CC BY
5Робастное проектирование ресурсосберегающего двухканального регулятора для объекта с одним выходом
В.А. Жмудь1, В.М. Семибаламут2, Л.В. Димитров3 1 ФГБОУ ВПО НГТУ, Новосибирск, Россия, 2 ФГБУН Геофизическая служба СО РАН, 3 Технический университет Софии, София, Болгария
Аннотация: Управление объектами в контуре с отрицательной обратной связью широко используется, поскольку позволяет обеспечить высокую точность в присутствии возмущающих воздействий. Робастным проектированием можно назвать
проектирование такого регулятора, который обеспечит требуемую точность управления, то есть достаточно малые динамическую и статическую погрешности, даже в том случае, когда реальные параметры модели объекта и (или) реализованные коэффициенты регулятора отклоняются от тех численных значений, которые использованы при проектировании и (или) анализе системы. Робастные свойства регулятора могут быть обеспечены за счет достаточного запаса устойчивости, то есть даже если все ошибки в коэффициентах объекта и регулятора будут действовать в наихудшем направлении, то и в этом случае управление должно соответствовать требуемому качеству. Ресурсосберегающим регулятором является такой регулятор, который при условии решения поставленной задачи управления обеспечивает сбережение (минимальное расходование) ресурса, который требуется на изменение состояния объекта. Таким ресурсом может быть, например, топливо. Показателем такого ресурса служит интеграл от квадрата управляющего сигнала (воздействия). В данной статье исследуется метод решения задачи, когда на объект может воздействовать два различных вида воздействия, и при этом стоимость ресурса в каждом воздействии не одинакова. Предлагаемый метод и особенности его использования исследуются на примере.
Ключевые слова: управление, обратная связь, автоматика, регулятор, качество управления, точность
ВВЕДЕНИЕ
Управление объектом с одной выходной величиной с использованием двух входных воздействий применяется достаточно широко, поскольку это позволяет совместить достоинство двух каналов и преодолеть их недостатки [1-5]. Этот метод может применяться при наличии
особых свойств объекта управления, которые состоят в том, что изменение выходной величины может происходить вследствие совокупных действий двух факторов, то есть объект может управляться по двум каналам воздействия. Целесообразность одновременного использования обоих каналов при этом диктуется тем, что каждый из каналов обладает недостатками, при этом недостатки одного из каналов не совпадают с недостатками другого канала. В противном случае следует использовать лучший канал, а худший не использовать.
В предшествующих публикациях [1-12] предложены и исследованы методы расчета регулятора. В частности, предложено
использование графоаналитических методов [12], а также методов численной оптимизации [3-5]. Показано, что можно использовать программу К^&'от, а в качестве стоимостной функции целесообразно использовать интеграл от модуля ошибки, умноженной на время с момента начала переходного процесса. Также рекомендовано вводить с весовыми коэффициентами дополнительные члены под интеграл стоимостной функции, такие как квадрат управляющего воздействия и другие.
Однако, в серии указанных статей еще не все вопросы, связанные с этим направлением теории автоматического управления, окончательно решены.
В частности, значительный интерес представляет использование в качестве дополнительного канала воздействия такого канала, который характеризуется крайне ограниченными возможностями, но при этом такой имеется весомый аргумент для его использования как экономия ресурса.
Важно исследовать, насколько такое использование может быть оправдано, можно ли обеспечить робастное управление, под которым в данном случае понимается достаточно малое влияние точности реализации рассчитанных коэффициентов (также как точности определения параметров математической модели объекта) на устойчивость системы, а также на вид переходного процесса.
Эти вопросы могут быть исследованы моделированием, однако, при этом необходимо осуществить достаточное количество подобных
экспериментов, с различными моделями объектов, поскольку некоторые проблемы могут не проявить себя в некоторых частных случаях, но в других случаях стать непреодолимыми.
В данной статье решается вопрос численной оптимизации ПД-регулятора для объекта, содержащего два канала управления, каждый из которых содержит интегральную компоненту. При этом в каждом канале содержится фильтр второго порядка, а в «худшем» канале дополнительно содержится нелинейный элемент, преобразующий непрерывный сигнал в дискретный, на выходе которого имеется дифференцирующее звено. Это делает канал крайне не эффективным в чистом виде, что делает актуальным исследование вопроса
целесообразности применения такого канала совместно с «лучшим» каналом, свободным от указанной нелинейности.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим объект, математическая модель которого задана суммой двух каналов воздействия. Исследуем метод численной оптимизации для расчета регулятора, основанный на стоимостной функции, содержащей затраты энергии. Кроме того, используем различную стоимость ресурса управления при одинаковом статическом коэффициенте передачи каждого канала управления. Естественно предположить, что цена ресурса, который используется при управлении по «худшему» каналу, намного ниже, чем цена ресурса управления по «лучшему» каналу (первому). Иначе «худший» канал (второй) не может быть полезен.
