Применение моделей авторегрессионной условной гетероскедастичности в задаче моделирования условных ковариаций доходностей финансовых активов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Фондовый рынок

применение моделей авторегрессионнои условной гетероскедастичности в задаче моделирования условных ковариаций доходностей финансовых активов

И. А. КРЕТИНИН, аспирант кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Е-mail: [email protected] Воронежский государственный университет

В статье отмечается, что формирование портфеля ценных бумаг является ключевой задачей принятия решений в инвестиционной деятельности на фондовом рынке. Рассмотрен классический подход Г. Марковица к решению этой задачи, выявлены его недостатки. Предложена многомерная модель авторегрессионной условной гете-роскедастичности, позволяющая получать прогнозные значения дисперсий доходностей отдельных активов, а также их ковариаций.

Ключевые слова: портфель, ценные бумаги, доходность, риск, дисперсия, ковариация, гетероскедастич-ность.

Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг — одна из наиболее важных задач принятия решений в инвестиционной деятельности на фондовом рынке. В 1952 г. Г. Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Ключевая идея подхода Г. Марковица состоит в том, что инвестор должен основывать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и риске портфеля, выраженным стандартным отклонением. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение — как мера риска,

связанная с данным портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель был исследован в смысле потенциального вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим.

При всех своих достоинствах модель Марковица, тем не менее, имеет ряд модельных допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта — фондового рынка. Один из ключевых недостатков подхода состоит в следующем. За оценку доходностей активов, а также их дисперсий и ковариаций предлагается брать средние значения, рассчитанные на основе предшествующих исторических данных. Когда доходности финансовых активов, их дисперсии и ковариации задаются константами, предполагается, что раз и навсегда известен характер причинно-следственной связи между объектами инвестирования. В действительности же эти характеристики финансовых активов не являются постоянными и могут изменяться с течением времени. Из-за того, что этот фактор не учитывается, портфель Марковица называют также портфелем упущенных возможностей. Он показывает, как инвестор должен был бы сформировать портфель в прошлом, а не как формировать его сейчас.

Указанный недостаток подхода Г. Маркови-ца возможно преодолеть с помощью построения

финансы и кредит

73

прогнозных моделей для доходностей активов, их дисперсий и ковариаций. И если прогнозированию доходностей уделяется достаточно внимания, то прогнозные модели для риска финансовых инвестиций еще не получили широкого распространения. В данной статье рассматриваются модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH-модели) и их применение в задаче прогнозирования дисперсий и ковариаций доходностей активов.

К росту популярности класса моделей с условной авторегрессионной гетероскедастичностью, введенного Р. Энглом, привело усиление роли риска и соображения неопределенности в современной экономической теории. Ключевой момент, предлагаемый моделью ARCH, состоит в различении условных и безусловных моментов второго порядка. В то время как безусловная матрица ковариаций для представляющих интерес переменных может быть неизменной во времени, условные дисперсии и ковариации часто зависят нетривиальным образом от состояний мира в прошлом. Понимание точного характера этой временной зависимости крайне важно для решения многих проблем в макроэкономике и финансах. Кроме того, с точки зрения получения эконометрических выводов потеря в асимптотической эффективности из-за не учета гетероскедастичности может быть сколь угодно большой, и при составлении экономических прогнозов, как правило, можно использовать более точную оценку неопределенности ошибки прогноза, если получать ее как условную по текущему информационному множеству.

Особенно полезными ARCH-модели проявили себя при анализе временных рядов, где часто наблюдается явление кластеризации волатильнос-ти, т. е. когда наблюдения с большими и малыми отклонениями от средних значений образуют группы. Особенно часто это явление проявляется в финансовых временных рядах — таких как валютные курсы, котировки ценных бумаг, общие динамические соотношения для цен активов, динамика процентных ставок и др.

