Оптимизация портфеля финансовых инструментов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Фондовый рынок

Удк 519.21:330.4

оптимизация портфеля финансовых инструментов*

о. Л. КРИЦКИЙ, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и математической физики Е-mail: [email protected] О. А. БЕЛЬСНЕР,

старший преподаватель кафедры высшей математики

и математической физики Е-mail: [email protected] Томский политехнический университет

В статье решена задача формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях неопределенности с минимальным уровнем допустимого риска. Предложена модель, позволяющая учесть гетероскедастичность исходных данных и нестационарность элементов корреляционной матрицы. Сформирован оптимальный портфель из высоколиквидных российских ценных бумаг. Исследована динамика стоимости портфеля в 2000—2006 гг.

Ключевые слова: условная гетероскедастич-ность, корреляция, волатильность, многомерные модели GARCH.

Введение. Широко известно, что поведение инвестора описывается с помощью функции полезности [7] и коэффициента неприятия риска [3], которые учитывают зависимость между полезностью, получаемой инвестором от владения благом, и уровнем этого блага и риском такого обладания. При этом сама полезность (а значит, и неприятие риска) для инвесторов зависит от доходности вложений в активы, что позволяет охарактеризовать поведение всех участников рынка.

* Статья подготовлена в рамках государственного задания «Наука» № 1.604.2011.

Отметим, что функция полезности и так называемые кривые безразличия являются ключевыми в теории Марковица о формировании оптимального инвестиционного портфеля. В области методологии формирования и развития теории оптимального управления портфелем ценных бумаг можно выделить несколько основных направлений современных исследований [4, 5]:

1) модификация и обобщение моделей и систем управления портфелем на базе теории управления стохастическими процессами, мартингальных методов и методов динамического, стохастического, нелинейного и квадратичного программирования в рамках анализа среднего и дисперсии и подхода Мертона;

2) развитие адаптивного и робастного подходов;

3) применение теории игр для решения задач управления портфелем;

4) исследование моделей управления портфелем в условиях неполной наблюдаемости (наблюдаются только цены рисковых активов);

5) конструирование моделей управления с использованием различных методов формирования портфеля;

6) конструирование моделей управления портфелем с использованием нейронных сетей.

Отметим также, что модель Марковица активно используется инвесторами при формировании портфеля и при принятии решений об управлении им. Однако в этом классическом случае стратегия управления портфелем зависит только от текущих значений параметров, характеризующих активы портфеля, независимо от того — будут они изменяться в будущем или нет. Не зависит она и от текущего значения капитала и цен рисковых активов. Поэтому практическая реализация методологии Марковица в случае, когда необходимо учесть динамические свойства волатильности и корреляционных связей элементов портфеля, не позволяет осуществить корректную оценку объема капиталовложений и выбрать оптимальный набор активов для инвестирования.

Авторами предлагается модификация модели Марковица, позволяющая учесть гетероскедастич-ность исходных статистических данных и нестационарность корреляционной и ковариационной матриц. При модификации использовалась обобщенная многомерная модель динамических корреляций, предложенная в работе «Модель динамиче ски х корреляций: общее приложение к исследованию финансовых рынков» [1].

Основные положения. Пусть инвестором составлен портфель из К рисковых активов и х — доля средств, вложенных в актив 7 в момент времени t, где х7 е [0,1]. Будем исходить из предположения о том, что активы бесконечно делимы и полностью определяются своей ценой в любой момент времени. Как и в классическом случае, допустим, что рынок функционирует в условиях равновесия, ликвиден, неарбитражен, а транзак-ционные издержки отсутствуют. Под оптимальным портфелем будем понимать портфель, максимизирующий предпочтения инвестора в отношении доходности и риска. Предположим, что портфель формируется на момент времени t < ^ < Т с весами х сумма которых равна единице, а х7 е [0,1].

Обозначим через г = (ги,...,к)т вектор до-ходностей активов за рассматриваемый период времени, а через х = (х^..., хК )т — вектор, определяющий структуру портфеля, t = 0, Т, 7 = 1, К .

