Оптимальная структура инвестиционного портфеля при добавлении безрискового актива: модель в векторной форме Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 336

оптимальная структура инвестиционного портфеля при добавлении безрискового актива: модель в векторной форме*

н. а. клитина,

ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mail: klitinanina@yandex. ru Ростовский государственный университет «РИНХ»

В статье автором систематизированы основные теоретические предпосылки формирования инвестиционного портфеля с добавлением безрискового актива, представлен анализ этапов выбора объектов инвестиций с точки зрения портфельного инвестора, рассмотрена методика формирования и управления тангенциальным портфелем ценных бумаг.

Ключевые слова: инвестиции, безрисковый актив, инвестиционный портфель, формирование, управление, оптимизация.

В настоящее время в России активно развивается рынок ценных бумаг: появляются новые фондовые рынки, выставляются на торги новые ценные бумаги, с каждым годом увеличивается объем операций с ними. В развивающейся сфере торговли инвестору достаточно сложно составить необходимый ему набор финансовых активов. Решение этой задачи дает теория оптимального портфеля, с помощью которой можно составлять максимально диверсифицированные портфели -такие, риск которых минимален по сравнению со всеми другими возможными портфелями из активов тех же компаний.

В качестве меры риска рассматривается стандартное отклонение, характеризующее вероятность отклонения доходности портфеля от ожидаемого

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома ФИНАНСЫ и КРЕДИТ при Ростовском государственном университете «РИНХ».

значения. Любой портфель можно охарактеризовать двумя параметрами - ожидаемой доходностью и риском. Одним из способов применения этой теории являются построение моделей математической оптимизации и их решение, которое является структурой оптимального портфеля. Под оптимальностью понимается получение заранее определенного уровня доходности с минимально возможным при этой финансовой операции уровнем риска.

На выбор оптимального портфеля влияет и возможность покупки безрискового актива. Кроме того, рассматривается эффект от добавления безрискового актива к набору рисковых активов.

Так как при этом подходе рассматриваются инвестиции на один инвестиционный период, то доход по безрисковому активу является заранее определенной известной величиной. Если инвестор покупает безрисковый актив в начале инвестиционного периода, то он точно знает, какова будет его стоимость в конце периода. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то стандартное отклонение для безрискового актива равно нулю. Это означает, что ковариация между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.

Так как безрисковый актив имеет, по определению, известную доходность, то этот тип актива должен быть некой ценной бумагой, обеспечивающей фиксированный доход и имеющей нулевую вероятность неуплаты. Но поскольку все корпора-

тивные ценные бумаги имеют некоторую вероятность неуплаты, то безрисковый актив не может быть выпущен корпорацией. Значит, безрисковыми активами могут быть только ценные бумаги, выпущенные государством - государственные облигации. Причем обязательства чужого государства в иностранной для него валюте не будут в полном смысле безрисковыми, так как подразумевается, что в крайнем случае государство имеет возможность напечатать средства для расплаты по своим обязательствам. Таким образом, для российских инвесторов по-настоящему безрисковыми активами могут быть только государственные бумаги РФ. Однако для того, чтобы актив был безрисковым (в случае облигаций), срок погашения облигации должен совпадать с периодом инвестирования.

Рассмотрим построение эффективного фронта для оптимального портфеля, состоящего из любого количества рисковых активов при добавлении безрискового актива. Для нахождения этого портфеля воспользуемся основными формулами ожидаемой доходности и показателя риска не только в стандартной форме, но и преобразовав поставленную задачу оптимизации через векторную форму математической модели.

Для начала сформируем оптимальный портфель из двух рисковых активов, добавим безрисковый актив и проанализируем портфель, полученный в точке их касания.

Пусть рисковые активы А и В имеют известные ожидаемые доходности ЕА и ЕВ, риски оА, оВ и заданный коэффициент корреляции рАв, доходность безрискового актива Яр

Ожидаемая доходность Ер и показатель риска ар портфеля сформированного из рисковых активов А и В имеют вид

ЕЕ р — .х1 ЕЕ а + ^х 2 ЕЕ~в, *х1 I ^с 2 — 1,

с р — V х,2о2а + 2Р АВХХХ20 Аав + х22сВ . (1) Обозначив хх = х, х2 = 1 - х, из формулы (1) получим

Ер — хЕА + (1 - х)ЕВ, х е Я,

с р —

л/х2

сА + 2р а

tgQ —

Е - Я

^р лр с

хЕА + (1 - х) Ев - ЯР

->тах.

