, что дает возможность обеспечить автономность при оптимизации регулятора. Из приведенных переходных процессов видно, что они обладают достаточно высоким качеством.

2"-*-*-;-»-;-:-1-

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 5. Выходные сигналы в схеме по Рис. 4

Данный результат получен без особого труда с первого раза моделирования. На этом основании можно рассмотренный объект отнести к классу

простых, несмотря на признак многоканальности.

Достигнута полная автономность управления, что следует из того, что при скачке в одном из каналов в другом канале отклик не существенный.

Отметим особенности объекта, делающие его простым.

1. В знаменателе передаточной функции, который является общим для всех элементов, стоят четыре устойчивых полинома. То есть в знаменателе стоит полином четвертого порядка, который можно получить произведением четырех полиномов первого порядка, каждый из которых имеет отрицательные действительные корни. Эти корни легко вычисляются: $1 = - 1; 52 = $з = - 0,5;

54 = - 2.

2. Элементы матрицы представляют собой разные числители, которые дают эффект дифференцирования в некотором частотном диапазоне. Но поскольку постоянная времени дифференцирования в каждом из этих элементов меньше, чем наибольшая постоянная времени в знаменателе, то фактически есть лишь уменьшение отрицательного наклона амплитудно-частотной характеристики, то есть снижение интегрирующих свойств фильтров в некотором частотном диапазоне.

3. Элементы главной диагонали передаточной функции объекта больше элементов побочной диагонали. При этом постоянные времени дифференцирующих полиномов в числителе также больше в главной диагонали.

Каждый из этих факторов обеспечивает большее значение передаточных функций главной диагонали, чем в побочной диагонали. Совместное действие отмеченных факторов обеспечивает данное соотношение во всем диапазоне частот. Это очень благоприятное условие для диагонального развязывания, то есть обеспечение автономного управления. Иными словами, воздействие по основным контурам

заметно сильнее, чем воздействие по побочным контурам. Поэтому побочное воздействие проще подавить обратной связью.

Управление таким объектом можно даже обеспечить с помощью диагонального регулятора, то есть регулятора, в котором ненулевые элементы имеются только в главной диагонали регулятора, а остальные элементы нулевые. Результат моделирования, показанный на Рис. 6, демонстрирует этот факт. В регуляторе присутствуют только элементы главной диагонали, остальные элементы равны нулю, и все же переходный процесс близок к идеальному.

1 55+1

3+1

.755+1

з + 1

.75з+1

3 + 1

1.2з+1

5+1

4в +4-3+1

4з +4з+1

1.3 -И рагате1егЦпкпо'лп"1-И р11

I 407 |-И рагзте1егЦпкпоуяГ|-И ¡11 Ь

I 1.75 |-И рагате1ег11пкпоул1 I-Н р22 |-

I .464 |-Н рагате1египкпоуугЛ-И ¡22 |—

.5з+1

—►Ш"

5в+1

-+С

-МШ-

1.341481

.3916221

2.250821

.5105961

0®

л л

V

25 50 75 100 125 150 175 200 "Пте [з&с)

Рис. 6. Фрагмент схемы для моделирования системы и оптимизации диагонального регулятора в программе У1я81ш для объекта 2 х 2 из [1]; результаты оптимизации показаны в виде полученных коэффициентов и в виде переходных процессов: перерегулирование не превышает 10 %

Вывод 1. Рассмотренный пример объекта характеризуется низким уровнем сложности. Расчет эффективного регулятора для него не представляет собой сложную задачу, а разработка методики расчета регуляторов для подобных объектов, по-видимому, уже не актуальна.

Вывод 2. Представленная в статье [3] методика расчета регуляторов для данного объекта не самая лучшая применительно к данному примеру, поскольку дает систему с перерегулированием, вдвое большим, чем может быть получено с помощью простой процедуры численной оптимизации.