Поскольку используется критерий, включающий экономию ресурса, целесообразно рассматривать класс объектов, содержащих интегратор. В структуре модели общий для обоих каналов управления интегратор может быть вынесен за сумматор.
Пусть передаточная функция первого канала имеет следующий вид:
=-—1--- (1)
0,15 2 + 0,55 +1 5
Здесь 5 - аргумент преобразования Лапласа.
Передаточная функция второго канала пусть имеет вид:
= 2 1 1 • (2) 5 + 25 + 1 5
Эта передаточная функция (2) не полностью описывает второй канал управления. Для того, чтобы описать его более слабые возможности по управлению на входе этого канала, введем в модель второго канала нелинейный элемент и последовательно с ним включенное
дифференцирующее звено. Это
дифференцирующее звено, естественно, компенсирует эффект интегратора, поэтому воздействие по второму каналу не влияет на скорость изменения выходной величины, а лишь привносит почти ступенчатые изменения ее подобно тому, как отброшенная ступень в момент ее отбрасывания может изменить скорость космического корабля за счет эффекта реактивного воздействия. Зададим дискретность нелинейного элемента величиной шага 0,2 единицы. Зададим соотношение стоимостей ресурсов управления как 1:50.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ
2.1. Метод решения задачи
Метод состоит в численной оптимизации с использованием программы У15Б1т. При этом структура регулятора содержит два канала, каждый из которых состоит из пропорционального и дифференцирующего трактов, выходы которых суммируются. Во второй тракт рекомендуем ввести элемент «зона нечувствительности», на основании результатов, описанных в нашей работе [6]. Ширина зоны нечувствительности соизмерима с величиной дискретности нелинейного элемента второго канала в модели объекта, но точного соответствия достичь невозможно, поскольку эта нелинейность устанавливается не на выходе этого канала регулятора, а на его входе. Таким образом, в нашем случае ширина зоны нечувствительности равна 0,3; шаг дискретности в модели второго канала управления равен 0,2.
Для сравнения используем два варианта целевой функции. В первом варианте это интеграл от модуля ошибки, умноженного на время с начала переходного процесса. Во втором варианте введем под интеграл взвешенную сумму квадратов управляющих сигналов, формируемых на выходах регулятора.
2.2.Результат без внесения в целевую функцию стоимостного слагаемого
На Рис. 1 показана структурная схема для моделирования и оптимизации регулятора в соответствии с моделью объекта и предложенным методом решения задачи по первому варианту. Стартовые значения всех параметров регулятора для процедуры оптимизации взяты равными единице. В результате процедуры получены значения, которые показаны в индикаторах справа внизу на Рис. 1. На Рис. 2 показан блок для вычисления расхода ресурса за время переходного процесса. Этот расход составил 3,28 единицы.
Рис. 1. Схема для моделирования и оптимизации регулятора в программе У1я81т
3.28371
Рис. 2. Схема блока для расчета стоимости затрат ресурса управления
На Рис. 3 показан переходный процесс в системе с рассчитанным регулятором. Длительность процесса составляет чуть более 6 секунд, имеется небольшое перерегулирование около 2 %, число заметных колебаний равно трем.
Рис. 3. Переходный процесс в системе по Рис. 1
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
\ *СйГ +Ги2
\
\
\ \
1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 "Пте (зес)
Рис. 4. Изменения управляющих сигналов в двух разных каналах в системе по Рис. 1
2.3. Результат после внесения в целевую функцию стоимостного слагаемого
Введем в стоимостную функцию выход блока для расчета стоимости ресурса управления и повторно осуществим численную оптимизацию коэффициентов регулятора. Полученные коэффициенты регулятора также приведены в индикаторах справа внизу. Видно, что стоимость ресурса управления составила 0,608 единиц, что более чем в пять раз ниже, чем без использования этого метода. Соответствующие переходные процессы в этой системе показаны на Рис. 6 и 7. Видно, что переходный процесс объективно улучшился, а именно: время процесса сократилось до 4,5 секунд, то есть на четверть от предыдущего результата. Перерегулирование полностью отсутствует. Колебаний около равновесного состояния практически нет, имеется лишь одна волна обратного колебания, то есть, можно сказать, половина колебания.