у]х 2сА + 2р авх(1 - х)с аСв + (1 - х)2 с2Е

Используя необходимое условие безусловного экстремума, получаем

ах

= {(Еа - Ев V х2^А + 2рАвх(1 - х)аа<эв + (1" х)

2 2 °в

" [хЕА + (1 " х)Ев - ] [х(°А - 2РАв°А°В + °в ) + РАв°А°В - °в ]

[ФА - 2Рав°А°в + °в ) + РАВ®А^в - °в ] /

/у1 х2а2А + 2р Авх(1 - х)а а<эв + (1" х)2 с2в}/ /[ х2а2А + 2р ав х(1 - х)а а<э в + (1 - х)2 о2 ] = 0 или

(Еа - Ев)[х2сА + 2равх(1 - х)саСв + + (1 - х)2св] - [хЕа + (1 - х)Ев - ЯР ]

[х(сА - 2РАВСАСв + св) + РАВсАСв - СВ] — Упрощая это выражение, находим долю средств х, вложенных в актив А

РАВСАСВ (ЯР - ЕВ ) + СВ (ЕА - ЯР ) . СА (ЕВ - ЯР ) + РАВСАСВ (2ЯР - ЕА - ЕВ ) + +сВ (еа - яр ) Подставляя полученное равенство в формулу (2) можно найти координаты оптимального касательного портфеля (ско, Еко). Тогда уравнение эффективного фронта примет вид Е - Я Е - Я

Ск.о ЛР _ Л ЛР

х—

Преобразуем данное выражение

с(Еко - Яр) — Ск.о(Е - Яр), Ск.оЕ — сЕк.о -сЯР + Ск.оЯР ,

т. е.

Е — Я +-

Е,, - Яс

-с.

с

В случае некоррелирующих активов А и В р = 0, и тогда веса оптимального портфеля имеют более простой вид:

,АВх(1 - х)саСв + (1 - х) Св. (2) Оптимальный портфель для рисковых активов А и В и безрискового актива ЯР удовлетворяет условию максимальности углового коэффициента наклона прямой, соединяющей точки безрискового актива (0, Яр) и допустимого портфеля (ор, Ер), описываемого уравнениями (2):

х—

сВ (Еа - Яр )

1 сА (Ев - Яр) + сВ (Еа - Яр)

сА (Ев - Яр)

2 сА (Ев - Яр) + сВ (Еа - Яр) Рассмотрим данную теорию на примере сформированного инвестиционного портфеля, состоящего из

сс

к.о

Таблица 1

Показатели норм доходностей и риска двух акций [3]

Банк Средняя норма доходности Дисперсия Показатель риска

ОАО «Пивоваренная компания «Балтика» 0,000542209 0,000710702 0,026659003

ОАО «Банк Москвы» 0,000511431 0,000679955 0,026075953

двух акций (ОАО «Пивоваренная компания «Балтика» и ОАО «Банк Москвы»), при добавлении безрискового актива за некоторый период времени (табл. 1).

В роли безрискового актива можно выбрать государственную федеральную облигацию с доходностью Яр = 0,0005. Подставим в формулы (1) инвестиционного портфеля значения ожидаемой доходности и риска рассматриваемых акций.

Ер = х20,000542209 + х2 0,000511431, х1 + х2 = 1,

с р =

X2 0,000710702 + 0,000260008х1 х2 + +х22 0,000679955.

0,000710702х2+ +0,00026008х(1 - х) + 0,000679955(1 - х)2 Используя необходимое условие безусловного

экстремума —— = 0, получим следующее выражение: а'х

0,000030778

0,000710702х2 + 0,00026008х(1 - х) + +0,000679955(1 - х)2 -

0,000710702х2 + 0,00026008х(1 - х) + (0,000030778х - 0,0000114331) (0,001130577х - 0,000549555)

v

0,000710702х2 + 0,00026008(1 - х) + +0,000679955(1 - х)2

+0,000679955(1 - х)2

= 0

Решая уравнение, находим долю средств, вложенных в акцию ОАО «Пивоваренная компания «Балтика», она равна 91,1708078 %, т. е. х1 = 0,911708078, тогда х2 = 0,088291922. Подставляя значения х1 и х2 в формулы (3), найдем координаты портфеля ценных бумаг расположенного в точке касания эффективного множества инвес-

7х"

тиционных портфелей с безрисковым активом: Еко = 0,000539492, ско = 0,024839085.

