CC BY
7О создании банка моделей объектов для сопоставления методов проектирования регуляторов: скалярный случай
Д.С. Саленко, Н.А. Малышкин, Л.В. Димитров ФГБОУВПО НГТУ, Новосибирск, Россия, Университет Софии, София, Болгария
Аннотация: Задачи проектирования замкнутых динамических систем крайне актуальны. Они состоят в расчете регулятора. Теория автоматического регулирования (управления) занимается развитием методов решения таких задач для различных объектов. В большинстве публикаций, посвященных тому или иному методу и (или) его развитию, приводятся примеры применения этих методов или методик. Предполагается, что эти примеры убеждают читателя в действенности предлагаемых методов или их модификаций. Однако, читатель не получает основания для достоверного сравнения таких методик, поскольку оно может быть сделано лишь при рассмотрении результатов решения одной и той же задачи разными методами. Кроме того, не следует упускать из виду, что методы, эффективные для одних видов объектов, могут оказаться неэффективными или даже неприменимыми для других видов объектов. Поэтому целесообразно создать некий «банк примеров» моделей объектов, для которых задача проектирования регулятора
нетривиальна. Также нужна классификация и (или) метод отнесения примеров к различным классам, в частности, как минимум, к классу объектов, для которых расчет регулятора тривиален, и к классу объектов, для которых решение этой задачи весьма проблематично. В данной статье сопоставляются разные примеры объектов управления с позиции сложности или простоты проектирования регуляторов для них, даны основные принципы классификации объектов на примере одноканального случая.
Ключевые слова: управление, обратная связь, автоматика, регулятор, качество управления, точность, оптимизация, моделирование
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, теория автоматического управления занимается аналитическими методами проектирования систем автоматического управления (САУ), которые состоят в разрабтке структуры и расчете параметров последовательного регулятора или более сложных регуляторов. Такие регуляторы включаются в систему последовательно с объектом в контур с отрицательной обратной
связью. Встречаются и более сложные регуляторы. Если авторы приводят численные примеры, то, естественно, предлагаемые ими методы обеспечивают управление объектами из этих примеров с требуемым качеством.
Мало кто из читателей задумывается: не являются ли предложенные примеры специально выбранными из возможного множества вариантов моделей объектов? Может оказаться, что для обсуждаемого метода данный пример, действительно, демонстрирует эффективность и достаточность этого метода, но для большого класса других объектов этот метод не пригоден, или, во всяком случае, менее эффективен, чем другие известные методы. Даже если это действительно так, ценность указанного метода все же имеется, но она намного ниже, чем может казаться, если предполагать, что этот метод столь же успешно справится с другими подобными задачами.
В этом случае читатель может оказаться вольно или невольно введенным в заблуждение авторами, подобно тому, как вводятся в заблуждение зрители, если на их глазах актер легко ломает заранее подпиленную балку. Зрители полагают, что любая балка подобной толщины из подобного материала будет столь же легко переломлена, тогда как на самом деле никакая из подобных балок не будет переломлена, кроме той, которая была заранее подпилена. Аналогично, может оказаться, что лишь приведенный пример может быть решен с помощью предложенной методики. При этом, возможно, обширный класс объектов аналогичного вида, возможно, с
несущественными отличиями в параметрах или структуре модели, не может быть решен обсуждаемой методикой.
Маловероятно, что читатель может каждый раз анализировать сложность рассмотренного примера. Зато можно предложить разработку банка примеров и опубликование их после глубокой апробации различными научными школами совместно с некоторыми достоверными примечаниями, которые бы характеризовали их особенности и уровень сложности их для проектирования регулятора. Можно даже предложить некоторую шкалу сложности, не обязательно одномерную. Например, по одной оси можно откладывать порядок объекта, по другой - количество каналов. Но такой подход был бы примитивен, поскольку можно привести
примеры объектов высокого порядка и с большим количеством каналов, управление которым не представляет большой сложности. Также можно привести примеры объектов не слишком большого порядка и малой размерности (даже скалярные), управление которыми представляет большую сложность.
Поэтому данный вопрос еще только предстоит исследовать детально.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В типовой структуре САУ выход объекта соединен с входом регулятора, а выход регулятора соединен с входом объекта, то есть объект с регулятором составляют петлю. При этом соединение выхода объекта со входом регулятора осуществляется через вычитающий элемент, что обеспечивает отрицательный коэффициент усиления в контуре. На второй вход вычитающего элемента можно подавать извне управляющее воздействие, называемое «заданием». Если регулятор рассчитан правильно, то выходной сигнал объекта в среднем повторяет задание.