Можно дополнительно указать, что рассмотренный пример объекта вовсе не обязательно считать примером двухканального объекта, поскольку управление им можно обеспечить даже с диагональным регулятором. Фактически в случае, показанном на Рис. 6, имеется два независимых скалярных регулятора.

Как видим, использования двух отдельных ПИ-регуляторов достаточно для управления таким объектом. Следовательно, данный тестовый пример вообще не показателен для исследования методики проектирования и расчета многоканальных регуляторов.

Вывод 3. Представленный в статье [3] многоканальный объект не является

показательным, так как им можно управлять с помощью двух отдельных скалярных ПИ-регуляторов. Следовательно, эффективность методики расчета регуляторов для данного объекта не доказана приведением данного примера.

Пример 2. Рассмотренную модель двухканального объекта можно дополнительно усложнить, чтобы задача проектирования регулятора для полученного объекта была бы более сложной. Это позволило бы лучше сопоставлять методы проектирования по их эффективности, поскольку решение тривиальной задачи не может служить мерилом эффективности метода.

Например, уменьшим второй коэффициент полинома второй степени в знаменателе. Ранее соответствующий множитель был равен:

W21(s) =-2-1-. (5)

21 (5 + 1)(452 + 45 + 1)(0, 5 + 1)

Новый вариант этого полинома для первого канала имеет вид:

W22(s) =-^-. (6)

22 (5 + 1)(452 + 5 + 1)(0,5 + 1)

А для второго канала этот полином будет иметь вид:

W23(s) =

1

(7)

+1)(4?2 + 0,8^ +1)(0, ^ +1)

Указанная замена делает объект склонным к колебаниям. Результаты оптимизации показаны на Рис. 7 в виде фрагмента окна программы И&Яш.

Пример 3. Если эту тенденцию продолжить, уменьшив коэффициенты, соответственно, до значений 0,2 и 0,4, то получим объект, крайне сложный для управления. Результаты оптимизации регулятора для системы с таким объектом показаны на Рис. 8.

1 5s+1

s+1

.753+1

s + 1

.753+1

Ш>

4071-

-.109 |-

.00171

00054

Т7ГЬ

4641-

s + 1

1.2з+1

s+1

4s +s+1

Tjgb

4s +.8S+1

-.3057 h

parameterUnknowrTl-H i:11 h

parameterUnknowrTl-H ¡11 I—

parameterUnknownl-p12 |-

pararneterUnknown"!-H ¡12 |—

parameterUnknown"!-И p21 h

pararneterUnknown"!-H ¡21 I—

parameterUnknownl-p22 |-

parameterUnknownl-¡22 |—

.5s+1

—

.5s+1

.283755

118004

-.094603

-.210587

-.001595

100546

.285336

.139931

т piot L ¡Щ

1.4 12 1.0 g

""Pi.........

N Лл/J J V\

J ■ V V/ ; 1

g, j '

А 2 n ................

J................. 1

и -.2 -.4 -.6 с \ А/ :V

II" V

"\j...........

"0 25 50 75 100 125 150 175 200| Time (sec)

Рис. 7. Фрагмент схемы для моделирования системы и оптимизации диагонального регулятора в программе У1я81ш для модифицированного объекта Примера 2: перерегулирование достигло 40 % по первому каналу и - 60 % по второму каналу

Рис. 8. Фрагмент схемы для моделирования системы и оптимизации диагонального регулятора в программе У1я81ш для сильно модифицированного объекта Примера 3: перерегулирование достигло 100-120 % по каждому каналу, процесс колебательный

Пример 4. Данную модель объекта можно модифицировать и таким образом, что обеспечить устойчивое управление рассмотренным методом численной оптимизации не удаётся без специальных мер. Например, на Рис. 9 показан результат оптимизации системы с объектом, в модели которого указанные коэффициенты

изменены до значений 0,4 и 0,8, соответственно. В результате не удается подавить колебания в первом канале.

Пример 5. На Рис. 10 показан результат численной оптимизации объекта, в котором указанные параметры изменены до значений 4 и 0,2, соответственно. Также не достигается

устойчивость в результате оптимизации.