Арифметическая доходность ги задается соотношением

„ _ ри - ри-1

Доходность портфеля за некоторый период времени будем рассматривать как случайную величину, заданную на вероятностном пространстве

(«, Р, р),

К

Гр ыхТГ ыХхг/Гц ,

г=1

причем математическое ожидание И (г ) = хт т = ыц , дисперсия 0(гр) ыхТНх , И(г) = т и Б(г) = Н , Н = ||с у ||, соу(ц, I) = 0 .

Для простоты математических выкладок предположим, что вектор доходностей г подчиняется многомерному нормальному распределению. Значит, первый и второй начальные моменты для любого актива будут конечны. Такое упрощение не является критическим: от него можно отказаться, предположив, например, эллиптичность распределения доходностей [2].

Матрицу ковариаций зададим в виде

H = Dt rtDt =

Jyt

Jh»thjjt

г Д е rt = ||Pjt| = ||pj + 5jsi,t-is

(1)

1 и 7 < j и к,

1И t И Т, а гп = ып / ( — стандартизированная ошибка и Н{ ы||сгг^|| — симметричные положительно определенные матрицы корреляций и ко-вариаций,

А ы ^(С ... ). (2)

Предположим, что в (1), (2) величины удовлетворяют одномерной модели GARCH (д,р) [8, 9]:

^ p + ^aj u 2t- j +Xßj K„

4

h„t = Yi +Z j=i

i = YK, t = IT,

t-j

j=1

it p rit -1

где Р — цена i-го актива в момент времени t.

где uit = уhiit sit — доходность актива; аг-, ß уj — коэффициенты,

q p

причем аг-, ß;-, уг- > 0 и +^ßj < 1, т. е. элемен-

=1 j =1

ты матрицы ковариаций изменяются во времени.

Выберем такой портфель, который при заданной доходности будет иметь минимальный риск

E (rp) = ют m = ц, т

ю 1 = 1,

D(rp) = ютHtю = ютDtrtDtю ^ min. (3)

Решение оптимизационной задачи (3) возможно методом множителей Лагранжа. При этом справедлива теорема 1.

Теорема 1. Если выполняются следующие условия: матрица Н- строго положительно определена; векторы 1,т линейно независимы; первый и второй начальные моменты для Г существуют и конечны, тогда задача (3) имеет единственное решение

ю = ца - в,

а = А [(1ТИ;\)И;1т - (ЛИ~1т)И~Ч],

в = А [(1ТИ;1т)И;1т - (ттИ-1т)И~Ч],

А = (1тИ;1г)(тТИ~1т) - (1ТИ-1т)(тТИ~Ч).

Пользуясь теоремой 1, нетрудно построить оптимальный портфель с долями вида

„_1 ( Сц-В А - Вц

ю = И, I —--- т +-Чт1

| 2 — „м. (4)

- \АС - В2

где А = ттИ~1т ;

В = тт И-1г;

С = 1т и;\ .

Теорема 2. Выражение (АС - В2) > 0 всегда положительно.

В силу теоремы 2 эффективное множество

\ Е(гр) = ютт = ц,

I т

[ю I = 1

является выпуклым, а функция

В(тр) = ют И ю = югю

1=1

аей- =

Сц2 - 2Вц + А

АС - В

2

Таким образом, вектор весовых коэффициентов (4) эффективного портфеля примет окончательный вид

ю

= И

-1

сВ - в

С

АС - В2

А-В

т + -

В ^

С

АС - В2

= — И-11.

С -

Следовательно, дисперсия такого портфеля будет равна

^ = С ,т(иг1)т и- С И = ± 1т ИГ1^ = С.

С С С С

Оптимальный портфель при наличии безрискового актива. Предположим, что наряду с К рисковыми активами с вектором цены Р- дополнительно выбран некоторый безрисковый актив В( , t > 0 (пусть В0 =1). Доходность г^безрискового актива зададим следующим соотношением:

/ = В1 - В0 =

^ =

В

= В1 -1 > 0 .

