CC BY
60
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XIX 198 8
№ 4
УДК 629.735.33.025.1.01
ОПТИМИЗАЦИЯ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ТОЛЩИН КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ
ПОСТАНОВКЕ
В. М. Фролов, И. Н. Шумилова
Рассматривается задача проектирования силовой конструкции крыла большого удлинения при оптимизации ее по нескольким критериям. Предлагается использовать обобщенный критерий в виде произведения частных критериев прочности, жесткости при ограничении на аэродинамические характеристики крыла. По предлагаемой методике выполнен расчет гипотетического крыла.
1. В практике проектирования авиационных конструкций в качестве основного критерия для выбора конструктивного решения используется критерий минимума веса силового материала конструкции. Конструкция при этом должна удовлетворять ряду требований по прочности, жесткости, конструктивно-технологическим и другим требованиям. С математической точки зрения задача оптимального проектирования конструкций ставится как задача отыскания экстремума целевого функционала в пространстве проектных параметров на области, заданной рядом ограничений.
Однако в некоторых случаях требования, предъявляемые к конструкции (по прочности, жесткости) не всегда могут быть строго и точно детерминированы, существуют определенные разбросы при их задании, поэтому имеет смысл ставить задачу оптимизации как многокритериальную, рассматривая требования, предъявляемые к конструкции, в качестве критериев. В этом случае используется либо способ получения поверхности Парето, являющейся границей, за которой улучшение любого критерия не может происходить без существенного ухудшения других, при этом конструктору предлагается полный набор возможных решений; либо осуществляется свертка критериев в один тем или иным способом с использованием весовых коэффициентов, определяемых заранее, например, путем экспертных оценок, при этом реализуется единственное решение, зависящее от величины весовых коэффициентов.
В работах [1, 2] предложен способ получения поверхности Парето с использованием пробных точек равномерно распределенных в пространстве варьируемых параметров. В работах [3, 4] вводится обобщенный функционал, являющийся среднеквадратичным отклонением оптимального решения от решений по частным критериям. В работах [5, 6] обобщенный функционал формируется как произведение двух функционалов, соответствующих частным критериям.
В данной работе поставлена и решена многокритериальная задача оптимизации конструкции упругого крыла большого удлинения путем введения на основе метода свертки обобщенного функционала, включающего в себя требования прочности и жесткости.
2. Поставим задачу: найти при заданной внешней геометрии крыла в плане и заданных внешних нагрузках то наилучшее с точки зрения прочности и жесткости распределение относительной толщины профиля крыла по размаху с (г), при котором
сохраняются постоянными интегральные параметры исходного крыла, определяющие его аэродинамические характеристики.
Крыло моделировалось балкой, жестко заделанной в фюзеляж и нагруженной расчетными изгибающими моментами, которые не изменяются при варьировании по размаху относительной толщины профиля, допускаемое напряжение с (г) задается в виде заранее известной функции.
Введем следующие обозначения:
М (г) — максимальный изгибающий момент в сечениях по z, выбираемый как огибающая от действующих в сечении моментов; а(г)—уровень напряжений, заданный из условия обеспечения прочности; Мэ (г) — максимальный изгибающий момент в сечениях по г, для элеронных случаев нагружения; I — полуразмах крыла, b(z) —
М (г) b (г) с (г) Р
хорда крыла, J (г)—момент инерции сечения, У (г) = ------?, ----’ —модуль
упругости.
В качестве условия, накладываемого на выбор с(г), принято условие сохранения площади миделя крыла
I
Т= j &(г)7(г)Лг-Г0 = 0, (1)
о
где То — заданная площадь миделевого сечения исходного крыла.