Рис. 9. Фрагмент схемы для моделирования системы и оптимизации диагонального регулятора в программе У1я81ш для сильно модифицированного объекта из Примера 4: процесс по первому каналу колебательный, незатухающие или слабо затухающие колебания, процесс по второму каналу устойчивый

Рис. 10. Фрагмент схемы для моделирования системы и оптимизации диагонального регулятора в программе У1я81ш для сильно объекта Примера 5: процесс по каждому каналу неустойчивый колебательный, (неограниченное нарастание амплитуды колебаний)

Вывод 4. Даже не слишком сильная модификация (уменьшение) коэффициентов в модели многоканального объекта,

представленной в статье [3], может сделать эту модель сложной и даже крайне сложной для управления. Следовательно, эффективность методики расчета регуляторов с использованием предложенных модифицированных моделей объекта можно сопоставлять с использованием полученных примеров.

Пример 5. Рассмотрим объект из статьи [4].

Модель объекта задана следующей матричной передаточной функцией:

^1(5) ¿и ^(5)

21 (5) ¿22^ 22 (5)

Wм (5):

Здесь ^(5) =

ехр{-0,755} 0,675 +1

^22(5) =

¿11 =-6

ехр{-5} 55 +1 : ехр{-5} 5 +1

К, = 12.

3, ^^ 5 .

42 ' 21 ' '"22

На Рис. 11 показана структура для моделирования системы с ПИД-регулятором. Здесь в дифференцирующем канале использовано дифференцирование в ограниченной полосе частот, что обеспечивается следующей

передаточной функцией дифференцирующего фильтра:

5

(5):

(9)

0,055 +1

В качестве целевой функции, как видно из Рис. 11, используется интеграл от суммы двух сумм: а) суммы модулей ошибок, умноженных на время с момента скачка задания; б) суммы положительных частей произведений ошибок на их производные по времени.

Рис. 11. Структурная схема для моделирования системы Примера 5

р?

;

|

1 |

20

"Пте [5ес}

Рис. 12. Переходные процессы в системе Примера 5

При численной оптимизации все стартовые значения параметров регулятора взяты нулевыми, кроме пропорционального коэффициента первого канала, котортый взят как малая отрицательная величина вследствие того, что в объекте

соответствующий коэффициент отрицателен. Результат оптимизации в виде полученных коэффициентов регуляторов дан в правой нижней части на Рис. 11, а также в виде графиков переходных процессов на Рис. 12. Длительность проессов составляет от 5 до 15 с, перерегулирование, как правило, не превышает 2 %, кроме обратного перерегулирования второго канала, которое составляет около 22 %.

Можно отметить, что если указанная величина перерегулирования не является критичной, то управление таким объектом не представляет особой сложности. Если же этот вид перерегулирования недопустим, то требуются специальные меры для его преодоления, что делает объект достаточно сложным, но только с позиции такой задачи, где требуется исключить это перерегулирование.

Пример 6. Рассмотрим пример, приведенный в статье [4] в качестве второго примера многоканального объекта.

В объекте два входа и два выхода. Объект описывается матричной передаточной функцией:

^„(5) wn(s) w22(s)

WG (5) = Здесь

(10)

^„(5) = ^12 (5) = ^21 (5) = 5) =

3,04

.-0,55

278,2

,-0,65

5(5 + 6)(5 + 30) 0,052 -0,55

206,6

-0,65

5(5 + 6)(5 + 30)

В статье приводится переходный процесс перерегулированием около 20 % и длительностью около 20 с.

Прежде чем решать эту задачу методом

численной оптимизации, обратим внимание на то, что в знаменателе всех передаточных функций в матрице объекта свободные члены при 5 в нулевой степени равны нулю. То есть в объекте содержится интегратор по всем без исключения каналам управления. На этом основании можно утверждать, что в регуляторе не нужен интегратор. Поэтому достаточной структурой регулятора будет ПД-регулятор, то есть регулятор, содержащий только

пропорциональные и дифференцирующие передаточные звенья в каждой связи. На Рис. 13 приведена структурная схема для моделирования этой системы. Там же на выходах индикаторов, включенных на выходах блоков «parameterUnknown», приведены полученные в итоге процедуры оптимизации значения коэффициентов регулатора. На Рис. 14 приведены переходные процессы в этой системе.

