Научная статья на тему 'Оптимизация портфеля ценных бумаг при запрещенной операции «Короткая продажа»'

Оптимизация портфеля ценных бумаг при запрещенной операции «Короткая продажа» Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
617
51
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ / ОПТИМИЗАЦИЯ / НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ДОЛИ АКЦИЙ / АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ / ГРАНИЦА ЭФФЕКТИВНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ / БЕЗРИСКОВЫЙ АКТИВ / Т-ПОРТФЕЛЬ / SECURITIES PORTFOLIO / OPTIMIZATION / NONNEGATIVE STAKE / ANALYTICAL SOLUTION / FRONTIER EFFICIENT PORTFOLIOS / RISK-FREE ASSET / TBAG

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Козлова С. И., Константинова Н. Е.

Рассмотрена задача оптимизации структуры портфеля ценных бумаг при невозможности «коротких продаж». В статье найдено аналитическое решение возникающей при этом задачи квадратичного программирования с учётом неотрицательности переменных для портфеля, содержащего три акции и безрисковый актив. Получены в явном виде: уравнение границы эффективных портфелей, состав Т-портфеля для заданной ставки безрискового актива. Приводятся результаты расчетов эффективных портфелей и их характеристик

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Optimization of securities portfolio in prohibited transactions "short sale"

The problem of optimizing the structure of the securities portfolio at the impossibility of "short sales." Article analytic solution arises when this quadratic programming problem considering the non-negativity of variables for a portfolio containing three stocks and risk-free asset. Obtained in explicit form equation of the boundary of efficient portfolios, the composition of Tbet for a given portfolio risk-free asset. The results of calculations of efficient portfolios and their characteristics.

Текст научной работы на тему «Оптимизация портфеля ценных бумаг при запрещенной операции «Короткая продажа»»

ях с заказчиками, в то же время цены на их услуги достаточно высоки. 3. Средние и малые компании. Они наиболее оперативны в решении конкретных проблем клиентов, предлагают услуги по доступным ценам, однако их качество не всегда соответствует цене, отсутствует также и страхование предоставляемых услуг.

Рисунок 4. Структура рынка предоставления автотранспортных услуг г. Москвы

4. Индивидуальные предприниматели или частные перевозчики. Они предлагают услуги за достаточно доступные цены, но имеет место полное отсутствие сервиса и безопасности. Как правило, автотранспорт и водительские кадры из других регионов России и стран СНГ. Перевозчики полностью или частично работают за наличный расчет, очень часто не платят налоги в бюджет.

Выводы

Расходы владельцев автопарков постоянно растут. Повышение стоимости топлива, закрытие МКАД для грузового транспорта, перспектива введения обязательной зимней резины для грузовиков - проблемы у грузоперевозчиков растут как снежный ком, что, очевидно, скажется на темпе роста автомобильных перевозок.

Литература

1. Семин П.А., Муравкина Е.В. Некоторые аспекты развития рынка автотранспортных услуг СНГ: контекст перевозчика // Автотранспортное предприятие. 2014. № 4. С. 21-24.

2. Транспортная стратегия РФ на период до 2030 года: распоряжение Правительства РФ от 22.11.2008 № 1734-р. Электронный ресурс. http://www.mintrans.ru

3. Электронный ресурс http://rbcdaily.ru/

4. Электронный ресурс: http://rbcdaily.ru/addition/article/562949986361902

5. Электронный ресурс: http://www.gks.ru/

6. Электронный ресурс: http://moscow.gks.ru/

Оптимизация портфеля ценных бумаг при запрещенной операции «короткая продажа»

к.э.н. проф. Козлова С.И., Константинова Н.Е.

Университет машиностроения 8 (495) 686-49-24, svtln1941@rambler.ru

Аннотация. Рассмотрена задача оптимизации структуры портфеля ценных бумаг при невозможности «коротких продаж». В статье найдено аналитическое решение возникающей при этом задачи квадратичного программирования с учётом неотрицательности переменных для портфеля, содержащего три акции и безрисковый актив. Получены в явном виде уравнение границы эффективных портфелей, состав Т-портфеля для заданной ставки безрискового актива. Приводятся результаты расчетов эффективных портфелей и их характеристик.