При этом ошибка этого управления, то есть разница между заданием и выходным сигналом объекта, поступает на вход регулятора. Широко известно соотношение, согласно которому ошибка приблизительно обратно
пропорциональна усилению в петле. В петле имеется достаточно большое усиление ошибки, за счет чего ошибка в среднем достаточно мала. В этом и состоит принцип действия обратной связи.
После резкого изменения задания ошибка возрастает, но со временем если задание не изменяется, то ошибка становится крайне малой. Это состояние системы, когда ошибка мала, называют равновесным. С правильно рассчитанным регулятором система устойчива, то есть она не склонна самопроизвольно уходить из равновесного состояния.
Математическая модель объекта определяет сложность поставленной задачи. Другой фактор сложности - это предъявляемые к системе требования.
Целесообразно разработать основы для классификации задач по их сложности, которые бы учитывали оба эти фактора.
Авторы не редко используют модели из других источников, но даже в этом случае они зачастую не дают результатов в такой форме, которая позволила бы достоверно сопоставить результаты. Например, если в одной из статей даны методы расчета регуляторов без приведения графиков переходных процессов, а в другой статье обсуждаются иные методы, например, методы определения области устойчивости систем с различными регуляторами, а в третьей статье даны конкретные переходные процессы с рассчитанными в этой статье регуляторами, то читатель не имеет возможности сопоставить эти результаты, хотя все они связаны с решением
одной и той же задачи даже вплоть до совпадения модели объекта, не только по ее структуре, но и численно. Казалось бы, это идеальная ситуация для сопоставления методов по их эффективности, но, если результаты даны в разных формах, читатель не имеет возможности их сравнения, если не предпримет собственного исследования или моделирования.
Таким образом, задача стоит в отыскании действенных и убедительных методов сопоставления результатов проектирования регуляторов, во-первых, путем создания структурированного и ранжированного банка моделей (фактически банка задач для данной отрасли знаний), во-вторых, путем разработки обязательных форм предоставления результатов.
2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ КАК НАИБОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНАЯ ФОРМА ДЕМОНСТРАЦИИ МЕТОДА
Результат решения задачи может быть представлен в нескольких формах, основные из которых:
1. Переходные процессы в системе, как отклик на ступенчатое или иное воздействие задания.
2. Построение области устойчивости системы.
3. Решение задачи в общем виде с предоставлением аналитических соотношений.
4. Словесное описание переходных процессов.
5. Другое.
Представляется, что переходные процессы в системе являются наиболее представительной формой описания результата, а с учетом имеющихся программных средств для численного моделирования эту форму можно признать и одной из наиболее простых (доступных).
Действительно, например, программа УгяЗгт позволяет осуществить математическое моделирование (симуляцию) работы систем достаточно высокой степени сложности. При этом отдельные элементы могут иметь математические описания в различных формах и видах: в виде передаточной функции (для линейных элементов), в виде стандартных нелинейностей с параметрами, которые можно задавать, в виде генераторов шумов со стандартными статистическими характеристиками, и так далее [1, 2]. Также эта программа позволяет осуществлять расчет переходных процессов в динамических системах, включая нелинейные, многосвязные, нестационарные, неминимально фазовые (трансцендентные, то есть содержащие звенья чистого запаздывания), дискретные и так далее.
О преимуществах использования программы перед программами МАТЬАБ и МаМСАБ сказано, например, в работе [1], с чем можно согласиться. А именно: в этой системе невозможно смоделировать процесс или действие
элемента, который не может существовать в природе, например, звено «предугадывания», то есть звена, противоположного звену чистого запаздывания. Также к таким примерам нереализуемых звеньев относятся линейные передаточные функции, степень числителя которых больше степени знаменателя, что означает неограниченный ничем рост их частотных характеристик в высокочастотной области. Эта программа фактически действует по такому же алгоритму, по которому действует практически любой цифровой регулятор. Поэтому если система не справляется с задачей, то это свидетельствует либо об ошибке в модели, либо об ошибке при моделировании, либо о невозможности реализации регулятора, либо о невозможности достижения робастности, то есть малой зависимости результата действия от малых изменений каких-либо параметров модели или регулятора.
При моделировании нелинейных систем необходимо всегда учитывать, что требуется вычислять не один какой-либо переходный процесс, а семейство таких процессов при различных значениях входных сигналов, поскольку при разных амплитудах нелинейная система может вести себя совершенно по-разному.
3. О КЛАССИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТА В «БАНКЕ МОДЕЛЕЙ»
Для ранжирования моделей объектов по степени сложности проектирования регуляторов можно предложить систему иерархической (многоуровневой) классификации по различным признакам.
Размерность (количество входов и выходов). Системы с одним входом и одним выходом (на английском языке "Single Input Single Output', сокращение дает SISO) являются наиболее простыми. Системы с двумя входами и двумя выходами ("Two Inputs Two Outputs", TITO) намного сложнее, и публикаций по ним заметно меньше. Системы с многими входами и многими выходами ("Many Inputs Many Outputs", MIMO) упоминаются часто, но численных примеров по ним в литературе крайне мало, если считать, что «много» это больше, чем «два».