Тогда уравнение эффективного фронта примет

вид:

Е = 0,0005 +

0,000539492 - 0,0005

-с =

(3)

Тогда при х1 = х и х2 = 1 - х запишем условие максимальности углового коэффициента наклона прямой

л 0,000542209х + 0,000511431(1 - х) - 0,0005

0,024839085 = 0,0005 + 0,001589905с.

Построим на графике множество инвестиционных портфелей, добавим безрисковый актив и обозначим точкой М точку их касания (рис. 1).

Точке р соответствует ситуация, когда портфель на 100 % состоит из инвестиций в безрисковую ценную бумагу с доходностью 0,05 %.

Оптимальный портфель соответствует точке К. Эта точка характеризует портфель с минимальной дисперсией, состоящий из рискового актива ОАО «Пивоваренная компания «Балтика» и рискового актива ОАО «Банк Москвы». Если в первый рисковый актив инвестируется более 49 % общего капитала, то стандартное отклонение портфеля увеличивается.

Инвестиционный портфель в точке М, полученный при добавлении безрискового актива, расположен выше и немного правее, чем оптимальный портфель. Это означает, что при добавлении некоторого безрискового актива мы увеличиваем ожидаемый доход, но при этом вырастает и показатель риска. Оценим разницу значений двух портфелей: ожидаемый доход вырос на 0,001309 %, а значение риска - на 0,4529597 %.

Точка М является общей точкой прямой линии, выходящей из точки Е и кривой, являющейся множеством инвестиционных портфелей, сформированных из двух акций. Такой рисковый портфель является оптимальной комбинацией активов. Именно при объединении портфеля рисковых активов с безрисковым активом достигается формирование максимально эффективного портфеля.

Угол наклона прямой tg0 = 0,001589905 характеризует дополнительную ожидаемую доходность, предлагаемую рынком для каждой дополнительной единицы риска, которую согласен нести инвестор.

Рассмотрим добавление безрискового актива к инвестиционному портфелю, составленному из множества активов, с помощью векторной формы модели Блэка. Предположим, безрисковый актив имеет доходность Яр, добавим его к эффективному множеству портфелей, состоящих из рисковых активов, и оценим полученный результат.

23

Ожидаемый доход 0,00066

0,00064 0,00062 0,0006

0,00058 0,00056

0,00054 0,00052 0,0005 0,00048 0,00046

Рис. 1. Линия эффективного фронта и множество инвестиционных портфелей, сформированных из двух активов: Е - портфель, состоящий из безрискового актива с доходностью 0,05 %; К - оптимальный портфель; М - оптимальная комбинация активов

Показатель риска

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

----Уравнение эффективного фронта Е = 0,0005 + 0,001589905а

- Множество инвестиционных портфелей, сформированных из двух акций

Для нахождения множества эффективных портфелей в случае разрешимости коротких продаж в координатах весов используем следующую модель: X (() — X0 + V0, t > 0,

с-1

где Xи —-

I с-11

- матрица весов портфеля

ср=

X0 + (У0 )т с (X0 + (У0),

(4)

ср — (Xи + (У0 )т С (Xи + (У0) —

— X (HCX0 + 2(У (HCX0 +1V °ХСУ0

сер т 0

тогда —- — ЯV

с с2

—р- — 2У 0 + 2tУ ^У0.

соответствующего минимального риска; V0 — -(IС _1Я) X0 + С 4 Я - множество допустимых портфелей;

С — (соу^) - ковариационная матрица (соу^ -ковариация между / и]-м активами); С-1 - обратная матрица к ковариационной матрице С;

/ - единичный вектор-столбец размерности п х 1;

/X

- единичная вектор-строка размерности

1 х п;

R - матрица доходностей. Тогда ожидаемый доход и показатель риска портфеля рассчитываются по формулам:

Ер — ЯхX, Бр — X XCX, с р — ^/xCx, где Ер - ожидаемый доход инвестиционного портфеля;

Ях, Xх - транспонированные матрицы по отношению к матрицам Я, X; Вр - дисперсия портфеля; ор - показатель риска портфеля [2]. Преобразуем данные формулы и найдем производные по параметру (: Еп — Ят (X0 + tУ0),

Условие максимальности углового коэффициента наклона прямой, соединяющей точки безрискового актива (0, Яр) и допустимого портфеля (о , Е ), описываемого уравнениями (4), имеет вид /0 РЕр (0 - Яр Ях (X0 + tУ0) - Яр

с р(t) '

Используя необходимое условие безусловного экстремума, получаем

ЯV0y|(X0ItVУC(X0ItVГ) -

dtge

(Я1 (X0 + IV0) - ЯР )(2У 0xCX0 + 2tУ У0)

2V(X0 + /VVC(X0 + /V°)

■ — 0.