Ключевые слова: портфель ценных бумаг; оптимизация; неотрицательные доли акций; аналитическое решение; граница эффективных портфелей; безрисковый актив; Т-портфель.

Рассмотрим портфель ценных бумаг, в который предполагается включить три акции с ожидаемыми доходностями ^о < Ц < Ц2 и рисками оо , о1 , о2. Задача минимизации риска портфеля ор при заданной ожидаемой доходности портфеля цр будет иметь следующий вид [1]:

SP = S1X! + X2 + X0 + 2S12X1X2 + 2S10X1X0 + 2S20X2X0 ® ^ (1)

при ограничениях:

m0x0 + m1x1 + m2x2 = mp, x0 + x + x2 = 1, (2)

где: x0, x1, x2 - доли вложений капитала инвестора в акции; о12, о01, о02 - ковариации между доходностями акций.

Если «короткие продажи» акций запрещены, то необходимо добавить ещё условие неотрицательности долей:

х0, хь х2 > 0. (3)

В случае когда «короткие продажи» не запрещены, т.е. доли акций в портфеле могут принимать и отрицательные значения, эта задача имеет аналитическое решение [ 1] для портфеля с произвольным числом акций. При ограничениях (3) Г. Марковицем предложен [2] графический метод решения этой задачи для трёх акций (см. также [3]). В общем случае большого числа акций в портфеле получающаяся задача квадратичного программирования может быть решена известными численными методами [4]. Получим аналитическое решение задачи (1)-(3).

1. Решение задачи оптимизации портфеля без ограничения на неотрицательность долей акций

Сначала решим задачу выполнения (1) и (2) без условия неотрицательности (3). Из ограничений (2) находим:

X = -a + Ъх(1 -x0), x2 = a-b2(1 -x0), a = !p b1 b2 = miZ}mL (4)

Так как ц0 < < ц2, то a > 0, b1 > 0, b2 > 0.

Подставим эти представления хь х2 через х0 в формулу (1), для дисперсии ор2 и для определения безусловного минимума дисперсии ор2 по х0 приравняем её производную нулю:

(1 -X)2(-s2b12 -s\bl -s^ + 2g12(b1 + Ъг) + 2ашЪ1 -2s^b^ +

+2a(a2b1 + s2b2 - s12 (b1 + b2) - s10 + s20) + 2(s2 - s10b1 + s20b2 = 0 . Из этого уравнения получаем:

1-x* = aK + K0, (5)

K = (s2 -S12)b1 +(s2 -S12)b2 -S10 +S20 K =. s2 -S10b1 +S20b2

Ь1 + ^А + " 2°12ЬА " 2а10Ь1 + 2а20Ь2 Ь1 + ^А + " 2^12Ь1Ь2 " 2СТ10Ь1 + 2^20Ь2

Подставляя (5) в (4), находим оптимальный состав портфеля при разрешенных «коротких продажах»:

х* = 1 - аК - К0, х* = а(Ь1К -1) + Ь1К0, х* = а(1 - Ь2К) - Ь2К0. (6)

Из этих соотношений следует, что доли акций оптимальных портфелей являются линейными функциями от - ожидаемой доходности портфеля.

Дисперсия доходности портфеля (1) при значениях долей акций (6) определяется выражением:

а*° = С0 + 2аС1 + аС2, (7)

где:

О =ст2(1 -К0)2 +а12К02Ь12 +а2К2Ь22 + 2^(1-К0\*0А -^А)-, О =-а2(1 - Кэ)К + а2 ЗД^К-1)-а* К0Ь2(1 - Ь2 К) + ^(1-2К>ХЬК - К0) + +а02(1 -2К0)(К0 -Ь2К) + ацК0(Ь1 + Ь2 -2ЬДК), С2 = а0К2 +а12(Ь1К-1)2 +ст2(1-Ь2К)2 -2а01К(Ь1К-1)-2^(1 -Ь2К) +

(8)

22 +2ац(Ь1К -1)(1 - Ь2 К).