В данной статье рассматриваются только примеры одномерных (одноканальных, скалярных) объектов, то есть SISO.
Линейность. Линейные объекты - это такие объекты, которые описываются линейными моделями, например, дифференциальными уравнениями. В каждом элементе модели такого объекта от амплитуды входного сигнала линейно зависит только амплитуда выходного сигнала, а все остальное от амплитуды входного сигнала не зависит. Линейных объектов в природе нет, но большой класс объектов вблизи их равновесного состояния без большой ошибки можно считать линейными, если линеаризовать их
математическое описание вблизи равновесного состояния. Также существуют объекты, линеаризовать которые невозможно, например, вследствие неоднозначности их переходной характеристики, гистерезиса и так далее. Расчет регулятора для нелинейных объектов существенно сложнее. Наименее сложной нелинейностью можно считать нелинейность типа «ограничение» выходного сигнала,
неоднозначные нелинейности относятся к наиболее сложным. Если в объекте имеется несколько видов нелинейности, задача синтеза регулятора еще более усложняется.
Наличие запаздывания. Чистое
запаздывание также усложняет управление объектом, поскольку, начиная с некоторого значения частоты и выше фазовый сдвиг превышает 180°, что ограничивает быстродействие системы: если при столь большом фазовом сдвиге коэффициент усиления больше единицы, система будет неустойчива, а если он лишь немногим меньше единицы система, как минимум, будет склонна к колебаниям, даже если и сохранит устойчивость.
Склонность к колебаниям. Даже если объект линеен и описывается передаточной функцией в виде отношения полиномов, он может представлять большую трудность для проектирования регулятора, если коэффициенты полинома характеризуются неблагоприятным соотношением своих величин. В частности, наличие в полиноме знаменателя коэффициентов разных знаков, или нулевых коэффициентов при аргументе 5 в не самых больших и не самых малых степенях может создать проблему. Модель объекта может быть такой, что, например, в ответ на ступенчатое воздействие, он, даже в отсутствие обратной связи, формирует на выходе ряд колебаний. Это свойство объекта может существенно усложнить задачу проектирования регулятора, но в некоторых случаях склонность к колебаниям может не вызывать никакого существенного усложнения решения этой задачи. Например, регулятор для объекта, модель которого является чисто колебательным звеном, то есть звеном второго порядка с малым демпфированием, можно достаточно просто рассчитать в виде ПИД-регулятора или ПД-регулятора.
Устойчивость объекта. Этот параметр не связан напрямую со сложностью или с простотой управления этим объектом. Например, если объектом является интегратор, то управление таким объектом не представляет трудности, хотя такой объект неустойчив. Можно привести и примеры, когда управление объектом, который формально устойчив, осуществить крайне сложно.
Стационарность. Если все коэффициенты объекта неизменны, объект более прост, чем в случае их неконтролируемого изменения во времени.
Перечисленние таких факторов можно
продолжать.
Сочетание многих факторов усложнения.
При сочетании нескольких указанных факторов управление объектом еще более усложняется.
4. ЛИНЕЙНЫЙ ОБЪЕКТ БЕЗ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Пример 1. Рассмотрим пример, приведенный из статьи [3]. Объект описывается линейной передаточной функцией в числителе
которой полином имеет третий порядок, а в знаменателе - пятый. При этом в каждом из этих полиномов имеются отрицательные
коэффициенты. А именно:
s3 + 4s2 - 5 + 1
55 + 254 + 3253 + 145 2 - 45 + 50
. (1)
В статье исследуются методы для анализа устойчивости систем с ПИ-регуляторами и с ПИД-регуляторами. На данном примере анализируется область значений коэффициентов регулятора, при которых система остается устойчивой. Переходные процессы в системе с этим объектом в статье не приводятся. Результат анализа в статье [3] дан в виде графика области, показанной на Рис. 1. Эта область целиком лежит в пределах прямоугольника, ограниченного значениями коэффициента пропорционального тракта в пределах от кр = - 10 до кр = 15 и коэффициентами интегрирующего тракта от к = 10 до к = 40. На этом рисунке в исходном виде в статье [3] даны только границы этой области, разбивка на области отсутствует.
Есть причины полагать, что этот результат, по крайней мере, не достаточен для того, чтобы сделать вывод об эффективности метода построения такой области. Кроме того, можно утверждать, что результат в виде этой области не достаточно полезен для применения его, например, для проектирования регулятора в системе с этим объектом. Для исследования этого вопроса применим моделирование системы с этим объектом.