Рис. 13. Структурная схема для моделирования системы Примера 6

5

е

5

е

!

7

........

О 10 20 30 40 50 60 70 80 "Пте [ейс}

Рис. 14. Переходные процессы в системе Примера 5 В процессах на Рис. 14 видно, что

перерегулирование несущественное во всех случаях (не более 5 %), длительность переходных процессов намного меньше, чем 10 с. Поэтому для анализа результата целесообразно рассмотреть детально эти переходные процессы с более крупным масштабом по оси абсцисс, что и показано на Рис. 15 и Рис. 16.

Из представленных на Рис. 15 и 16 графиков можно определить, что длительность переходного процесса на первом канале не превышает 3,5 с, в целом процесс почти заканчивается через 2 с после начала скачка. При скачке на входе первого канала перерегулирование отсутствует, отклик второго канала пренебрежимо мал. При скачке на втором канале длительность переходного процесса на выходе второго канала не превышает 3,5 м, перерегулирование отсутствует, процесс экспоненциальный. При этом на первом канале присутствует небольшой паразитный процесс, не превышающий 5 %. Эти процессы намного более

привлекательные, чем процессы, приведенные в статье [4] для этого объекта с рассчитанным в статье регулятором, поскольку быстродейтсвие в них выше в 10 раз, а перерегулирование в худшем канале меньше в 5 раз. В трех из четырех случаев перерегулирование и вовсе отсутствует.

1.2 1 1 1.0 .9 .3 7 .Б 5 .4 .3 .2 1 0 - 1 -.2

.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Time [з&с)

Рис. 15. Переходные процессы в системе Примера 5 крупно при скачке на первом канале

1.2 1 1 1.0 .9 .8 7 6 .5 .4 .3 .2 1 0 - 1 -.2 4

0 40.6 41 41.5 42 42.6 43 43.6 44 Time (sec)

Рис. 16. Переходные процессы в системе Примера 5 крупно при скачке на втором канале

Вывод 5. Второй пример из статьи [4] не представляет трудности для расчета регулятора.

Вывод 6. В статье [4] необоснованно отыскивается настройка для ПИД-регулятор а, поскольку из структуры объекта следует, что ПИД-регулятор не требуется, достаточно применить ПД-регулятор. Это утверждение подтверждено моделированием с оптимизацией.

Пример 7. Рассмотрим пример, приведенный в статье [4] в качестве третьего примера многоканального объекта.

В объекте два входа и два выхода. Объект описывается матричной передаточной функцией:

WH (s) =

D(s)

W11(S) W12(S)

w-

l(s)

W22 (s)

Здесь

D(s) = 100(s - —)(s + —), 16 160

10 1'

(12)

w11(s) = 1 — s -o \e

6 8

w,

Wr

-(s) = ■

>(s) =

-0,5s

512

4s + - \e

, w.

-0,5s

i(s)= 4e-

Для моделирования желательно использовать блоки, степень числителей которых не превышает степени знаменателя, поэтому один из множителей полинома D(s) целесообразно внести в матрицу.

Структура для моделирования показана на Рис. 17. Вследствие большой сложности структуры часть элементов вынесена в составной блок с названием Block. Структурная схема этого блока показана на Рис. 18. Полученные переходные процессы представлены на Рис. 19. Видно, что система не становится устойчивой в результате оптимизации, даже если брать достаточно большое время моделирования при выполнении процедуры оптимизации.