Величины С0, С1, С2 не зависят от ожидаемой доходности портфеля цр и определяются характеристиками входящих в портфель акций. Зависимость дисперсии портфеля от цр осуществляется через величину а.

Портфель, который имеет минимальный риск для данной его доходности, называется эффективным портфелем. Эффективный портфель имеет также максимальную доходность при заданном риске портфеля. В прямоугольных координатах (о, ц) эффективные портфели образуют кривую, которая называется границей (линией) эффективных портфелей.

2. Решение задачи при невозможности «коротких продаж»

Рассмотрим задачу определения оптимального портфеля из трёх акций для условий, когда «короткие продажи» невозможны. В математической постановке задачи необходимо учитывать условие неотрицательности переменных (3). Выразим переменные х1 и х2, как и выше, через х0 по формулам (4), тогда дисперсия портфеля (1) будет функцией только от одной переменной х0. Необходимо найти минимум этой функции, но переменная х0 уже не может принимать любые значения - следует учесть условия неотрицательности (3).

Из представления х1; х2 через х0 (4) следует, что все ограничения будут выполнены, если х0 удовлетворит неравенствам:

0 < 1 - х0 < 1, х = -а + ^(1 - х0) > 0, х2 = а - Ь2(1 - х0) > 0 . (9)

Учитывая, что а > 0, Ь1 > 0, Ь2 > 0, получаем из второго и третьего неравенств (9), соответственно:

а л а

1 -х0 >Т, 1 -<Т Ь1 Ь2

а

т в -т

Ь1 ^0

а

т1 - т0

или

.! а т2 х < 1--=-

т г

ь

х > 1--= —

т г

= н,

Л ^2 Ь2 ^0

Согласно принятому выше условию ц0 < < ц2, имеем:

н2 > 0, н2 > н1 при т2 > тр > т0; Н > 0 при тр < Н < 0 при тр > Ма, поэтому все три неравенства (10) можно записать следующим образом:

т8х(Н1,0) < х0 < Н2.

(10)

(11)

Таким образом, задача сведена к нахождению минимума функции ар (х0) на отрезке

(11) значений х0. При любых допустимых значениях цр существуют точки х0, удовлетворяющие неравенству (11). Найдем безусловный минимум этой функции при заданном значении

доходности портфеля цр (или а) по формуле (6): х* = 1 -аК -К0 . Если величина х^ удовлетворяет неравенству (11), то она является, очевидно, и оптимальным решением задачи с ограничением (3). Пусть х* < тях(Н1,0) , т.е. не удовлетворяет условию (11). Так как ар(х0)

- выпуклая функция на всей действительной оси х0, то она будет возрастать при увеличении х0 от своего минимального значения при х0 = х0 . Это возрастание сохранится и на всем отрезке (11) при увеличении х0 от max(H1,0), следовательно, минимальное значение функции ар (х0) будет достигаться на левом конце отрезка (11) при х0 = max(H1,0). Исследуя анало-

Ь

2

гичным образом случай, когда х* > Н2, находим, что минимальное значение функции °2р (х0) будет достигаться на правом конце отрезка (11) при х0 =Н2.

' р \Л0^

Обозначим через х°, х^, оптимальный состав портфеля при соблюдении условий неотрицательности переменных (3). Тогда:

х£ = 1 - аК - К0, если тах(Н1,0) < х* < Н2; хО = тах(Н1,0) , если

* ^ т и т -тр „ т -тр 0 „ * и (12)

х0 < тах(Н1,0) ; Н2 =--, Н1 =--, х0 = Н2,, если х0 > Н2.

Оптимальные значения остальных двух переменных можно найти по формулам (4):

х° = -а + Ь1(1 - х° ), х2О = а - Ь2(1 - х° ). (13)

Дисперсия и риск оптимального портфеля вычисляются по формулам:

о2 2 о2 , 2 о2 , 2 о2 , о о о , ~ о о , ~ о о о i о2 /1

ар +а2х2 +а0х0 + 2а12х1х2 + 2^10х1х0 + 2а20х2х0, ^р = ^Р . (14)

Таким образом, задача определения долей акций в эффективных портфелях решена в аналитическом виде для трёх акций с запрещенной операцией «короткая продажа».