Для анализа этой системы рассмотрим ее проект в программе У15Б1т для моделирования и оптимизации ПИ-регулятора с этим объектом. Структура модели показана на Рис. 2. Анализ показал, что ряд значений параметров регулятора, которые, исходя из области, показанной в статье [3], должны дать устойчивую систему, на самом деле дают систему неустойчивую. Кроме того, даже наилучшая настройка ПИ-регулятора для такого объекта дает переходный процесс, весьма
далекий от идеального, хотя и устойчивый. Наилучший переходный процесс показан на графике на Рис. 2. Эта наилучшая настройка получена методом численной оптимизации. Точка, соответствующая этой настройке, на графике, представленном в статье [3], входит в «область устойчивости» (см. Рис. 1).
Область устойчивости
►
Рис. 1. Расположение области параметров ПИ-регулятора для устойчивой системы, согласно статье [3] (вся закрашенная область), и фактическая устойчивость систем с этими параметрами, где по оси абсцисс - коэффициенты пропорционального тракта, по оси ординат - коэффициенты интегрирующего тракта: 1 - неустойчивые или на границе устойчивости, 2 - устойчивое с большим количеством высокочастотных колебаний и с большим перерегулированием, 3 - устойчивая с большим перерегулированием без высокочастотных колебаний
Исследуем для сравнения настройки регуляторов для этого объекта, взятые из представленной «области устойчивости». Значения настроек указаны во врезках на графиках. Переходные процессы, показанные на Рис. 3-5, показывают, что система находится на границе устойчивости, строго называть систему устойчивой при таких настройках нельзя. Переходный процесс на Рис. 6 показывает, что система неустойчива.
Даже наилучшая настройка (Рис. 1) характерна обратным перерегулированием до значения минус 0,5 (то есть 50% от задания в обратном направлении) после кратковременного достижения заданного значения, после чего процесс идет в нужном направлении, но также характеризуется положительным перерегулированием на величину 0,6 (то есть 60 % от задания).
Рис. 2. Схема для моделирования системы и оптимизации регулятора в программе VisSim для объекта SISO из [1]
Рис. 3. Переходные процессы в системе с регулятором:
kp = - 5, k = 35
Рис. 5. Переходные процессы в системе с регулятором: kp = 10, k = 20
Рис. 4. Переходные процессы в системе с регулятором: kp = - 5, k = 25
Рис. 6. Переходные процессы в системе с регулятором: kp = 10, k = 25
Дальнейшие исследования этого примера показали, что даже при использовании ПИД-регулятора не удается исключить нежелательные перерегулирования в отрицательном и положительном направлениях.
В отношении данного объекта можно сделать нижеследующие выводы.
Вывод 1. Рассмотренный пример объекта характеризуется высоким уровнем сложности. Расчет эффективного регулятора для него представляет собой достаточно сложную техническую задачу, а разработка методики расчета регуляторов для подобных объектов, по-видимому, была бы существенным научным достижением.
Вывод 2. Представленная в статье [3] область устойчивых ПИ-регуляторов для этого объекта, во-первых, ошибочна, во-вторых, недостаточно информативна, поскольку, во-первых, включает в себя значения параметров регулятора, с которыми система не устойчива, во-вторых, не дает информации о том, что даже при наилучшей настройке регулятора качество такой системы недостаточно высокое.
снижается ниже отметки
Соответствующий переходный процесс показан на Рис. 8.
/\ \
/ \
1
/...................
п
16
Т|пе [5
ее)
Рис. 7. Переходные процессы в системах с оптимальными регуляторами для объектов с передаточными функциями (1) и (2), соответственно, красная и синяя линии; метод оптимизации - в программе У15Б1т со структурой по Рис. 1.
5. МОДИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА БЕЗ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Пример 2. Для сравнения изменим в модели объекта коэффициенты в полиноме знаменателя при первой и второй степени аргумента 5. Получим следующую передаточную функцию объекта:
<( 5) =
53 + 452 - 5 + 1
55 + 254 + 3253 + 4052 + 305 + 50
• (2)
Для этого объекта численная оптимизация регулятора тем же способом дает настройку, кр = 1,187; к = 10,5, которая обеспечивает переходный процесс с незначительным прямым перерегулированием, а обратное перерегулирование при этом на 1-2 % выходит в отрицательную область. Для сравнения на Рис. 7 показаны переходные процессы в системах, оптимизированных для объектов с моделью (1) и (2), соответственно, красной и синей линиями.