имеет единственный минимум на этом множестве. Кроме того, нетрудно убедиться, что эффективные портфели, полученные в соответствии с формулой (4), обладают всеми свойствами портфелей классического метода Марковица. Например, показать, что любые два эффективных портфеля порождают фронт эффективных портфелей, а также, что портфель, составленный на основе эффективных портфелей, также эффективен. Данные утверждения справедливы в силу линейной зависимости ю от ц.

На построенном множестве эффективных портфелей с заданной доходностью выберем портфель, обладающий минимальной дисперсией. Легко получить, что среднеквадратичное отклонение для любого заданного ц определяется равенством вида

Ожидаемое значение и дисперсию доходности актива В( запишем в виде Е(гг) = т0 , Б(гг) = 0.

Определим доходность оптимального портфеля:

К Т

4=ю0г/+ЕЕю* г«=(1-юТ )г/+ют гр , 1=11=1

где ю 0 — весовой коэффициент актива В- по критерию «среднее-дисперсия». Предположим, что матрица И( строго положительно определена, а векторы 1,т линейно независимы. Тогда оптимизационная задача поиска минимума функции 0(ЯрР) при заданных ограничениях запишется в виде

yf ) = ют

Е (гр) = ют т + (1-ют)т01 = ц ?, ют1 + (1-ют)1 = 1,

г т

В(тр ) = ю И1 ю ^ min.

(5)

Как и в случае портфеля рисковых активов, используем для решения метод множителей Лагранжа. Тогда весовые коэффициенты будут равны

ю = ХИ- х(т - т0г)

Х =

цг - т0

А - 2Вт0 + Ст0

что с учетом (5) позволит записать первое ограничение оптимизационной задачи: Х{ттИ- (т - т0г) +

+т0 [1 - И~1 (т - т01)]} = ц^ . Нетрудно доказать справедливость следующей теоремы.

Теорема 3. Портфель хТ , обладающий минимальной дисперсией в модели (5) при нулевой доле безрискового актива, определяется соотношением

хы

Н-1 (т - т0г)

В - т0С

И--1 (г- ) ы т0-1 + 6-Ht Ф--1 , 7 ы 1, П :

Н = ,

(7)

где И-1 (г-) ы И(-1(г1-,... гп() — вектор условных математических ожиданий доходностей в момент

I — единичный вектор;

Н—— условная ковариационная матрица, определяемая соотношением (1). Предположим, что

т

ы И,-¿г>).

где

г^

безрисковая процентная ставка.

При этом эффективные портфели для (5) будут тангенциальными для эффективных портфелей задачи (3).

Модели оценки финансовых активов. Одной из основных проблем при инвестировании является оценка стоимости активов, определяемая в большей степени доходностью и риском. Соотношение между ними для эффективного и неэффективного портфелей может быть описано на основе модели стоимости активов (САРМ) [5], согласно которой в условиях рыночного равновесия ожидаемая доходность актива (или совокупности активов) равна сумме безрисковой процентной ставки и вознаграждения за риск. Однако в этом случае модель не позволяет оценить динамику бета-коэффициента, отражающего систематический риск актива по отношению к рынку, т. е. модификация классической САРМ актуальна. Оставляя все ее основные допущения неизменными, предположим, что ожидаемая потребителями доходность является случайной величиной, матрица ковариаций представлена в виде (1), а коэффициенты р зависят от времени.

Предположим, что при условии равновесия существуют два процесса — т0- и 6-, причем в каждый момент - выполнено равенство

И-1(г) ы т0- +6-сот--1(г, т X 7 ы 1 п , (6)

К

где Ф ы 11 ф711 ы 1 — доля 7-го актива в рыночной

7ы1

капитализации;

6- — рыночная цена риска: прирост ожидаемой доходности на дополнительную единицу

риска (мерой служит коэффициент ковариа-

ции);

п Т

гш ы фтг ы^ЕФу-1ги — доходность рыноч-

7 ы1 - ы1

ного портфеля.

Систему уравнений (6) запишем в виде

Тогда эконометрическая модель, обобщающая (7), определится соотношениями

г - гГ 1ыУ01 + 6-Н-Ф--1 + 8-,

6- ы60 +61/(Н -),

И,-1 (8-) ы 0, Уаг--1 (8-) ы Н<, где 8- — одинаково распределенные случайные

величины;

у0 — некоторая константа;

6- — рыночная стоимость риска.