3. Уравнение границы эффективных портфелей

Из условий неотрицательности переменных и ограничений (2) следует, что доходность портфеля цр может принимать значения в диапазоне от ц0 до ц2, и тогда:

0 < а < Ь1. (15)

Заметим также, что для неотрицательных долей акций:

Х0 = 1 при Цр = Ц0 , (а = 0); Х2 = 1 при Цр = Ц2, (а = ЬД (16)

Разобьём промежуток (15) на три участка: [0, а"], [а", а+], [а+, Ь{\. Точки а-, а+ выберем так, чтобы на отрезке [а", а] оптимальное решение (6) при разрешенной операции «короткая продажа» удовлетворяло условиям неотрицательности. В этих точках, очевидно, должна обращаться в 0 одна из переменных оптимального решения (6), а именно: в точке а~ - это х2 * + * * _ *

или Х1 , а в точке а - Х1 или Х0 . В точке а переменная Х0 не может равняться нулю, т.к. в этом случае х0 = 0 на отрезке [0, а"\, что противоречит (16). Точно так же переменная х2 не может равняться нулю в точке а+. Определим значения а(цр), при которых обращаются в 0 компоненты оптимального решения (6) задачи без ограничения (3):

* 1 - КА

х* = 0: 0 = 1 - аК - К : ап =■

10 - V • V - 1 ^0 • "0 К

х* = 0 : 0 = -а(1 -Ь1 К) + Ь1К0, а1 =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ь К 0 .

1 - Ь1К '

Ь К

х* = 0: 0 = а(1 - Ь2К) - Ь2К0, а2 = 2 0

1 - Ь0К

2

Найдём значения а~ и а+. По формулам (5) и (4) при а = 0 (цр = ц0^ вычислим:

1 - х0* = k0, х* = ь1(1 - x00), х* =-ь2(1 - х0*). Если 1 - х* < 0, то х* < 0, х* > 0, поэтому а~ = а\ - отрицательное значение Х1 заменится на 0 . Если 1 - х* > 0, то х* > 0, х* < 0, поэтому а~ = а2 - отрицательное значение х2*

заменится на 0. Значение а" определено.

Для определения а+ вычислим оптимальное решение по формулам (5) и (4) при а = Ь1 (Цр = Ц2):

1 - х* = Ь1К + K0, х* =-Ь1 + Ь1(1 - х0) х* = Ь1 - Ь2(1 - х*) = 1 + Ь2х*.

* * * + *

Если 1 - х0 < 1, то х1 < 0, х* > 0, поэтому а = а\ - отрицательное значение Х1 заме-

нится на 0. Если 1 - х^ > 1, то х* > 0, х* < 0, поэтому а+

0 ^ ^^^^ ^ а0 - отрицательное значение х0

заменится на 0. Значение а+ определено.

Перейдём к построению границы эффективных портфелей. В принципе эта граница нам уже известна, и для любого значения ожидаемой доходности портфеля можно вычислить минимальный риск ор. Но представляет интерес явная зависимость риска от доходности и доходности от риска для эффективных портфелей.

Запишем формулу (14) для дисперсии оптимального портфеля при запрете операции «короткая продажа» в матричном виде:

а,

.О 2

= (хО )т ЕхО, хО =

хО ~ х0 "о0 С01 С02

хО , Е = С10 а2 С12 , а01 а10, а02 а20, а12 а21 . (17)

хО С20 С21 а2

Из соотношений (10), (11) следует, что доли акций в оптимальных портфелях являются кусочно-линейными функциями от а [5] , поэтому можно представить хО = аё + к , где векторы ё, к не зависят от а на участках [0,а~ ], [а",а + ], [а+, Ь1]. Тогда:

Обозначим:

а = (аё + к)тЕ(аё + к) = а2ётЕё + а(ктЕё + ётЕк) + ктЕк .