Снижение стоимости управляющего ресурса обеспечено тем, что дорогостоящий ресурс первого канала управления используется меньше: пиковое значение снижено от 4,5 единиц до величины менее 1,5 единиц. Более дешевый ресурс управления во втором канале также используется более экономно: пиковые значения его были +1 и -3, а стали +0,3 и -0,1.
Примечание: В структуре на Рис. 5 интегратор от вычислителя стоимости затрат ресурса не используется, поскольку в вычислителе стоимостной функции уже имеется свой интегратор. Можно было перенести сумматор, установив его на выходе интегратора, это не принципиально, экономии количества блоков в схеме не было бы в любом случае.
Рис. 5. Схема для моделирования и оптимизации регулятора с учетом стоимости ресурса управления и результаты численной оптимизации коэффициентов регулятора
1.1 10 .9
7
.6
а
.4
.3
2
0
2 3 4 5 6 7 Э 10
Лгпе (эес}
Рис. 6. Переходный процесс в системе по Рис. 5
1 50 1.25 1 00 .75 .50
■Ц и2 |—
0
0 .5 1 1.5 2 2 5 3 3.5 4 4.5 5 Е.5 Т!те (&ес)
Рис. 7. Изменения управляющих сигналов в двух разных каналах в системе по Рис. 5
Вывод 1. Введение в стоимостную функцию результата вычисления ресурса управления в виде интеграла от взвешенной суммы квадратов позволяет снизить расход ресурса, а также улучшить качество управления. Указанное улучшение качества включает повышение быстродействия, уменьшение или устранение
перерегулирования, снижение количества колебаний в переходном процессе. Данный вывод справедлив, в том числе, применительно к системе управления одной выходной величиной по двум каналам воздействия, в том числе при различных стоимостях ресурса по разным каналам. Это относится, в том числе, к случаю, когда один из каналов содержит дискретный по уровню преобразователь. Все сказанное в данном выводе справедливо, по меньшей мере, для одного исследованного примера. С учетом результатов в статье [6] таких примеров несколько.
Пример для исследований был взят наугад, а не выбран специально для подтверждения тезисов, сформулированных в Выводе 1. Это позволяет предполагать справедливость Вывода 1, как минимум, для достаточно широкого класса объектов.
3. ПРОБЛЕМЫ С ОБЪЕКТОМ, СКЛОННЫМ К КОЛЕБАНИЯМ И ЕЕ РЕШЕНИЕ 3.1. Нарушение устойчивости
Рассмотрим предыдущий пример, изменив модель первого (лучшего) канала управления в худшую сторону, а именно: повысим склонность к колебаниям. Для этого достаточно коэффициент в полиноме знаменателя при 5 в первой степени уменьшить, например, в пять раз. Новая передаточная функция объекта будет иметь вид:
=-—1---. (3)
0,15 2 + 0,15 + 1 5
Оптимизация по структуре, аналогичной той, которая показана на Рис. 1, дает коэффициенты регулятора: р1 = 0,467781; й1 = 3,11038; р2 = 1,0038; й2 = 0,956992. При этом стоимость
расхода ресурса составляет Р = 0,467781. На Рис. 8 и 9 показаны соответствующие переходные процессы в системе. Видно, что процесс на Рис. 8 неудовлетворительный, поскольку в нем развиваются колебания около равновесного состояния, которые не только не затухают, но, наоборот, возрастают по амплитуде, что свидетельствует о неустойчивости системы. Для наглядности на Рис. 10 приведен переходный процесс за более длительное время.
Time [sec)
Рис. 8. Переходный процесс в системе по Рис. 5 с параметрами передаточной функции первого канала по соотношению (3)
■1.5---!-'-!---!-'-!---
О 2 4 Б 8 10 12 14 16 18 20 Time [sec)
Рис. 9. Изменения управляющих сигналов в двух разных каналах в системе по Рис. 5 с параметрами передаточной функции первого канала по соотношению (3)
1.2 1.1 1.0 .9 .8 7 .6 5 .4 .3 2 .1 0 | ■ J
I I
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time [sec)
Рис. 10. Переходный процесс, в тех же условиях, что на Рис. 8, за более длительный интервал времени
3.2. Обеспечение устойчивости
Для обеспечения устойчивости увеличим интервал моделирования до 50 с, то есть в 2,5 раза. Также снизим зону нечувствительности в полтора раза до величины 0,2.