В качестве обобщенных критериев прочности и жесткости были выбраны:
G — объем силового материала крыла, определяемый из условия удовлетворения требованиям прочности при действии на конструкцию расчетных изгибающих нагрузок
вя {-MW-,,
J о (г)Ь (г) с (г)
W (I)—величина прогиба на конце крыла, определяемая из соотношения
W (I) = [ . мэ(*)(1-г)_ d V J EJ (г)
, •*
Обеспечение минимального прогиба крыла можно рассматривать как приближенный способ удовлетворения требованиям жесткости крыла. В некоторых случаях, как показывает практика, данный критерий может быть выбран в качестве обобщенного критерия жесткости конструкции.
В качестве аналогичного приближенного критерия жесткости может рассматриваться условие минимума величины угла девиации концевого сечения крыла W'(l)
w’u=\W;dz’
о
поскольку поворот поточных сечений стреловидного крыла за счет упругости обусловлен величиной W"sin х, где % — угол стреловидности оси жесткости, поэтому обеспечение минимума W'(l) благоприятно влияет на характеристики статической аэроупругости, например, на обеспечение требуемой эффективности органов управления, тем более что в качестве расчетных нагрузок в этом случае могут выбираться нагрузки, соответствующие элеронным случаям нагружений.
Составим обобщенный минимизируемый функционал [6]
e = GWk{l)W’a(l), (2)
*
включающий в себя перечисленные частные критерии. Параметры /г»0, а:>0 при этом играют роль весовых коэффициентов, обычно определяемых в таких задачах путем экспертных оценок однозначным образом.
Задачу будем решать методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа L:
L=b + IT,
где Т — изопараметрическое условие (1), X — множитель Лагранжа.
Необходимое условие оптимальности запишем в виде
(I) IГа (/) Ю + ¿ОТ*-* (/) (I) ЪЧУ +
4- аОЧРЬ (I) ГС"*-1 (/) Ъ№' +■ Х8 Т = О, где через б... обозначена вариация соответствующей величины:
50 — ^Ьс, Ъ№{1) = дУУ(1)51Г/(/)= д^/(/) 5~ д с ¿с д с
После соответствующих преобразований и исключения множителя Лагранжа Я получим окончательное выражение для распределения относительных толщин профиля по размаху крыла с(г), обеспечивающее стационарность, обобщенного функционала
(2) при ограничении (1):
с(г) = ф<*)Го_
Ь (г) | Ф(г) <1г о
(3)
где
+*4-
б О
** = Ш1Т) ’ ? “ (/) •
3. Для иллюстрации полученных результатов были проведены расчеты для гипотетического крыла, моделируемого консольной балкой, работающей на изгиб, имеющего геометрические характеристики и законы изменения М(г) и Мя (г), приведенные на рис. 1, где Хо. ж—расстояние от оси жесткости по передней кромке крыла (*о. ж =0,436, х0 <ж =27,6).
Параметры й и а, учитывающие приоритетные значения отдельных критериев, варьировались в широких пределах от 0 до 100, поскольку при дальнейшем увеличении значений параметров (& и а>100) существенного изменения в распределении с(г) не происходит. При значении параметров ¿ = а=100 приближенно оценивался тот эффект, который соответствует их стремлению к бесконечности. Выбор конкретных
значений параметров й и а зависит от конструктивных, аэродинамических и других характеристик и производится по необходимым значениям частных функционалов б, Ш(1), И7'(0.
Во всей совокупности значений параметров & и а выделим следующие характерные случаи, которые обозначены на графиках рис. 2—4 точками:
(1)—к= 1, а=1 соответствует условию стационарности функционала 0=0 У? (I) X X №"(/), в котором в равной мере учтены все три частных критерия;
(2)—к= 1, а = 0 соответствует условию стационарности функционала д = 0№(1), в котором в равной мере учтены функционалы О и ЧР(1), а функционал (I) исключен из рассмотрения;
(3)—к=0, а=1 соответствует условию стационарности функционала 0=О№"(/), в котором в равной мере учтены функционалы О и №'(1), из рассмотрения исключен функционал №(1)-,
_______________I______________!_______________Ц______________I_______________!_______________I_______________!_______________1______________I_______________I
О 0,5 г 1,0
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4.