Можно еще дальше улучшить модель объекта, устранив отрицательный коэффициент в числителе, например,
С(5) =
53 + 252 + 25 + 1
55 + 854 + 3253 + 6052 + 325 + 50
• (3)
Для этого объекта численная оптимизация регулятора тем же способом дает настройку, кр = 18,95; к = 64,4, которая обеспечивает переходный процесс с прямым перерегулированием 20%, обратного перерегулирования нет, а обратная волна, столь ярко выраженная в предыдущих результатах, в данном случае не
Рис. 8. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта передаточной функцией (3)
Вывод 3. Объект с передаточной функцией (2) представляет меньшую трудность для расчета регулятора, чем объект с передаточной функцией (1), а объект с передаточной функцией (3) представляет собой еще меньшую трудность, чем оба рассмотренных случая.
Пример 3. Модицицируем знаменатель передаточной функции. Выберем для этого полином с отрицательными корнями:
N (5) = 55 + 3254 +14453 +14452 + 325 + 8.
В числителе также используем устойчивый полином:
М1(5) = 53 + 45 2 + 25 + 1.
Переходный процесс в системе с регулятором, рассчитанным с помощью
процедуры оптимизации, крайне далек от идеального, как видно из графика, показанного на Рис. 9. Перерегулирование составляет около 40 %, длительность процесса составляет около 3 с. Для обеспечения удовлетворительного переходного процесса следует модифицировать стоимостную функцию, как предложено в [1]. С этой целью введем в стоимостную функцию детектор нарастания ошибки, основанный на перемножении ошибки на ее производную. Соответствующая структурная схема показана
на Рис. 10. Там же показан полученный переходный процесс. Длительность процесса затягивается до 15-25 с, но при этом перерегулирование снижено до величины не более 3 %, кроме того, уже через 3 с ошибка входит в дипазон 3 %, который далее не покидает. Такой переходный процесс характеризуется достаточно высоким качеством.
Также можно использовать иные модификации стоимостной функции [4-10].
ЕМ*;
-►[]>—I
s +4s +2s+1
ГТ]-И parameterUnknown I-►СЕ}
[~0~|-И parameterUnkn&wn |-►ГП-
| abs
433 Si= I
3 3704 I
►TVSl-►TccsTI
Д. Plot ,n,i> li
14 1 2 1\
10 .8 .8 .4 .2 0 -.2 С L
I
11 2 3 4; Time (sec)
Рис. 9. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 3
П-
Tg^-r+il]—
UnTsI-
s +4s +2з + 1
s +32s -+144s +144s +32s+8
П~|-H parameterUnkncvvnl-►ПП-
140 0?3 I
Г51-Н p э гэ m gt g rU n k n с '/-ТгП-МП-HI
115 5703 I
MS
Q-
g Plot П > [1
1.4 1 2
1.0 .8 .8 .4 .2 0 О
I d 5 10 15 20 25 30 1 Time (sec)
Рис. 10. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 3 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
Пример 4. Упростим числитель передаточной функции в модели Примера 3. Выберем в числителе устойчивый полином:
М 2( 5) = 52 + 4s +1.
Результат моделирования показан на Рис. 11. Перерегулирование меньше 10 %, длительность процесса около 50 с.
Пример 5. Еще сильнее упростим числитель передаточной функции в модели Примера 3. Выберем в числителе устойчивый полином:
Результат моделирования показан на Рис. 12. Перерегулирование меньше 1 %, длительность процесса около 80 с.
Пример 6. Дополнительно упростим числитель передаточной функции в модели Примера 3, оставив в числителе просто единичный коэффициент. Результат
моделирования показан на Рис. 13. Перерегулирование меньше 1 %, длительность процесса около 90 с.
M 3(s) = s +1.
Рис. 11. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 4 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
Рис. 12. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 5 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
L»Tvsl-Ki>—^
1
1-
s432s -H44s4144s +32s+8
ГП-И caramstsrllnkncwn I-ИЛ-И 661501 |
|~0~|-N pgrgnieterUnkncvvn |-►[]]-И 1=33753 |
-»fibil—
g.Plot Ь|1> [I
1.4 1 2
1.0 .8 .е .4 .2 0 -.2 [
f
/
/
/
J
) 20 40 60 80 100 Time (sec)
Рис. 13. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 6 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
Поскольку решение задачи оптимизации регулятора для объекта из Примера 1 осуществлялось с самой простой целевой функцией, вернемся к этому примеру и используем модифицированную стоимостную функцию для оптимизации. Результат показан
на Рис. 14. Сопоставляя переходные процессы на Рис. 14 и на Рис. 2, можем отметить, что для этого объекта модификация целевой функции не приводит к улучшению переходного процесса. Таким образом, объект из Примера 1, действительно, представляет собой сложную
задачу для проектирования регулятора, а объекты Примеров 2-6 намного более просты. Вывод 4. Объекты из Примеров 2-6
представляют меньшую трудность для расчета регулятора, чем объект из Примера 1.