сИ (X0 + (У0 )т C (X0 + (У0)

После некоторых алгебраических преобразований выражение принимает вид

Я У0 (X0 + (У 0 )т C (X0 + (У 0) —

— [Ях (X0 + (У 0) - ЯР ](У (HCX0 + (У ^У0).

При ( = 0 в формулах (4) получим оптимальный портфель с доходностью Е — Я гX0 и риском

с

— ^/x°xCx0,

значит,

Я ТУ0 (с2 + 2(У ^^0 + (2У ^У0) — — (Ео - ЯР + (ЯХУ0 )(У0xCX0 + (У^У0).

Обозначим Ео - = ЛЕ, тогда

с2 ЯУ0 + 2*У 0тСХ0 ЯУ0 + * 2У 0гСУ0 яту0 =

= ЛЕУ (НСХ0 + ЛЕ*У 0хСУ0 + + tУ (НСХ0 ЯУ0 + *2 Я У У 0тСУ0. Приведем подобные величины и упростим данное выражение:

с2Я У0 - ЛЕУ01СХ0 = ЛЕ*У01 СУ0 - *У0тСХ0Я У0, или

с2 ЯУ0 - ЛЕУ 0хСХ0 = * (ЛЕУ 0хСУ0 - У 0тСХ0 ЯТУ0),

следовательно,

t = -

с2RT0 -АЕУ(HCX0

АЕУ°1СУ0 - У0xCX0RV0

(5)

R =

0,000511431 -0,001790037 0,004104139 -0,000792167 0,001638428 0,001942900 0,016330932 0,000155160 v 0,002499541 ,

X0 =

0,060491714 0,305730190 0,314937592 0,095299205 0,266763695 -0,132356354 0,001581730 0,104867936 v-0,024555434 ,

У0 =

Тогда веса оптимального касательного портфеля при найденном * будут иметь вид Хк = Х0 + *У0, значит, можно найти из формул (4) его показатель риска и доходность.

Применим полученные расчеты к портфелю, состоящему из десяти акций российских эмитентов с добавлением безрискового актива, имеющего доходность Яр = 0,0005 (табл. 2).

Для нахождения значения * найдем все необходимые элементы формулы (5):

(0,000542209 ^ (0,007239727 ^

Г-1,630329845 ^ -0, 452028444 -3,762729785 7,383566862 -4,114221852 0,675483252 0,571735341 4,354075197 -9,345963471 v6,320412744 ,

Минимальный риск сформированного портфеля достигается при t = 0, и тогда координаты вектора X совпадают с координатами допустимого портфеля X0, т. е.

X (t) = X0 + ty0 = X0.

Следовательно, инвестиционный портфель с

доходностью Ep = R lX0 и риском a p = V X 0lCX0 является оптимальным, т. е. в нашем случае Е = R %X0, Eo = 0,000865, то = 0,010701. Значит, AE = Е - Rf = 0,000865 - 0,0005 = 0,000365.

or" ' '

Произведение матриц подсчитано с помощью MS Excel. В результате расчетов получено: a2oR У = 0,000014526, АЕУ0lCX0 =-1,7Е - 22, АЕУ0хСУ0 = 0,000046339,

У 0тСХ0 ЯУ0 = -601719Е - 20. Тогда t = 0,313471871.

Следовательно, можно найти координаты вектора Х т. е. доли средств, вложенных в каждую из десяти акций для портфеля, расположенного на эффективном множестве в точке касания с безрисковым активом. Получаем

Х, = Х0 + 0,313471871 У0, или

Таблица 2

Показатели средних норм доходностей и риска акций рассматриваемых компаний [3]