(4) — в этой точке реализуется условие стационарности функционала когда в равной мере учтены частные функционалы 1У7(1) и №"(/), а функционал б исключен из рассмотрения; для этого случая & = а=+°°, в расчетах полагалось 6=а =100;
(О) — £ = 0, а — 0, в этой точке реализуется условие стационарности функционала О; '
(№) — соответствует условию стационарности функционала №(I)- для этого случая к-* + оо, а = 0; в расчетах принималось к= Ю0, а = 0;
(№") — минимум функционала 0 = МУ' (/); для этого случая 6 = 0, а + со в расчетах принималось ¿ = 0, а= 100,
(0) — соответствует характеристикам исходного крыла.
На рис. 2, 3 кривые и точки на кривых рис. 4 помечены в соответствии с приведенными обозначениями характерных точек.
Получены функции распределения с (г), обеспечивающие стационарность функционала (2) при условии (1) для фиксированных пар параметров й и а, распределения высот профиля по размаху крыла, отнесенные к высотам профиля по размаху для исходного варианта крыла Н(г)=Ь(г)с(г) (рис. 2) и распределения площадей полок балки, отнесенных к тем же величинам для исходного крыла F(г) = М(г)
=----------=----(рис. 3).
а (г) Ь (г) с (г)
Для этих же распределений с(г) были получены численные значения функционалов 0, и, № (I), №"(/), отнесенные к соответствующим величинам для исходного варианта крыла (рис. 4).
При изменении параметров к и а в трехмерном пространстве {б, IV'} можно построить геометрическое место точек, каждая из которых соответствует фиксированной паре параметров к и а и, следовательно, конкретному виду обобщенного функционала (2). Таким геометрическим методом точек является кривая (рис. 4). На рис. 4 показаны проекции этой кривой на координатные плоскости пространства
{G, W, W'}. Приведенные на рис. 4 данные можно использовать для выбора конкретных значений параметров к и а при заданном значении каждого из частных функционалов G, W(l), W'(l) й получать необходимый для этого случая закон распределения c(z) в соответствии с (3). Значения частных критериев G, W(l),W'(l) для исходного крыла (точки 0 на графике рис. 4) равны единице.
Как видно из рис. 4, значения функционалов G, W(l), W'(l), соответствующие исходному варианту (точка 0), могут быть улучшены. При том же исходном значении веса крыла можно уменьшить прогиб на конце крыла на 7,07%, а величину угла девиации концевого сечения на 7,49%.
Таким образом, на основе полученных по предложенному методу оптимальных решений можно выбирать те решения, которые лучше удовлетворяют предъявленным при проектировании требованиям, то есть учитывать приоритетное значение отдельных частных критериев, получая при этом возможные наименьшие значения других неприоритетных критериев. Трехмерная кривая на рис. 4 позволяет устанавливать путем выбора значений параметров k и а возможные наилучшие соотношения между учитываемыми при оптимизации критериями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Артоболевский И. И,, Сергеев В. И., Соболь И. М., Статников Р. Б. Об использовании ЭВМ при постановке задач оптимального проектирования машин.—ДАН СССР, 1977, т. 233, № 4.
2. Артоболевский И. И., Генкин М. Д., Сергеев В. И., Статников Р. Б., Фролов К. В. Постановка и решение задач оптимального проектирования машин.—М.: Машиноведение, 1977, № 5.
3. Хо меню к В. В. Оптимальные системы управления.—М.: Наука,
1977.
4. Сорокин А. П. Оптимизация силовых авиационных конструкций по многоцелевому критерию. —Тезисы докладов Всесоюзной конференции: «Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций. — ГГУ, 1984.
5. 3 у р а е в Т. Г., Фролов В. М. Об одном способе решения многокритериальных задач оптимизации силовых конструкций. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 2.
6. Фролов В. М. Оптимизация упругой системы на несколько случаев нагружения методом произведения Функционалов потенциальной энергии.— Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № 3.
Рукопись поступила 17/IV 1986 г.