Причина сложности данного объекта состоит, как минимум, в следующих факторах:

1. Один из сомножителей полинома (12) имеет положительный корень. Это делает данный полином неустойчивым. Соответствущий фильтр с таким полиномом в знаменателе в ответ на ступенчатый скачок на его входе формирует на своем выходе сегнал, который по экспоненциальному закону. Управление таким объектом даже в скалярном случае - не простая задача.

2. Полином в числителе передаточной функции первого канала w11(s) имеет коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент дифференцирующего тракта положительный, коэффициент пропорционального тракта отрицательный.

Вывод 7. Третий пример из статьи [4] (Пример 7 данной статьи) являет пример сложной задачи для численной оптимизации регулятора.

Этот пример может быть использован как «пробный камень» для различных методов анализа устойчивости систем и методов синтеза регуляторов, включая численную оптимизацию. На Рис. 17 и 18 показана структурная схема для моделирования этой задачи.

1

1

0,25s

Рис. 17. Структурная схема для моделирования системы Примера 7

Рис. 18. Структурная схема блока Block в структурной схеме для моделирования системы Примера 7, показанной на Рис. 17

Результаты моделирования показаны на Рис. 19.

Рис. 19. Переходные процессы в системе Примера 7 с регулятором, настроенным в результате оптимизации (система неустойчива)

Пример 8. Рассмотрим отдельно первый канал

управления объекта из Примера 7. Обратим внимание на то, что вклад сигнала из второго канала определяется коэффициентом в функции ^12, который равен 1 / 512, то есть крайне мал. Поэтому первый канал этого объекта с некоторым приближением можно рассматривать отдельно как объект с одним входом и одним выходом, на который сигнал из второго канала приходит как помеха. Если бы удалось рассчитать регулятор для такого упрощенного объекта, это могло бы служить отправной точкой для расчета многоканального регулятора. С другой стороны, если даже для указанного одноканального объекта не получится рассчитать регулятор, то это указывает на особую сложность данного регулятора в его полном виде, с учетом всех связей. На Рис. 20 показана структура для моделирования и оптимизации такого упрощенного объекта, а на Рис. 21 показан переходный процесс, полученный с регулятором, который рассчитан в результате процедуры оптимизации. Очевидно, что полученная система не устойчива, то есть задача даже с одноканальным вариантом с моделью первого канала остается крайне сложной для решения методом численной оптимизации.

Рассмотрим известный прием для управления объектом, передаточная функция которого представляет определенную сложность. Этот прием состоит в том, что на входе объекта устанавливают фильтр, передаточная функция которого является обратной по отношению к части модели объекта, которая представляет наибольшую сложность для управления.

Рис. 20. Структурная схема для моделирования системы Примера 8

Рис. 21. Переходные процессы в системе Примера 8 с регулятором, настроенным в результате оптимизации (система неустойчива)

В данном случае источником сложности являются полиномы в числителе и в знаменателе, которые содержат отрицательные коэффициенты. Исходя из этого, передаточная функция требуемого фильтра должна иметь вид:

^ (*) = —--. (13)

16^ -1

В случае обеспечения точной идентификации объекта и точной реализации функции вида (13) можно считать, что эти элементы приблизительно сократятся. Если бы такое сокращение могло быть осуществимым, то передаточная функция объекта упростилась бы до следущего вида:

1

WK (s) = 3,2-

, -0,25s

-e

160^ +1

На Рис. 22 показана структурная схема оптимизации регулятора для такого объекта.

(14) для

Ш-Eh

r*S i_

tg>—UqTs]—*£>->

Г25У

1

3.2-

ieos+1

-И pa rameterUn known I

-И parameterUnknown I

к:

76.1241

.512846

i

derivative f

-KZb

—H cost I

-KjbTb

EZb

&

Я'Ш

1.2

1.0

(

.6

4

.2

0 0

2.5 5 7.5 10 12.& 15 17.5 20

Т«пе [а ее)