Впервые формальное описание процесса кластеризации дисперсии остаточного члена предложил Р. Ингл, разработав класс моделей, особенностью которых является зависимость условной дисперсии случайного члена от предыдущих значений случайного члена. В общем случае ARCH-модель можно представить:

У, = х'Р + u,,

var(M,1 It_x) = tf =a0 +... + a u]_p, (1)

где yt — значение эндогенной переменной в момент t;

xt — вектор-столбец значений экзогенных переменных в момент t;

Р — вектор-столбец коэффициентов при экзогенных переменных;

It — совокупность информации, известной на момент t;

К = V (Ut\ U t-P U t-2>•"> U t-p) = E (u2t\ U t-P U t-V"' u ) — условная по It дисперсия ошибок Ut

Эффект кластеризации возмущений объясняется последним уравнением системы (1). Процесс (1) называется авторегрессионной условно гетерос-кедастичной моделью порядка p (AutoRegressive, Conditional Heteroscedastic), ARCH (p).

Безусловная дисперсия ошибок Ut в модели (2) постоянна и равна:

var(u,) = > 0.

1 "I«,

i=i

Смысл модели ARCH состоит в том, что если абсолютная величина Ut оказывается большой, то это приводит к повышению условной дисперсии в последующие периоды. Наоборот, если значения Ut в течение нескольких периодов близки к 0, то это приводит к понижению условной дисперсии в последующие периоды практически до уровня а0. Таким образом, ARCH-процесс характеризуется инерционностью условной дисперсии (кластеризацией волатильности).

Модель GARCH (generalized ARCH - обобщенная модель ARCH), предложенная Т. Боллерслевом, является модификацией модели ARCH, позволяющей получить более длинные кластеры при малом числе параметров.

Модель GARCH (p, q) имеет следующую спецификацию:

У, = х'Р + u,

q p

var(u,1 I-i) = tf = ao +1 aiuli +1 фЛ" . (2)

,=i ,=i

Уравнение для дисперсии ошибки модели (3) содержит как прошлые значения ошибок модели, так и их дисперсии.

В настоящее время существует большое количество модификаций классической модели GARCH, более точно отражающих конкретную специфику различных временных рядов. Так, модель GARCH-M (GARCH-in-Mean) предполагает, что значение зависимой переменной главного уравнения зависит от условной дисперсии остаточного члена Ut, представляемого, в свою очередь, моделью GARCH:

У, = x'P + Yh»2 + u,

q p

var(M,1= tf = a0 +YJaiut-i +ХфЛ- .

i=i i=i

Важным с практической точки зрения стало также появление класса асимметричных ARCH-моделей, позволяющих улавливать и адекватно описывать асимметричность влияния новостей, то есть знака остаточного члена ut, на условную дисперсию рассматриваемого процесса. В практическом применении наиболее распространены две модели из этого класса: модель TARCH (Threshold ARCH), предложенная Глосеном, Джаганатом и Рунке, и модель EGARCH (Exponential ARCH) Нельсона.

Рассмотрим теперь многомерные модели авторегрессионной условной гетероскедастичности. В многомерном ARCH-процессе рассматриваются m-компонентный случайный вектор у,, m-компо-нентный вектор его условного математического ожидания, тхт матрица условной вариации.

Одним из способов оценки многомерной ARCH-модели является метод, предложенный Ф. Клаассеном. Он основывается на переходе от построения m-мерной модели к построению m одномерных моделей ARCH, который осуществляется путем преобразования исходных временных рядов в их главные компоненты. Вычисляется матрица безусловной вариации V(у) и ее собственные вектора. Собственные вектора формируют ортонормирован-ный базис Wв пространстве переменных. Наблюдаемые процессы преобразуются в главные компоненты, которые рассчитываются по формуле:

f = у W.

Главные компоненты обладают тем свойством, что безусловные ковариации между ними равны нулю. Основное предположение модели состоит в равенстве нулю условных ковариаций между главными компонентами. Условные ожидания и дисперсии главных компонент оцениваются с помощью m независимых одномерных ARCH-мо-делей. Внедиагональные элементы условной ковариационной матрицы главных компонент V(ft\Q.tl) заполняются нулями. Обратным преобразованием оцененные условные моменты главных компонент трансформируются в условные моменты наблюдаемых процессов по формулам:

EУ, |Q(_i) = E(f,\CL,_i)WT, (3)

V(у, |Q,_i) = WV(ftIQt_i)WT. (4)

Оценивание m-мерной модели, таким образом, сводится к построению m одномерных моделей.