1

С0 = кт Ек, С1 = ^(кт Её + ёт Ек) = кт Её = ёт Ек , С2 = ёт Её ;

(18)

в результате получаем уравнение границы эффективных портфелей в координатах (а, о):

сг2р = С2а2 + 2С1а + С0 , или ор = ^С2а2 + 2С1а + С0 , (19)

где: С0, С], С2 - кусочно-постоянные величины.

Найдем явные выражения векторов ё, к и постоянных С0, С], С2 на участках

[0, а- ], [а-, а+], [а+, Ь1]. На отрезке [а-,а + ] условия неотрицательности х0, х]г х2 не учитываются и оптимальное решение имеет вид (6); постоянные С0, С], С2 вычисляются по формулам (8).

Пусть в точке а~ обращается в 0 переменная х2 , т.е. а~ = а2, тогда из (12), (13) следует:

а < а

< = 1 -

а

Ь7

хО =

а

хО = 0.

(20)

'2 "2

Используя это решение в соотношениях (18), определяем соответствующие постоянные

С0 = к Ек = с0, С1 = ё Ек =

с01 -а0

"т^" с2 - 2с01 +а2

С = ё Её =

Ь2

(21)

2 2 Если в точке а обращается в ноль координата х0 , т.е. а = а0, то при а > а будем иметь ((12), (13)):

а > а + : хО = 0; хО =-а + Ь1; хО = а - Ь2, вследствие чего по формулам (18) вычисляем постоянные в этом случае:

(22)

с0 = ктек = ь! (^а2 - ь2с12) - ь2 (ь1с12 - ь2с22 ) = с2ь12 - 2с12ь1ь2 + с22ь22 С1 = 1тЕк = -Ь1с12 + Ь2с12 + Ь1с12 -Ь2с! = Ь1 (с12 -с12) + Ь2-,

С2 = ётЕё = о"2 -2с12 + с2.

* /- - + Переменная х1 может обращаться в 0 или в точке а- или в точке а .

И при а < а- = а1 или при а > а+ = а1 согласно (12), (13) получим:

(23)

а^ : хо — 1 ; хл — 0; хо — .

1 0 т71 72т

Ь1 Ь1

(24)

Тогда:

*

2 2 ~ 2 С0 = РЕИ = а02, С1 = йтЕИ = ^02 , С2 = ётЫ = а - 2°202 + а . (25)

Ь1

Таким образом, постоянные С0, С1, С2 определены для любого значения ожидаемой доходности портфеля цр из промежутка [ц0, ц2].

Уравнение (19) представляет собой зависимость между дисперсией (риском) и доходностью эффективных портфелей, т.е. является уравнением границы эффективных портфелей в координатах «доходность-риск». Представляет интерес обратная зависимость максимальной доходности от риска. Из уравнения (19) находим:

-2С +У< -С2(Ср-а2)

а = ■

с2

Переходя от величины а к доходности цр, получим уравнение границы эффективных портфелей в координатах (о, ц):

-2С1 +4< -С2(С0-а2) (2б)

т р = т + (т--—с-. ()

С2

4. Т-портфель

Кроме рисковых активов в портфель может быть включен и безрисковый актив [5], [2]. Безрисковым может считаться актив, доход по которому за данный период является фиксированным. Это означает, что в момент покупки данного актива в начале рассматриваемого периода владения инвестору точно известна его стоимость в конце этого периода (например, вложения на банковский счет, покупка государственных краткосрочных ценных бумаг). Поскольку доходность такого актива за период владения, определяемая простой ставкой ц/ , является фиксированной, то риск актива о/, определяемый как среднеквадратическое отклонение доходности, будет равен нулю.

Пусть инвестор формирует свой портфель как комбинацию из безрискового актива и заданного портфеля активов, включающего только рисковые ценные бумаги. Для краткости будем называть подобные портфели комбинированными портфелями.

Обозначим: ц/ - ставка доходности безрискового актива за один период владения, или безрисковая ставка; х/ - доля безрисковых вложений (0<х/ < 1) и соответственно 1 -х/ -доля рисковых вложений инвестора; цг, оД ог - характеристики рисковой части портфеля инвестора, относящиеся к одному периоду владения. Величина 1 -х/ характеризует отношение инвестора к риску: чем больше значение 1 - х /, тем больше доля рисковых вложений, а значит, больше склонность инвестора к риску.