Рис. 20. Структурная схема для моделирования системы Примера 8

Видно, что обеспечивается идеальный переходный процесс даже при использовании простого ПИ-регулятора, дифференцирование не требуется. Эсли этот прием даже без предварительного сокращения передаточных функций применить с использованием программы МЛТЬЛБ для моделирования результата, то результат получится именно такой, какой показан на Рис. 20. Если же этот прием в таком виде (без сокращения) применить в программе У1зБ1т, то устойчивого управления не получится, поскольку в этой программе точного сокращения не достигается, так как моделирование каждого элемента осуществляется по шагам, приближенно (методом Эйлера). Такая эе ситуация будет при фактическом применении такого регулятора с реальным объектом, который описывается такой передаточной функцией: сокращения не будет достигнуто, система не будет устойчивой. На этом основании можно подтвердить вывод, сформулированный в [2], что моделирование в программе VisSim более адекватно, чем моделирование в программе МЛТЬЛБ.

Рассмотрение примеров из других источников можно продолжать. Важным является предложение ранжирования объектов по степени сложности проектирования для них регуляторов, а также предложение использовать для этих целей процедуру численной оптимизации регулятора. Действительно, применение такой процедуры не представляет большой сложности, результаты могут быть легко проверены любым читателем, допущенные при классификации ошибки (если таковые были) могут быть легко выявлены и устранены, поэтому такой метод достаточно надежен [5-7]. Вместе с тем отыскание структуры или настройки регулятора для какого-либо показательного примера, ранее считавшегося сложным, позволяет уточнить класс этого объекта, перемещая его из класса сложных в класс простых (вследствие наличия решения для управления этим объектом).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье на примере задачи оптимизации многоканальных объектов показано, что даже небольшая модификация параметров объектов может преобразовать задачу из предельно простой в крайне сложную.

Поэтому сравнение различных методов проектирования регуляторов целесообразно делать на одних и тех же примерах, то есть следует создать «банк объектов», в данном случае многоканальных. Этот «банк» целесообразно использовать для анализа методик синтеза, если методики дают удовлетворительные результаты, далее данные объекты причисляются к простым. Дальнейшее развитие теории управления целесообразно сосредоточить на методах, позволяющих управлять более сложными объектами, «банк» которых можно непрерывно пополнять в соответствии с актульными

задачами.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России по государственному заданию №2014/138, тема проекта «Новые структуры, модели и алгоритмы для прорывных методов управления техническими системами на основе наукоемких результатов интеллектуальной деятельности».

ЛИТЕРАТУРА

[1] Д.С. Саленко, Н.А. Малышкин, Л.В. Димитров. О создании банка моделей объектов для сопоставления методов проектирования регуляторов: скалярный случай. ФГБОУ ВО НГТУ (Новосибирск, Россия), Университет Софии (София, Болгария). Автоматика и программная инженерия. 2015. № 2 (12). С. 36-49.

[2] Жмудь В. А. Моделирование, исследование и оптимизация замкнутых систем автоматического управления. Монография. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2012. - 335 с.

[3] Nusret Tan, Derek P. Atherton. Design of PI and PID controllers. International Journal of Systems Science. Vol.37, No. 8, June 2006. p. 543-554.

[4] A.N. Gunde§, H. Ozbay. Reliable decentralised control of object MIMO plants. International Journal of Control. Vol. 83, No. 3, March 2010, P. 516-526.

[5] Воевода А.А., Жмудь В.А. Сходимость алгоритмов оптимизации регулятора для объекта с ограничителем и с запаздыванием. Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. 2007. № 4. С. 179-184.

[6] Voevoda A.A., Zhmud V.A., Ishimtsev R.Y., Semibalamut V.M.The modeling test of the new PIDregulators structures. В сборнике: Proceedings of the IASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009 18th IASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009. Palma de Mallorca, 2009. С. 165-168.

[7] Zhmud V., Prokhorenko E., Liapidevskiy A. The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program VisSim 5.0/6.0. В сборнике: Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control 30th IASTED Conference on Modelling, Identification, and Control, AsiaMIC 2010. Сер. "Proceedings of the 30th IASTED Conference on Modelling, Identification, and Control, AsiaMIC 2010" Phuket, 2010. С. 27-32.