Рассмотрим пример практического применения многомерной ARCH-модели в задаче прогнозирования условных доходностей активов и их условных дисперсий и ковариаций. Возьмем временные ряды дневных доходностей акций компаний «Роснефть», «МТС», «Газпром», «Норильский Никель» и «Лукойл» за период с 12.01.2009 по 07.09.2009. Средние дневные доходности акций в указанный период составляли: Роснефть — 0,42 %; Газпром — 0,28 %; Лукойл — 0,32 %; Норильский Никель - 0,45 %; МТС - 0,37 %.

Ковариационная матрица доходностей рассматриваемых активов представлена в табл. 1.

С помощью собственных векторов ковариационной матрицы доходностей рассчитываются главные компоненты /5 исходных вре-

менных рядов. Для каждой из главных компонент были построены GARCH (1,0) -модели вида:

= ь + 8,,

2 2 а, = ш + ае,_1.

Результаты оценивания представлены следующими уравнениями:

/:1 = -0,804 + 8,, а] = 41,87 + 0,034е,2_1;

f2 = -0,0i4 + 8,

ст; = 4,80 + 0,43482-i;

/3 = 0,072 + 8,, а] = 2,58 + 0,41б8?_1; /4 = 0,059 + 8,, а,2 = 1,65 + 0,33282_1;

/5 = 0,066 + 8,, а,2 = 1,49 + 0,126е?_1.

По полученным уравнениям делается прогноз условных средних и условных вариаций главных компонент. Он представлен в табл. 2 и 3.

Первая главная компонента имеет наибольшую дисперсию, а далее каждая следующая главная компонента обладает все меньшей дисперсией.

На основе полученных значений по формулам (3, 4) делается прогноз доходностей и ковариаци-

Таблица 1

Ковариационная матрица доходностей акций

Наименование Нориль-

Роснефть Газпром Лукойл ский Никель МТС

Роснефть 11,34 8,70 8,84 10,24 1,99

Газпром 8,70 9,79 8,34 10,34 1,60

Лукойл 8,84 8,34 10,98 9,67 1,81

Норильский Никель 10,24 10,34 9,67 22,66 2,96

МТС 1,99 1,60 1,81 2,99 4,29

Таблица 2

Прогноз условных средних главных компонент

А /2 /з /4 /5

-0,804 -0,014 0,072 0,059 0,066

Таблица 3

Прогноз условной ковариационной матрицы главных компонент

fl /2 /3 /4 /5

f 41,872407 0 0 0 0

f* 0 4,8277119 0 0 0

f 0 0 3,3951312 0 0

f4 0 0 0 2,2317664 0

f5 0 0 0 0 1,572141

0,8

5 °,7 в-

k 0,6 о

л 0,5

! 0,4

S 0,3

I 0,2 $

I 0,1

0 1 2 3 4 5

Стандартное отклонение портфеля

Эффективная граница Марковица

онной матрицы рассматриваемых финансовых активов на следующий период, то есть на 08.09.2009 (табл. 4, 5).

Располагая прогнозными значениями доход-ностей, вариаций и ковариаций курсов акций, можно переходить к задаче формирования оптимального портфеля, состоящего из рассматриваемых активов.

Введем следующие обозначения: wi — доля /-го актива в портфеле инвестора, =1; г.—доходность

Таблица 4

Прогноз доходностей акций, %

Роснефть Газпром Лукойл Норильский Никель МТС

0,43 0,28 0,31 0,53 0,15

Таблица 5

Прогноз ковариационной матрицы доходностей акций

Наименование Роснефть Газпром Лукойл Норильский Никель МТС

Роснефть 10,47 8,11 8,04 10,68 1,96

Газпром 8,11 9,19 7,73 10,50 1,61

Лукойл 8,04 7,73 10,05 10,19 1,80

Норильский Никель 10,68 10,50 10,19 20,35 2,79

МТС 1,96 1,61 1,80 2,79 3,83

/-го актива. Заметим, что отдельные компоненты wi могут быть и отрицательными, что соответствует операции «короткая продажа». Так как доходность является случайной величиной, то обозначим т1 — математическое ожидание доходности /-го актива. Переходя к векторным обозначениям, w, г, т — векторы долей, доходностей и математических ожиданий доходностей активов. Тогда математическое ожидание доходности всего портфеля ¡л можно вычислить по формуле: ^ = М ^'г) = w'm.