Рассмотрим комбинированный портфель ценных бумаг, в который предполагается включить три акции с ожидаемыми доходностями ц0 < ц1 < ц2 и рисками о0 , о1 , о2 и безрисковый актив с доходностью Ц/. Задача минимизации риска портфеля ор при заданной ожидаемой доходности портфеля цр будет иметь следующий вид:

2 2 2 2 2 2 2 ар = а1 х1 + а2 х2 + а0 х0 + 2а12х1 х2 + 2а10 х1 х0 + 2а20 х2х0 ® шт,

при ограничениях:

т0х0 + т1 х1 + х2 + т/х/ = тр х0 + + х2 + х/ = 1, (29)

где: х0, хь х2 - доли акций в портфеле, х/ - доля безрискового актива; о12, о01, о02 - ковариа-ции между доходностями акций.

Если «короткие продажи» акций запрещены, то необходимо добавить ещё условие неотрицательности долей:

х0, х1, х2, х/> 0 . (30)

Решение этой задачи без соблюдения условий неотрицательности переменных было получено Р. Тобиным [6]. Показано [1], что границей эффективных комбинированных порт-

фелей с безрисковой ставкой ц/ в системе координат (а, ц) является отрезок прямой, касательной к границе эффективных рисковых портфелей в точке Т(от, цт) и проходящей через точку (0, ц/) на оси ц. Уравнение этой прямой можно записать в виде:

М р - — / _ Мт - — /

ар ат

(31)

Эффективный рисковый портфель с параметрами (оТ,^Т) называется Г-портфелем. Уравнение границы эффективных рисковых портфелей в координатах (а,а) имеет вид (19).

Обозначим а/ = (ц/ - ц0)/(ц2 - ц1). Из точки на оси абсцисс (а/,0) построим касательную к линии а = аг(а); обозначим координаты точки касания (аТ,оТ). Имеем:

аг (аГ) = иаг (аГ)

иа

(32)

Используя уравнение (19), находим:

2аг (а) ^ОМ = 2с2а + 2С, ^ОМ = С2а + С . ёа ёа аг (а)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из последнего уравнения и соотношения (32) получаем:

С0 + С1а /

аГ =--- . (33)

С1 + С 2 а/

Таким образом, характеристики (от,цт) Г-портфеля определены и тем самым определено уравнение (31) границы эффективных комбинированных портфелей.

Пусть задана ожидаемая доходность цр комбинированного портфеля. Из уравнения (31) находим его риск ар.

:ЛЛЛЛ

Обозначим ху, х0 , х1 , х2 - оптимальные доли безрискового актива и акций в эффективном комбинированном портфеле с характеристиками (цр, ор). Известно [5], что доли акций в рисковой части эффективного комбинированного портфеля находятся в таких же от-

ЛТ7 Л Т ^ Т ^ Т

ношениях, что и в Г-портфеле, т.е. х0 = Ых0 , х1 = , х2

, где N - постоянная.

Подставляя эти соотношения в ограничения (29), получаем:

ЛГ 1 л Мр -М/

N = 1 - х / =-р-т- (34)

7 Мт-М/

и находим оптимальный состав комбинированного портфеля:

Л МТ м р л Т л \ Т л \ Т

хГ =---, х0 = (1 - х/)х0 , х1 = (1 - х/)х^ , х2 = (1 - х^)х2 . (35)

—Т

Рассмотрим пример применения разработанной методики для расчета оптимального комбинированного портфеля и его характеристик.

Пример. Известны характеристики акций: о0 = 0,025; о1 = 0,05; о2 = 0,075; о01 = 0,000625; а02 = 0; 012 = 0,003; ц0 = 0,05; ц = 0,15; ц = 0,2.