При этом рыночную стоимость риска определим как функцию дисперсии величины Rmt

Уаг--1 (гт- ) ыфТ-1Н-ф--1,

6- ыб0 +6^(фТ-1 Н-ф--1).

Для рыночного портфеля выражение (6) примет вид

Иг-1 (т - г/ ) ы6-в,-1 (гшЬ

И--1 (гт- - г/)

6- ы

-1 (т)

поэтому окончательно

И-1(г- -г/) ы

ы С0У--1 (г-, гт- )

В-1 (гт- ) ыРг-И--1 (гт- - г/).

И--1 (гт- " г/) ы

(8)

При такой постановке задачи коэффициент р будет определять систематический риск 7-го актива по отношению к рискам на всем рынке в течение периода времени Т. Очевидно, что для рыночного портфеля Рт- = 1. В случае, если р > 0, эффективность актива равна эффективности рынка. При р < 0 эффективность данного актива будет снижаться при возрастании эффективности рынка. Кроме того, принято считать, что при р > 1 риск инвестиций выше, чем в среднем по рынку, а при р < 1 — ниже среднерыночного риска.

результаты численного моделирования. Построим равновесовой портфель, состоящий из высоколиквидных акций российских компаний, торгуемых на ММВБ. В качестве исходных данных используем котировки компаний «Лукойл» ^КОН), «СургутНефтегаз» (SNGS), «Ростелеком» ^ТКМ) и

2500

1500

500

«РАО ЕС» (ЕЕ8Я) за период с 01.01.2000 по 27.10.2006. Всего — 1 700 значений.

Для рассматриваемой совокупности активов был сформирован оптимальный по отношению к доходности к риску портфель. Для определения доли каждого актива в составе портфеля использовалось решение оптимизационной задачи (3) предложенным модифицированным алгоритмом Марковича. Значение доходности выбиралось как выборочное среднее доходностей всей совокупности активов. Она составила 30 % годовых. Для полученного портфеля были рассчитаны показатели стоимости и доходности.

Далее было проведено сравнение с результатами, полученными по классической схеме Марковица [6], а также по алгоритму Марковича с постоянной матрицей у словных корреляций [9] (далее — ССС-Марковиц). Было выявлено, что предложенный алгоритм обеспечивает более высокую доходность портфеля (рис. 1, 2) по сравнению с остальными методами.

Заметим, что включениев состав портфеля дополнительного безрискового актива щзиво-дит к сдвигу фронта эффективного множества. Это выгодно инвестору, так как он может сформировать портфель с той же доходностью, что и раньше, ноужесмень-шим риском. Дисперсия портфеля иегостоимость для каждой из моделей приведены в таблице.

Различие в уровне риска портфелей, постр оен-ных с применением модели Марковица, ССС-Мар-ковица и модифицированной модели Марковица, говорит о том, что применение ОАЫСН-моделейд ля вычисления волатильности является преимуществом нашего алгоритма, так как позволяет провести адекватную оценку уровня риска. Другие методы этот риск недооценивают.

Рис. 1. Стоимости оптимальных инвестиционных портфелей, руб. (нижняя ось — количество дней): 1 — БСС-Марковиц; 2 — ССС-Марковиц; 3 — Марковиц

-0.15

Рис. 2. Доходности оптимальных портфелей, построенных на основе: R1 — алгоритм Марковица; К2 — алгоритм Марковица и модель ССС; R3 — модифицированный алгоритм Марковица за период с 01.01.2006 по 27.10.2006

В зависимости от событий, происходящих на рынке, инвестор может изменять структуру портфеля посредством не только включения (исключения) отдельных активов, но и вариации их долей. Так как высказывалось предположение, что кова-риация изменяется во времени, можно рассмотреть вопрос о частоте пересмотра инвестором состава портфеля. Теоретически это может происходить ежедневно, но практический опыт показывает, что частое изменение состава и долей портфеля неэффективно в долгосрочной и среднесрочной