L^HTsi—К])—1
5 +4s -Is-И
1
s +2s +32s +14s Л-s+SCI
ГП-И parameterUnknowrTl-И~рТ-
Го1-И parameterUnknowiTl-И~П—
г 44361 |
24 2034 |
-»fibTI—Д7|_
Д. Plot
1.6 1 4 • Д и ...
1.2 1 0 .8 .6 .4 .2 0 n .
1 7 \
ттт ч//ч"
у
I D 20 40 60 80 100 Time (зес)
Рис. 14. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 1 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
6. ЛИНЕЙНЫЙ ОБЪЕКТ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Пример 7. Рассмотрим объект второго порядка с запаздыванием.
Щ*) = 2 1 , е-10*. (4) 5 + 505 + 1
Моделирование и оптимизация регулятора дают результат, показанный на Рис. 15.
Переходный процесс имеет вид почти идеальной экспоненты, перерегулирование составляет около 1 %. На этом основании можно сделать вывод, что объект второго порядка с запаздыванием при указанных коэффициентах представляет собой достаточно простую задачу.
П~1-И parameterUnknown |-И р [
|~0~|-И parameterUnknown I-ИЗ-И 4 43613е-2|
|~И derivative
I 5000 0>
+И-
—КЗТЕХсйД
■ Plot Ш 1
12 1.0 .8 .8 .4 .2 0 -.2 [
-V---
/
1
/
/
) 20 40 60 80 100| Time (sec)
Рис. 15. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 7 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
Пример 8. Усложним полином в знаменателе объекта из примера 7.
W3(S):
1
s3 + 50s2 + 50s +1
e"10s . (5)
Моделирование и оптимизация регулятора дают результат, показанный на Рис. 16.
Переходный процесс также имеет вид почти идеальной экспоненты, перерегулирование составляет около 1 %. На этом основании можно сделать вывод, что объект третьего порядка с запаздыванием при указанных коэффициентах также представляет собой достаточно простую задачу.
ю
UnTsI-►[!>—1
1 1 -* -Е-: е
s:+50s +50s+1
а
ГП-И FaramelerUnknowrTI-H"pl-HI
2 05465 |
ГУ|-И carameterUnknoi,Yn I-HTI-И j 124Tie-2 I
|-Ц derirativel——
I50000)-
НЗ-
-►ПТбТ—►Tcostl
■»fibsl—►jTj,
¿Plot [I
1.2 1.0 .8 6 .4 .2 0 -.2 [
/
/
J
) 25 50 75 100 125 15ol Time (sec)
Рис. 16. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 8 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
Пример 9. В модели обекта из Примера 8 увеличим в 5 раз постоянную времени звена запаздывания.
W4(s) = --1-
s3 + 50s2 + 50s +1
e"50 s. (6)
Результат показан на Рис. 17. Переходный процесс идеален, перерегулирование составляет около 2 %. Такой объект при указанных коэффициентах также представляет собой достаточно простую задачу.
50
—гНЗ—Hi>
4jZU—Hi)—1
П~1-И parameterLJnknown I-Н Р h
I G |-И parameterUnknown I-H~i~|—
derivative!——
■»TibTI—
H3-
-HI
1 1 -sTd е
s:+50s +50s+1
a
1:171:29 I
-»I 1 025576-2 I
-HTsT-HT^TI
¿Plot Щ]
1.2 1.0 .8 6 .4 .2 0 п
/
/
J
......
j
'0 50 100 150 200 250 300 350 400 Time (sec)
Рис. 17. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 9 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
Пример 10. В модели обекта из Примера 9 коэффициент при 5 в первой степени уменьшим в 10 раз, что повысит склонность объекта к колебаниям.
W,(s) =
1
s + 50s2 + 5s +1
e"50s . (7)
Результат показан на Рис. 18. Переходный процесс уже не напоминает экспоненту, перерегулирование составляет около 3 %, имеется ряд быстро затухающих колебаний. Такой объект при указанных коэффициентах также представляет собой задачу средней сложности.
Пример 11. В модели обекта из Примера 10 коэффициент при 5 в первой степени еще раз уменьшим в 10 раз, что дополнительно повысит склонность объекта к колебаниям.
W,(s)=
1
s + 50s2 + 0,5s +1
e"50s . (8)
Результат показан на Рис. 19. Переходный процесс уже далек от экспоненты, и хотя в целом он устойчив и перерегулирование не более 8 %, имеются незатухающие колебания. Такой объект при указанных коэффициентах также представляет собой задачу достаточно высокой (хотя и не чрезмерной) сложности.