Саленко Дмитрий Сергеевич -

аспирант каф. Автоматики НГТУ. Область научных интересов и компетенций - теория автоматического управления, MEMS и их применение E-mail: salenkods@mail.ru

Малышкин Николай Александрович - аспирант каф. Автоматики НГТУ. Область научных интересов и компетенций - моделирование и оптимизация систем автоматического управления.

E-mail: nickmyname@ngs.ru

Lubomir Vankov Dimitrov - Dean of engineering faculty of the Technical University of Sofia, Doctor, Professor, Bulgaria, the author of over 200 scientific articles. Research interests: mechatronics, automation, microelectronic modules and their application (MEMS). E-mail: lubomir dimitrov@tu-sofia.bg

To the Problem of Bank of Dynamic Objects Models: Multi-Channel Case

D.S. SALENKO, N.A. MALISHKIN, L.V. DIMITROV

Abstract: The problem of designing of controllers (regulators) for multi-channel objects is one of the most difficult among the problems in the theory of automatic control. It can be solved by analytical methods, empirical methods of tuning, by numerical optimization and so on. For comparing of the different methods it is necessary to present the design results in a comparable form, and baseline of the tasks should also be comparable, or better, if they are the same. Even in the case of objects with a single input and single output for this case the amount of the object models may be countless. And the object of order n is in n2 times more difficult. Therefore coincidence of the examples in different articles is unlikely, if they come up with the authors or chosen arbitrarily. To compare the advantages and disadvantages of various methods it is appropriate to use examples of a known set of tasks, and it is desirable to secure evidence of the extent of the relative complexity of such tasks. Since this approach is not spread, it is possible to recommend the use of published examples from the literature. Therefore, the comparison of the complexity of these tasks is relevant. This article carried comparing of a few examples of control of multi-channel objects from the literature. It was found that not all of the results described by the authors are reliable enough, and that some authors' claims are not supported by simulation,

and even refuted. The proposed method can be used in the future to study the complexity of the problem (depending on the complexity of the object and system requirements) and for comparing the effectiveness of different regulators design methods.

Key words: control, feedback, automation, feedback control, quality control, accuracy, optimization, modeling, multi-chznnel object, multichannel regulators

REFERENCES

[1] D.S. Salenko, N.A. Malyshkin, L.V. Dimitrov. About the Creation of the Bank of Objects Models for the Comparation of Methods for the Design of Controllers: Scalar Case. Automatics & Software Engineery. 2015. № 2 (12). P. 36-49.

[2] Zhmud V.A. Simulation study and optimization of locked systems of automatic control. Monograph. Novosibirsk, Publishing House of the NSTU, 2012. -335 p.

[3] Nusret Tan, Derek P. Atherton. Design of PI and PID controllers. International Journal of Systems Science. Vol.37, No. 8, June 2006. p. 543-554.

[4] A.N. Gunde§, H. Ozbay. Reliable decentralised control of object MIMO plants. International Journal of Control. Vol. 83, No. 3, March 2010, P. 516-526.

[5] Voevoda A.A., Zhmud' V.A. Shodimost' algoritmov optimizacii reguljatora dlja ob#ekta s ogranichitelem i s zapazdyvaniem. Nauchnyj vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. 2007. № 4. S. 179-184.

[6] Voevoda A.A., Zhmud V.A., Ishimtsev R.Y., Semibalamut V.M.The modeling test of the new PIDregulators structures. In: Proceedings of the IASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009 18th IASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009. Palma de Mallorca, 2009. С. 165-168.

[7] Zhmud V., Prokhorenko E., Liapidevskiy A. The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program VisSim 5.0/6.0. In: Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control 30th IASTED Conference on Modelling, Identification, and Control, AsiaMIC 2010. Сер. "Proceedings of the 30th IASTED Conference on Modelling, Identification, and Control, AsiaMIC 2010" Phuket, 2010. С. 27-32.