Получим следующее: р1 = 0,646981; йх = 1,61526; р2 = 0,686261; й2 = 0,118547. При этом стоимость расхода ресурса составляет Р = 0,28267. Отметим, что в целом при изменении интервала моделирования стоимость ресурса сравнивать было бы не корректно, если бы в математической модели объекта не содержался интегратор. При наличии интегратора управляющие сигналы по завершении переходного процесса асимптотически стремятся к нулю, поэтому увеличение длительности моделирования при устойчивом управлении не существенно влияет на расход ресурса управления, поэтому полученные результаты можно сопоставлять. На Рис. 11 и 12 показаны соответствующие переходные процессы в полученной системе. При этом для того, чтобы убедиться с робастной устойчивости системы, увеличим время моделирования еще вдвое, то есть до 100 с, а рассчитанные коэффициенты регулятора округлим так, чтобы остались только две значащие цифры, то есть рх = 0,65; = 1,6; р2 = 0,69; ё2 = 0,12. Как видим, процесс, показанный на Рис. 11, является устойчивым. Отметим, что отличие этого процесса вследствие округления коэффициентов от процесса с неокругленными коэффициентами пренебрежимо мало, на графике визуально никак не проявляется (графики сливаются). На Рис. 12 показаны соответствующие управляющие сигналы, время на этом графике для наглядности укорочено, масштаб сигнала укрупнен.
-» •Г7Л- -И .65
-» Ш-{ЗП— -W 1.6
-» -W .69
-» -H -12
о1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
О 10 20 30 40 50 60 70 S0 90 100 Time [sec)
Рис. 11. Переходный процесс в системе
Вывод 2. Для получения робастных
регуляторов полезным может оказаться увеличение времени моделирования.
Вывод 3. Правильный выбор величины зоны нечувствительности также может обеспечить
успешность решения задачи численной оптимизации регулятора.
Рис. 12. Изменения управляющих сигналов в двух разных каналах в системе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России по государственному заданию №2014/138, тема проекта «Новые структуры, модели и алгоритмы для прорывных методов управления техническими системами на основе наукоемких результатов интеллектуальной деятельности».
ЛИТЕРАТУРА
[1] A phase-locked loop system for the difference frequency of two lasers. Barmasov S.V., Zhmud' V.A. Instruments and Experimental Techniques. 2000. Т. 43. № 3. P. 381-383.
[2] Электронная система стабилизации частоты He-Ne лазера по линиям поглощения метана. Жмудь В.А., Бармасов С.В., Гительсон В.Д. Приборы и техника эксперимента. 1999. № 4. С. 127.
[3] V. A. Zhmud. The Use of the Feedback Control Systems in Laser Physics Researching Experiments. // Proceedings of RFBR and DST Sponsored "The 2-nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics", 10 - 13 September, 2011, Additional volume, pp.40-43.
[4] Жмудь В. А. Моделирование, исследование и оптимизация замкнутых систем автоматического управления. Монография. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2012. - 335 с.
[5] В.А. Васильев, А.А. Воевода, В.А. Жмудь, В.А. Хассуонех. Цифровые регуляторы: целевые функции настройки, выбор метода интегрирования, аппаратная реализация. Сборник научных трудов НГТУ, 2006. N 4 (46). С. 3-10.
[6] В.А. Жмудь, А.Н. Заворин. Метод проектирования энергосберегающих регуляторов для сложных объектов с частично неизвестной моделью. В кн.: Проблемы управления и моделирования в сложных системах. Труды XVI Международной конференции 30 июня - 03 июля 2014 г., Самара. Россия. С. 557-567.
[7] The modeling tests of the new PID-regulators structures. Voevoda, A.A., Zhmud, V.A., Ishimtsev, R.Y., Semibalamut, V.M. 2009. Proceedings of the IASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009. P.165 - 168.
[8] Modern key techologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012.
Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.
[9] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program vissim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.
[10] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology 2013 (IF0ST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www. must. edu.mn/IF0ST2013/
[11] V. Zhmud, A. Polishchuk, A. Voevoda, R. V. Rao. The Tuning of the PID-Regulator for Automatic Control System of Thermo Energetic Equipment // Proceedings of the Fifth International Conference on Advances in Mechanical Engineering (ICAME-2011), June 06-08, 2011. Surat - 395 007, Gujarat, India. pp. 254-263.