UlTsl—KD—1
50
1 1 -Е": е
s'+SOs'+Ss+l
пи
ГП-И parameterUnknown |-И~Р~1~
ГО]-И parameterUnknown"!-И~П—
-+С
240570 |
■спши
-»Г^ьП—»|Т|_
cost |
■ Plot L |ЩЁ
1.2 10 .8 .6 .4 .2 0 п
г
/
Т~
J'
/
'0 50 100 150 200 250 300 350 400 Time (sec)
Рис. 18. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 10 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
4JZU—и
s +50s' + .5s + 1
-щ
ГП-И carameterUnkncwn I-►ГП-И -7 55S73e-3 |
|П-И parameterUnkncwn |-►[]]-Н 3 40502е-3 |
■ Plot L .ж_> В
1.2 1.0 .8 .6 .4 .2 0 -.2 [ /V, /Л,
г / ч/ \1Г
Г
"Г
f
J
) 50 100 150 200 250 300 350 400| Time (sec)
Рис. 19. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 11 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
Пример 12. В модели обекта из Примера 11 коэффициент при 5 в первой степени вновь уменьшим в 10 раз, что до критического уровня повысит склонность объекта к колебаниям.
W4(s)=
1
s + 50s2 + 0,05s +1
e"50s . (9)
Результат показан на Рис. 20. Переходный процесс неустойчив, колебания нарастают по амплитуде. Такой объект представляет собой задачу особо высокой сложности в сравнении с другими примерами этой главы. Пример 13. В модели обекта из Примера 9 коэффициент при 5 во второй степени уменьшим в 10 раз.
W4 (s)
1
4V"' s3 + 5s2 + 50s +1
e"50s. (10)
Результат показан на Рис. 21. Переходный процесс устойчив, перерегулирование мало. Такой объект представляет собой простую задачу.
Пример 14. В модели обекта из Примера 9
коэффициент при 5 во второй степени уменьшим в 100 раз.
W4 (s)
1
s3 + 0,5s2 + 50s +1
e"50s. (11)
Результат несущественно отличается от результата, который показан на Рис. 21. Переходный процесс устойчив,
перерегулирование мало. Такой объект представляет собой простую задачу. Пример 15. В модели обекта из Примера 9 коэффициент при 5 во второй степени уменьшим в 1000 раз.
W4 (s)
1
s3 + 0,05s2 + 50s +1
e "50s. (12)
Результат несущественно отличается от результата, который показан на Рис. 21. Переходный процесс устойчив,
перерегулирование мало. Такой объект представляет собой простую задачу.
Рис. 20. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 12 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
п—^
^►nTsn—
1
s +5s +50s+1
ГП-И para mete rUnknovvn I-КЗ-И i=32713 I
ГП-И para mete rUnknc,Yn I-ИЗ-И 1 044636-2 I
■»Tibsl—»|T|_
-и
I costl р
>
Plot ш о
1.2 1.0 .8 .6 .4 .2 0 -.2 [
/
/
j
) 60 100 160 200 260 300 350 400l Time (sec)
Рис. 21. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором для объекта Примера 13 при использовании модифицированной целевой функции с введением детектора нарастания ошибки
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной статье показано, что сравнение различных методов расчета (проектирования) регуляторов целесообразно делать на одних и тех же примерах.
Также в статье показано, что некоторые примеры чрезвычайно показательны, поскольку проектирование регуляторов для них представляет собой сложную техническую или научно-техническую задачу. При этом в других случаях некоторые примеры крайне непоказательны, поскольку проектирование регуляторов для них может быть с легкостью сделано достаточно простым способом.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России по государственному заданию №2014/138, тема проекта «Новые структуры, модели и алгоритмы для прорывных методов управления техническими системами на основе наукоемких результатов интеллектуальной деятельности».
ЛИТЕРАТУРА
[1] Жмудь В. А. Моделирование, исследование и оптимизация замкнутых систем автоматического управления. Монография. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2012. - 335 с.
[2] V. A. Zhmud. The Use of the Feedback Control Systems in Laser Physics Researching Experiments. // Proceedings of RFBR and DST Sponsored "The 2nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics", 10 - 13 September, 2011, Additional volume, pp.40-43.
[3] Nusret Tan, Derek P. Atherton. Design of PI and PID controllers. International Journal of Systems Science. Vol.37, No. 8, June 2006. p. 543-554.
[4] В.А. Жмудь, А.Н. Заворин. Метод проектирования энергосберегающих регуляторов для сложных объектов с частично неизвестной моделью. В кн.: Проблемы управления и моделирования в сложных системах. Труды XVI Международной конференции 30 июня - 03 июля 2014 г., Самара. Россия. С. 557-567.
[5] The modeling tests of the new PID-regulators structures. Voevoda, A.A., Zhmud, V.A., Ishimtsev, R.Y., Semibalamut, V.M. 2009. Proceedings of the
LASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009. P.165 - 168.
[6] Modern key technologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012. Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.
[7] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program VisSim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.