Вычисляем: Ь1 = 3, Ь2 = 2 (формулы (4)); К0 = -0,21277, К = 0,531915 (5); находим оптимальные доли акций в зависимости от параметра а , когда возможны «короткие продажи»

1 - х* = 0,531915а - 0,21277, х* = 0,595745а - 0,6383, х* =-0,06383а + 0,425532 . Перейдем в этих уравнениях к ожидаемой доходности портфеля цр:

х0* = -10,6383-р +1,744681, х* = 11,91489-р -1,23404, х* = -1,2766-р + 0,489362 . Графики этих функций представлены на рисунке 1.

При невозможности «коротких продаж» оптимальные решения для различных значений цр вычислены по формулам (12), (13) и представлены на рисунке 2. Определены значения величин: а- = 1,071429 ((цр = 0,103571), а+ = 2,28 (цр+ = 0,164). При 0,05 < цр < 0,103571

оптимальное решение вычисляется по формулам (20), при 0,103571 < цр < 0,164 - по формулам (6) и при 0,164 < цр < 0,2 - по формулам (24).

Оптимальное решение

Рисунок 1. Зависимости оптимальных долей акций от ожидаемой доходности портфеля

Цр при возможности «коротких продаж»

Доли акций в портфеле

1,2 1

0,8 о 0,6 0,4 0,2 0

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2

Доходность

Рисунок 2. Зависимости оптимальных долей акций от ожидаемой доходности портфеля

при невозможности «коротких продаж»

Граница эффективных портфелей

Риск

Рисунок 3. Границы эффективных портфелей

Получены уравнения границ эффективных портфелей, графики которых представлены

Серия «Экономика и управление» на рисунке 3 для портфелей с разрешенной операцией «короткая продажа» (Ряд 2) и без неё (х > 0).

Выводы

Рассмотрен комбинированный портфель с доходностью безрискового актива = 0,053212 (af = 0,06424). Находим ожидаемую доходность Г-портфеля: аТ = 2,424; (цГ =

0.1712., вычисляем его риск оГ = 0,057498 и состав xI = 0, x^ = 0,576, x?, = 0,424. Для заданной доходности комбинированного портфеля цр= 0,093212 из уравнения (34) получаем ор = 0,019453 и 1 — Xj = 0,339018. По формулам (35) вычисляем оптимальный состав комбинированного портфеля: xf = 0,660982; xf = 0; xf = 0,195274; xj = 0,143744.

Этот же результат был получен численным методом с помощью надстройки «Поиск решения» программы Microsoft Excel [7].

Литература

1. Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учебное пособие. - М.: Дело, 2003. - 320 с.

2. Markovitz H. Portfolio selection. // The Journal of Finance, 1952, vol. 7, no 1, p. 77-91.

3. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг: Учебное пособие, 2-ое изд. - М.: Научно-техническое общество им. академика С.И. Вавилова, 2008. - 440 с.

4. Козлова С.И. Нелинейное программирование: Учебное пособие. - М.: Московский экономико-статистический институт, 1982. - 78 с.

5. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: ИНФРА-М, 2004. - 182 с.

6. Tobin J. A proposal for international monetary reform. Eastern Econ. J., 1978, vol. 4, no 3, p. 153-159.

7. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2007. - 320 с.

Государственные организации Российской Федерации и проблема их

экономической безопасности

к.э.н. доц. Ульянова Н. С., Дробот А.Н. Университет машиностроения

Аннотация. В статье рассматривается угроза экономической безопасности государственных организаций Российской Федерации от недобросовестной конкуренции, возможные потери при несвоевременном реагировании на угрозу экономической безопасности. В кратком изложении исследуется состояние рынка военно-технического сотрудничества как одного из важных сфер деятельности Российской Федерации, применение механизмов на пресечение и предупреждение угроз экономической безопасности государственных организаций Российской Федерации.

Ключевые слова: экономическая безопасность, государственные организации, Всемирная торговая организация, недобросовестная конкуренция, военно-техническое сотрудничество, конкурентоспособность, финансовый и торговый рынок.

В нынешнее время наша страна преодолевает трудный рубеж. Сложно конкурировать с зарубежными странами по производству и качеству товаров и услуг. Одним из возможных препятствий в организации производства на предприятии является угроза экономической

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.