[12] Zhmud V.A., Zavorin A.N. Metodi di ottimizzazione del controllo numerico su una modelli troncati. Italian Science Review. 2014; 4(13). PP. 686-689. Available at URL: http://www.ias-
j ournal.org/archive/2014/april/Zhmud.pdf_and
http ://www. ias-j ournal .org/archives/april-2014
Вадим Аркадьевич Жмудь -
заведующий кафедрой Автоматики НГТУ, профессор, доктор технических наук. Область научных интересов и компетенций - теория
автоматического управления,
электроника, лазерные системы, оптимизация, измерительная техника. E-mail: oao_nips@bk.ru
Владимир Михайлович
Семибаламут - директор ФГБУН «Геофизическая служба СО РАН». Область научных интересов и компетенций: автоматизация научного эксперимента, лазерная физика, геофизика, программное обеспечение, оптимизация.
E-mail: wladim28@yandex.ru
Lubomir Dimitrov Vankov - Dean of engineering faculty of the Technical University of Sofia, Doctor, Professor, Bulgaria, the author of over 200 scientific articles. Research interests: mechatronics, automation, microelectronic modules and their application (MEMS). E-mail: lubomir_dimitrov@tu-sofia.bg
Robust Design of Resource-Saving DualChannel Regulator for an Object with a Single Output
V.A. ZHMUD, V.M. SEMIBALAMUT, L.V. DIMITROV
Abstract. Control of objects in the loop with negative feedback is widely used because it allows achieving high accuracy in the presence of disturbances. Robust design can be called design of such regulator which provides the required control
accuracy, that is small enough dynamic and static errors, even in the case where the actual parameters of the model of the object and (or) implemented coefficients of the regulator deviate from those numerical values which were used in design and (or) analysis system. Robust control properties can be provided by a sufficient safety factor, i.e. if all the errors of the coefficients of the object and regulator will change in the worst direction, even in this case, the control should match the desired quality. Resource-saving regulator is regulator that provided the solution of the control task and provides savings (minimum consumption) of the resource that is necessary for the changing of the state of the object. Such resource can be, for example, fuel. An indicator of this resource is the integral of the square of the control signal (impact). This paper explores a method of solving the problem, when two different types of actions can affect to the object, and thus the value of the resource in each exposure is not the same. The proposed method and the features of its use are investigated by the example.
Key words: Control, feedback, automation, regulator, quality control, precision
REFERENCES
[1] A phase-locked loop system for the difference frequency of two lasers. Barmasov S.V., Zhmud' V.A. Instruments and Experimental Techniques. 2000. L 43. № 3. P. 381-383.
[2] An electronic system for stabilizing of the frequency of the He-Ne laser to the methane absorption lines. Zhmud V.A., Barmasov S.V., Gitel'son V.D. Instruments and Experimental Techniques. 1999. L 42. № 4. P. 551-557.
[3] V. A. Zhmud. The Use of the Feedback Control Systems in Laser Physics Researching Experiments. // Proceedings of RFBR and DST Sponsored "The 2-nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics", 10-13 September, 2011, Additional volume, pp.40-43.
[4] Zhmud V.A. Simulation study and optimization of locked systems of automatic control. Monograph. Novosibirsk, Publishing House of the NSTU, 2012. -335 p.
[5] Vasiliev V.A., Voevoda A.A., Zhmud V.A., Hassuoneh V.A. Digital controls: setting of target function, the choice of integration method, hardware implementation. Collection of scientific works NSTU, 2006. N 4 (46). p. 3-10.
[6] Zhmud V.A., Zavorin A.N. Method of designing energy-efficient regulators for complex objects with partially unknown model. Proc.: The control and modeling in complex systems. Proceedings of the XVI International Conference June 30-July 3, 2014, Samara. Russia. p. 557-567.
[7] The modeling tests of the new PID-regulators structures. Voevoda, A.A., Zhmud, V.A., Ishimtsev, R.Y., Semibalamut, V.M. 2009. Proceedings of the IASTED International Conference on Applied Simulation and Modelling, ASM 2009. P.165 - 168.
[8] Modern key techologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012. Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.
[9] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program vissim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.
[10] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8th International Forum on Strategic Technology 2013 (IF0ST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www. must. edu.mn/IFOS T2013/
[11] V. Zhmud, A. Polishchuk, A. Voevoda, R. V. Rao. The Tuning of the PID-Regulator for Automatic Control System of Thermo Energetic Equipment // Proceedings of the Fifth International Conference on Advances in Mechanical Engineering (ICAME-2011), June 06-08, 2011. Surat - 395 007, Gujarat, India. pp. 254-263.
[12] Zhmud V.A., Zavorin A.N. Metodi di ottimizzazione del controllo numerico su una modelli troncati. Italian Science Review. 2014; 4(13). PP. 686689. Available at URL: http://www.ias-
j ournal. org/archive/2014/april/Zhmud.pdf_and
http://www.ias-journal.org/archives/april-2014