[8] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology 2013 (IF0ST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www. must. edu.mn/IFOS T2013/
[9] V. Zhmud, A. Polishchuk, A. Voevoda, R. V. Rao. The Tuning of the PID-Regulator for Automatic Control System of Thermo Energetic Equipment // Proceedings of the Fifth International Conference on Advances in Mechanical Engineering (ICAME-2011), June 06-08, 2011. Surat - 395 007, Gujarat, India. pp. 254-263.
[10] Zhmud V.A., Zavorin A.N. Metodi di ottimizzazione del controllo numerico su una modelli troncati. Italian Science Review. 2014; 4(13). PP. 686-689. Available at URL: http://www.ias-journal.org/archive/2014/april/Zhmud.pdf H http://www.ias-journal.org/archives/april-2014
Саленко Дмитрий Сергеевич -
аспирант каф. Автоматики НГТУ. Область научных интересов и компетенций - теория автоматического управления, MEMS и их применение E-mail: salenkods@mail.ru
Малышкин Николай
Александрович - аспирант каф. Автоматики НГТУ. Область научных интересов и компетенций -моделирование и оптимизация систем автоматического управления. E-mail: nickmyname@ngs.ru
Lubomir Vankov Dimitrov - Dean of engineering faculty of the Technical University of Sofia, Doctor, Professor, Bulgaria, the author of over 200 scientific articles. Research interests: mechatronics, automation, microelectronic modules and their application (MEMS). E-mail: lubomir dimitrov@tu-sofia.bg
About the Creation of the Bank of Objects Models for the Comparation of Methods for the Design of Controllers: Scalar Case
D.S. SALENKO, N.A. MALISHKIN, L.V. DIMITROV
Abstract: The objectives of designing of closed dynamical systems are extremely relevant. The main goal of it is the calculation of the controller (regulator). The theory of automatic (feedback) control is engaged in the development of methods for solving such problems for different kinds of objects. The most publications devoted to some methods and (or) its development gives examples of the application of these methods or techniques. It is expected that these examples convince the reader of the efficacy of the proposed methods or modifications thereof. However, the reader does not receive a valid basis for comparison of these methods, since it can be done only when considering the results of solutions to the same problem in different ways. In addition, we should not lose sight of the fact that the methods that are effective for some types of objects can be ineffective or even inapplicable to other types of objects. Therefore, it is advisable to create a "bank of examples" of models of objects, for which the problem to design the controller is non-trivial. Also classification and (or) the method of examples referring to different classes is necessary, in particular, at least to a class of objects for which the design of the controller is trivial, and object class for which the solution of this problem is very problematic. This paper compares different examples of control objects from the perspective of the complexity or simplicity of controls design for them. It gives the basic principles for classification of objects by the example of the single-channel case.
Key words: control, feedback, automation, regulator, controller, quality of control, accuracy, optimization, simulation
REFERENCES
[1] Zhmud V.A. Simulation study and optimization of locked systems of automatic control. Monograph. Novosibirsk, Publishing House of the NSTU, 2012. -335 p.
[2] V. A. Zhmud. The Use of the Feedback Control Systems in Laser Physics Researching Experiments. // Proceedings of RFBR and DST Sponsored "The 2nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics", 10-13 September, 2011, Additional volume, pp.40-43.
[3] Nusret Tan, Derek P. Atherton. Design of PI and PID controllers. International Journal of Systems Science. Vol.37, No. 8, June 2006. p. 543-554.
[4] Zhmud V.A., Zavorin A.N. Method of designing energy-efficient regulators for complex objects with partially unknown model. Proc.: The control and
modeling in complex systems. Proceedings of the XVI International Conference June 30-July 3, 2014, Samara. Russia. p. 557-567.
[5] The modeling tests of the new PID-regulators structures. Voevoda, A.A., Zhmud, V.A., Ishimtsev, R.Y., Semibalamut, V.M. 2009. Proceedings of the IASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009. P.165 - 168.
[6] Modern key technologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012. Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.
[7] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program VisSim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.
[8] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8-th International
Forum on Strategic Technology 2013 (IF0ST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www.must.edu.mn/IF0ST2013/
[9] V. Zhmud, A. Polishchuk, A. Voevoda, R. V. Rao. The Tuning of the PID-Regulator for Automatic Control System of Thermo Energetic Equipment // Proceedings of the Fifth International Conference on Advances in Mechanical Engineering (ICAME-2011), June 06-08, 2011. Surat - 395 007, Gujarat, India. pp. 254-263.
[10] Zhmud V.A., Zavorin A.N. Metodi di ottimizzazione del controllo numerico su una modelli troncati. Italian Science Review. 2014; 4(13). PP. 686-689. Available at URL: http://www.ias-j ournal.org/ archive/2014/april/Zhmud. pdf and http ://www. ias-j ournal.org/ archives/april-2014