Компания Средняя норма доходности Дисперсия Показатель риска

ОАО «Пивоваренная компания «Балтика» 0,000542209 0,000710702 0,026659003

ОАО «Банк Москвы» 0,000511431 0,000679955 0,026075953

ОАО «ВБД ПП» -0,001790037 0,000632291 0,025145393

ОАО «ВЕРОФАРМ» 0,004104139 0,000547306 0,023394571

ОАО «Газпром» -0,000792167 0,000778163 0,027895570

ОАО Концерн «Калина» 0,001638428 0,000540472 0,023248059

ОАО «Акрон» 0,001942900 0,002230137 0,047224324

ОАО «Южный Кузбасс» 0,016330932 0,005911779 0,076888096

ОАО «Магнит» 0,000155160 0,000486822 0,022064035

ОАО «Татнефть» 0,002499541 0,000828912 0,028790830

проблемы и решения ^ 25

X, =

Г-0,503822819^ -0,081206488 -0,873779755 2,629478108 -1,194393615 0,478508693 0,046866593 1,366461826 -2,824828716 ч 1,956716172 , Подставляя значения вектора Хк в формулы (4), найдем ожидаемый доход и показатель риска портфеля в точке касания: Еко = 0,040630538, ако = 0,112159685. '

Тогда уравнение эффективного фронта примет

вид

Е =0,0005+

0,040630538 - 0,0005

а =

0,112159685 = 0,0005 + 0,357798245а, а угол наклона tg0 = 0,3577 характеризует дополнительную ожидаемую доходность для каждой дополнительной единицы риска, которую согласен нести инвестор.

Ожидаемый доход 0,009

0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0

Изобразим графически линию эффективного фронта и эффективное множество инвестиционных портфелей сформированных из десяти активов (рис. 2).

Эффективным множеством портфелей ценных бумаг называется такое множество, каждая точка которого есть портфель с максимально возможным ожидаемым уровнем доходности при заданном уровне риска. Точка К соответствует портфелю с минимальным значением риска из всего множества эффективных портфелей.

Прямая линия, соединяющая точку F с любой точкой кривой эффективного множества, представляет собой график, описывающий соотношение «риск и доходность» для всех комбинаций рассматриваемых активов с добавлением безрискового актива. Наибольшее значение этого соотношения, которое можно достичь, находится в их общей точке. Такой рисковый портфель является оптимальной комбинацией рисковых активов и называется тангенциальным портфелем. Именно при объединении этого портфеля с безрисковым активом достигается формирование максимально эффективного портфеля [1].

В нашем случае тангенциальный портфель имеет ожидаемый доход, в 47 раз превышающий

Показатель риска 0,025

0 0,005 0,01 0,015 0,02 , ----Уравнение эффективного фронта Е = 0,0005 + 0,357798245ст

- Эффективное множество инвестиционных портфелей, сформированных

из десяти акций

Рис. 2. Эффективный фронт и эффективное множество инвестиционных портфелей, сформированных из десяти акций: Е - портфель, состоящий из безрискового актива с доходностью 0,05 %; К - портфель с минимальным значением риска из всего множества эффективных портфелей

доход оптимального портфеля, при увеличении риска в 10,5 раза.

Сравним полученные значения угла наклона при рассмотрении двух рисковых активов с добавлением безрискового и десяти рисковых активов с добавлением одного безрискового:

^20 = 0,001589905 < tg2e = 0,357798245. В последнем случае инвестор находится в лучшем положении, так как может достичь более высокой ожидаемой ставки доходности для любого уровня риска, на который он готов пойти.

Таким образом, существует только один портфель с рисковыми активами, который оптимальным образом можно объединить с безрисковым активом. Такое оптимальное сочетание рисковых активов обнаруживается в общей точке пересечения прямой, которая начинается в точке, представляющей безрисковый актив, и границы эффективности рисковых активов. Отрезок, соединяющий точку безрискового актива и тангенциальную точку, которая соответствует оптимальной комбинации рисковых активов, представляет самое лучшее соотношение риска и доходности.

Всегда существует оптимальный портфель рисковых активов, который можно объединить с безрисковым активом для получения наиболее предпочтительного портфеля. В данном случае нахождение оптимальной комбинации рисковых активов зависит только от ожидаемого уровня доходности, стандартных отклонений рассматриваемых активов и от корреляции между ними и абсолютно не зависит от предпочтений инвесторов. Следовательно, инвестору остается только выбрать размеры инвестиций, которые необходимо вкладывать в оптимальный рисковый портфель.

Список литературы

1. ЗвиБоди, РобертК.Мертон. Финансы. М.: Вильямс, 2007.

2. Клитина Н. А. Оптимизация портфеля ценных бумаг в зависимости от диверсификации инвестиций // Финансовые исследования. 2010. № 1.

3. Проект информационного агентства Cbonds. ru, информационный ресурс Investfunds - http:// www. stocks. investfunds. ru.

7х"

27