Пусть £ — ковариационная матрица доходностей активов, тогда дисперсию всего портфеля а2 можно рассчитать по следующей формуле:

ст

2 —

= M(w'r — w'm) 2 = w'Zw.

Задача инвестора, стремящегося минимизировать общий риск (дисперсию) портфеля, при неком заданном уровне доходности ^ может быть представлена следующей задачей квадратичной оптимизации с линейными ограничениями: w' Zw ^ min w' m = ц

w' i = 1. (5)

Решая оптимизационную задачу (5) при различных значениях заданной доходности будем получать различные векторы w, принадлежащие эффективной границе Марковица, изображенной на рисунке.

Рассмотрим государственные краткосрочные облигации (ГКО) как инструмент осуществления безрисковых финансовых инвестиций с гарантированной доходностью. В этом случае эффективная граница приобретает вид луча, исходящего из точки, соответствующей безрисковой ставке доходности, к точке касания с эффективной границей Марковица. Портфель из рисковых активов, соответствующий точке касания, называется касательным портфелем, который определяет структуру рисковой части портфеля инвестора.

0

6

Таблица 6

Распределение долей акций в касательном портфеле

Роснефть Газпром Лукойл Норильский Никель МТС

1,2304 -0,8341 -0,1293 0,4836 0,2494

Годовая краткосрочная процентная ставка г по ГКО составляла на 07.09.2009 14,57 %. Дневную безрисковую процентную ставку г^ рассчитаем по формуле:

( I—;- л

rf =

100%

+1 -1

100% =

14,57% , ,

2 40i-?-+ 1 - 1

100%

Л

100% = 0,0567%.

Касательный портфель при данной безрисковой ставке процента имеет структуру, представленную в табл. 6.

Прогнозируемая дневная доходность полученного портфеля составляет 0,54 %, прогнозируемое стандартное отклонение — 3,73. То, какая часть средств будет вложена в касательный портфель, а какая в государственные облигации, зависит от индивидуальных предпочтений каждого конкретного инвестора.

Подход Марковица остается одним из самых популярных при решении задачи оптимизации портфеля финансовых активов. Существенным недостатком модели является отсутствие учета изменчивости во времени дисперсий отдельных активов, а также их ковариаций. Это может привести к неадекватной оценке риска при осущест-

влении финансовых инвестиций. В настоящей статье была показана возможность преодоления этого недостатка с помощью многомерных моделей авторегрессионной условной гетероскедастич-ности. В них можно моделировать изменчивость условных дисперсий и ковариаций во времени и, таким образом, точнее оценивать риск портфельных инвестиций.

Список литературы

1. Давнис В. В., Тинякова В. И. Адаптивные модели: анализ и прогноз в экономических системах. Воронеж: Воронежский государственный университет. 2006. 380 с.

2. Клаассен Ф. Стали ли обменные курсы более тесно связанными? Доказательство с помощью новой многомерной GARCH модели. Центр экономических исследований. Тилбургский университет. 1999.

3. Магнус Я. Р., Катышев П. К, Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело. 2005. 504 с.

4. Середа А. Ю. Оценка VaR портфеля ценных бумаг с применением ARCH-моделей // Финансы и кредит. 2008. № 16. С. 16-21.

5. Тарасевич Л. С., Гребенников П. И., Леусский А. И. Макроэкономика. М.: Юрайт-Издат. 2003. 650 с.

6. Эконометрика / под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика. 2002. 344 с.

7. URL: http://www.rts.ru.