перспективе. характеристикиоптимальныхпортфелей

1

Показатель МодельМарковица Модель ссс-Марковиц Модифицированнаямодель

3актива 4 актива 3актива 4 актива 3актива 4актива

Дисперсия 0,00064 0,00058 0,22415 0,08864 0,17469 0,02313

Средняя дневная лог-доходность 0,0012 0,0012 0,0012 0,0012 0,0012 0,0012

Стоимость, руб. 556,00 579,88 649,02 856,48 736,74 900,46

Для полученного ранее оптимального портфеля с математическим ожиданием избыточной доходности, рассчитанной по (8), была построена линия рынка капитала (при этом безрисковая процентная ставка принималась равной 12 % годовых) и найдена оценка коэффициенат бэта. В качестве рыночного портфеля был взят индекс ММВБ.

При использовании классической модели Мар-ковица оценка (3 =0,0031. Значит, риск инвестирования в бумаги построенного ранее портфеля ниже среднего рыночного риска (так как его для него оценка бэта меньше), а эффективность от такого вложения капитала равна рыночной.

На основе модифицированной модели САРМ для рассматриваемого портфеля была также рассчитана и оценка для альфа-коэффициента. При использовании классической модели Марковица для сформированного портфеля его значение составило а =0,001, что говорит о недооцененности портфеля рынком. Следовательно, в среднесрочной перспективе произойдет рост стоимости составляющих его ценных бумаг.

Выводы. Построенная модель позволяет своевременно принимать решения о выходе из рисковых активов при пассивном способе вложения денежных средств, а также определяет момент входа на низковолатильный рынок. Показано, что по сравнению с существующими методологиями предложенный алгоритм позволяет оценить риск более точно. При добавлении безрискового актива в рисковый портфель происходит уменьшение риска и падение уровня в без уменьшения

доходности, что удобно для создания широкого спектра инвестиционных портфелей для массового неквалифицированного инвестора с различным профилем риска.

Список литературы

1. Бельснер О. А., Крицкий О. Л., Трифонов А. Ю. Модель динамических корреляций: общее приложение к исследованию финансовых рынков // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 39.

2. Бельснер О. А., Крицкий О. Л. Применение одномерного STS-распределения для моделирования значений фондовых индексов // Известия ТПУ. 2007. Т. 310. № 1.

3. Крицкий О.Л. Неприятие риска инвестиций при финансовом кризисе // Экономический анализ: теория и практика. 2009. № 20.

4. Ширяев В.И. Финансовые рынки. Нейронные сети, хаос и нелинейная динамика. М.: Либроком. 2009.

5. Ширяев А.Н. Основы стохастической и финансовой математики. М.: Фазис. 1998.

6. Шарп У., АлександерГ., Бейли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М. 2001.

7. Экономика: учебник / под ред. А.С. Булатова. М.: ЮРИСТЪ. 1999.

8. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. Т. 31.

9. Bollerslev T. Modeling the coherence in short-run nominal exchange rates: A multivariate generalized ARCH approach // Review of Economics and Statistics. 1990. Т. 72.

НП «Ассоциация Профессиональных Бухгалтеров Содружество» (НП АБС)

приглашает финансистов, экономистов, руководителей финансовых ЮЦИАЦИЯ департаментов компаний любых сфер деятельности, главных /v^jf^T^i^rsri бухгалтеров на бесплатные семинары школы МСФО, а также ряд л1 AJ I I trUb бесплатных мероприятий, которые пройдут в августе-декабре 2013 г.

С полным перечнем можно ознакомиться на сайте ассоциации - www.npabs.ru. НП «Ассоциация Профессиональных Бухгалтеров Содружество» объединяет организации и специалистов научной и практической сфер, специализирующихся в области бухгалтерского учета, МСФО, налогообложения, финансов, финансового контроля и др.

Члены НП АБС предоставляют профессиональные услуги по разработанным НП АБС стандартам и внедряют эффективные бизнес-решения на предприятиях.

За дополнительной информацией, а также для того, чтобы присоединиться к членам ассоциации, обращаться по телефону 8 (495) 544-78-66 либо E-mail: [email protected].

Издательский дом «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» оказывает мероприятиям ассоциации

информационную поддержку.

www.fin-izdat.ru